Lösningar till övningsuppgifter i mätteknik 1. Wheatstonebrygga a. Beräkning av spänningarna U 1 och U 2 Spänningarna kan t ex beräknas med hjälp av spänningsdelning. U 1 = E R 3 R 1 + R 3 U 2 = E R 4 R 2 + R 4 1) 2) b. Härled U 2 - U 1 Bryggans utspänning U är dierensen av spänningarna U 2 och U 1. U = U 2 U 1 = E R 4 R 2 + R 4 E R 3 R 1 + R 3 = E R 4R 1 + R 3 ) R 3 R 2 + R 4 ) R 2 + R 4 )R 1 + R 3 ) = E R 1R 4 + R 3 R 4 R 2 R 3 R 3 R 4 R 2 + R 4 )R 1 + R 3 ) R 1 R 4 R 2 R 3 = E R 2 + R 4 )R 1 + R 3 ) 3) c. Villkor för balanserad brygga U = 0) För att bryggan ska vara balanserad, d v s U = 0, måste summan av termerna i täljaren av 3) bli 0. R 1 R 4 R 2 R 3 = 0 R 1 R 4 = R 2 R 3 R 1 = R 2 4) R 3 R 4-1 -
D v s för en balanserad brygga gäller alltså villkoret att kvoten av resistanserna i båda bryggbenen är samma. d. Utsignalen om R 1 ändras med R Under förutsättningen att R 0 = R 1 = R 2 = R 3 = R 4 och bara R 1 = R 0 + R) ändras med R erhålls en 1/4-brygga och utsignalen blir som i 5). R 0 + R)R 0 R 0 R 0 U = E R 0 + R 0 )R 0 + R) + R 0 ) = E R2 0 + RR 0 R0 2 4R0 2 + 2R 0 R R = E 4R 0 + 2 R under antagandet att R << R 0 försumas termen in nämnaren = 1 4 E R R 0 5) 2. Placering av givare för att kompensera temperaturberoendet Den första givaren på balken utsätts för mätstorheten och temperaturändringar. Ytterliggare en givare läggs till för att kompensera för temperaturberoendet. Den andra givaren ska placeras på ett sådant sätt att den i idealfallet känner av temperaturen och längändringen från udvidningen av balkens. Däremot ska den inte utsättas för någon påverkan längdutvidning) av mätstorheten. Resistansändringen R kan ha olika orsaker. Den kan t ex uppstå genom temperaturändring R t och givarens längdutvidgning R l. Längdudvidningen leder till en resistansändring R l,m orsakad av mätstorheten och en resistansändring R l,t orsakad av temperaturändringar. Med rätt placering kan antas att båda givarens resistansändring R ändras lika mycket för temperaturändringar men bara den ena givarens resistansändring R varierar med själva mätstorheten. För den första givaren gäller R = R l,m + R l,t + R t, för den andra R = R l,t + R t. För att få en utsignal som inte är temperaturberoende ska då den andra givaren kopplas in som R 2 eller R 3. I båda fallen blir utspänningen lika med noll om båda givare ändras lika mycket. Är det däremot ont om plats kan den andra givaren för temperaturkompenseringen sättas på balken som i Figur 1. Då sätts den på tvären vilket leder till att den känner av - 2 -
själva längdutvidgningen från mätstorheten också, dock i tvärriktning. Givaren på tvären utsätts då inte för samma resistansändringen som den första givaren längs med mätstorheten utan resistansändringen multipliceras med Poissons tal γ och är då R 3 = γ R. Figur 1: Exempel på hur en andra givare kan placeras på balken och i bryggkopplingen för att kompensera temperaturberoendet. Anmärkning: I guren är givaren placerad som R 3 i bryggkopplingen men den skulle kunna placeras som R 2 också. 3. Mäta dragkraft i en balk med två TTG a. Placering av givarna För att mäta dragkraft i balken med två trådtöjningsgivare ska de kopplas enligt Figur 2 nedan. b. Temperaturberoendet av utsignalen Då båda trådtöjningsgivarna ändras lika mycket vid en temperaturändring R 1,t = R 3,t ) och givarna är placerade diagonalt i bryggan vilket leder till att de har samma tecken påverkas utsignalen. Denna koppling är temperaturberoende. Anmärkning: I denna lösning har valts att placera givarna som R 1 och R 4 i bryggan men placering som R 2 och R 3 skulle fungera lika bra. - 3 -
Figur 2: Placering av trådtöjningsgivarna för att mäta dragkraft i en balk. 4. Mäta böjmoment i en balk med fyra trådtöjningsgivare TTG) a. Placering av givarna För att mäta böjmoment i balken med fyra trådtöjningsgivare ska de kopplas enligt Figur 3 nedan för att få maximal utspänning. Figur 3: Placering av trådtöjningsgivarna för att mäta böjmoment i en balk. - 4 -
b. Utsignalen från bryggan Utsignalen från bryggan blir då enligt 6) under förutsättningen att R 0 = R 1 = R 2 = R 3 = R 4. R 1 R 4 R 2 R 3 U = E R 2 + R 4 )R 1 + R 3 ) = E R 0 + R 1 )R 0 + R 4 ) R 0 + R 2 )R 0 + R 3 ) R 0 + R 2 + R 0 + R 4 )R 0 + R 1 + R 0 + R 3 ) med R = R 1 = R 4 och R = R 2 = R 3 = E R 0 + R)R 0 + R) R 0 R)R 0 R) R 0 R + R 0 + R)R 0 + R + R 0 R) = E R2 0 + 2R 0 R + R 2 ) R0 2 2R 0 R + R 2 ) 2R 0 2R 0 = E 4R 0 R 4R0 2 = E R 6) R 0 c. Påverkning av en dragkraft i balken Då alla trådtöjningsgivarna ändras lika mycket av en dragkraft R 1 = R 2 = R 3 = R 4 ) påverkas utsignalen inte. Denna koppling är inte känslig för dragkraft i balken. d. Temperaturberoendet av utsignalen Då alla trådtöjningsgivarna ändras lika mycket vid en temperaturändring R 1 = R 2 = R 3 = R 4 ) påverkas utsignalen inte. Denna koppling är inte temperaturberoende. 5. Gör om bryggan till en theveninekvivalent: R th = R 0 //R 0 + R 0 //R 0 = R 0 2 + R 0 2 = R 0 = 300Ω För förstärkaren gäller: = R 1 = 1kΩ - 5 -
U in = U th + R th U ut = 100U in Det relativa felet beräknas som: 6. σ = Fel Avläst värde - Rätt värde = Rätt Rätt värde 100U th σ = + R th 100U th ) 100U th = + R th 1 = 1000 1000 + 300 1 = 23.1% Figur 4: Potentiometer som vinkelmätare. a. P = E 2 /R E = P R = 0.1W 1kΩ = 10V b. 10V/270 = 37mV/ c. Gör om till tvåpol. Relativa felet är: σ = U in U th U th = + R th U th U th U th - 6 -
Relativa felet ska vara mindre än 0.2%: 1 0.002 + R th 1 0.002 + R th 1 1 1 + R 0.002 th 1 0.998 1 + R th 1 + R th 1 0.998 1 R 1 th = 499R th 0.998 1 Det värsta fallet, alltså det som kräver stört inresistans till förstärkaren, är med maximal R th. R th varierar med varierande läge på potentiometern. Bestäm alltså det största möjliga värdet på R th. Antag att potentiometerns totala resistans är R och att den delen av potentiometern över vilken man plockar ut spänningen har resistansen R x. Om potentiometern betraktas som en tvåpol ger detta R th = R xr R x ) R x + R R x ) = R R x Rx 2 R Derivering ger att R th är störst när R x = R 2 Detta ger den maximala reistansen för R th R th,max = 500Ω//500Ω = 250Ω Vilket i sin tur ger den minimala inresistansen till förstärkaren 499 R th,max = 499 250 = 125kΩ 7. Temperaturmätning med PT100 En PT100 är en standard givare vilkens resistans ändras med temperaturändringar. Vid 0 C är givarens resistans 100 Ω. För att mäta temperaturen med en PT100 leds en konstant ström genom givaren vilket leder till en spänning över givaren som är proportionellt mot temperaturen. - 7 -
Följande värden är givna: Mätinstrumentets inre resistans R i = 100 kω PT100-givarens resistans R t = 100 Ω Ledningens resistans R L = 1 Ω Strömgeneratorns ström I = 10 ma Utan att koppla in något mätinstrument hade spänningen över givaren U g varit enligt 7). U g = I g R t = 0.01 100 = 1 V 7) a. Relativa felet i uppmätt spänning V med två trådar Genom att koppla in ett mätinstrument vid strömgeneratorn uppstår två oönskade effekter: 1. Strömmen från strömgeneratorn delas mellan mätinstrumentet och givaren. 2. Spänningsfallet över ledningens resistans R L ingår i mätningen. Strömmen från strömgeneratorn delas upp enligt 8). R i I g = I R i + R t + 2R L ) 100 10 3 = 0.01 100 10 3 + 100 + 2 1) = 9.9898 10 3 A 8) Spänningen som mätinstrumentet mäter blir då enligt 9). U m = I g R t + 2R L = 9.9898 10 3 100 + 2 1) = 1.019 V 9) Det relativa felet beräknas enligt 10). relativa felet = = mätt värde rätt värde 1.019 1.0 1.0 rätt värde = 0.019 ˆ= 1.9 % 10) - 8 -
Anmärkning: Antas att R i >> R t + 2R L ) kan strömdelningen försummas i praktiken. Spänningen som mäts blir då enligt 11) istället. U m = I g R t = 0.01 100 + 2 1) = 1.02 V 11) I detta fall blir det relativa felet 2 %. b. Relativa felet i uppmätt spänning V med fyra trådar Fyrtrådsmätning används för att eliminera felet härrörande från ledningens resistans R L genom att skilja ledningarna som är strömförande från de som ska mäta spänningen och dessa kan pga mätinstrumentets höga inre impedans anses som strömlösa. Strömmen från strömgeneratorn delas upp enligt 12). R i + 2R L I g = I R t + R i + 2R L ) = 0.01 10 5 + 2 100 + 10 5 + 2) = 9.9898 10 3 A 12) Spänningen över givaren U g blir då enligt 13). U g = I g R t = 9.9898 10 3 100 = 0.999 V 13) Om det antas att strömmen genom mätinstrumentet inte kan försummas helt, måste spänningsfallet över ledningen beaktas genom spänningsdelning enligt 14). R i U mat = U g R i + 2R L 100 10 3 = 0.999 100 10 3 + 2 1 = 0.999 V 14) Då R L << R i syns ingen skillnad i resultaten för 13) och 14). Det relativa felet beräknas enligt 15). relativa felet = mätt värde rätt värde rätt värde - 9 -
= 0.999 1.0 1.0 = 0.001 ˆ= 0.1 % 15) Jämförd med tvåtrådsmätning minskar det relativa felet med faktor 19 genom att använda fyrtrådsmätning. 8. Temperaturberoendet av en temperaturgivare a. Givarens resistans vid 0 C Då givarens temperaturkoecient α 2 är given för 20 C måste omräkningen för resistansens värde från 200 C till 0 C ske via 20 C. Utgående från 16) beräknas givarens resistans vid 20 C enligt 17). R t = R r 1 + α r t t r )) = R r 1 + α r T ) 16) R 20 = R t,200 1 + α 20 T ) med T = 200 20 = 180 1000 = 1 + 0.00396 180 = 584 Ω 17) I nästa steg beräknas resistansen vid 0 C enligt 18). R 0 = R 20 1 + α 20 T ) med T = 0 20 = 20 = 5841 0.00396 20) = 538 Ω 18) Vid 0 C är givarens resistans 538 Ω. b. R 3 för U = 0 V vid 0 C För att uppfylla villkoret U = 0 V vid 0 C behöver bryggan vara balanserad. En brygga är balanserad om R 1 R 3 = R 2 R 4. Då R 1 = R 2, ska R 3 injusteras till samma värde som R t, dvs R 3 = 538 Ω. - 10 -
c. Utsignalens känslighet Från 16) fås resistansändringen per C till 19). R = R 20 α 20 T = 584 0.00396 1 = 2.31 Ω/ C 19) Bryggans utspänning U beräknas enligt 20). R t U = E E R 3 R 2 + R t R 1 + R 3 med R 1 = R 2 Rt = E R ) 3 R 1 + R t R 1 + R 3 20) För att beräkna känsligheten i mv/v kring 0 C beräknas dierensen av utspänningen för 0 C och 1 C enligt 21). U = U 1 U 0 Rt,1 = E R ) 3 R 1 + R t,1 R 1 + R 3 Rt,1 = E R ) t,0 R 1 + R t,1 R 1 + R t,0 ) = 20 4 538 + 2.3 10 4 + 538 + 2.3) 538 10 4 + 538 Rt,0 E R 1 + R t,0 R 3 R 1 + R 3 = 4.14 mv/ C 21) Utsignalens känslighet blir då 4.14 mv/ C kring 0 C. Anmärkning: P g a oliniäriteten av bryggkoppling R - termen i nämnaren) skulle känsligheten kring 20 C vara annorlunda som visas i 17) när spänningsdierensen mellan 20 C och 21 C används. U = U 21 U 20 Rt,21 = E R ) 3 R 1 + R t,21 R 1 + R 3 Rt,21 = E R ) t,20 R 1 + R t,21 R 1 + R t,20 ) = 20 4 584 + 2.3 10 4 + 584 + 2.3) 584 10 4 + 584 Rt,20 E ) R 1 + R t,20 R 3 R 1 + R 3 = 4.11 mv/ C 22) ) - 11 -
9. a. Spänningen till förstärkarens plusingång är E/2. Alltså är även spänningen vid minusingången E/2. Strömmen genom R t är samma som genom R 3 vilket ger matningsspänningen som krävs för att få en ström på 1mA genom R t E 2 = R 3 I E = 2 R 3 I = 2 500Ω 1mA = 1V b. Givarens resistans ges av: R t = R 0 1 + α 0 T ) där α 0 = 0.00429 och R 0 = 500Ω Resistansändring / C: R 0 α 0 1 = 500Ω 0.00429 = 2.145Ω/ C Utsignalen från förstärkaren är: U = E 2 R ti Bryggan är balanserad vid 0 C vilket betyder att utsignalen vid 1 C ger känsligheten: U = 1 2 500 + 2.145)Ω 1mA = 2.145mV/ C - 12 -