Geometri, talteori och kombinatorik Föreläsning 2: Primtal Eric Järpe C 2015 Eric Järpe MPE-lab ITE-akademin Högskolan i Halmstad January 14, 2015 Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 1 / 13
Primtal Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1 kallas primtal. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Exempel 7 är ett primtal för det det delas endast av sig självt och 1: 7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2. Exempel 8 är inte ett primtal eftersom 8 delas av 2 och 4. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 2 / 13
Primtal Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1 kallas primtal. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Exempel 7 är ett primtal för det det delas endast av sig självt och 1: 7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2. Exempel 8 är inte ett primtal eftersom 8 delas av 2 och 4. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 2 / 13
Primtal Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1 kallas primtal. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Exempel 7 är ett primtal för det det delas endast av sig självt och 1: 7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2. Exempel 8 är inte ett primtal eftersom 8 delas av 2 och 4. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 2 / 13
Primtal Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1 kallas primtal. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Exempel 7 är ett primtal för det det delas endast av sig självt och 1: 7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2. Exempel 8 är inte ett primtal eftersom 8 delas av 2 och 4. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 2 / 13
Primtal Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1 kallas primtal. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Exempel 7 är ett primtal för det det delas endast av sig självt och 1: 7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2. Exempel 8 är inte ett primtal eftersom 8 delas av 2 och 4. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 2 / 13
Primtal Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1 kallas primtal. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Exempel 7 är ett primtal för det det delas endast av sig självt och 1: 7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2. Exempel 8 är inte ett primtal eftersom 8 delas av 2 och 4. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 2 / 13
Primtal Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1 kallas primtal. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Exempel 7 är ett primtal för det det delas endast av sig självt och 1: 7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2. Exempel 8 är inte ett primtal eftersom 8 delas av 2 och 4. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 2 / 13
Primtal Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1 kallas primtal. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Exempel 7 är ett primtal för det det delas endast av sig självt och 1: 7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2. Exempel 8 är inte ett primtal eftersom 8 delas av 2 och 4. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 2 / 13
Primtal Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1 kallas primtal. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Exempel 7 är ett primtal för det det delas endast av sig självt och 1: 7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2. Exempel 8 är inte ett primtal eftersom 8 delas av 2 och 4. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 2 / 13
Primtal Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1 kallas primtal. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Exempel 7 är ett primtal för det det delas endast av sig självt och 1: 7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2. Exempel 8 är inte ett primtal eftersom 8 delas av 2 och 4. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 2 / 13
Primtal Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1 kallas primtal. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Exempel 7 är ett primtal för det det delas endast av sig självt och 1: 7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2. Exempel 8 är inte ett primtal eftersom 8 delas av 2 och 4. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 2 / 13
Primtal Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1 kallas primtal. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Exempel 7 är ett primtal för det det delas endast av sig självt och 1: 7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2. Exempel 8 är inte ett primtal eftersom 8 delas av 2 och 4. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 2 / 13
Primtal Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1 kallas primtal. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Exempel 7 är ett primtal för det det delas endast av sig självt och 1: 7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2. Exempel 8 är inte ett primtal eftersom 8 delas av 2 och 4. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 2 / 13
Primtal Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1 kallas primtal. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Exempel 7 är ett primtal för det det delas endast av sig självt och 1: 7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2. Exempel 8 är inte ett primtal eftersom 8 delas av 2 och 4. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 2 / 13
Primtal Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1 kallas primtal. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Exempel 7 är ett primtal för det det delas endast av sig självt och 1: 7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2. Exempel 8 är inte ett primtal eftersom 8 delas av 2 och 4. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 2 / 13
Primtal Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1 kallas primtal. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Exempel 7 är ett primtal för det det delas endast av sig självt och 1: 7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2. Exempel 8 är inte ett primtal eftersom 8 delas av 2 och 4. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 2 / 13
Primtal Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1 kallas primtal. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Exempel 7 är ett primtal för det det delas endast av sig självt och 1: 7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2. Exempel 8 är inte ett primtal eftersom 8 delas av 2 och 4. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 2 / 13
Primtal Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1 kallas primtal. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Exempel 7 är ett primtal för det det delas endast av sig självt och 1: 7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2. Exempel 8 är inte ett primtal eftersom 8 delas av 2 och 4. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 2 / 13
Primtal Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1 kallas primtal. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Exempel 7 är ett primtal för det det delas endast av sig självt och 1: 7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2. Exempel 8 är inte ett primtal eftersom 8 delas av 2 och 4. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 2 / 13
Primtal Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1 kallas primtal. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Exempel 7 är ett primtal för det det delas endast av sig självt och 1: 7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2. Exempel 8 är inte ett primtal eftersom 8 delas av 2 och 4. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 2 / 13
Primtal Tal som inte kan delas jämnt med något annat heltal utom sig självt och 1 kallas primtal. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Exempel 7 är ett primtal för det det delas endast av sig självt och 1: 7 ger rest 1 vid div med 6, 7 ger rest 2 vid div med 5, 7 ger rest 3 vid div med 4, 7 ger rest 1 vid div med 3, 7 ger rest 1 vid div med 2. Exempel 8 är inte ett primtal eftersom 8 delas av 2 och 4. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 2 / 13
Primtal Sats 5 Det finns oändligt många primtal. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 3 / 13
Primtalsbestämning Snabbast: AKS-algoritmen (2002). Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr). Eratosthenes såll Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal. 1. Beräkna det största heltalet n N. 2. Lista alla heltal 2, 3, 4,..., n. 3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal. Gå till 6. 4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan och kolla om k delar N. 5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6. Om nej: stryk alla multipler av k ur listan och gå till 3. 6. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 4 / 13
Primtalsbestämning Snabbast: AKS-algoritmen (2002). Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr). Eratosthenes såll Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal. 1. Beräkna det största heltalet n N. 2. Lista alla heltal 2, 3, 4,..., n. 3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal. Gå till 6. 4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan och kolla om k delar N. 5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6. Om nej: stryk alla multipler av k ur listan och gå till 3. 6. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 4 / 13
Primtalsbestämning Snabbast: AKS-algoritmen (2002). Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr). Eratosthenes såll Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal. 1. Beräkna det största heltalet n N. 2. Lista alla heltal 2, 3, 4,..., n. 3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal. Gå till 6. 4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan och kolla om k delar N. 5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6. Om nej: stryk alla multipler av k ur listan och gå till 3. 6. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 4 / 13
Primtalsbestämning Snabbast: AKS-algoritmen (2002). Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr). Eratosthenes såll Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal. 1. Beräkna det största heltalet n N. 2. Lista alla heltal 2, 3, 4,..., n. 3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal. Gå till 6. 4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan och kolla om k delar N. 5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6. Om nej: stryk alla multipler av k ur listan och gå till 3. 6. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 4 / 13
Primtalsbestämning Snabbast: AKS-algoritmen (2002). Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr). Eratosthenes såll Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal. 1. Beräkna det största heltalet n N. 2. Lista alla heltal 2, 3, 4,..., n. 3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal. Gå till 6. 4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan och kolla om k delar N. 5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6. Om nej: stryk alla multipler av k ur listan och gå till 3. 6. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 4 / 13
Primtalsbestämning Snabbast: AKS-algoritmen (2002). Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr). Eratosthenes såll Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal. 1. Beräkna det största heltalet n N. 2. Lista alla heltal 2, 3, 4,..., n. 3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal. Gå till 6. 4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan och kolla om k delar N. 5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6. Om nej: stryk alla multipler av k ur listan och gå till 3. 6. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 4 / 13
Primtalsbestämning Snabbast: AKS-algoritmen (2002). Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr). Eratosthenes såll Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal. 1. Beräkna det största heltalet n N. 2. Lista alla heltal 2, 3, 4,..., n. 3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal. Gå till 6. 4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan och kolla om k delar N. 5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6. Om nej: stryk alla multipler av k ur listan och gå till 3. 6. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 4 / 13
Primtalsbestämning Snabbast: AKS-algoritmen (2002). Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr). Eratosthenes såll Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal. 1. Beräkna det största heltalet n N. 2. Lista alla heltal 2, 3, 4,..., n. 3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal. Gå till 6. 4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan och kolla om k delar N. 5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6. Om nej: stryk alla multipler av k ur listan och gå till 3. 6. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 4 / 13
Primtalsbestämning Snabbast: AKS-algoritmen (2002). Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr). Eratosthenes såll Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal. 1. Beräkna det största heltalet n N. 2. Lista alla heltal 2, 3, 4,..., n. 3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal. Gå till 6. 4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan och kolla om k delar N. 5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6. Om nej: stryk alla multipler av k ur listan och gå till 3. 6. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 4 / 13
Primtalsbestämning Snabbast: AKS-algoritmen (2002). Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr). Eratosthenes såll Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal. 1. Beräkna det största heltalet n N. 2. Lista alla heltal 2, 3, 4,..., n. 3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal. Gå till 6. 4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan och kolla om k delar N. 5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6. Om nej: stryk alla multipler av k ur listan och gå till 3. 6. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 4 / 13
Primtalsbestämning Snabbast: AKS-algoritmen (2002). Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr). Eratosthenes såll Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal. 1. Beräkna det största heltalet n N. 2. Lista alla heltal 2, 3, 4,..., n. 3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal. Gå till 6. 4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan och kolla om k delar N. 5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6. Om nej: stryk alla multipler av k ur listan och gå till 3. 6. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 4 / 13
Primtalsbestämning Snabbast: AKS-algoritmen (2002). Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr). Eratosthenes såll Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal. 1. Beräkna det största heltalet n N. 2. Lista alla heltal 2, 3, 4,..., n. 3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal. Gå till 6. 4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan och kolla om k delar N. 5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6. Om nej: stryk alla multipler av k ur listan och gå till 3. 6. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 4 / 13
Primtalsbestämning Snabbast: AKS-algoritmen (2002). Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr). Eratosthenes såll Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal. 1. Beräkna det största heltalet n N. 2. Lista alla heltal 2, 3, 4,..., n. 3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal. Gå till 6. 4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan och kolla om k delar N. 5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6. Om nej: stryk alla multipler av k ur listan och gå till 3. 6. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 4 / 13
Primtalsbestämning Snabbast: AKS-algoritmen (2002). Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr). Eratosthenes såll Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal. 1. Beräkna det största heltalet n N. 2. Lista alla heltal 2, 3, 4,..., n. 3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal. Gå till 6. 4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan och kolla om k delar N. 5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6. Om nej: stryk alla multipler av k ur listan och gå till 3. 6. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 4 / 13
Primtalsbestämning Snabbast: AKS-algoritmen (2002). Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr). Eratosthenes såll Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal. 1. Beräkna det största heltalet n N. 2. Lista alla heltal 2, 3, 4,..., n. 3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal. Gå till 6. 4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan och kolla om k delar N. 5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6. Om nej: stryk alla multipler av k ur listan och gå till 3. 6. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 4 / 13
Primtalsbestämning Snabbast: AKS-algoritmen (2002). Fortfarande aktuell: Eratosthenes såll (200 f Kr). Eratosthenes såll Antag att vi vill avgöra om N är ett primtal. 1. Beräkna det största heltalet n N. 2. Lista alla heltal 2, 3, 4,..., n. 3. Om alla tal i listan så är strukna är N ett primtal. Gå till 6. 4. Låt k vara det minsta ostrukna talet ur listan och kolla om k delar N. 5. Om ja: då är N inte ett primtal. Gå till 6. Om nej: stryk alla multipler av k ur listan och gå till 3. 6. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 4 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Exempel Avgör om talet 199 är ett primtal. Lösning 1. Först n = [ 199] = 14. 2. Lista talen 2, 3,..., 14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. Alla tal ej strukna ännu. 4. Eftersom 2 är det lägsta ostrukna är k = 2. 5. Eftersom 199 är udda så delas 199 ej av 2 stryk alla multipler av 2. Gå till 3. 6. Fortfarande alla ej strukna. 7. k = 3 lägsta ostrukna. 8. 3 ej delare till 199 så stryk multipler av 3. osv med k = 5, 7, 11, 13. 11. Alla strukna Ja, 199 är ett primtal! 12. Terminera. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 5 / 13
Sammansatta tal Om ett tal inte är ett primtal kallas det sammansatt. Om a = bc kan a skrivas som produkten av b och c vilket innebär att a delas jämnt av b och c, varmed b och c kallas delare av a. Att b och c är delare till a kan skrivas b a och c a. Om b a och 1<b <a så kallas b äkta delare av a. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 6 / 13
Sammansatta tal Om ett tal inte är ett primtal kallas det sammansatt. Om a = bc kan a skrivas som produkten av b och c vilket innebär att a delas jämnt av b och c, varmed b och c kallas delare av a. Att b och c är delare till a kan skrivas b a och c a. Om b a och 1<b <a så kallas b äkta delare av a. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 6 / 13
Sammansatta tal Om ett tal inte är ett primtal kallas det sammansatt. Om a = bc kan a skrivas som produkten av b och c vilket innebär att a delas jämnt av b och c, varmed b och c kallas delare av a. Att b och c är delare till a kan skrivas b a och c a. Om b a och 1<b <a så kallas b äkta delare av a. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 6 / 13
Sammansatta tal Om ett tal inte är ett primtal kallas det sammansatt. Om a = bc kan a skrivas som produkten av b och c vilket innebär att a delas jämnt av b och c, varmed b och c kallas delare av a. Att b och c är delare till a kan skrivas b a och c a. Om b a och 1<b <a så kallas b äkta delare av a. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 6 / 13
Sammansatta tal Om ett tal inte är ett primtal kallas det sammansatt. Om a = bc kan a skrivas som produkten av b och c vilket innebär att a delas jämnt av b och c, varmed b och c kallas delare av a. Att b och c är delare till a kan skrivas b a och c a. Om b a och 1<b <a så kallas b äkta delare av a. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 6 / 13
Sammansatta tal Om ett tal inte är ett primtal kallas det sammansatt. Om a = bc kan a skrivas som produkten av b och c vilket innebär att a delas jämnt av b och c, varmed b och c kallas delare av a. Att b och c är delare till a kan skrivas b a och c a. Om b a och 1<b <a så kallas b äkta delare av a. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 6 / 13
Sammansatta tal Om ett tal inte är ett primtal kallas det sammansatt. Om a = bc kan a skrivas som produkten av b och c vilket innebär att a delas jämnt av b och c, varmed b och c kallas delare av a. Att b och c är delare till a kan skrivas b a och c a. Om b a och 1<b <a så kallas b äkta delare av a. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 6 / 13
Sammansatta tal Sats 2 Om a b och a c så a (b+c). Sats 3 Minsta äkta delaren av ett tal är ett primtal. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 7 / 13
Sammansatta tal Sats 2 Om a b och a c så a (b+c). Sats 3 Minsta äkta delaren av ett tal är ett primtal. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 7 / 13
Sammansatta tal Sats 2 Om a b och a c så a (b+c). Sats 3 Minsta äkta delaren av ett tal är ett primtal. Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 7 / 13
Centralt vid modern kryptering är faktorisering. Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen Allmänna faktoriseringsmetoder är: Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981 Dixon s faktoriseringsmetod, 1981 Continued fraction factorization method, 1975 (1931) Fermat s faktoriseringsmetod... och dess utvecklingar. År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel! Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 8 / 13
Centralt vid modern kryptering är faktorisering. Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen Allmänna faktoriseringsmetoder är: Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981 Dixon s faktoriseringsmetod, 1981 Continued fraction factorization method, 1975 (1931) Fermat s faktoriseringsmetod... och dess utvecklingar. År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel! Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 8 / 13
Centralt vid modern kryptering är faktorisering. Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen Allmänna faktoriseringsmetoder är: Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981 Dixon s faktoriseringsmetod, 1981 Continued fraction factorization method, 1975 (1931) Fermat s faktoriseringsmetod... och dess utvecklingar. År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel! Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 8 / 13
Centralt vid modern kryptering är faktorisering. Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen Allmänna faktoriseringsmetoder är: Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981 Dixon s faktoriseringsmetod, 1981 Continued fraction factorization method, 1975 (1931) Fermat s faktoriseringsmetod... och dess utvecklingar. År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel! Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 8 / 13
Centralt vid modern kryptering är faktorisering. Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen Allmänna faktoriseringsmetoder är: Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981 Dixon s faktoriseringsmetod, 1981 Continued fraction factorization method, 1975 (1931) Fermat s faktoriseringsmetod... och dess utvecklingar. År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel! Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 8 / 13
Centralt vid modern kryptering är faktorisering. Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen Allmänna faktoriseringsmetoder är: Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981 Dixon s faktoriseringsmetod, 1981 Continued fraction factorization method, 1975 (1931) Fermat s faktoriseringsmetod... och dess utvecklingar. År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel! Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 8 / 13
Centralt vid modern kryptering är faktorisering. Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen Allmänna faktoriseringsmetoder är: Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981 Dixon s faktoriseringsmetod, 1981 Continued fraction factorization method, 1975 (1931) Fermat s faktoriseringsmetod... och dess utvecklingar. År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel! Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 8 / 13
Centralt vid modern kryptering är faktorisering. Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen Allmänna faktoriseringsmetoder är: Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981 Dixon s faktoriseringsmetod, 1981 Continued fraction factorization method, 1975 (1931) Fermat s faktoriseringsmetod... och dess utvecklingar. År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel! Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 8 / 13
Centralt vid modern kryptering är faktorisering. Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen Allmänna faktoriseringsmetoder är: Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981 Dixon s faktoriseringsmetod, 1981 Continued fraction factorization method, 1975 (1931) Fermat s faktoriseringsmetod... och dess utvecklingar. År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel! Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 8 / 13
Centralt vid modern kryptering är faktorisering. Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen Allmänna faktoriseringsmetoder är: Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981 Dixon s faktoriseringsmetod, 1981 Continued fraction factorization method, 1975 (1931) Fermat s faktoriseringsmetod... och dess utvecklingar. År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel! Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 8 / 13
Centralt vid modern kryptering är faktorisering. Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen Allmänna faktoriseringsmetoder är: Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981 Dixon s faktoriseringsmetod, 1981 Continued fraction factorization method, 1975 (1931) Fermat s faktoriseringsmetod... och dess utvecklingar. År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel! Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 8 / 13
Centralt vid modern kryptering är faktorisering. Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen Allmänna faktoriseringsmetoder är: Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981 Dixon s faktoriseringsmetod, 1981 Continued fraction factorization method, 1975 (1931) Fermat s faktoriseringsmetod... och dess utvecklingar. År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel! Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 8 / 13
Centralt vid modern kryptering är faktorisering. Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen Allmänna faktoriseringsmetoder är: Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981 Dixon s faktoriseringsmetod, 1981 Continued fraction factorization method, 1975 (1931) Fermat s faktoriseringsmetod... och dess utvecklingar. År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel! Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 8 / 13
Centralt vid modern kryptering är faktorisering. Den fullständiga faktoriseringen är entydig: primtalsfaktoriseringen Allmänna faktoriseringsmetoder är: Snabbast: General number field sieve, 2007, fritt tillgänglig Näst snabbast: Quadratic sieve, 1981 Dixon s faktoriseringsmetod, 1981 Continued fraction factorization method, 1975 (1931) Fermat s faktoriseringsmetod... och dess utvecklingar. År 2002 lyckades Prof. Agrawal och ett par av hans studenter vid Indian Institute of Technology, Kanpur konstruera algoritmen AKS för primtalsbestämning. Snabb algoritm. Också relativt enkel! Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 8 / 13
Algoritmen vid Fermats faktoriseringsmetod 1. Vi får ett heltal n och vill hitta heltal a, b så att ab = n. 2. Låt x = [ n] + 1 ( heltalsdelen av roten ur n plus 1 ) 3. Beräkna x 2 n. 4. Blir det en jämn kvadrat? 5. Om ja: Låt a = x + x 2 n b = x x 2 n Om nej: x++(ticka upp 1 steg) Gå tillbaks till steg 3. 6. Då är ab = = (x + x 2 n)(x x 2 n) = x 2 (x 2 n) = n Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 9 / 13
Algoritmen vid Fermats faktoriseringsmetod 1. Vi får ett heltal n och vill hitta heltal a, b så att ab = n. 2. Låt x = [ n] + 1 ( heltalsdelen av roten ur n plus 1 ) 3. Beräkna x 2 n. 4. Blir det en jämn kvadrat? 5. Om ja: Låt a = x + x 2 n b = x x 2 n Om nej: x++(ticka upp 1 steg) Gå tillbaks till steg 3. 6. Då är ab = = (x + x 2 n)(x x 2 n) = x 2 (x 2 n) = n Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och kombinatorik January 14, 2015 9 / 13