Enheten för Pedaggiska Mätningar PBMaE 0-05 Umeå universitet Prvtid PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Del I: Uppgift -9 Del II: Uppgift 0-5 Anvisningar Ttalt 0 minuter för del I ch II tillsammans. Vi rekmmenderar att du använder högst 90 minuter för arbetet med Del I. Hjälpmedel Del I: "Frmler till natinellt prv i matematik kurs C, D ch E" Observera att miniräknare ej är tillåten på denna del. Prvmaterial Prvet Del II: Miniräknare (grafritande men ej symblhanterande) ch frmelblad. Allt prvmaterial inlämnas tillsammans med dina lösningar. Skriv namn ch klass på de papper du lämnar in. Lösningarna till Del I ska lämnas in innan du får tillgång till miniräknaren. Redvisa därför ditt arbete på Del I på separat papper. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknaren. Varje uppgift inleds med ett uppgiftsnummer. Därefter följer prvbankens identifikatinsnummer, sm anges inm parentes. På nästa rad anges maimala antalet päng sm du kan få för din lösning. Om en uppgift kan ge g-päng ch vg-päng skrivs detta /. Till de flesta uppgifter räcker det inte med bara ett krt svar utan det krävs att du skriver ned vad du gör, förklarar dina tankegångar, ritar figurer vid behv ch att du vid numerisk/grafisk prblemlösning visar hur du använder ditt hjälpmedel. Till de uppgifter där det står Endast svar frdras behöver bara svaret anges. Uppgift 5 är en större uppgift, sm kan ta upp till timme att lösa fullständigt. Det är viktigt att du försöker lösa denna uppgift. I uppgiften finns en beskrivning av vad läraren ska ta hänsyn till vid bedömningen av ditt arbete. Försök att lösa alla uppgifterna. Det kan vara relativt lätt att även i slutet av prvet få någn päng för en påbörjad lösning eller redvisning. Betygsgränser Ansvarig lärare meddelar de gränser sm gäller för betygen "Gdkänd" ch "Väl Gdkänd". Namn: Skla: Klass/prgram: Kvinna Man Annat mdersmål än svenska Sklverket hänvisar generellt beträffande prvmaterial till bestämmelsen m sekretess i kap. sekretesslagen. För allt material sm kmmer ur prvbanken gäller sekretessen tills annat meddelas (minst ti år, till ch med utgången av år 0). OBS! Förändrad sekretesstid. Detta prv är ffentligt från ch med 00-06-0 Sklverket 00
------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr (66) /0 Skriv ( i) i( i) på frmen a bi Endast svar frdras ------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr (09) /0 Lös ekvatinen 5 0 ------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr (8) /0, /0 Funktinen y Ce är lösning till y ky a) Bestäm k. Endast svar frdras b) Bestäm C så att en tangent till y Ce får riktningskefficienten 5 i den punkt på kurvan där 0 ------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr (66) /0 För vissa kmplea tal ( 0) gäller att Re Im Ge eempel på ett sådant tal. Endast svar frdras ------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr 5 (8) /0 Bestäm den lösning till differentialekvatinen y 0 y 0 sm uppfyller villkret y(0) 0 Sklverket 00
------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr 6 (77) /0, /0, /0 För de kmplea talen ch sm är markerade i figuren gäller att 0 ch Im Uppgiften kan inte lösas genm mätning i figuren. a) Bestäm på plär frm. b) Bestäm på plär frm. c) Beräkna ch svara på frmen a bi ------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr 7 (09) 0/ Bestäm en hmgen differentialekvatin av andra rdningen vars allmänna lösning är y Ce De ------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr 8 (09) 0/ Om man vill beräkna längden L av en kurva y f () mellan två punkter vars -krdinater är a ch b kan man använda frmeln b L ( f ( )) a d Beräkna längden av kurvan y i intervallet 9 Sklverket 00
------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr 9 (968) 0/ Ekvatinen 0 har fyra rötter. En rt är i ch en annan rt är i. Vilka är de övriga rötterna? Sklverket 00
------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr 0 (78) /0 Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvatinen y 6y y 0 ------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr (56) /0, /0 Agneta har förverkligat sin dröm ch köpt en mtrcykel. På hösten, när säsngen är slut, upptäcker hn att ett av däcken inte håller luften riktigt. Hn ställer in mtrcykeln i ett garage för vinterförvaring ch mäter lufttrycket till,9 bar. Fyra veckr senare har lufttrycket sjunkit till,7 bar. a) Antag att trycket i ett däck minskar med en hastighet sm är prprtinell mt trycket. Ställ upp en differentialekvatin sm beskriver detta. Endast svar frdras b) Vilket tryck kmmer det att vara i däcket efter ttalt veckr i garaget enligt denna matematiska mdell? Sklverket 00
------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr (786) 0/ En cylindrisk glasbehållare med inre diametern 6 cm är från början helt fylld med vatten. Behållaren rteras ch så länge rtatinshastigheten ökar rinner vatten över behållarens kant. Vid en viss rtatinshastighet står vattenytan i behållaren enligt figur. Sedd från sidan beskriver då vattenytan en parabel sm ges av sambandet y 0,5 (Se figur ) Hur mycket vatten har vid denna tidpunkt runnit ur behållaren? ------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr (85) 0/, 0/ Vid en dling av bakterier fanns från början ca 800 bakterier på en agarplatta. Agarplattan innehåller näringslösning sm bakterierna kan leva av. Antalet bakterier vid lika tidpunkter framgår av diagrammet nedan. På grund av lika faktrer kan inte bakterieantalet bli hur strt sm helst på plattan. Sådana faktrer är t.e. temperatur samt tillgång till näring ch syre. Bilden van visar en s.k. agarplatta med bakterier. Sklverket 00
dn Bakterietillväten kan beskrivas med differentialekvatinen k N( 6000 N) där dt 6 N är antalet bakterier vid tidpunkten t minuter ch k 8,08 0 6000 Denna differentialekvatin har en lösning N ( t) sm väl ansluter till 0, 088 t 6,5e mätvärdena i diagrammet van. Differentialekvatinen ch dess lösning utgör en matematisk mdell till försöket. a) Differentialekvatinen betyder att bakterietillväten är prprtinell 6000 N mt antalet bakterier N ch mt uttrycket ( ) Hur ska uttrycket ( 6000 N ) tlkas? b) Vid vilken tidpunkt var tillväthastigheten maimal enligt den matematiska mdellen? ------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr (78) 0/ För alla punkter på kurvan f (), f ( ) ckså går genm, 0. Bestäm alla funktiner f sm uppfyller detta. punkten ( ) y gäller att tangenten i ( ) Sklverket 00
------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr 5 (9) /5 Vid bedömningen av ditt arbete med följande uppgift kmmer läraren att ta hänsyn till hur du argumenterar för att Martins påstående är falskt ch Viktrs påstående är sant hur generellt du mtiverar hur ch ska ligga i förhållande till varandra i det kmplea talplanet för att likheten ska gälla hur väl du redvisar ditt arbete hur väl du använder matematiskt språk ch uttryckssätt Martin påstår att likheten gäller för alla kmplea tal ch Ge argument varför det måste vara falskt. Viktr påstår att det finns minst två kmplea tal ch, båda skilda från nll, för vilka likheten gäller. Ge argument varför det måste vara sant. Gustav inser dessutm att det går att finna många sådana par av kmplea tal ch. Undersök ch beskriv hur ch ska ligga i förhållande till varandra i det kmplea talplanet för att likheten ska gälla. Mtivera dina slutsatser. Sklverket 00
Lösningar Uppgift nr (66) ( i) i( i) 9i i 9 7i 9 7i Uppgift nr (09),, 5 0 ± 5 ± i, ± i Uppgift nr (8) a) y Ce y Ce y ky k k b) y Ce y ( ) Ce y (0) 5 C 0 C 0 5 Ce 0 Sklverket 00
Uppgift nr (66) Re Im Antag Im Då blir Re 8 ch 8 i T.e. 8 i Uppgift nr 5 (8) y 0y 0 y y h p C e k 0k 0 k y C e 0 0 C C 8 0 y(0) 0 0 y 8 e Uppgift nr 6 (77) a) arg( ) 60 0(cs 60 isin 60 ) 0(cs60 isin 60 ) b) 8 sin0 8(cs50 isin50 ) 8(cs50 isin50 ) c) 0 (cs(60 50 ) isin(60 50 )) 8 5i Sklverket 00
Sklverket 00 Uppgift nr 7 (09) Eftersm den allmänna lösningen är D C y e e så måste lösningarna till den karaktäristiska ekvatinen ha varit r ch r. Den karaktäristiska ekvatin sm har dessa lösningar är r vilken fås från differentialekvatinen y y. y y Uppgift nr 8 (09) 7 8 9 9 9 9 9 ) ( att ger 9 ) ( d d d f f l.e. 7 L Uppgift nr 9 (968) Eftersm två rötter är i ch i måste plynmet vara delbart med i) i)( ( Ekvatinen kan efter t.e. plynmdivisin skrivas 5 ch 5 rötterna har 0 0 ) ( ) ( 5 ch 5
Uppgift nr 0 (78) y 6y y 0 r r r 8 0 ; y Ce r De y Ce De Uppgift nr (56) a) y ky b) y Ce kt,7,9e k,7 k ln,9 y(),9e k,9 Trycket är,9 bar. Uppgift nr (786) Integratinsgränser: Undre gräns: Övre gräns: y 0,5 8 8 y 0,5 ( y ) Vlym vatten sm runnit ur behållaren (cm ): π 8 y ( y ) dy π y 5π 600 8,6 liter Sklverket 00
Uppgift nr (85) a) ( 6000 N) är det antal bakterier sm vid en viss tidpunkt frtfarande kan tillkmma i dlingen, "det kvarvarande utrymmet". b) y dy dn dn dt k N(6000 N) k (6000 N) kn ( ) 6000k kn 0 N 000 dn Detta mtsvarar ett maimum eftersm har negativ kefficient i andragradstermen. dt N( t) 000 ger tiden 6000 6,5e 0,088 t 000 6,5e 0,088 t 0,088 t ln 6,5 vilket ger att t ln 6,5 0,088 9 Tillväthastigheten är maimal vid ca 9 minuter. Uppgift nr (78) y f ( ) 0 Riktningskefficienten för tangenten f ( ) 0,5 f ( ) ( ) Differentialekvatinen blir f ( ) 0,5 f ( ) ch dess allmänna lösning är f ( ) Ce 0,5 f ( ) Ce 0,5 Sklverket 00
Uppgift nr 5 (9) Punkt : Antag att VL HL VL HL! i ch 5 5i i 5 5i 8 i 6 9 i 5 5i 9 5 5 7 8,5 50 0,7 Eftersm likheten inte gäller för dessa kmplea tal kan den inte gälla för alla kmplea tal. (Även gemetriska resnemang är tänkbara här) Punkt : Antag att i ch 5 5i VL i 5 5i 8 8i 6 6 8 8 HL VL HL! i 5 5i 9 9 5 5 8 50 5 8 Eftersm likheten gäller för dessa två kmplea tal gäller den för minst två kmplea tal. (Även gemetriska resnemang är tänkbara här) Punkt : Låt A(cs α i sin α ) ch (cs isin ) B β β A(csα isinα) B(cs β isin β ) A B ( Acsα Bcs β ) A ( Asinα Bsin β ) cs α AB csα cs β B cs β A A B sin α ABsinα sin β B sin β A B A cs α A sin α B cs β B sin β AB csα cs β ABsinα sin β A B A (cs α sin α) B (cs β sin β ) AB(csα cs β sinα sin β ) cs( α β ) A B Enligt trignmetriska ettan är cs α sin α cs β sin β ch enligt subtraktinsfrmeln för csinus gäller att csα cs β sinα sin β cs( α β ) ch vi får efter kvadrering av VL ch HL: A B ABcs( α β ) A AB B Sklverket 00
För att likhet skall gälla måste cs( α β ). Detta är ett nödvändigt ch tillräckligt villkr. cs( α β ) α β ± 0 n 60 α β n 60,där n är ett heltal Eftersm α ch β är argument för de två kmplea talen ch dessa är lika eller skiljer sig på ett helt antal varv så måste de två talen ligga på samma stråle, sm utgår från rig, när de representeras av visare/punkter i det kmplea talplanet. (Man kan även ansätta rektangulära krdinater eller kmma fram till rätt slutsats genm att utföra gemetriska resnemang) Sklverket 00
Bedömningsanvisningar Inm parentes anges ett eempel på ett gdtagbart svar. Betygsgräns G: Betygsgräns VG: 6 varav 6 vg päng Betygsgräns MVG: Fanns ej eftersm prvet gjrdes enligt kursplan 9. Uppgift nr (66) Ma /0 Krrekt svar ( 9 7i ) g Uppgift nr (09) Ma /0 Redvisad gdtagbar metd g ± i g med krrekt svar ( ) Uppgift nr (8) Ma /0 a) Krrekt svar k g b) Gdtagbar ansats för bestämning av C (inser att y ( 0) 5 ) g med krrekt svar ( C 0 ) g Uppgift nr (66) Ma /0 Gdtagbart svar (t.e. 8 i ) g Uppgift nr 5 (8) Ma /0 Krrekt lösning till den hmgena ekvatinen ( y h Ce 0 ) g Krrekt partikulärlösning ( y ) g p med krrekt svar ( 8e 0 y ) g Sklverket 00
Uppgift nr 6 (77) a) Krrekt svar ( 0(cs60 isin 60 )) Ma 5/0 g b) Gdtagbar metd g 8(cs50 isin50 ) g med krrekt svar ( ) c) Gdtagbar metd (t.e. bestämt kvtens argument ch belpp) g 5i med krrekt svar g Uppgift nr 7 (09) Ma 0/ Redvisad gdtagbar ansats (t.e. identifierat den karaktäristiska ekvatinens rötter ch funnit att den karaktäristiska ekvatinen är r ) vg y y vg med krrekt svar ( ) Uppgift nr 8 (09) Ma 0/ Krrekt derivering f ( ) 9 vg Gdtagbar beräkning av kurvans längd ( L 7 l.e.) - vg Uppgift nr 9 (968) Ma 0/ Gdtagbar ansats (t.e. krrekt tecknad plynmdivisin) vg Funnit faktrn vg 5 med krrekt bestämning av övriga rötter ± vg Uppgift nr 0 (78) Ma /0 Krrekt löst karakteristisk ekvatin r ; r ) g ( med gdtagbart svar ( y Ce De ) g Sklverket 00
Uppgift nr (56) Ma /0 a) Gdtagbart tecknad differentialekvatin ( y ky ) g b) Krrekt allmän lösning g med gdtagbar beräkning av trycket (,9 bar) - g Uppgift nr (786) Ma 0/ 8 Gdtagbart uppställd integral π ( y ) dy - vg med gdtagbar beräkning av vattenmängd sm runnit ut (,6 liter ) vg Uppgift nr (85) a) Gdtagbar förklaring (( 6000 N ) är det antal bakterier sm vid en viss tidpunkt frtfarande kan tillkmma i dlingen, "det kvarvarande utrymmet") Ma 0/ vg b) Gdtagbar metd för bestämning av tidpunkten vg Gdtagbar bestämning av sökt tidpunkt (9 minuter) vg med gdtagbart verifierande av maimum vg Uppgift nr (78) Ma 0/ Gdtagbar ansats (t.e. gdtagbar tlkning av teten redvisad med hjälp av en figur) vg Krrekt tecknad differentialekvatin vg 0,5 med krrekt svar ( y Ce ) vg Sklverket 00
Uppgift nr 5 (9) Uppgiften ska bedömas med s.k. aspektbedömning. Bedömningsanvisningarna innehåller två delar: Först beskrivs i en tabell lika kvalitativa nivåer för tre lika aspekter på kunskap sm läraren ska ta hänsyn till vid bedömningen av elevens arbete. Bedömda elevlösningar med kmmentarer ch pängsättning finns sm dkument i pdf-frmat att skriva ut. Bedömningen avser Kvalitativa nivåer Lägre Metdval ch Eleven utför genmförande väsentligen I vilken grad eleven krrekta kan tlka en beräkningar prblemsituatin ch med egna värden lösa lika typer av på ch eller prblem. Hur använder fullständigt ch hur gdtagbara väl eleven använder vektreempel metder ch rörande Martins tillvägagångssätt sm ch Viktrs är lämpliga för att påståenden. lösa prblemet. (/0) Matematiska resnemang Förekmst ch kvalitet hs värdering analys, reflektin, bevis ch andra frmer av matematiskt resnemang. Eleven vederlägger Martins påstående med ett mteempel. Eleven stödjer Viktrs påstående med ett eempel. Eleven påbörjar en generell algebraisk eller gemetrisk metd (vektrräkning) (/) Eleven beskriver gdtagbart de kmplea talens läge ("De ligger på en linje sm startar i rig") ch slutsatsen baseras t.e. på en diskussin kring väl valda specialfall. Högre Eleven fullföljer en generell algebraisk metd ch når sambandet k eller andra ekvivalenta uttryck eller fullföljer en gemetrisk metd (vektrräkning) Ttal päng (/) (/) Eleven beskriver gdtagbart de kmplea talens läge ("De ligger på en linje sm startar i rig") ch slutsatsen baseras på en generell diskussin kring sambandet, k k > 0 eller andra mtsvarande frmuleringar eller slutsatsen baseras på en heltäckande diskussin kring vektradditin Redvisning ch matematiskt språk Hur klar, tydlig ch fullständig elevens redvisning är ch hur väl eleven använder matematiska termer, symbler ch knventiner Summa (/0) (/) (/) (/) Redvisningen är välstrukturerad, fullständig ch tydlig. Det matematiska språket är i huvudsak krrekt ch lämpligt. (0/) (0/) (/5) Sklverket 00