Zeemaneffekt Projektlaboration, Experimentell kvantfysik, FK5013 Introduktion En del energinivåer i en atom kan ha samma energi, d.v.s. energinivåerna är degenererade. Degenereringen kan brytas genom att atomerna utsätts för ett statiskt elektriskt- eller magnetiskt fält och storleken på uppsplittringen beror på fältets styrka. För atomer i ett statiskt magnetiskt fält observerades denna effekt först av Pieter Zeeman år 1896 då han upptäckte att natriumljus inte längre absorberades i en annan natriumlåga då denna befinner sig i ett statiskt magnetfält. Zeemaneffekten används idag tillsammans med laserljus i olika applikationer för att kyla atomer väldigt nära absoluta nollpunkten. Zeeman effekten används även i astrofysik, t.ex. för att mäta magnetfältets styrka i solfläckar. I den här laborationen ska Zeemaneffekten studeras både i natrium och kadmium. Ljuset från en natrium- eller kadmiumlampa skapar ett ringmönster när det passerar en optiskt komponent kallad Febry-Perot-etalong. Ljuset passerar sedan en prismaspektrometer innan ringmönstret detekteras med hjälp av en kamera. Bilden kan användas för att studera Zeemaneffekten. Mätningarna ska sedan användas för att bestämma bohrmagnetonen som är den konstant som bestämmer elektronens magnetiska dipolmoment. Teori Här följer en kortfattad beskrivning av teorin och för en mer utförlig beskrivning hänvisas till litteraturen (t.ex. Haken and Wolf). I en semiklassisk modell ger en elektron som rör sig i en bana upphov till en elektrisk ström och har därmed ett magnetisk dipolmoment μ = I A [Am 2 ] där I är strömmen och A är en vektor riktad vinkelrätt mot planet som innesluter elektronens bana. Magnetiska dipolmomentet kan också skrivas som funktion av rörelsemängdsmomentet l, μ = e l 2m 0 Rörelsemängdsmomentet för den första banan för väteatomen är l = h 2π = ħ och en elektron med detta rörelsemängdsmoment skapar ett magnetiska momentet μ B = e 2m 0 ħ = 9.274078 Am 2 som kallas för Bohrmagnetonen. Magnetiska momentet för elektroner anges ofta i enhet av µ B och kan skrivas som
μ l = g l μ B l Ekvationen ovan definierar g-faktorn som är ett mått på kvoten av magnetiska momentet i bohrmagnetoner och rörelsemängdsmoment ħ. Om en magnetisk dipol placeras i ett homogent magnetfält kommer elektronen påverkas av ett vridmoment τ = μ B och den magnetiska potentiella energin för dipolen kan skrivas som E m = μ B = α π/2 ħ τdα = μb cos α där α är vinkeln mellan magnetiska dipolen och det pålagda magnetiska fältet. Det pålagda magnetfältet resulterar alltså i en ändring av elektronens energi. Figur 1: Rörelsemängdsmomentet och magnetiska dipolmomentet i vektorform för en atom i magnetiskt fält. Hittills har vi endast talat om en elektron som rör sig i en bana och som påverkas av ett externt magnetfält. En atom kan bestå av många elektroner som förutom rörelsemängdsmoment även har ett internt spinn. Atomens totala rörelsemängdsmoment frånsett eventuellt kärnspinn är J = L + S och är sammansatt av atomens totala rörelsemängdsmoment L och spinn S. L = ħ L(L + 1) S = ħ S(S + 1) J = ħ J(J + 1)
J kan anta alla diskreta hel och halvtalsvärden från L S till L + S i heltalssteg. Projektionen av J i z-riktning J Z är kvantiserad med ekvidistanta heltalssteg och ges av M J ħ där J M J J vilket betyder att det finns 2J+1 möjliga projektioner av J. Vinkeln mellan J och magnetfältet B kan skrivas som M J cos α = J(J + 1) Utan magnetfält är tillstånden energetiskt degenererade, men om atomerna påverkas av ett yttre magnetfält kommer tillstånden, fastän de är kvantiserade, kunna anta godtyckliga värden. Magnetiska dipolmomentet uppdelat i spinn och rörelsemängdsmoment kan skrivas som μ L = μ B ħ L μ S = 2 μ B ħ S Figur 1 visar hur de olika vektorerna förhåller sig till varandra och roterar runt magnetfältet. Notera att även om magnetiska dipolmomentet för L och S är motriktade respektive storhet är inte det totala magnetiska dipolmomentet motriktat J. Energiskiftet ges istället av medelvärdet av dipolmomentet läng J och kan skrivas J μ J = μ L J + J μ S J = μ B L J + 2S J ħ J Om man bildar skalärprodukterna S 2 respektive L 2 kan medelvärdet av dipolmomentet med riktning skrivas som μ J = μ B 3J 2 L 2 + S 2 J ħ 2J 2 varefter man kan visa att E m = μ B M J gb där J(J + 1) L(L + 1) + S(S + 1) g = 1 + 2J(J + 1) och kallas Landés g-faktor. Vid elektriska dipolövergångar gäller urvalsregeln ΔM J = 0, ±1 med tillägget att M J = 0 M J = 0 är förbjuden för J = 0 (likaså är J = 0 J = 0 förbjuden). Zeemaneffekten brukar delas in i två olika specialfall, normal och anomal Zeemaneffekt. Normal Zeemaneffekt inträffar för singlettillstånd, d.v.s när S = 0 och därmed J = L, vilket i sin tur resulterar i att g = 1. I figur 2 är alla möjliga övergångar mellan J = 3 och 2 utritade för normal Zeemaneffekt. Eftersom g = 1 är alla uppspaltningar lika stora och tre grupper med inbördes degenererade spektrallinjer uppkommer. Anomal Zeemaneffekt är den generellaste formen av Zeemaneffekten eftersom den inträffar när S 0 och därmed även g 1. Figur 3 visar alla tänkbara övergångar mellan atomtillstånden 3 S 1 och 3 P 1.
Denna beteckning beskriver atomtillståndets spinn och rörelsemängdsmoment, X=S,P,D, motsvarar L=0,1,2, 2S+1 X 2J+1, där Längst ner i figur 2 och 3 finns även beteckning för strålningens polarisation. Eftersom atomerna är orienterade av det pålagda magnetiska fältet kan polarisationen undersökas med hjälp av en polarisator och detta kan även vara till hjälp i analysen av spektra. Övergångar där M J = ±1 ger upphov till σstrålning vinkelrätt mot magnetfältet och M J = 0 ger upphov till π-strålning parallellt med magnetfältet. Figur 2: Normal Zemaneffekt Figur 3: Anomal Zeemaneffekt
Experiment Figur 4 visar en grovskiss över experimentuppställningen som används för att studera Zeemaneffekten samt en lista över instrument som finns att tillgå i labbet. Principen är att en Cd- eller Na-lampa är placerad i ett statiskt magnetfält. Ljuset från lampan passerar en Febry-Perot interferometer som skapar ett ringmönster som efter att det passerat en spektrometer fokuseras på en kamerasensor. Detta ringmönster används sedan för att studera Zeemaneffekten och räkna fram Bohrmagnetonen. Cd-lampa Na-lampa Elektromagnet (max 1.1 A/spole) Gaussmeter Prismaspektrometer Linser Objektiv Febry-Perot-etalong (t=0.50±0.01 cm) Polarisator Fläkt Webkamera PC Figur 4: Skiss över experimentuppställningen samt lista på utrustning. Det ljusblå delen består av fler optiska element än en Febry-Perot-etalong. Kärnan i hela uppställningen är Febry-Perot interferometern som bygger på multipelstråleinterferens mellan två parallella glasplattor vars motstående ytor gjorts högreflekterande. Om avståndet mellan plattorna är fixt kallas konstruktionen även för Febry-Perot-etalong. För att förstå hur interferensmönstret uppkommer kan man studera figur 5. Figur 5: Ljusets väg i en Febry-Perot-etalon
Om avståndet mellan plattorna kallas t så ges den intressanta gångskillnaden mellan strålarna av 2t cos θ. Om ljuskällan är monokromatisk och faller in parallellt mot Febry-Perot-etalongen uppstår ett koncentriskt ringmönster med den egenskapen att fasskillnaden precis motsvarar en våglängd och att gångskillnaden minskar med ökande ringradie. Om ljuskällan är polykromatisk uppstår många överlappande koncentriska ringsystem ett för varje diskret våglängd. För ringarna gäller att p = 2t cos θ λ där ordningen p är ett heltal som minskar med ökande θ. Figur 6 visar ett ringmönster med ringradie R som har fokuserats på en skärm m.h.a. en lins. Sambandet mellan ringradien R och brännvidden f för linssystemet kan skrivas: För konsekutiva ringar gäller att cos θ = λ f f 2 + R 2 1 R2 2f 2 t 4f 2 (D 2 i+1 D 2 i ) = t 4f 2 ΔD i 2 där D i är respektive ringdiameter. Om vi inför ordningstalet p i som svarar mot varje ring i får vi fram ett samband som kan användas för att bestämma bohrmagnetonen. p i = 2t λ D 2 i ΔD i 2 Figur 6: Interferensmönster av en Febry-Perot interferometer
Uppgifter och redovisning Uppgiften för den här laborationen är att bygga upp en experimentuppställning för att studera Zeemaneffekt för Cd och Na som sedan används för att bestämma värdet på Bohrmagnetonen. Här följer ett förslag på arbetsgång: 1. Visa hur man får fram energiskiftet som funktion av Landés g-faktor. Rita upp det förväntade energinivådiagrammet (se figur 2,3) för Cd samt Na. 2. Starta med Cd som ljuskälla som ger minst antal linjer och arrangera de optiska komponenterna så att ringmönstret blir synligt. Vad har spektrometern för funktion och hur fungerar den? Använd sedan elektromagneten och studera Zeemanneffekten och försök lista ut hur du ska mäta för att bestämma Bohrmagnetonen. Utför mätningarna och uppskatta om mätmetoden ger ett rimligt resultat. Resonera dig fram hur noggrannheten i dina mätningar kommer påverka resultatet och optimera din uppställning för bästa resultat. 3. Använd nu den andra ljuskällan och studera Zeemaneffekten. Här behöver du inte bestämma Bohrmagnetonen utan uppgiften är att bestämma vilka övergångar ringarna motsvarar. För att lyckas med försöket kan du behöva förbättra uppställningen ytterligare än vad som var nödvändigt i det första försöket. 4. Gör en noggrann analys av bestämningen av bohrmagnetonen och presentera i rapporten ditt resultat med felgränser. I rapporten ska även ringmönstren för både Cd och Na presenteras tillsammans med en förklaring vilka ringar som representerar vilka övergångar. Rapporten ska följa riktlinjerna som finns i avsnittet Redovisning av andra kurslaborationen på kurshemsidan http://www.expkvantfys.net/laborationer.html. Glöm ej! Sätt på och stäng av kylvatten till elektromagneten. Rör inga andra skruvar än positionsskruvarna på Febry-Perot-etalongen och var noga med att inte ta med fingrarna på glaset. Rör ej de nakna spektrallamporna med fingrarna. Referenser Atomic and Quantum Physics, Atomic and Quantum Physics, Haken and Wolf A. C. Melissinos and J. Napoliano, Experiments in Modern Physics R. Eisberg and R. Resnick, Quantum Physics