LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 1, 2016-04-01 OCH ÖVNING 2, 2016-04-04 SAMT INFÖR ÖVNING 3 Övningarnas mål: Du ska förstå grundläggande begrepp om sannolikheter och händelser: komplementhändelse, additionssatsen och oberoende, förstå begreppet betingad sannolikhet och använda det i beräkningar. De övningsuppgifter som ni ska arbeta med i kursen hämtas från två håll: Uppgifter från kursens studiematerial som nås i digital form via kurshemsidan. Du kan också beställa materialet i tryckt form. För att träna på grundläggande begrepp är en rad uppgifter utarbetade, de kommer i ett senare skede att finnas i digital form men presenteras i denna kursomgång i pappersformat. De Digitala uppgifterna till dagens moment finner du bifogat till detta blad. De uppgifter som du ska arbeta med betecknas nedan Dig-xx. 1 Det viktigaste under första övningen är de sannolikhetslagar som finns beskrivna i avsnitt 3.4. Läs om additionssatsen på s.58 och studera exempel 3.11. Gör uppgifterna Dig1 och Dig2 på bifogat blad och uppgift 2.3 (tobak/snus) i studiematerialet. Illustrera gärna uppgiften grafiskt m.h.a. ett Venndiagram. 2 Begreppet oberoende är viktigt två händelser är oberoende om de inte påverkar varandra. Den matematiska definitionen av oberoende anges på s.62, studera den och det efterföljande exemplet 3.14. Gör uppgifterna 2.4 (diabetes) och 2.18 (a) (operationskomplikation) i studiematerialet. 3 Ibland vet man att en viss händelse B har skett, vad är då sannolikheten för att A också kommer att ske? Man är då intresserad av den betingade sannolikheten för A givet B. Studera definitionen på s.60 och efterföljande exempel 3.12. Gör uppgift 2.23 (kärlsjuka) i studiematerialet och Dig5. Gör även uppgift 2.24 om du hinner. 4 Ibland känner man den betingade sannolikheten P(A B) men vill ha den omvända betingade sannolikheten P(B A). Studera den inringade Bayes sats på s 63 för att se hur detta kan hanteras. Gör Dig4. 5 Om du hinner: Gör uppgift 2.8 (utsläpp i dal) för att träna mer på de grundläggande sannolikhetsreglerna. 6 Betingade sannolikheter är användbara bl.a. då man studerar tillförlitligheten av diagnostiska test som används för att avgöra om en patient har en viss sjukdom. Gör uppgift 2.34 och identifiera följande begrepp: Sjukdomens prevalens, d.v.s. sannolikheten att en person har sjukdomen Testets sensitivitet, d.v.s. sannolikheten att en sjuk person klassas som sjuk Testets positive predictive value, d.v.s. sannolikheten att en person som klassas sjuk verkligen är sjuk. 7 Bayes sats (Bayes regel kallas den ibland) ser knepig ut men är användbar som i det intressanta exemplet 3.16. Studera det, och gör sedan uppgift 2.41. Du kan se lösningen till uppgift 2.41 (en uppgift med samma frågeställning) presenteras på en skärminspelning som du finner via kurshemsidan. Om du vill träna mer på detta avsnitt eller när du repeterar är följande uppgifter lämpliga att titta på: 2.5, 2.15, 2.27, och 2.33 i studiematerialet. På baksidan finns Inför övning 3.
Biostatistisk grundkurs, VT-16, VT2 2 Inför övning 3 (2016-04-06): Aktuella avsnitt i boken är 4.1 och 4.2 A Läs avsnitt 4.1 och observera skillnaden mellan slumpvariablerna X i de två exemplen: I exempel 4.1 är X en diskret slumpvariabel eftersom den antar ett ändligt (eller numrerbart) antal värden (i detta fall enbart heltalen 0 eller 1). I exempel 4.2 däremot kan X anta oändligt många värden (vikter) X är då en kontinuerlig slumpvariabel. B I avsnitten 4.2.1 4.2.5 presenteras en rad viktiga begrepp koncentrera dig vid en första genomläsning på att förstå sannolikhetsfunktion och väntevärde för en diskret slumpvariabel. C Avsnitten 4.2.6 4.2.9 behandlar några speciella standardfördelningar d.v.s. matematiska modeller som man av erfarenhet vet är användbara i olika sammanhang för att beskriva slumpmässiga fenomen. Vi kommer att främst koncentrera oss på binomialfördelningen och poissonfördelningen. DIGITALA UPPGIFTER, grundläggande sannolikhetsteori 1. Låt A vara händelsen att en person är rökare och B att personen har diabetes. Markera i Venndiagrammet (FIGUR!) (a) händelsen att personen är både rökare och har diabetes (b) händelsen att personen är rökare men har inte diabetes (c) händelsen att personen varken är rökare eller har diabetes 2. I en population är 20 % rökare och 10 % har diabetes. 5 % är både rökare och har diabetes. Beräkna sannolikheten att en slumpmässigt utvald person (a) har minst en av egenskaperna rökare och diabetiker (b) är rökare men inte diabetiker (c) varken är rökare eller diabetiker 3. I en population är 20 % rökare och 10 % har diabetes. 5 % är både rökare och har diabetes. Beräkna sannolikheten att (a) en diabetiker är rökare (b) en rökare är diabetiker 4. Ett system innehåller två komponenter A och B. A går sönder med sannolikheten 0.1 och B med sannolikheten 0.2. Dessutom vet man att om A redan är trasig är sannolikheten 0.4 att B också går sönder. Vad är
Biostatistisk grundkurs, VT-16, VT2 3 (b) P(A B), dvs sannolikheten att båda komponenterna är trasiga (c) P(A B), dvs sannolikheten att då B är trasig, A också går sönder 5. Avgör om följande påstående är sanna eller falska: (a) Att händelserna A och B är oberoende är identiskt med att P(B A)= (b) Att händelserna A och B är oberoende är identiskt med att P(B A)= 6. Ett experiment lyckas med sannolikheten 0.9. Du utför tre experiment som lyckas oberoende av varandra. Vad är sannolikheten (a) första experimentet misslyckas (b) det första experimentet misslyckas men de två övriga lyckas (c) precis ett experiment av de tre misslyckas (d) det tredje misslyckas då man vet att de två första lyckats 7. I en studentpopulation är 55 % kvinnor. Av dessa har 20 % ett extraknäck bredvid studierna medan motsvarande siffra för männen är 15 %. (FIGUR!) (a) Om K står för kvinna och E för extraknäck, hur kan då sannolikheten 20 % i texten ovan tecknas? Är det i. P(K E) ii. P(E K) iii. P(E K) (b) Markera i figuren händelsen att en slumpmässigt utvald person är kvinna och har extraknäck (c) Beräkna sannolikheten att en slumpmässigt utvald person är kvinna och har extraknäck (d) Markera i figuren händelsen att en slumpmässigt utvald person är man och har extraknäck (e) Beräkna sannolikheten att en slumpmässigt utvald person är man och har extraknäck (f) Beräkna sannolikheten att en slumpmässigt utvald person har extraknäck 8. I ett land är sannolikheten att som turist bli magsjuk 1 %. Antag att en person turistar i landet vid 20 tillfällen. (a) Vad är sannolikheten att personen inte smittas vid ett tillfälle (b) Vad är sannolikheten att personen inte smittas vid något av de 20 tillfällena? (c) Vad är sannolikheten att personen smittas vid minst ett av de 20 tillfällena? 9. Av de bosatta i en stad är 20 % studenter och 2 % av dessa är bilägare. Bland icke-studenterna i staden är däremot 55 % bilägare. Vad är sannolikheten att (a) en slumpmässigt vald person är bilägare (b) en slumpmässigt vald bilägare är student
Biostatistisk grundkurs, VT-16, VT2 4 LÖSNINGAR till digitala frågor 1. (a) Den area i figuren som är vågrätt streckad visar A B (b) Den area i figuren som är snedställt streckad visar A B (c) Den area i figuren som är är utanför ringarna visar A B =(A B) 2. Låt A = en slumpmässigt vald person är rökare och B = en slumpmässigt vald person är diabetiker. Då gäller =0.2, =0.1 och P(A B)=0.05. (a) P(A B)=+-P(A B)=0.2+0.1-0.05=0.25 (b) P(A B )=-P(A B)=0.20-0.05=0.15 (c) P((A B) )=1-P(A B)=1-0.25=0.75 3. Låt A = en slumpmässigt vald person är rökare och B = en slumpmässigt vald person är diabetiker. Då gäller =0.2, =0.1 och P(A B)=0.05. 4. (a) P(en diabetiker är rökare)=p(a B)= P(A B) = 0.05 0.1 =0.5 (b) P(en rökare är diabetiker)=p(b A)= P(A B) = 0.05 0.2 =0.25 LÖSNING: Låt A = komponent A är trasig, B = komponent B är trasig. Då gäller =0.1, =0.2, P(B A)=0.4. (a) P(B A)=0.4 enligt uppgiftstexten (b) P(A B)= P(B A)=0.1 0.4=0.04 (c) P(A B)= P(A B) = P(B A) = 0.1 0.4 0.2 = 0.2 5. (a) Sant, om händelserna A och B är oberoende gäller att P(B A)= P(B A) = =. Om A och B är oberoende påverkas händelsen B inte av om händelsen A inträffat eller inte inträffat. (b) Falskt. 6. Låt A i =försök nr i lyckas. Då gäller P(A i )=0.9. (a) P(A 1 )=1-P(A 1)=1-0.9=0.1 (b) P(A 1 A 2 A 3 )=P(A 1 ) P(A 2) P(A 3 ) = 0.1 0.9 0.9 = 0.081 (c) P(precis ett misslyckas)=p(a 1 A 2 A 3 )+P(A 1 A 2 A 3)+P(A 1 A 2 A 3 ) = 0.1 0.9 0.9 + 0.9 0.1 0.9 + 0.9 0.9 0.1 = 3 0.081 = 0.243 7. (a) Rätt alternativ är P(E K)
Biostatistisk grundkurs, VT-16, VT2 5 (d) I figuren markeras händelsen E K (e) P(E K ) = P(K ) P(E K ) = (1 0.55) 0.15 = 0.0675 (f) P(E)=P(E K ) + P(E K ) = P(K ) P(E K ) + P(K ) P(E K ) = 0.55 0.2 + (1 0.55) 0.15 = 0.11 + 0.0675 = 0.1775 8. (a) P(personen smittas ej vid ett tillfälle)=1-0.01=0.99 (b) P(personen smittas ej vid något av de 20 tillfällena)=p(smittas ej vid tillfälle 1 smittas ej vid tillfälle 2... smittas ej vid tillfälle 20)=P(smittas ej vid tillfälle 1) P(smittas ej vid tillfälle 2)... P(smittas ej vid tillfälle 20)=0.99... 0.99=0.99 20 =0.8179 (c) P(personen smittas vid minst ett av de 20 tillfällena)=1-p(smittas ej vid något av de 20 tillfällena)=1-0.8179=0.1821 9. Låt S=student och B=bilägare. Då gäller P(S)=0.2, P(S )=1-0.2=0.8, P(B S)=0.02 och P(B S )=0.55 (a) =P(B S) + P(B S ) = P(S) P(B S) + P(S ) P(B S ) = 0.2 0.02 + 0.8 0.55 = 0.444 (b) P(S B) = P(B S) = P(S) P(B S) = 0.2 0.02 0.444 = 0.004 0.444 = 0.009