Uppnår grundskolans elever målen i matematik?

Uppnår grundskolans elever målen i matematik? Här diskuterar Olof Magne mål i matematik, med anledning av det pågående arbetet med mål och prov i årskurs 3. Vi hoppas att fler av våra läsare vill delta i diskussionen med inlägg på nätet, namnaren.ncm.gu.se I Medelsta-projektet studeras effekterna av olika kursplaner. I denna framställning utgår jag från en undersökning i Medelsta år 2002 där jag tillsammans med Arne Engström belyst elevernas behållning av undervisningen i årskurs 3. Vi konstaterar (2008) att olika målkriterier används i skilda sammanhang, inte alltid på ett korrekt och tydligt sätt. Kursplaneforskning bör med vidgad användning av modeller från inlärningsforskningen studera sambanden mellan resultat av elevernas inlärning (=behållning) relaterade till olika målkriterier och målkrav för undervisningen. Målkrav undervisning Just nu pågår en diskussion om hur man ska tydliggöra kursplanemål i matematik i årskurs 3. Kursplaneförslag har i olika omgångar översänts från Skolverket till regeringen men ännu inte medfört konkreta åtgärder. Detta är ett mycket invecklat kapitel, fullt av fallgropar och fällor. Det visar sig bl a i kontroverserna kring skolmålen i årskurs 3. Många kritiska röster har höjts om att det går för fort och att målen är för konkreta och styrande, säger Skolvärlden den 6 februari 2008. Den mål- och kunskapsrelaterade principen infördes i svensk skola 1994/95 och ersatte den äldre normalfördelningsprincipen. Man hör folk säga: Alla barn ska klara av uppnåendemålen för godkänd på kursen i matte. Men det förefaller osannolikt att alla elever når alla mål. Frågor av detta slag har empiriskt studerats inom Medelsta projektet (Magne, 1990; Engström & Magne, 2008). Skolverket har utgivit Mål för alla. Perspektiv på nationella utbildningsmål för tidiga skolår (2007) med allmän information, bl a två artiklar av Siv Fischbein och Inger Eriksson. Vidare har Leif Davidsson 2007 gjort en översyn av grundskolans mål- och uppföljningssystem (SOU 2007:28). Dessa utredningar har en beskrivande karaktär. Leif Davidsson har utfört en sakligt sett mycket omsorgsfull utredning och kommit fram till att det nyss införda mål- och betygssystemet uppvisar svagheter. Hans utredning lämnar efter sig en dyster bild av tillståndet i svensk skola. Staten anses ha brustit i läroplanskonstruktionen och implementeringen av såväl mål- som betygs systemet. Dessutom saknas empirisk a 5

s tudier av elevernas behållning i relation till explicita målkriterier, dels är Lpo 94 otydlig. Mål för alla ger en mycket fin samlad resumé av läroplansteori och mål i olika läroplansmodeller hos grannländerna, England och Nya Zeeland. Den är en förträfflig uppslagsbok om internationella strömningar. Också matematiken får en liten snutt. Inger Eriksson skiljer mellan tre läroplansteoretiska modeller i den dagsaktuella debatten: den stoff-(innehålls-)fokuserade, den resultat fokuserade och den process- och utveck lingsfokuserade. Till dessa kan man efter danskt initiativ foga en kompetensfokuserad modell. Av dessa bedöms den stoffrelaterade modellen som ointressant för det svenska läroplanssystemet. Process- och utvecklingsmodellen är inte speciellt vanlig i dag. Den sägs ha alltför främmande inslag för att passa det svenska skolväsendet. Av de övriga står resultat- och kompetensmodellerna närmast den svenska traditionen. I resultatmodellen specificeras de kunskapsmål som eleverna framför allt ska uppnå. Kompetensmodellen anger de övergripande mål som visar vilket slags samhällsdeltagande och vilken typ av personlig utveckling skolan ska befordra. I anslutning därtill specificeras önskvärda utbildningsmål. Den svenska läroplanen för grundskolan Lpo 94 kallas mål- och kunskapsrelaterad. Den kan betecknas som en läroplan enligt resultatmodellen eller, kort, målprincipen, vilket betyder att resultatmodellen är den teoretiska grunden för läroplanen. Mål för alla låter förstå att de faktiska konsekvenserna av ett målsystem är beroende av nedärvda traditioner och lärares uppfattningar om skolans uppdrag. Slutligen sammanfattas diskussionen med att skolvärlden internationellt och nationellt ännu endast i begränsad utsträckning har erfarenheter av kunskaper om vad det innebär att innehållsligt analysera vad olika ämnesspecifika kompetenser består av och hur sådana kompetenser utvecklas och eventuellt kan beskrivas i termer av nivåer. (s 207) Också denna rapport betonar att empiriska studier saknas om elevernas behållning i relation till explicita målkriterier. Kriteriefrågan är oskarpt behandlad i Lpo 94. Målkrav undervisning inlärning Hur definierar skolan matematikundervisning? Skolförfattningarna saknar definition på undervisning. De behandlar saken indirekt som något läraren gör. För min del har jag föreslagit att undervisning kan definieras på följande sätt: Undervisning ska vara en normativ interaktion mellan människor där det gäller för den undervisade individen att genom självstudier aktivt lära sig specificerade undervisningsstoff i överensstämmelse med undervisarens mål och medel. (Magne, 2006) Skolans mening är lärarens undervisning och undervisningen ska leda till individernas inlärning. Undervisning och inlärning är nu i själva verket två fullständigt skilda världar. Kursen i läroplanen avses vara styrinstrumentet i bådadera, men regerar egentligen över ingendera. Läroplanen har knappast inflytande över annat än bedömning och betygssättning av prestationerna. Eftersom undervisning och inlärning har nära relationer till varandra, är det viktigt att pröva vad kursplanernas målkrav medför. Vad innebär målkraven för lärarens undervisning och elevens inlärning? Med läroplanens makt över undervisning tycks det förhålla sig så, att läroplan i Sverige är ett uttryck för statens vilja att styra skolan. Något annat har ingen hävdat. Läroplanen är en del av statens kontroll av undervisningen och anger den stadfästa struktur som innebär att yttre begränsningar reglerar den totala verksamheten i skolväsendet. Men läroplanen kan inte styra inlärningen. Den fria viljan och valet styr på flera punkter undervisningen. Sålunda sägs kursplanerna vara så utformade, att läraren lämnas utrymme att välja stoff och arbetssätt. Låt oss sedan se på inlärningen. Kursplanen kan inte lära ut matematik. Ingen kan lära ut matematik. Inlärande sker uteslutande genom aktivitet inom individen. Ett samspel råder genom många separata krafter: hos matematiken själv, inom den lärande individen och i omgivningen samt mellan dessa faktorgrupper. Krafterna samspelar 6

till ett komplext faktormönster. Kanske n ågot i stil med fysikens världsbild där man tänker sig något sådant som ett dussin tänkta dimensioner. Varför tänker inte skolan på liknande sätt? Bland annat använder sig minnes forskningen av ett mångdimensionellt rum, likaså begåvningsforskningen. Vad staten gör i läroplanen är att föra fram verksamhetsaspekten (samhälls nyttan och politikens olika värderingar). Kursplanen förses med målkrav, bl a på bestämda minimikunskaper. Vad läraren gör är att använda processaspekten. Läraren utgår från målkraven, ofta med stöd av läromedel. Tillsammans med eleverna planerar läraren inlärningsprogram, beslutar om stoff och arbetssätt samt handleder eleverna. Vad eleverna gör är att självverksamt lära sig matematiska relationer och begrepp och tillägna sig lösningsmetoder i problem. Behållning kunskapskriterier Nå, hur vet vi att eleverna lärt elementen i kursplanens målkatalog? Här har inlärningsforskningen något att komma med. Utför man ett inlärnings experiment, börjar man med en teori (design eller modell kring ett problem etc). Sedan omformulerar man teorins delbegrepp till praktiskt utförbara uppgifter. Det kallas att operationalisera. Ett experiment konstrueras. Man vill mäta hur väl försökspersoner av en viss sort lär sig ett inlärningsmaterial under bestämda betingelser. Resultatet av inlärningen fastställs i relation till kriterier för behållningens kvantitet och kvalitet. Kriterier för elevens behållning Om man förstår undervisning som en interaktion mellan lärare och elev innebär det att undervisarens mål och medel ska avspegla sig i elevens behållning av inter aktionen. Man anlägger då ett betraktelsesätt som återfinns i minnes- och inlärnings forskningen. Man bestämmer exempelvis att undervisningen ska ha målet att varje elev lär sig svara rätt på 100 procent av uppgifterna och gör det ännu en månad efter undervisningen. Alternativt ska en grupp av försökspersoner svara 100 procent rätt på en given uppgift. Om elevens behållning ska vara effektiv, krävs hög säkerhet, eller med andra ord, eleven ska uppvisa hög lösningsfrekvens. Vi kan bortse från snabbhetsfaktorn och begränsar kriteriet till tillförlitlighet och noggrannhet. En fråga som man bör ta upp beträffande operationella definitioner av undervisningen, är betydelsen av lösningsfrekvens och matematiska fel. Elevens behållning kan antas svara mot uppgifternas lösningsfrekvenser. Låt mig introducera komplexitetshypotesen (Magne, 1990). Enligt Magne-Thörns komplexitetssystem delas skolmatematikens stoff in i huvudområden och dessa i sin tur i delområden (delmoment), och elevuppgifterna varierar från att ingå i ett till att vara del av flera områden. Vi talar här om enkla (elementära) uppgifter, respektive komplexa uppgifter. Uppgifterna varierar från att vara enkla till att vara komplexa. Exempel på enkla uppgifter: 1 + 1 = 2; 2 2 = 4 ; 1 cm = 10 mm; Detta är en triangel. Svaret är lätt åtkomligt i minnet. Exempel på komplex uppgift: Ett område ska dels avbildas, dels areaberäknas. Här tillhör uppgiften två huvudområden. Komplexa uppgifter kräver bearbetning, svaret är inte lätt åtkomligt, lösningsmöjligheterna är många: t ex förut okända gåtor, benämnda uppgifter samt autentiska problem, geometriska eller aritmetiska bevis. Eleverna har svårt att få höga lösningsfrekvenser a. på uppgifter med element sammansatta från flera olika huvudområden och delområden, b. på uppgifter med lösningar i många och långa steg, c. i autentiska problem. Min uppfattning om behållningskriterier enligt målprincipen är följande. Ska elevens kunskap vara meningsfull ur det praktiska livets synvinkel, bör man hävda en hundraprocentig lösningsfrekvens för vissa prioriterade uppgiftsslag vid tiden för grundskolans slutbetyg (årskurs 9). 7

Jag föreslår kriterier enligt målprincipen av följande slag: 1. Enkla operationer a. Talskrivning och talläsning: För årskurstypiska uppgifter inemot 100 procent säker het. b. De enkla kombinationerna (tabellkunskap i addition, multiplikation, enheter) bör ha en nära hundraprocentig säkerhet. c. Centrala termer bör anges med nära hundraprocentig säkerhet. 2. Beräkningar i de fyra räknesätten bör efter kontroll uppnå nära hundraprocentig säker het. Detta gäller i skolans lägre stadium åtminstone huvudräkning och räkning med räknemaskin (dator, miniräknare) med naturliga tal, därefter med tal skrivna i decimalform och bråkform. Överslagsräkning bör approximera 100 procent korrekt lösning. Eftersom förbiseendefel uppstår bör eleven behärska kontrollmetoder. 3. För övriga uppgiftstyper varierar kravet på säkerhet. Bestämda kriterier kan formuleras. Uppgifter med ett litet antal tanke steg bör förslagsvis kunna lösas med en säkerhet på 90-100 procent lösnings frekvens. För att lösa autentiska problem och benämnda uppgifter ska eleven behärska alternativa metoder. Kursplaneteori möter inlärningsverklighet Komplexitetshypotesen är en utmaning. Lpo 94 följer mål- och kunskapsrelaterade principen så här: Huvudprincipen för betygssättningen är att eleven skall uppfylla alla kriterier för ett betyg. Målprincipen i all världens resultatfokuserade kursplaner är att alla ska kunna allt. Det är orealistiskt. Hur använder vi komplexitetshypotesen för att studera behållning? Empiriska belägg för enkla uppgifter redovisas i figuren på nästa sida. Den visar de enda sex uppgifter av Medelstadiagnosernas 269 uppgifter som samtliga elever bedömts ha löst hundraprocentigt korrekt. Det är alltså sällan som eleverna i Medelsta grundskola löser en matematikuppgift hundraprocentigt korrekt. Vilka kriterier uppfylls i andra kommuner? Uppgifterna ingår i diagnoserna för årskurs 1 (1G, 1W och 2B) samt årskurs 2 (3I, 3V och 3X). Från komplexitetshypotesens aspekt är det bara de tre förstnämnda som är enkla. Hundraprocentig säkerhet kan betrak tas som indicium på att eleven upplever uppgiften vara enkel i betydelsen lättförståelig, och detta antas vara fallet i de tre sistnämnda uppgifterna. Enkelhet eller elementär är upplevda egenskaper i uppgifter som hänger samman med elevens subjektiva övertygelse om att uppgiftens lösande är en enkel process. Det är också tecken på kunskap. De tre uppgifterna 3I, 3V och 3X är i den meningen komplexa att de representera r insikt om dels antal, dels tiosystemets begrepp. En vuxen uppfattar säkert många för barnen svåra uppgifter som enkla. Om vi tar 40 + 16 =?, så upplevs den säkert av en vuxen som enkel. Inte desto mindre är lösningsprocenten så låg som 74 vid slutet av årskurs 2. 20 + 85 =? tycker den vuxne är lika lätt som den föregående. Elever i årskurs 2 har emellertid bara 45 procent korrekta lösningar och först i årskurs 3 kommer lösningsprocenten upp till 84. De är inte lika tankekrävande som uppgiften 67 + 28 =? ty här ökar komplexiteten (obs! man måste kunna begagna tiosystemet samt associa tiva egenskapen för addition) så lösningsfrekvensen sjunker till 53 procent för elever vid slutet av årskurs 3. Vad blir resultatet av vår granskning av mål- och kunskapsrelaterade principens krav kontra elevernas behållning? Min uppfattning är att den svenska mål- och kunskapsrelaterade principen har kollapsat. Staten har misslyckats med att utforma målkrav som svarar mot verkligheten. Medicinen är att ta mer hänsyn till elevernas ambition och förmåga. Elevernas verklighet ska komma i centrum för skolans målsättning. Det råder brist på studier och FOUarbeten relaterade till svenska kursplaner. Vi behöver stärkta forskningsinsatser speciellt med empirisk inriktning på kursplaners genomslagskraft och verkan på elevers behållning till följd av läroplaners målkrav och målkriterier. Medelstaprojektet är en forskningsinsats av detta slag. 8

Skriv tal i rutan Hur många? ÅTTA 1 + 9 = 1G 1W 2B Sätt ett kryss vid det största talet 100 101 110 3I Skriv tal i rutorna 17 18 19 47 48 49 3V 3X Uppgifter för årskurs 1, ur Medelstadiagnoserna. Litteratur Engström, A. & Magne, O. (2008). Medelstamatematik IV. En empirisk analys av Skolverkets förslag till mål att uppnå i matematik i årskurs 3. Linköpings universitet, Institutionen för betendevetenskap och lärande. Magne, O. (1990). Medelsta-matematik. Hur väl behärskar grundskolans elever lärostoffet enligt Lgr 69 och Lgr 80? Malmö: Lärarhögskolan. Magne, O. (2006). Bidrag till frågan om matematikundervisningens teori. I: L. Häggblom, L. Burman & A.-S. Röj-Lindberg (red) Perspektiv på kunskapens och lärandets villkor (s 45 55). Vasa: Åbo Akademi. Skolverket (2007). Mål för alla. Stockholm: Skolverket. SOU 2007:28. Tydliga mål och kunskapskrav i grundskolan. Förslag till nytt mål- och uppföljningssystem. Betänkande av Utredningen om mål och uppföljning i grundskolan. Stockholm: Utbildningsdepartementet. Olof Magne 9