Variansjämförelse av excess-of-loss-kontrakt med och utan aggregerat självbehåll

Matematis statisti Stocholms universitet Variansjämförelse av excess-of-loss-ontrat med och utan aggregerat självbehåll Sabina Jusupovic Examensarbete 003:9

Postadress: Matematis statisti Matematisa institutionen Stocholms universitet 06 9 Stocholm Sverige Internet: http://www.math.su.se/matstat

Matematis statisti Stocholms universitet Examensarbete 003:9, http://www.math.su.se/matstat Variansjämförelse av excess-of-loss-ontrat med och utan aggregerat självbehåll Sabina Jusupovic November 003 Abstract The aim of this wor is to compare the variance of the loss claim amount caused by two different reinsurance contracts, given that they have the same expected value. The reinsurance contracts considered are ordinary excess of loss and excess of loss with aggregate retention. A parametric distribution is fitted to observed claim amounts from the Swedish insurance company Trygg-Hansa. The distributions taen into consideration are Pareto and lognormal and parameter estimation is made by the maximum lielihood method and the method of moments. Sammanfattning Den här rapporten är resultatet av en studie som jag utfört vid Trygg-Hansa. Målet har varit att jämföra effeten av olia typer av återförsäringslösningar inom sadeförsäring. Jämförelsen går ut på att undersöa hur sadeostnadens varians påveras av valet av återförsäringsontrat, givet att de har samma väntevärde. De två ontrat som analyseras är ett vanligt excess of loss ontrat och ett excess of loss ontrat med aggregerat självbehåll. För att unna göra jämförelsen bestämdes en parametris fördelning för sadebeloppen inom återförsäring, vilen sedan användes för att beräna den förväntade ostnaden och variansen. Fördelningar som betratas är Pareto- och lognormalfördelning. Parametersattningar görs med ML- och momentmetoden. Uppgiften är utförd utifrån önsemål från Trygg-Hansa och de står för saderegisterdata. E-post: sabina005@hotmail.com. Handledare: Esbjörn Ohlsson.

Innehållsförtecning Sammannfattning... Innehållsförtecning... Förord... 3 Företagsfata... 3 Introdution... 4 Återförsäring... 5. Allmänt om återförsäring... 5. Kortfattad projetbesrivning... 7.. Inflation... 7.. Excess of loss med och utan aggregat... 8 3 Statistis modell... 3. Parametersattningar... 3. Val av fördelning för antalet sador... 3.3 Val av fördelning för sadeostnad... 3.4 Kriterier vid val av sadeostnadsfördelning... 4 Simulering...4 4. Slumptalsgenerering... 4 4. Fördelning för den totala ostnaden... 5 5 Resultat...6 5. Civilförsäring... 6 5.. Jämförelse mellan fördelningar... 7 5.. Resultat av chi- och Kolmogorov-Smirnovs teststatistian... 0 5..3 Kontroll av simuleringens noggrannhet... 5..4 Jämförelse mellan standardavvielse i excess of loss med aggregerat och excess loss återförsäring 5. Företagsförsäring... 5 5.. Jämförelse mellan fördelningar... 6 5.. Resultat av chi- och Kolmogorov-Smirnovs teststatistian... 9 5..3 Kontroll av simuleringens noggrannhet... 9 5..4 Jämförelse mellan standardavvielse i excess of loss med aggregerat och excess of loss återförsäring... 30 5.3 Kasoförsäring... 33 5.3. Jämförelse mellan fördelningar... 34 5.3. Resultat av chi- och Kolmogorov-Smirnovs teststatistian... 36 5.3.3 Kontroll av simuleringens noggrannhet... 36 5.3.4 Jämförelse mellan standardavvielse i excess of loss med aggregerat och excess of loss återförsäring... 37 6 Slutsats... 40 7 Referenser... 4 Appendix... 43

Förord Detta arbete utgör ett 0 poängs examensarbete vid Stocholms Universitet, i matematis statisti. Studien har genomförts på försäringsbolaget Trygg-Hansa. Jag sulle vilja taca alla som hjälpt mig under arbetet med denna uppsats. Förs och främst vill jag taca min handledare på Trygg-Hansa, Eri Hevreng, samt Roland Svens och Anders Lindstöm, atuarier på Trygg-Hansa. Jag har haft stor glädje och nytta av att samarbeta med Er. Ett speciellt tac vill jag säga till min handledare på Stocholms Universitet, Esbjörn Ohlsson för allt stöd och för all värdefull hjälp. Företagsfata Trygg-Hansa är ett av de ledande sadeförsäringsbolagen i Sverige med.8 miljoner under. Företaget finns idag på 34 orter och har ca 600 anställda. Bolaget erbjuder ett heltäcande sortiment av saförsäringar till privatpersoner och företag. Trygg-Hansa startades 88 men då under namnet Städernas Allmänna Brandstodsbolag. Fram till 970-talet var företaget med om ett 30-tal fusioner och namnet ändrades ett flertal gånger. 97 fic bolaget det namnet som fortfarande används. Sedan otober 999 ingår Trygg-Hansa i den dansa försäringsoncernen Codan, vilen i sin tur ägs av Royal & Sun Alliance, som är ett av världens största försäringsbolag. 3

Introdution Trygg-Hansa behöver unna uppsatta hur många sador, över en viss nivå, som ommer att inträffa under ett år, samt deras ostnad. Genom att beräna den förväntade ostnaden väljer bolaget om det sa behöva öpa återförsäring samt vilen typ av återförsäringssydd som passar bäst för dem. Syfte med detta arbete är att ge vägledning vid utvärdering av olia återförsäringsalternativ genom att jämföra effeten av olia typer av återförsäringslösningar. Uppgiften är att jämföra ett vanligt excess of loss ontrat med ett excess of loss ontrat med aggregerat självbehåll ur varianssynpunt. Jämförelsen går ut på att undersöa hur den totala sadeostnadens varians påveras av utformningen av de olia ontraten vid samma väntevärde. Genom att utnyttja information från sador som inträffade under tiden 995-00 försöte vi göra en bedömning om sadeostnaden för återförsäringsbolaget. Datamaterialet som vi använde var observationer av sadeostnad som inträffade under perioden 995-00. Varje observation i datamaterialet är den sadeostnad som återförsäringsbolaget betalar. Data som använts an delas upp enligt Ansvar Trafi Olycsfall Egendom Där ansvar är ansvarsdelen från företagsförsäring och ansvarsmomentet i boendeförsäringar, olycsfall är individuellt tecnade sju & olycsfallsförsäringar och trafiförsäring är trafimomentet i motorförsäring. Slutligen är egendom all övrig civil- hem, villa, villahem, fritidshus, fastighet..., motoraso och företagsförsäring. Uppgiften sa oncentreras på egendom. Sadegrenarna civil, företag och aso ommer att analyseras var för sig. För analysen används SAS samt Microsoft Excel. Rapporten är sriven i Microsoft Word. 4

Återförsäring. Allmänt om återförsäring Detta avsnitt bygger på Gustafsson [6]. Försäringsbranschen har drabbats hårt av reordmånga naturatastrofer under 990-talet. Förluster som har orsaats av sådana sador överstiger ofta försäringsbolagens apacitet. För att förhindra detta samt att utjämna resultatet väljer ofta försäringsbolag att sälja bort bitar av stora riser man eonomist bedömer sig inte vilja eller unna ta till en annan försäringsgivare. Reassurans eller återförsäring är i princip försäring i ytterligare ett led och går ut på att ett försäringsbolag, som i detta sammanhang allas cedent, överför en större eller mindre del av en försärad ris, eller en samling försärade riser, på en eller flera återförsärare mot en återförsäringspremie. Från den ursprunglige försäringstagarens synpunt ser ingen förändring, hans försäringsgivare står för hela det ansvar som försäringsavtalet innebär. Återförsäringen uppstod ursprungligen ur transportförsäringen någon gång på 300-talet och ordet återförsära dyer då för första gången upp i Florens. Återförsäring är till sin aratär start internationell. Genom återförsäringsförfarandet sprids de stora riserna över hela värden. Nordameria och Västeuropa dominerar den globala återförsäringsmarnaden. Återförsäringen har två huvuduppgifter:. Att sydda det ensilda bolaget mot atastrofsador. Att utjämna det ensilda bolagets årliga affärsresultat Definitionsmässigt an återförsäringen indelas i dels obligatoris och faultativ, dels proportionell och ice proportionell återförsäring. Med obligatorist menas återförsäring som avtalats på förhand med bindande veran för båda parter medan faultativ innebär att varje ris eller försäring återförsäras individuellt 5

och ingen av parterna är i förväg bunden av något avtal. I modern återförsäring tillämpas den faultativa typen endast för mycet stora och omplicerade riser. Med proportionell återförsäring menas att återförsäraren tar ansvaret för en viss andel av den ursprungliga försäringen, och erhåller en motsvarande del av premien som cedenten i sin tur erhåller från försäringstagaren. I en ice-proportionell återförsäring ansvarar återförsäraren för sadebelopp som överstiger en avtalad sadegräns, vilen an bestämmas per ris, per sadehändelse eller för en viss period. Fördelen med en ice-proportionell återförsäring är att cedenten lättare an förutsäga resultaten, eftersom han vet att han inte ommer att betala för sador som överstiger en viss gräns. Man an ombinera olia typer av återförsäring beroende på behovet och de omständigheter som föreommer. Ett självbehåll innebär att återförsäringsbolaget inte ersätter sador vilas ostnader understiger en viss gräns, den så allade excesspunten. Den proportionella återförsäringen an indelas i:. Kvotåterförsäring. Excedentåterförsäring Kvotåterförsäring innebär att alla försäringar delats enligt en given vot t ex 0 % självbehåll och 90 % återförsäring. Metoden innebär att även den minsta sada, som bolaget mycet väl sulle unna ta helt för egen del, återförsäras. Excedentåterförsäring är numera den vanligaste formen av proportionell obligatoris återförsäring. Sedan cedenten fastställt sitt självbehåll excesspunt på den individuella risen återförsäras det översjutande beloppet excedenten - automatist under excedentontratet inom ramen för dettas totala apacitet. Procentuellt an självbehållet därigenom variera från 00 % på de mindre riserna som alltså inte blir föremål för återförsäring ned till en eller ett par procent på de största riserna. 6

Den ice-proportionella återförsäringen an indelas i. Excess of loss. Stop loss Gemensamt för dem båda är att endast de sador som översrider en viss gräns betalas av återförsärarna. Småsador betalas i sin helhet av försäringsbolaget. Excess of loss är den vanliga formen av ice-proportionell återförsäring och an vara såväl obligatoris som faultativ. Excess of loss-återförsäring innebär att återförsärarens betalningsansvar inträder först när en individuell sada överstiger en på förhand avtalad gräns eller när det sammanlagda ersättningsbeloppet för sador som orsaats av en och samma sadehändelse överstiger en sådan gräns. Gränsen för återförsärarens inträde benämns excesspunt och omfattningen av syddet som oftast är beloppsbegränsat allas för cover. En excess of loss återförsäring byggs ofta upp på så sätt att det totala syddet spjälas upp i ett antal layers som staplas ovanpå varandra upp till en nivå som cedenten anser som betryggande sydd för varje tänbar sadehändelse. Sadebelopp som överstiger syddets övre gräns bruar allas spill over och faller diret tillbaa på cedentens självbehåll. Stop loss-återförsäring arbetar med det acumulerade sadeutfallet under en period. Den är alltid obligatoris och följatligen ontratsbunden. Återförsäraren ommer in i bilden då summan av alla sador passerar ett bestämt belopp under ett år, i övrigt fungerar det som excess of loss. Stopp loss-återförsäring är lämpligt inom områden där sadeutfallet växlar mycet mellan olia år. Exempel på detta är stormförsäringar. Val av återförsäringsmetod påveras av en mängd fatorer. I den här rapporten ommer vi endast att betrata excess of loss återförsäring.. Kortfattad projetbesrivning.. Inflation Eftersom datamaterialet spänner över en 7-årsperid under vilen penningvärdet ändrats behöver man orrigera sadeostnaderna med ett lämpligt prisindex till atuella dagsvärden. 7

Tidigare års sadeostnader ränas upp med KPI så att alla data är i penningvärdet som gällde år 00... Excess of loss med och utan aggregat Trygg-Hansa bestämmer sig för ett självbehåll c Mr i varje sada, och tecnar sydd med excesspunt c i MSK och obegränsad limit. Excess-of-loss-avtal fungerar så att återförsäringsbolaget för varje sada betalar den del av sadeostnaden som överstiger c i. Det ersättningsbelopp som är av intresse är den delen som återförsäringsbolaget betalar. På förslag av uppdragsgivaren ommer vi bara att räna med självbehåll i intervallet.00 Mr till 5.00 Mr. Datamaterialet från Trygg-Hansa innehåller bara de sador som är större än eller lia med c.00 Mr. Låt Z i betecna hela ostnaden för en sada. Dessa sadebelopp betratas som utfall av oberoende och liafördelade stoastisa variabler. Den del som översrider självbehållet c allar vi storsadeostnaden och betecnar betalar återförsäringsbolaget beloppet X i 0 Z i C om i om Z i < Ci Z i > Ci X i.om ersättningsbelopp uppgår till Z i ronor I pratien finns alltid en övre gräns limit för återförsäringssyddet. Denna sätts normalt så högt att risen för spillover sadebeloppen som översrider limiten är väldigt liten. För enelhets sull ränar vi i detta arbete utan någon limit. Återförsäringssyddet är oftast uppdelat på flera återförsärare som täcer olia s.. layers. Vi an bortse från detta eftersom vi betratar problemet ur Trygg-Hansas synvinel. Nästa steg är att försöa finna en fördelningsfuntion som passar bra till detta modifierade datamaterial. Fördelningen som anpassats gäller i intervallet [0,. Vi sa jämföra två olia återförsäringsontrat vad gäller deras varians vid givet väntevärde. Den första typen av återförsäringsontrat allas för excess of loss med aggregerad återförsäring medan den andra är vanlig excess of loss återförsäring. Excess of loss med 8

aggregerad återförsäring innebär att man betratar det totala sadebeloppet, T, över excesspunten. Återförsäraren betalar bara den delen, S, som översrider aggregatet a, dvs. 0 S T a om annars T < a För att unna jämföra ontraten ommer vi att välja a, givet excesspunterna C och C, så att deras väntevärde blir detsamma. Vi förlarar detta i ett exempel: Först bestäms ett självbehåll C för ontrat ett. Därefter beränas väntevärdet för den totala sadeostnaden. Sedan görs samma sa för ontrat två fast med ett nytt självbehåll C, som måste vara är större än C. Eftersom deras väntevärde sa vara samma så måste man med hjälp av numeris lösning bestämma ett aggregat så att detta rav blir uppfyllt. Om vi exempelvis har ett datamaterial som ser ut på följande sätt År Sadeostnad före återförsäring 3 000 000 6 000 000 000 000 500 000 3 000 000 3 500 000 4 000 000 4 4 000 000 5 500 000 5 3 000 000 5 000 000 Trygg-Hansa bestämmer att de sa stå för det första C 000 000 resp. C 500 000 ronor i varje sada, och tecnar sydd med excesspunt C resp. C. 9

År Sadeostnad som År Sadeostnad som återförsäringsbolag står för med C återförsäringsbolag står för med C 000 000 500 000 5 000 000 4 500 000 000 000 500 000 500 000 000 000 3 500 000 3 000 000 4 000 000 4 500 000 4 3 000 000 4 500 000 5 500 000 5 000 000 5 500 000 5 000 000 5 500 000 Väntevärde för den totala sadeostnaden i detta fall är: Väntevärde: 3 700 000 Väntevärde: 700 000 Ett aggregat bestäms så att Väntevärde Väntevärde. I detta fall blir aggregatet 000 000. Efter detta får man gå tillbaa till ontrat ett och införa det aggregerade värde som vi har fått. I så fall betalar återförsäringsbolaget följande: År Sadeostnad som återförsäringsbolag står för med C +aggregat 000 000 4 000 000 000 000 500 000 3 500 000 4 3 000 000 5 500 000 5 000 000 Därefter beränar man variansen för båda ontraten. Varianspåveran ommer att studeras vid dessa olia typer av ontrat. 0

3 Statistis modell 3. Parametersattningar Parametrarna till de olia fördelningarna sattas dels med maximum lielihood metoden MLmetoden och dels med momentmetoden. ML-metoden sattar parametrarna genom att lielihoodfuntionerna maximeras. Momentmetoden sattar parametrarna så att de första momenten för fördelningen överensstämmer med de sattade momenten för försäringstypen. 3. Val av fördelning för antalet sador En Poissonfördelning uppträder då händelser inträffar slumpmässigt i tiden, d.v.s. när händelserna är oberoende av varandra och an inträffa när som helst. Dessutom förutsätts det att händelserna inträffar med en onstant frevens så att λ händelser inträffar i genomsnitt per tidsenhet. Poissonfördelningen är allmänt använd inom försäringsbranschen, inte minst inom återförsäring. Vi antar att antalet sador, N, under en viss tidsperiod är Poissonfördelat. Sadefrevensen, λ, är medelvärdet av antalet sador som inträffat per år under 995-00 och som är över C.00 Mr. 3.3 Val av fördelning för sadeostnad Målet är att hitta en modell som passar data och som an användas för att beräna hur stor sadeostnad återförsäringsbolaget förväntas ha under ett år. Den totala ostnaden är summan av dessa sadeostnader. Karateristist för en fördelning för sadeförsäringsdata inom återförsäring är att den är sev och tjocsvansad. De fördelningar som är lämpade att använda för detta ändamål och som används mest för att modellera storleen på sadebeloppen inom återförsäringen är Pareto och lognormalfördelning. Man an säga att Pareto och lognormalfördelning är

farliga fördelningar, där mycet stora sador är möjliga. Anpassningen av dessa två fördelningar till den empirisa fördelningen har jämförts för varje sadegren. Not: Varför anpassa en parametris fördelning och inte använda den empirisa fördelningen? Nacdelen med den empirisa fördelningen är att sannoliheten, för att få en observation som är större än den största sadan, som har inträffat hittills, är lia med noll. Detta är väldigt olämpligt eftersom man vet att större sador än den hittills största mycet väl an inträffa och inom återförsäringen är man speciellt intresserad av just sannoliheten för sådana sador. Därför ommer vi att använda den empirisa fördelningen bara som hjälpmedel för att i den här rapporten unna avgöra vilen parametris fördelning som passar bäst. 3.4 Kriterier vid val av sadeostnadsfördelning Målsättningen är att hitta en fördelning som stämmer så bra överens med den empirisa fördelningen som möjligt. Ett bra sätt för att utesluta den fördelning som inte passar till data, är att räna ut den empirisa och parametrisa fördelningen för observationerna och plotta dem i samma diagram. Ju närmare de ligger varandra desto bättre passar den parametrisa fördelningen med givna data. För att få ytterligare ett mått på hur väl en fördelning passar den empirisa fördelningen ommer vi att studera Chi--statistian Lindgren [4] samt Kolmogorov-Smirnovs statistia Hjorth [5], sid.3. Testet görs här bara för att göra en jämförelse mellan olia modeller och för att få en bild på hur väl en fördelning passar och ej för att förasta en eventuell modell. Nacdelen med chi- testet är att indelningen av data i intervall blir godtyclig och på det sättet är resultatet inte entydigt. Det är därför vi även betratar ett avståndsmått som man definierar diret på den empirisa och den parametrisa fördelningsfuntionen. Kolmogorov-Smirnovs test går ut på att jämföra den empirisa fördelningsfuntionen Gx med motsvarande parametris fördelningsfuntion Fx. Dess test-statistia definieras enligt

D + och D sup x sup x D max D G x F x n F x G x +, D n 3

4 Simulering 4. Slumptalsgenerering Simulering ligger ofta till grund för prognoser. Med simulering menas att man besriver ett system eller förlopp med en matematis modell som vanligen realiseras i ett dataprogram. Eftersom en simuleringsmodell endast är en mer eller mindre bra approximation av verligheten an simulering aldrig helt ersätta verliga experiment. I detta fall ommer vi att simulera dels antalet sador och dels sadeostnader för dessa. Sadestorleen för dessa sador simuleras ensilt från den sattade sadefördelningen. Vid all stoastis simulering utgår man från slumptal. Slumptal som är oberoende och liformigt fördelade över 0, får vi med hjälp av SAS inbyggda slumptalsgenerator. För att erhålla andra fördelningar, använder vi den så allade Invers fördelningsfuntion metoden. Denna metod bygger på iattagelsen att vilen ontinuerlig fördelning X än har så blir fördelningsfuntionen värde i den dragna punten alltid U0,, och an därför genereras diret genom att dra ett slumptal U. Slumptalet X erhålles som det värde där F X U U är liformigt fördelad på 0, P U u u, 0 u Det gäller vidare att P X x P U F x F x Om F är inverterbar an vi alltså sätta X F U Ett Paretofördelat slumptal X an erhållas som X F U α * γ U se Hogg och Klugman [7] 4

Lognormal SAS har en algoritm för att generera normalfördelade slumptal, nämligen funtionen RANNOR som ger N 0,-fördelade slumptal. Om R är ett sådant slumptal så blir Y µ + σ * R ett N µ,σ - fördelat slumptal. Ett slumptal X som är lognormal fördelat med parametrarna µ och σ erhålles nu som X e µ + σ * R e Y 3 Ett slumptal som är Poissonfördelat med parameter λ får vi hjälp av funtion RANPOI. Ett års sador har simulerats 0 000 gånger 4. Fördelning för den totala ostnaden Modellen som vi ommer att använda här är den olletiva modellen, i vilen man bortser från vila försäringstagare som drabbas av sador och endast betratar följden av sador som drabbar sadegrenen. S är summan av ett stoastist antal stoastisa variabler och har en sammansatt fördelning. Som vi tidigare har sagt så betecnar N det totala antalet sador. N är Poissonfördelat med parameter λ. X i betecnar ersättningsbeloppet över C. I så fall ommer den totala ersättningen för sadegrenen att bli S N X i i Vidare antar vi att alla X i är oberoende, liafördelade stoastisa variabler med fördelningsfuntion F och att dessa är oberoende av den stoastisa variabel N. S är det totala beloppet som återförsäringsbolaget får betala ut för sadegrenen och den har en sammansatt Poissonfördelning. Vi använder betecningen S SaPo λ,f. 5

5 Resultat 5. Civilförsäring Totalt fanns det 54 observationer som ingic i analysen, vila har inträffat från 995 och fram till 3 december, 00. Den totala ostnaden under denna period var på 07 387 r. Tabell Resultat av parametersattningar ML-metodens sattningar via ML-evationerna Lognormal Pareto my.769 sigma.387 alfa 3 76 668 gamma 6.06 Momentmetodens sattningar Lognormal Pareto my.999 sigma.08 alfa 096 68 gamma 3.646 6

5.. Jämförelse mellan fördelningar, 0,8 0,6 empir log_ml 0,4 0, 0 9,E+03 3,E+04 8,E+04,E+05,E+05,E+05 3,E+05 4,E+05 5,E+05 6,E+05 9,E+05,E+06,E+06,E+06 Figur visar empiris och lognormal fördelning parametrar sattade med ML- metoden., 0,8 0,6 0,4 empir 0, log_mom 0 9,E+03 3,E+04 8,E+04,E+05,E+05,E+05 3,E+05 4,E+05 5,E+05 6,E+05 9,E+05,E+06,E+06,E+06 Figur visar empiris och lognormalfördelning med momentmetoden 7

, 0,8 0,6 empir 0,4 0, 0 pareto_ml 9,E+03 3,E+04 8,E+04,E+05,E+05,E+05 3,E+05 4,E+05 5,E+05 6,E+05 9,E+05,E+06,E+06,E+06 Figur 3 visar empiris fördelning och Paretofördelning med ML-metoden., 0,8 0,6 empir 0,4 0, 0 pareto_mom 9,E+03 3,E+04 8,E+04,E+05,E+05,E+05 3,E+05 4,E+05 5,E+05 6,E+05 9,E+05,E+06,E+06,E+06 Figur 4 visar empiris fördelning och Paretofördelning med momentmetoden. 8

Val av fördelning Figurer och 3 visar att det inte är helt självlart vilen fördelning som har den bästa anpassningen. Speciellt när det gäller fördelningen för de sador vars sadeostnad överstiger två miljoner var det lite svårt att bedöma vilen fördelning som passar bäst eftersom Pareto och lognormalfördelning följer varandra och den empirisa rör sig runt dessa två. Däremot ser man diret att lognormal med momentmetoden gav den sämsta anpassningen. För att unna bedöma med hjälp av grafer vilen fördelning som passar bäst har vi indelat sadeostnaden i följande intervall: 0 till.00 Mr,.00 Mr till 0.00 Mr. 0,8 0,6 log_ml 0,4 0, empir pareto_ml 0 9,E+03 3,E+04 6,E+04,E+05,E+05,E+05 3,E+05 4,E+05 4,E+05 5,E+05 6,E+05 9,E+05 Figur 5 visar den empirisa samt lognormal och Pareto fördelningen med parametrar sattade med ML-metoden för sadeostnad <.00 Mr. 9

pareto_ml 0,9 log_ml 0,8 0,7 empir,0e+6,e+6,e+6,5e+6,8e+6,0e+6,4e+6 4,E+6 Figur 6 visar den empirisa samt lognormal och Pareto fördelningen med parametrar sattade med ML-metoden för sadeostnad >.00 Mr. 5.. Resultat av chi- och Kolmogorov-Smirnovs teststatistian Q_statistia K_S_statistia Lognormal ML-metoden 8.69 0.039 Lognormal momentmetoden 78.609 0.0 Pareto ML-metoden 6.586 0.057 Pareto momentmetoden 3.383 0.08 Slutsats Valet av fördelningen utifrån ovanstående grafer är lognormalfördelning med parametrar sattade med ML-metoden för sador vars sadeostnad ligger i intervallet 0 till.00 Mr. Det är den fördelning som stämmer bäst med den empirisa fördelningen. När det gäller fördelningen för de sador vars sadeostnad överstiger.00 Mr var det lite svårt att bedöma vilen fördelning passar bäst eftersom både Pareto och lognormalfördelning följer varandra och den empirisa rör sig runt dessa två. Valet blir lognormalfördelning med ML metoden då den fördelningen ligger närmare i de flesta fall. Lognormalfördelning med parametrarna sattade med momentmetoden ger sämsta anpassning. 0

5..3 Kontroll av simuleringens noggrannhet För att ontrollera simuleringens noggrannhet jämför vi dess väntevärde och standardavvielse för s med de exata analytisa värdena enligt A5. Log_ML Log_mom Approx. Simulerade Approx. Simulerade Sevhet 0.09 0.46 Väntevärde 0 09 30 0 7 377 7 43 055 7 537 57 Standardavvielse 75 943 654 94 6 663 877 6 604 996 Pareto_ML Pareto_mom Approx. Simulerade Approx. Simulerade Sevhet 0.43 0.46 Väntevärde 6 96 503 6 7 35 7 43 09 7 554 94 Standardavvielse 5 45 500 5 44 468 6 663 896 6 675 363 Tabell 3 jämförelse av den totala sadeostnaden Överensstämmelsen är ritigt bra.

5..4 Jämförelse mellan standardavvielse i excess of loss med aggregerat och excess loss återförsäring Där: C är ett självbehåll för excess of loss med aggregerad återförsäring C är ett självbehåll för excess of loss återförsäring µ är väntevärde för den totala sadeostnaden för excess of loss återförsäring σ är standardavvielse för den totala sadeostnaden för excess of loss återförsäring µ _ agg är väntevärde för den totala sadeostnaden för excess of loss med aggregerat självbehåll σ _ agg är standardavvielse för den totala sadeostnaden för excess of loss med aggregerat självbehåll Lognormalfördelning med parametrar sattade med ML-metoden C C µ σ µ_agg σ_agg aggregat σ_agg/σ,00,50 34754 069585 34754 9597 7040740,063,00 986080 007966 986080 09 060586,09,50 786087 96677 786087 065645 30394,03 3,00 649746 9475 649746 0043 5066547,04 3,50 550730 8908664 550730 980933 67707,0 4,00 47449 8658 47449 94468 876604,097 4,50 44070 8343946 44070 9006 9494044,09 5,00 3659534 80466 3659534 8786498 0695948,084 Tabell 4 Självbehåll, väntevärde, standardavvielse samt voten mellan de två återförsäringsontrarater. 000000 σ _ agg och σ för σ_αγγ 0000000 σ 8000000,50,00,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 Figur 7 visar standaravvielsen för de två återförsäringsontrat då C. 00 Mr.

C C µ σ µ_agg σ_agg aggregat σ_agg/σ,50,00 986080 007966 986080 053935 3374474,046,50 786087 96677 786087 0900 567394,069 3,00 649746 9475 649746 997064 74990,079 3,50 550730 8908664 550730 9639785 903498,08 4,00 47449 8658 47449 936088 039335,087 4,50 44070 8343946 44070 90056 63753,079 5,00 3659534 80466 3659534 878730 7764,076,00,50 786087 96677 786087 9965903 3508,035 3,00 649746 9475 649746 9737008 386660,054 3,50 550730 8908664 550730 946450 55908,06 4,00 47449 8658 47449 9898 657653,066 4,50 44070 8343946 44070 890040 7704594,067 5,00 3659534 80466 3659534 8635840 878336,066,50 3,00 649746 9475 649746 9495600 5498,07 3,50 550730 8908664 550730 98464 87089,04 4,00 47449 8658 47449 904504 4067759,050 4,50 44070 8343946 44070 8789405 577096,053 5,00 3659534 80466 3659534 854389 605397,054 3,00 3,50 550730 8908664 550730 909836 7946,0 4,00 47449 8658 47449 890857 353,034 4,50 44070 8343946 44070 8679490 3368668,040 5,00 3659534 80466 3659534 8455679 43495,043 3,50 4,00 47449 8658 47449 876038 07537,07 4,50 44070 8343946 44070 85774 98797,07 5,00 3659534 80466 3659534 8370647 9088,033 4,00 4,50 44070 8343946 44070 8459853 89445,04 5,00 3659534 80466 3659534 884 757796,0 4,50 5,00 3659534 80466 3659534 890 804388,0 Tabell 5 Självbehåll, väntevärde, standardavvielse samt voten mellan aggregerad och vanlig standardavvielse för de två återförsäringsontrat med olia excesspunter 3

,0,00,080,060,040,00,000 C.00 C.50 C.00 C.50 C3.00 3 4 5 6 7 8 Figur 8 visar voten mellan standaravvielsen för de 5 först excesspunterna Slutsats Standardavvielsen för den aggregerade återförsäringsontrat är större än standardavvielsen för den vanliga återförsäringsontrat. Om vi öar C så avtar sillnaden mellan dem. Om man däremot öar C så är denna sillnad nästan onstant. 4

5. Företagsförsäring Data Från 995 och fram till 3 december inträffade 98 observationer som ingår i analysen. Deras ostnad uppgic till 483 884 339 r. Tabell 6 Resultat av parametersattningar ML-metodens sattningar via ML-evationerna Lognormal my 3.673 sigma.74 Pareto alfa 8 395 000 gamma 9.44 Momentmetodens sattningar Lognormal my 4.5 sigma.559 Pareto alfa 606 670 gamma.067 5

5.. Jämförelse mellan fördelningar 0,8 log_ml 0,6 0,4 0, empir 0,E+03 6,E+04,E+05 3,E+05 4,E+05 6,E+05,E+06,E+06,E+06,E+06 3,E+06 4,E+06 7,E+06,E+07 Figur 9 visar empiris och lognormal fördelning med parametrar sattade med ML- metoden., 0,8 0,6 0,4 empir 0, log_mom 0,E+03 6,E+04,E+05 3,E+05 4,E+05 6,E+05,E+06,E+06,E+06,E+06 3,E+06 4,E+06 7,E+06,E+07 Figur 0 visar empiris och lognormalfördelning med momentmetoden. 6

, 0,8 0,6 0,4 empir 0, pareto_ml 0,E+03 6,E+04,E+05 3,E+05 4,E+05 6,E+05,E+06,E+06,E+06,E+06 3,E+06 4,E+06 7,E+06,E+07 Figur visar empiris fördelning och paretofördelning med ML-metoden., 0,8 0,6 0,4 empir 0, 0 pareto_mom,e+03 6,E+04,E+05 3,E+05 4,E+05 6,E+05,E+06,E+06,E+06,E+06 3,E+06 4,E+06 7,E+06,E+07 Figur visar empiris fördelning och Paretofördelning med momentmetoden. Slutsats Pareto och lognormalfördelning med parametrar sattade med ML-metoden passar ungefär lia bra till data. För att se om det finns någon sillnad i olia intervall har ersättningsostnaden indelats i följande intervall: 0 till 3.00 Mr och 3.00 Mr till 35.00 Mr. 7

0,7 0,6 0,5 log_ml 0,4 0,3 empir 0, 0, pareto_ml 0,E+03 5,E+04,E+05,E+05 3,E+05 4,E+05 5,E+05 8,E+05,E+06,E+06,E+06,E+06 3,E+06 Figur 3 visar sadeostnad i intervallet 0 till 3.00 Mr. 0,9 pareto_ml empir 0,8 log_ml 0,7 3,E+06 3,E+06 4,E+06 4,E+06 4,E+06 5,E+06 5,E+06 6,E+06 7,E+06 8,E+06,E+07,E+07,E+07 Figur 4 visar sadeostnad i intervallet 3.00 Mr till 35 Mr. 8

5.. Resultat av chi- och Kolmogorov-Smirnovs teststatistian Q_statistia K_S_statistia Lognormal ML-metoden 3.54 0.067 Lognormal momentmetoden 93.0 0.97 Pareto ml-metoden 6.09 0.5 Pareto momentmetoden 34.347 0.074 Slutsats Valet av fördelningsfuntionen utifrån ovanstående resultaten är lognormalfördelning med parametrar sattade med ML-metoden för sador vars sadeostnad ligger i intervallet 0 till 3.00 Mr. När det gäller de sador vars sadeostnader överstiger tre miljoner så är det Pareto fördelningen som passar bäst. Den fördelningen som passar sämst är lognormal med momentmetoden. Det som var lite förvånande här är att Pareto med momentmetoden har ocså väldigt bra anpassning för sadeostnader som är mindre än 3.00 Mr. Vi väljer lognormalfördelning med ML-sattningar. 5..3 Kontroll av simuleringens noggrannhet Log_ML Log_mom Approx. Simulerade Approx. Simulerade Sevhet 0.3 0.7 Väntevärde 06 60 09 07 7 965 69 6 334 68 838 39 Standardavvielse 87 8 59 99 89 06 3 54 34 5 5 56 Pareto_ML Pareto_mom Approx. Simulerade Approx. Simulerade Sevhet 0. Går ej att räna ut Väntevärde 63 89 03 63 945 593 69 8 46 63 89 040 Standardavvielse 8 39 85 7 99 567 73 56 69 8 0 03 Tabell 7 jämförelse av den totala sadeostnaden 9

5..4 Jämförelse mellan standardavvielse i excess of loss med aggregerat och excess of loss återförsäring Lognormalfördelning med parametrar sattade med ML-metoden C C µ σ µ_agg σ_agg aggregat σ_agg/σ,00,50 9750079 9493588 9750079 95478585 08999,006,00 89896806 94443 89896806 95468984 870698,0,50 83390733 93979568 83390733 95433653 465309,05 3,00 794747 93539834 794747 9536563 9574987,00 3,50 75045078 93408 75045078 9565 3380578,03 4,00 7497440 97688 7497440 95377 37535807,06 4,50 6838005 93579 6838005 9495043 40884946,08 5,00 65597595 994804 65597595 94857607 4394480,03 Tabell 8 Självbehåll, väntevärde, standardavvielse samt voten mellan σ _ agg och σ för de två återförsäringsontrarater. 96000000 σ_αγγ 94000000 σ 9000000,50,00,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 Figur 5 visar standaravvielsen för de två återförsäringsontrat då C. 00 Mr. 30

C C µ σ µ_agg σ_agg aggregat σ_agg/σ,50,00 89896806 94443 89896806 9493473 764946,005,50 83390733 93979568 83390733 9499003 3537846,00 3,00 794747 93539834 794747 948775 849966,04 3,50 75045078 93408 75045078 94803860 6837,08 4,00 7497440 97688 7497440 9469566 6303,0 4,50 6838005 93579 6838005 9455466 96969,04 5,00 65597595 994804 65597595 94389794 363455,07,00,50 83390733 93979568 83390733 9443976 5909939,005 3,00 794747 93539834 794747 944965 0777079,009 3,50 75045078 93408 75045078 943745 493847,03 4,00 7497440 97688 7497440 949665 8587476,07 4,50 6838005 93579 6838005 94837 8554,00 5,00 65597595 994804 65597595 940403 483347,03,50 3,00 794747 93539834 794747 93973554 485035,005 3,50 75045078 93408 75045078 93946809 8985436,009 4,00 7497440 97688 7497440 938934 60708,03 4,50 6838005 93579 6838005 9380045 5837,06 5,00 65597595 994804 65597595 93697985 8770688,09 3,00 3,50 75045078 93408 75045078 93530930 4359,004 4,00 7497440 97688 7497440 9349845 770509,008 4,50 6838005 93579 6838005 9344040 0897684,0 5,00 65597595 994804 65597595 933535 38043,05 3,50 4,00 7497440 97688 7497440 9309387 35643,004 4,50 6838005 93579 6838005 930770 67343,008 5,00 65597595 994804 65597595 9300997 960039,0 4,00 4,50 6838005 93579 6838005 9698738 340687,004 5,00 65597595 994804 65597595 9657765 5979930,008 4,50 5,00 65597595 994804 65597595 9300838 86,004 Tabell 9 Självbehåll, väntevärde, standardavvielse samt voten mellan aggregerad och vanlig standardavvielse för de två återförsäringsontrat med olia excesspunter 3

,035,030,05,00,05,00,005,000 C.00 C.50 C.00 C.50 C3.00 3 4 5 6 7 8 Figur 6 visar voten mellan standaravvielsen för de 5 först excesspunterna Slutsats Standardavvielsen för det aggregerade återförsäringsontratet är lite större än standardavvielsen för vanlig excess of loss. Här är medelvärdet så stort att sillnaden mellan metoderna blir lite. Den öar med öande C. 3

5.3 Kasoförsäring Data Den totala antalet sador som ingår i analysen var 7 och deras ostnad uppgic till 6 r. Tabell 0 Resultat av parametersattningar Ml-metodens sattningar via Ml-evationerna Lognormal my.635 sigma 0.94 Pareto alfa 006 650 gamma.696 Momentmetodens sattningar Lognormal my.768 sigma 0.70 Pareto alfa 3 486 gamma.400 33

5.3. Jämförelse mellan fördelningar 0,8 0,6 0,4 empir 0, 0 log_ml 5,E+04 8,E+04 9,E+04,E+05,E+05,E+05 3,E+05 4,E+05 5,E+05 5,E+05 6,E+05 9,E+05,E+06,E+06 Figur 7 visar empiris och lognormal fördelning med parametrar sattade med ML- metoden. 0,8 0,6 0,4 empir 0, log_ml 0 5,E+04 8,E+04 9,E+04,E+05,E+05,E+05 3,E+05 4,E+05 5,E+05 5,E+05 6,E+05 9,E+05,E+06,E+06 Figur 8 Empiris och lognormalfördelning med momentmetoden 34

0,8 0,6 pareto_ml 0,4 0, empir 0 5,E+04 8,E+04 9,E+04,E+05,E+05,E+05 3,E+05 4,E+05 5,E+05 5,E+05 6,E+05 9,E+05,E+06,E+06 Figur 9 visar empiris fördelning och Paretofördelning med ML-metoden. 0,8 0,6 pareto_mom 0,4 empir 0, 0 5,E+04 8,E+04 9,E+04,E+05,E+05,E+05 3,E+05 4,E+05 5,E+05 5,E+05 6,E+05 9,E+05,E+06,E+06 Figur 0 visar empiris fördelning och Paretofördelning med momentmetoden. 35

5.3. Resultat av chi- och Kolmogorov-Smirnovs teststatistian Q_statistia K_S_statistia lognormal ML-metoden 9.7 0.090 lognormal momentmetoden 33.080 0.59 Pareto ML-metoden 7.89 0.07 Pareto momentmetoden.435 0.50 Chi- samt Komogorov-Smirnovs värdena i tabell visar att både lognormal och Pareto fördelningen med ML-metoden har bra anpassning i denna sadegren. Slutsats Efter att ha studerat plottarna står valet mellan Pareto och lognormalfördelning med MLmetoden. Eftersom det var lite svårt att bedöma tittade vi även på resultat av chi- och Kolmogorov-Smirnovs teststatistian. Lognormal fördelning med momentmetoden har ocså här det sämsta anpassning medan Paretofördelning med ML metoden passar bäst. 5.3.3 Kontroll av simuleringens noggrannhet Log_ML Log_mom Approx. Simulerade Approx. Simulerade Sevhet 0.594 0.496 Väntevärde 845 60 854 00 730 303 730 34 Standardavvielse 463 65 447 66 7 068 53 56 Pareto_ML Pareto_mom Approx. Simulerade Approx. Simulerade Sevhet Går ej att räna ut Går ej att räna ut Väntevärde 89 58 73845 888 48 876 65 Standardavvielse 573 670 457 557 96 99 033 404 Tabell jämförelse av den totala ersättningsostnaden. Överensstämmelse är ritigt bra. 36

5.3.4 Jämförelse mellan standardavvielse i excess of loss med aggregerat och excess of loss återförsäring Paretofördelning med parametrar sattade med ML-metoden C C µ σ µ_agg σ_agg aggregat σ_agg/σ,00,50 5966 944 5966 343398 485683,059,00 78470 996007 78470 09607 53068,050,50 494574 84506 494574 90944 3383738,037 3,00 363804 7565 363804 76636 434903,04 3,50 80443 63090 80443 650954 4835664,0 4,00 4057 55386 4057 55939 547906,004 4,50 8443 4870 8443 4890 607634,00 5,00 5505 49395 5505 49797 6690,000 Tabell Självbehåll, väntevärde, standardavvielse samt voten mellan σ _ agg och σ för de två återförsäringsontrarater. 500000 σ_αγγ 000000 500000 σ 000000,50,00,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 Figur visar standaravvielsen för de två återförsäringsontrat då C. 00 Mr. 37

C C µ σ µ_agg σ_agg aggregat σ_agg/σ,50,00 78470 996007 78470 045505 8470,05,50 494574 84506 494574 887673 58890,05 3,00 363804 7565 363804 758789 7450,09 3,50 80443 63090 80443 659769 93475,07 4,00 4057 55386 4057 56934 3540765,00 4,50 8443 4870 8443 499 4703,004 5,00 5505 49395 5505 430650 46953,00,00,50 494574 84506 494574 864 65438,0 3,00 363804 7565 363804 74708 8440,03 3,50 80443 63090 80443 648377 89585,00 4,00 4057 55386 4057 565798 479056,008 4,50 8443 4870 8443 490570 30595,00 5,00 5505 49395 5505 43936 36543,00,50 3,00 363804 7565 363804 734644 58796,005 3,50 80443 63090 80443 640 5638,006 4,00 4057 55386 4057 5640 7463,005 4,50 8443 4870 8443 49899 9306,003 5,00 5505 49395 5505 4309 84766,00 3,00 3,50 80443 63090 80443 63677 55009,003 4,00 4057 55386 4057 55935 0874,003 4,50 8443 4870 8443 490890 6549,003 5,00 5505 49395 5505 43698 9578,00 3,50 4,00 4057 55386 4057 55657 53748,00 4,50 8443 4870 8443 4900 07679,00 5,00 5505 49395 5505 4385 60849,00 4,00 4,50 8443 4870 8443 488690 5855,00 5,00 5505 49395 5505 4370 053493,00 4,50 5,00 5505 49395 5505 430395 58694,00 Tabell 3 Självbehåll, väntevärde, standardavvielse samt voten mellan aggregerad och vanlig standardavvielse för de två återförsäringsontrat med olia excesspunter 38

,05,04,03 C.00 C.50,0,0,00 C.00 C.50 C 3.00 3 4 5 6 7 8 Figur visar voten mellan standaravvielsen för de 5 först excesspunterna Slutsats Standardavvielsen för det aggregerade återförsäringsontratet är nästan samma som standardavvielsen för det vanliga återförsäringsontratet. Sillnaden mellan metoderna avtar då man öar C. 39

6 Slutsats Målet med detta arbete har varit att jämföra effeten av olia typer av återförsäringslösningar inom sadeförsäring. Jämförelsen går ut på att undersöa hur sadeostnadens varians påveras av valet av ontrat, givet att väntevärdena hålls lia. För att unna göra jämförelsen bestämdes först en parametris fördelning för sadebeloppen inom återförsäring. De fördelningar som studerades var Pareto- och lognormalfördelning. Efter att ha studerat de två olia ontraten an man sammanfatta resultatet för de olia sadegrenarna som följer. Civilförsäring För denna sadegren visade lognormalfördelningen den bästa anpassningen till sadeostnaderna. Standardavvielsen för det aggregerade återförsäringsontratet är genomgående större än standardavvielsen för det vanliga excess of loss-ontratet. Om vi öar självbehållet i den förra metoden C så avtar sillnaden mellan dem. Om man däremot öar självbehållet i det vanliga ontratet C så är denna sillnad nästan onstant. Företagsförsäring Här passade lognormalfördelningen bäst för sadeostnader upp till 3.00 Mr, däröver är det Pareto-fördelningen som passar bäst. Standardavvielsen för det aggregerade återförsäringsontratet är återigen lite större än standardavvielsen för vanlig excess of loss. Här är medelvärdet så stort att sillnaden mellan metoderna blir liten. Sillnaden öar med öande C. Kasoförsäring Paretofördelning gav bäst anpassning till sadeostnaderna för denna sadegren. Standardavvielsen för det aggregerade ontratet är nästan densamma som standardavvielsen för det vanliga ontratet. Sillnaden mellan metoderna avtar då man öar C. 40

Den övergripande slutsatsen blir alltså att sillnaden i standardavvielse för de två ontraten är liten utom för civilförsäring. 4

7 Referenser [] Johansson, B. 997: Matematisa modeller inom saförsäring, Kompendium, Matematis Statisti, Stocholms Universitet [] Blom, G., Holmquist, B. 998: Statistiteori med tillämplingar, Studentlitteratur, Lund, tredje upplagan [3] Råde, L.987: Simulering, Studentlitteratur, Lund. [4] Lindgren, B. 997: Statistical Theory, Fourth edition [5] Hjorth, U. 998: Statistis slutledning i eonomi och teni, Studentlitteratur, Lund, tredje upplagan [6] Gustafsson, B. 993: Återförsäring i sadeförsäring, IFU, 5: e upplagan [7] Hogg, Robert V. och Stuart A. Klugman 984: Loss Distributions, Wiley 4

43 Appendix Sannolihetsfördelningar Nedan presenteras de sannolihetsfördelningar som har använts i denna rapport. A Lognormalfördelning,, σ µ LogN X Fördelnings- och täthetsfuntion för X 0 }, ln exp{ ln > Φ x x x x f x x F x σ µ πσ σ µ Väntevärde: σ µ+ e X E Varians : + σ σ µ e e X Var 3 3 5 9 3 + σ σ σ σ σ e e e e e X Sevhet Parametersattningar med momentmetoden log log ˆ log log ˆ x x s x s x + + σ µ Parametersattningar med maximum-lielihood-metoden n n x n x n ˆ log ˆ log ˆ µ σ µ

A Paretofördelningen, X Pa α, γ Fördelnings- och täthetsfuntion för X α F X α + x f x γα γ α + x, > 0 x γ + γ, x > 0 Väntevärde: α E X, γ > γ γα Varians : Var x, γ > γ γ γ Sevhet X * γ γ +, γ > 3. 5 γ γ 3 Parametersattningar med momentmetoden s + x αˆ x s x αˆ γˆ s x Fungerar ej om γ<. Ty variansen existerar inte då. Parametersattningar med maximum-lielihood-metoden αˆ löses numeris ur a αˆ och b αˆ γˆ n n n n a αˆ a αˆ αˆ αˆ + x αˆ log αˆ + x a ˆ α + b α ˆ där 44

A3 Empirisa fördelningen Den antagande vi utgår från är att vi observerar utfallen x,..., xn av n observationer på de oberoende stoastisa variablerna X,... X, alla med samma fördelningsfuntion F. n Den empirisa fördelningsfuntionen sattas som andelen observationer som är mindre än eller lia med x. D.v.s. Fˆ x : x x n A4 Poisson-fördelning, Poλ X, λ>0 λ! λ Sannolihetsfördelning: P X e, 0,,,... Väntevärde: E X λ Varians: Var X λ Sevhet X λ Parametersattningar med momentmetoden λˆ x Parametersattningar med maximum-lielihood-metoden λˆ x 45

46 A5 Fördelning för den totala ostnaden Ms, Mn, M betecnar de momentgenererande funtionerna för S, N respetive X som antas existera. Då gäller att [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. log 0 0 0 0 0 log 0...... 0 t M M N P e N P t M N P E e N P N P e E N P N P E e N P N P N E e N P N P N E e E e t M N t M i tx i tx X X t X X t ts ts S i i + + + + + + + + där Ψ är den umulantgenererande funtion som definieras av t t log M Ψ. Eftersom Ψ t t S λ i Poissonfallet blir den umulantgenererande funtion för S * Ψ Ψ Ψ Ψ t M e t T t N S λ λ Genom att derivera detta uttryc en, två, respetive tre gånger och sätta in t 0, erhåller vi följande relationer mellan umulanterna { } s j, { } N j och { } j för S, N och X :. 3,, 3 3 3 3 N N N S N N S N S + + +

47 Det följer att den j: te umulanten för S är [ ] [ ] [ ] * * * 0 * 0 α λ σ α λ µ α α λ λ Ψ S S S j j j S S j S Var S E X E där M