LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0006M Institutionen för matematik Datum 2009-06-05 Skrivtid 0900 1400 Tentamen i: Statistik 1, Undersökningsmetodik 7.5 hp Antal uppgifter: 6 Krav för G: 12 Lärare: Robert Lundqvist, tel 49 24 04 Jour: Robert Lundqvist, tel 49 24 04 Resultatet anslås senast: 26/6 2009 Tillåtna hjälpmedel: En statistikbok, gärna Introduction to the Practice of Statistics av Moore & McCabe. Undantag: kombinationen Praktisk statistik/räkna med slumpen Miniräknare Tänk på att redovisa dina lösningar på ett klart och tydligt sätt. Endast det numeriska svaret räcker inte för full poäng. Korrekt lösning ger det poängantal som står angivet efter uppgiftstexten. LYCKA TILL!
Tentamen i Statistik 1, S0006M, 2009-06-05 2
Tentamen i Statistik 1, S0006M, 2009-06-05 1. När stålbalkar tillverkas ska balkarna skäras av till en bestämd längd. Det är viktigt att hålla avvikelserna så små som möjligt. En kort balk kan göra att kundens användning försvåras och en lång balk innebär att kunden får material utan kostnad. Därför mäts avvikelserna från beställd längd, och för en viss dagsproduktion såg avvikelserna ut på följande sätt (enhet: cm): 0.032 0.027 0.015 0.037 0.037 0.021 0.014 0.015 0.028 0.013 0.015 0.031 0.036 0.010 0.044 0.022 (a) Beskriv materialet i ett lämpligt stambladdiagram. (b) Bestäm median, undre och övre kvartil för materialet. (c) Beskriv materialet med en boxplot. Beräkna också gränserna för uteliggare med gängse q 1 1.5(q 3 q 1 ), q 3 +1.5(q 3 q 1 ). Om uteliggare finns ska boxplotten visa dessa på sedvanligt sätt. (5p) 2. I samma tillverkningsprocess har det visat sig att tiden för att kapa balkarna är lång och att det kan finnas möjligheter att tjäna in en hel del om den tiden går att korta. Du ska delta i utredningen om möjliga förbättringar, och din första uppgift blir att ta fram några viktiga mått för processen. (a) Det har visat sig rimligt att beskriva tiden för kapning med en normalfördelning där genomsnittet är 1.2 minuter och standardavvikelsen är 0.06 minuter. Hur stor andel av tiderna kommer under dessa förutsättningar att bli längre än 1.3 minuter? (b) Vad blir med förutsättningarna i föregående uppgift längsta tid i gruppen av de 10% kortaste tiderna? (c) Vad ska det vara för genomsnittstid om 5% av tiderna ska vara längre än 1.25 minuter? Utgå från att standardavvikelsen är lika stor som i förutsättningarna till de föregående uppgifterna. I dina lösningar ska det givetvis vara så att införda beteckningar ska förklaras tydligt. (6p) 3. I en branschtidning har man testat ett antal övervakningskameror. Hälften har en viss typ av filformat, den andra hälften ett annat format. Bildkvaliteten har granskats med en standardiserad mätmetod där resultaten uttrycks i procent. Enhet för priset var i dollar. I nedanstående tabell ges resultaten för de 30 testade kamerorna: 1
Tentamen i Statistik 1, S0006M, 2009-06-05 Kamera Bild- Fil- Pris Kamera Bild- Pris Filformat kvalitet format kvalitet format 1 94 350 A 16 88 410 B 2 91 280 A 17 83 285 B 3 88 285 A 18 82 460 B 4 88 260 A 19 80 280 B 5 87 360 A 20 80 280 B 6 86 360 A 21 80 280 B 7 86 375 A 22 79 375 B 8 85 200 A 23 78 520 B 9 83 395 A 24 78 210 B 10 82 300 A 25 77 370 B 11 82 240 A 26 77 250 B 12 80 350 A 27 76 330 B 13 80 275 A 28 74 270 B 14 79 400 A 29 71 250 B 15 79 379 A 30 71 300 B (a) Om bildkvalitet är den beroende variabeln och pris den förklarande får man följande resultat med regressionsanalys: ŷ = 79.6+0.0056 x Kan koefficienterna i denna modell ges meningsfulla skattningar? Om så är fallet, ge sådana skattningar. Om det inte går, motivera då detta. (b) Vad blir genomsnittlig bildkvalitet för kameror som kostar 400 dollar? (c) Om man i modellen även tar med filformat fås följande resultat i regressionsanalysen: ŷ = 81.8+0.0089 x 1 6.495 x 2 där y är bildkvalitet, x 1 är pris och x 2 är formatet (sätts till 0 om det är en kamera som ger format av typ A och 1 om formatet är av typ B). Kan koefficienten för format ges meningsfull tolkning? Om så är fallet, ge sådan tolkning. Om det inte går, motivera då detta. (d) Vad blir genomsnittlig bildkvalitet för en kamera som kostar 400 dollar och ger filformat av typ B? (5p) 4. Världshälsoorganisationen WHO följer bland annat andelen människor som har tillgång till drickbart vatten. I nedanstående tabell ges denna andel för Afrika: 2
Tentamen i Statistik 1, S0006M, 2009-06-05 År 1990 2000 2006 Andel (%) 50 56 59 (a) Bilda en ny indexserie för andelen med 2006 som basår. (b) Hur stor är den genomsnittliga årliga förändringen för andelen under åren 1990 till 2006? (2p) 5. I en undersökning av hushållens förväntningar om den framtida ekonomin ingick frågor om bland annat följande: Ålder Kön Har du tänkt rösta i EU-valet? Svarsalternativ: Ja, Nej eller Vet ej. Vad tror du om din egen ekonomi under det kommande året? Svarsalternativ: Min ekonomi kommer att bli bättre, Min ekonomi kommer att vara oförändrad, Min ekonomi kommer att vara sämre eller Vet ej. (a) Ge förslag på hur resultaten från frågan om EU-valet ska beskrivas grafiskt. (b) Ge förslag på hur sambandet mellan kön och frågan om den egna ekonomin ska beskrivas grafiskt. (c) Ge förslag på hur sambandet mellan ålder och kön kan beskrivas grafiskt. (3p) I dessa uppgifter ska du utgå från att rådata ska kunna användas, dvs ingen bearbetning i form av grupperingar eller beräkningar ska behöva göras annat än möjligen att räkna fram läges- eller spridningsmått baserade på ordningsvärden. 6. (a) I en undersökning av vad medborgarna i en viss kommun tycker om privatiseringar av kommunal verksamhet ska ett slumpmässigt urval göras. Tänk dig att du med medborgare menar röstberättigad person som bott stadigvarande i kommunen de senaste två åren, en population som består av 45 000 personer i den aktuella kommunen. Du ska göra ett slumpmässigt urval på 200 personer bland dessa. Till din hjälp har du en slumptalstabell. Vad mer behövs för att göra urvalet? Gör en kortfattad beskrivning av hur du går till väga. 3
Tentamen i Statistik 1, S0006M, 2009-06-05 (b) I styrgruppen för undersökningen finns det farhågor för att precisionen i resultatet ska bli för låg. Ett sätt att öka säkerheten är att göra ett så kallat stratifierat urval. Beskriv hur det skulle göras: vad du behöver för hjälpmedel, hur de hjälpmedlen ska vara beskaffade för att säkerheten ska bli bättre än vad man kan vänta med ett vanligt slumpmässigt urval. (4p) 4
Svar till tentamen i Statistik 1, S0006M, 2009-06-05 1. Materialet består av uppmätta avvikelser från bestämd längd för totalt 16 stålbalkar. Ett stambladdiagram för dessa avvikelser kan se ut på följande sätt: The decimal point is 2 digit(s) to the left of the 1 034555 2 1278 3 12677 4 4 Här ska som det anges i diagrammet värden tolkas som att 1 0 står för värdet 0.010. (a) Med 16 värden ges medianen av medelvärdet av 8:e och 9:e värdet i storleksordning, dvs (0.022+ 0.027)/2 = 0.0245. Med 8 värden i respektive halva ges undre och övre kvartil av medelvärdena av 4:e och 5:e värdena uppifrån och nedifrån, dvsq 1 = 0.015 och q 3 = 0.034. (b) Med q 1 1.5(q 3 q 1 ), q 3 + 1.5(q 3 q 1 ) som gränser för uteliggare ska värden lägre än 0.0135 eller högre än 0.0625 markeras som uteliggare. Några sådana finns inte. En boxplot kan därför se ut på följande sätt: 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 2. Låt X stå för tiden det tar att kapa en balk. (a) Tiden X sägs vara normalfördelad med genomsnittet µ = 1.2 och standardavvikelsen σ = 0.06 minuter. Det som söks är andelen tider som är längre än 1.3 minuter, dvs andelen X > 1.3. 5
Svar till tentamen i Statistik 1, S0006M, 2009-06-05 0 1 2 3 4 5 6 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 Med sedvanlig standardisering, dvs med transformationen Z = (X µ)/σ fås att andelen X > 1.3 är lika stor som andelen Z > (1.3 1.2)/0.06, dvs andelen Z > 1.67: 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 3 2 1 0 1 2 3 Enligt tabell är andelen Z 1.67 0.8525, så andelen Z > 1.67 blir då 1 0.9525 = 0.0475. (b) Det som söks är längsta tid i gruppen av de 10% kortaste tiderna. Denna tid kan kallas c, och det betyder att vi söker det c som gör att andelen X < c är 10%. 0 1 2 3 4 5 6 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 6
Svar till tentamen i Statistik 1, S0006M, 2009-06-05 Med sedvanlig standardisering fås att andelen X < c är lika stor som andelen Z <(c 1.2)/0.06, dvs båda dessa ska enligt förutsättningarna var 10%. Enligt tabell gäller att andelen Z < 1.28 är 0.1003 vilket får anses tillräckligt nära. Detta betyder att (c 1.2)/0.06 = 1.28, vilket i sin tur betyder att c = 1.1232. (c) Om W står för den nya tiden, så gäller för denna att genomsnittstiden µ är okänd men standardavvikelsen σ = 0.06 som tidigare. Det är också känt att andelen tiden som är längre än 1.25 minuter ska vara 5%. Vi söker alltså det värde på µ som uppfyller det senare villkoret, dvs andelen W > 1.25 ska vara 5%. Med standardisering fås att den givna andelen ska vara lika stor som andelen Z > (1.25 µ)/0.06. Den andelen är 5%. Enligt tabell ges detta resultat när Z > 1.64. Detta betyder att (1.25 µ)/0.06 måste vara 1.64, vilket i sin tur betyder att µ = 1.1516 minuter. 3. Här kan vi använda följande beteckningar: y bildkvalitet (%) x 1 pris (dollar) x 2 filformat (0 om format A, 1 om format B) (a) Resultatet av regressionsanpassning blir ŷ = 79.6+0.0056 x 1 Här kan 0.0056 tolkas på följande sätt: om priset ökar med en dollar så klar bildkvaliteten med i genomsnitt 0.056 procentenheter. Värdet 79.6 kan däremot inte ges någon meningsfull tolkning eftersom det intefinns några observerade värden på bildkvalitet för kameror som kostar 0 dollar eller därikring. (b) Med ovanstående modell skulle genomsnittlig bildkvalitet för kameror som kostar 400 dollar vara ŷ = 79.6+0.0056 400 = 81.84 (c) I modellen tas filformat med vilket ger följande resultat: ŷ = 81.8+0.0089 x 1 6.495 x 2 Här kan värdet 6.495 tolkas spå följande sätt: för x 2 = 1, dvs kameror med filformat B, är bildkvaliteten i genomsnitt 6.495 procentenheter lägre än då x 2 = 0, dvs kameror med filformat A. 7
Svar till tentamen i Statistik 1, S0006M, 2009-06-05 (d) Genomsnittlig bildkvalitet för en kamera som kostar 400 dollar och ger filformat av typ B blir med ovanstående modell ŷ = 81.8+0.0089 400 6.495 1 = 78.865 4. I tabellen ges andelen människor i Afrika som har tillgång till drickbart vatten. År 1990 2000 2006 Andel (%) 50 56 59 (a) En ny indexserie för andelen med 2006 som basår ges i nedanstående tabell: År 1990 2000 2006 Index 84.7 94.9 100 Här har värdet för år 1990 beräknats genom att ta andelen för år 1990 dividerat med värdet för basåret 2006, dvs I 1990 = 50 100 = 84.7 59 (b) Det som söks är den genomsnittliga årliga förändringen för andelen under åren 1990 till 2006. Utgångsvärdet är 50, och slutvärdet är 59. Förändringen har skett under 16 år, så om k står för en årlig tillväxtfaktor så gäller att 50 k 16 = 59 Detta ger att k = ( ) 59 (1/16) = 1.0104 50 Den årliga genomsnittliga förändringen är alltså 1.04%. 5. I en undersökning av hushållens förväntningar om den framtida ekonomin ingick frågor om bland annat följande: Ålder Kön Har du tänkt rösta i EU-valet? Svarsalternativ: Ja, Nej eller Vet ej. Vad tror du om din egen ekonomi under det kommande året? Svarsalternativ: Min ekonomi kommer att bli bättre, Min ekonomi kommer att vara oförändrad, Min ekonomi kommer att vara sämre eller Vet ej. 8
Svar till tentamen i Statistik 1, S0006M, 2009-06-05 (a) En grafisk beskrivning av resultaten från frågan om EU-valet ska beskrivas grafiskt vore ett enkelt stapeldiagram: en stapel för antal som skulle rösta Ja, en stapel för antal som skulle rösta Nej och en stapel för antal som skulle rösta Vet ej. Andra varianter på det temat vore förstås att använda andelar, och/eller att stacka staplarna. (b) Sambandet mellan kön och frågan om den egna ekonomin ska beskrivas grafiskt kan beskrivas med ett stapeldiagram. Det går att organisera på flera sätt, och en möjlighet vore att för varje grupp (män/kvinnor) ta fram tre staplar som beskriver antalet som svarar på respektive svarsalternativ. Ett annat sätt att organisera vore att ta en grupp av staplar för varje svarsalternativ, och för varje sådan grupp ta två staplar som visar antalet/andelen män och kvinnor. (c) Sambandet mellan ålder och kön kan beskrivas grafiskt med hjälp av ett diagram bestående av två boxplottar, en för gruppen av män och en för gruppen av kvinnor. Varje sådan boxplot skulle då beskriva ålder i aktuell grupp. 6. (a) I en undersökning av vad medborgarna i en viss kommun tycker om privatiseringar av kommunal verksamhet ska ett slumpmässigt urval göras. Det som då behövs är en urvalsram, dvs en lista, förteckning eller fil med individerna i populationen en slumptalstabell Personerna i urvalsramen numreras från 1 till 45000 (eller egentligen 00001 till 45000. Därefter tas en startpunkt ut i slumptalstabellen. Fem efter varandra följande värden tas ut vid den startpunkten Om de siffrorna är en kombination inom intervallet 0 till 45000 tas motsvarande person. Efter det hoppar man vidare (förslagsvis radvis) till nästa grupp av fem siffror. Om de fem siffrorna inte motsvarar en person med det numret i urvalsramen finns hoppar man vidare. (b) Ett stratifierat urval ska göras bland de 45000 individerna. För att säkerheten ska bli bättre krävs då att hela gruppen kan delas in i undergrupper/strata där man är mer homogena med avseende på aktuell fråga, dvs personerna i gruppen ska tycka lika sinsemellan. För att få till den indelningen måste man då ha någon slags historiskt material där det visat sig att människor är mer lika varandra med avseende på aktuell fråga (eller något i samma linje). Det kan handla om inkomst (man kan kanske vänta sig att de som tjänar mer kan vara mer positiva till privatisering än de som tjänar mindre) eller kanske bostadsområde 9
Svar till tentamen i Statistik 1, S0006M, 2009-06-05 (de som bor i områden med högre taxeringsvärden kan kanske väntas vara mer positiva till privatisering än de som bor i områden där taxeringsvärdena är lägre). 10