Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2014-06-05 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Jesper Martinsson och Ove Edlund Jourhavande lärare: Adam Jonsson Tel: 0920-491948 Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa, Kursboken Vännman: Matematisk statistik. I kursboken får anteckningar och post-it lappar finnas, men inte lösta exempel. Kompendium om regressionsanalys Formelblad Tabeller Tentamen består av två delar. På den första delen, som är obligatorisk för att kunna bli godkänd, behöver enbart svar lämnas in, men om korta lösningar bifogas så finns det vid gränsfall möjlighet att få delpoäng på en uppgift. Delpoäng ges i första hand om en uppgift i stort sett behandlats korrekt men slarvfel begåtts. Om kortfattade lösningar ej bifogas så finns inga möjligheter att få delpoäng på en uppgift. För godkänt krävs minst 17 poäng på del 1. Svaren för del 1 ska fyllas i på det blad som bifogas tentamen. Det ifyllda svarsbladet skall läggas först om du lämnar in lösningar och bifogas oavsett om du lämnat in lösningar eller ej. Om inte det ifyllda svarsbladet lämnas in bedöms tentamen som underkänd. På den andra delen, som gäller tentamen för överbetyg, ska fullständiga lösningar lämnas in. Tänk på att redovisa dina lösningar på ett klart och tydligt sätt och motivera resonemangen. Vid bedömningen av lösningarna läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. För betyg 4 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 13 poäng från den andra delen för överbetyg. För betyg 5 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 23 poäng från den andra delen för överbetyg. OBS! Det går inte att kompensera underkänt på den första korta delen av tentamen med poäng på den andra delen. Ange på tentamensomslaget om du har lämnat in lösningar på del 2 genom att kryssa för de sista tre uppgifterna. Om du plussar för överbetyg så skriv detta på tentamensomslaget. LYCKA TILL! 1 (8)
1. Anna och Börje ska träffas på nyårsafton för att fira in det nya året tillsammans, men man har inte pratat ihop sig om vem som ska ta med sig champagne och vem som ska ta med sig öl. Sannolikheten att Anna tar med sig champange är 0.64 och motsvarande sannolikhet för Börje är 0.54. Vad är sannolikheten att ingen av dom tar med sig champange till festen? 2. Antag att A och B är händelser, där P (A) = 0.35, P (B) = 0.6 och där P (A B) = 0.45. Beräkna P (A B). 3. Antal detekterbara seismiska händelser per timme i ett gruvområde kan beskrivas som en Poissonfördelad slumpvariabel med väntevärdet 3.7 detekterbara händelser per timme. Ett arbetslag skall utföra ett arbete i gruvområdet som tar en timme. Hur stor är sannolikheten att det under dessa förutsättningar inträffar minst 2 och högst 4 detekterbara seismiska händelser under en timme? 4. Antag att ξ 1 och ξ 2 är oberoende och R(0, 10)-fördelade och låt ξ = ξ 1 + ξ 2 vara deras summa. Frekvensfunktionen för ξ ges av 0.01x om 0 x 10, f(x) = 0.2 0.01x om 10 x 20, 0 annars. Fördelningen som definieras av denna frekvensfunktion kallas ibland för Triangelfördelning. Beräkna variansen för ξ, dvs beräkna V (ξ). 5. Antag att du har ett stickprov ξ 1,..., ξ 14 av storlek 14 från en Exponentialfördelning med väntevärde 225. (a) Beräkna P (ξ 1 > 225). (b) Beräkna sannolikheten att minst 2 av dom 14 stickprovsvariablerna antar ett värde som är större än 225. (1p) 6. Antag att ξ 1, ξ 2,..., ξ 60 är oberoende och har samma fördelning, där { 1 med sannolikhet 0.5, ξ i = 1 med sannolikhet 0.5. Använd en lämplig approximationsmetod för att beräkna sannolikheten P ( 60 i=1 ξ i 10). 2 (8)
7. Du har fått i uppdrag att studera skillnaden i förväntad sjukfrånvaro bland män och kvinnor i en viss organisation. Du vet sedan tidigare undersökningar att det är rimligt att betrakta sjukfrånvaron mätt i antal dagar per år i de två grupperna som normalfördelad och att standardavvikelsen kan förutsättas vara lika stor i båda grupperna. Undersökningen görs så att ett slumpmässiga urval om 11 män och 11 kvinnor tas ut, varefter dessa personers sjukfrånvaro undersöks. I gruppen av män blev medelvärdet för sjukfrånvaro 9.7 och standardavvikelsen blev 5.4 dagar per år. Bland kvinnor blev medelvärdet 11.7 och standardavvikelsen 5.3 dagar per år. Bestäm ett konfidensintervall med konfidensgrad 90 % för skillnaden (kvinnor-män) mellan de två gruppernas förväntade sjukfrånvaro. Svara med den nedre gränsen. 8. Chipspåsar av en välkänd tillverkare är märkta med vikten 200 gram, men Eva tycker att de känns mycket lätta. En fredagskväll laddar hon med 6 påsar, som hon väger innan hon öppnar dom. Resultatet (i gram) anges nedan: Påse 1 2 3 4 5 6 Vikt 194.6 188.9 199.4 206.7 198.4 209.8 Beräkna ett 99 % konfidensintervall för den genomsnittliga påsvikten för chipspåsar från tillverkaren ifråga. Utgå från att vikten för en påse kan betraktas som en observation från en normalfördelning. Svara med den nedre gränsen. 9. Antag att ξ 1,..., ξ 8 är ett stickprov från N(µ, 1.25) och att man vill testa H 0 : µ = 330 mot H 1 : µ = 329. Man har bestämt sig för att använda medelvärdet ξ som testvariabel och ett test med 10 % signifikansnivå. (a) Bestäm det kritiska värdet på testvariabeln. (b) Om man har ett större stickprov (dvs fler stickprovsvariabler) så skall ett annat kritiskt värde användas för att testet skall få 10 % signifikansnivå. Hur stort behöver stickprovet vara för att testet skall ha en styrka som är minst 99 %? (1p) 10. I en studie ville man undersöka hur hållfastheten för ett material berodde av materialets tjocklek (enhet: mm) och materialets typ, där två typer (A och B) studerades. Baserat på 40 prov gjordes en regressionsanalys av hur Y = hållfasthet berodde av X 1 = tjocklek och X 2 = typ, där X 2 = 0 för typ A och X 2 = 1 för typ B. Resultatet ges i Tabell 1 nedan. (Vissa uppgifter har där medvetet ersatts med frågetecken.) (a) Bestäm residualspridningen s e. (b) Bestäm en skattning av den genomsnittliga hållfastheten för materialprov av typ B vars tjocklek är 12 mm. (1p) 3 (8)
(c) För att testa om hållfastheten för materialprov för en fix tjocklek beror på materialtypen så kan man utgå ifrån ett lämpligt P -värde. Ungefär hur stort är detta P -värde? Ange antingen 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 eller 10 % på svarsbladet. Tabell 1: Regression Analysis: Defekter versus Licencer Regression Analysis: Hållfasthet versus Tjocklek; Typ The regression equation is Hållfasthet = - 0,722 + 0,372 Tjocklek + 0,795 Typ Predictor Coef SE Coef T P Constant -0,7218 0,7129-1,01? Tjocklek 0,37162 0,06714 5,54? Typ 0,7952 0,3879 2,05? S =? R-Sq = 55,5 % R-Sq(adj) = 53,1 % Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression? 62,870 31,435 23,04 0,000 Residual Error? 50,481 1,364 Total? 113,351 Slut på del 1. Glöm inte att bifoga svarsbladet med tentan! 4 (8)
Tabell för svar till del 1 Riv ut och lägg svarsbladet först i tentamen Namn:................................................................... Personnummer:.......................................................... Sannolikheter skall anges som ett tal mellan 0 och 1 i decimalform. Fråga Svar Poäng 1 Sannolikhet (tre decimaler) 0.166 2 2 Sannolikhet (tre decimaler) 0.680 2 3 Sannolikhet (tre decimaler) 0.571 2 4 Varians (tre decimaler) 16.667 ( 102 12 + 102 12 ) 2 5 a Sannolikhet (tre decimaler) 0.368 (e 1 ) 1 b Sannolikhet (tre decimaler) 0.985 2 6 Sannolikhet (tre decimaler) 0.099 2 (1 Φ(1.29)) 7 Nedre gräns (tre decimaler) -1.935 2 8 Nedre gräns (tre decimaler) 186.98 2 9 a Kritiskt värde (tre decimaler) 329.434 1 b Minsta stickprovsstorlek (heltal) 21 2 10 a Residualspridning s e (tre decimaler) 1.168 2 b Skattat värde (tre decimaler) 4.537 1 c 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 eller 10 % 5 2 Totalt antal poäng 25 Här finns korta lösningar på vissa uppgifter och kommentarer om rättingen. 5 (8)
6 (8)
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 2 2014-06-05 Till uppgifterna på del 2 krävs fullständinga lösningar 11. Ett elektriskt instrument består av fyra komponenter som alla fungerar oberoende av varandra och är defekta med sannolikhet 0.25. För att ett instrument skall fungera krävs det att åtminstone 2 av dess komponenter är felfria. Instrumenten säljs i förpackningar om 240 st. Vad är sannolikheten att en sådan förpackning innehåller minst 220 fungerande instrument? Lösning Antalet fungerande komponenter per instrument är Bin(4, 0.5), så sannolikheten p att ett instrument har minst två fungerande komponenter är 0.949 0.95. Om vi nu inför ξ =antal fungerande instrument i en förpackning så gäller (instrumenten antas fungera oberoende av varandra) att ξ Bin(n, p), där n = 240 och p = 0.95. Eftersom np(1 p) = 11.56 är villkoret np(1 p) > 10 för normalapproximation uppfyllt. Vi kan också använda att η=antalet ej fungerande instrument Bin(240, 0.05) P o(12). Det ger P (ξ 220) = P (η 20). Enligt Poissonfördelningstabellen är den sannolikheten lika med 0.9884. (12p) 12. Antag att du har ett stickprov ξ 1,..., ξ 6 av storlek 6 från en kontinuerlig fördelning och att du vill bestämma medianen m i fördelningen. Du vill testa H 0 : m = 5 mot H 1 : m < 5 på en signifikansnivå som ligger så nära 10% som möjligt. (a) Föreslå ett lämpligt test. Testvariabel, beslutsregel och signifikansnivå skall framgå tydligt. (b) Tillämpa testet i (a) på datamaterialet 1 2 3 4 5 6 5.709 2.123 7.113 5.389 2.355 15.838 Skall H 0 förkastas på den aktuella signifikansnivån? (10p) Lösning (a) Lämplig testvariabel är ξ =antal värden som är mindre än 5. (Om vi haft ett stickprov från en normalfördelning så hade m varit lika med väntevärdet µ och då hade vi baserat testet på medelvärdet.) Beslutsregel: Förkasta H 0 om ξ k, där konstanten k bestäms av signifikansnivån. Om H 0 är sann har vi ξ Bin(6, 0.5), så k = 4 ger signifikansnivån 34.38 %, k = 5 ger signifikansnivån 10.94%, k = 6 ger signifikansnivån 1.56 %. En lämplig beslutsregel är därför: Förkasta H 0 om ξ 4. (b) Två mätvärden är mindre än 5 (mätvärde nummer 2 och mätvärde nummer 5), så det observerade värdet på ξ är lika med 2: H 0 kan inte förkastas på den aktuella signifikansnivån. 13. Vi återvänder till uppgift 10 och studien om hur hållfasthet berodde av materialtjocklek och typ. För att studera om tjocklekens effekt på hållfastheten är olika för de två typerna införde man produkten av 7 (8)
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 2 2014-06-05 variablerna tjocklek och typ. Resultatet ges i tabell s i Tabell 2 nedan. (Vissa uppgifter har där medvetet ersatts med frågetecken.) (a) Ange modellantagande för den modell som analyserats i Tabell 2. (1p) (b) Låt beteckna skillnaden mellan tjocklekens effekt på hållfastheten för typ A och typ B. Bestäm ett konfidensintervall för med 95 % konfidensgrad. (5p) Lösning (a) Modellantagande: Y i = β 0 + β 1 X 1,i + β 2 X 2,i + β 3 X 3,i + ε i, i = 1, 2,..., 40, där Y =hållfasthet, X 1 =tjocklek, X 2 =typ (0 eller 1), X 3 = X 1 X 2 och där ε 1,..., ε 40 är oberoende och N(0, σ). (Eftersom datamaterialet inte redovisades i uppgiften så kunde man inte ange det spann av X 1 -värden som modellen är definierad.) (b) Vi har E(Y ) = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 3 X 3, så tjocklekens effekt är β 1 för typ 0 och β 1 + β 3 för typ 1. Skillnaden är alltså lika med β 3. Konfidensintervall för β 3 med 95 % konfidensgrad: b 3 ± t 0.025 (36)s b3 0.0363 ± t 0.025 (36) 0.136. Tabell 2: Regression Analysis: Defekter versus Licencer Regression Analysis: Hållfasthet versus Tjocklek; Typ; Tjocklek*Typ The regression equation is Hållfasthet = - 0,542 + 0,353 Tjocklek + 0,40 Typ + 0,036 Tjockle Predictor Coef SE Coef T P Constant -0,5423 0,9865?? Tjocklek 0,35345 0,09619?? Typ 0,404 1,515?? Tjocklek*Typ 0,0363 0,1360?? S = 1,18299 R-Sq = 55,6% R-Sq(adj) = 51,8% 8 (8)