Kapitel 2: De hela talen Divisionsalgoritmen ( a a Z, d Z\{0} q, r Z : d = q + r ) d, 0 r d c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad där q kallas kvoten och r kallas principala resten vid heltalsdivision. Primtal d är delare till a om a och d 0 är heltal och det finns något heltal, q, sådant att a = qd. Om d är delare till a skrivs detta d a, om ej skrivs det d a. Lär faktor, delbarhet, multipel, triviala och äkta delare. Sats 2.1 Om a, b, c heltal så 1. a b b c a c 2. a b a c a (b + c) 3. a b a bc 4. x Z : (a b a (ax + by)) 5. x, y Z : (c a c b c (ax + by)) Exempel Finns x, y, z Z : 4x + y + 20z = 101? Eftersom ett jämnt tal gånger ett heltal alltid är jämnt (2q a = 2 (qa)) så måste alltid 4x, y och 20z vara jämna. Dessutom är summan av jämna tal alltid jämn (2q + 2r = 2(q + r)). Men talet 101 är udda. Alltså kan det inte vara summan av 4x, y och 20z, dvs det finns inga heltal x, y, z så att påståendet stämmer. Ett postivt heltal p 1 som inte har äkta delare kallas primtal. (Om ett heltal ej är primtal så kallas det sammansatt tal.) Sats 2.3 Det finns oändligt många primtal. Läs beviset! Sats 2.4 Varje heltal kan primtalsfaktoriseras (dvs skrivas som en produkt av primtal). Läs och begrunda beviset. Exempel Är 8 delare till 9602? Enl. Sats 2.1 ovan gäller a b a (ax + by). Med a = 8, b = 96 och y = 100 har vi att a b a by (dvs 8 9600), och med x = 1, 0, 1 har vi att 8 9592, 8 9600 och 8 9608. Men om 8 hade varit delare till 9602 skulle detta funnits mellan 9600 och 9608. Alltså är inte 9602 en multipel av 8. Dvs 8 9602. 1
Räkning med rester Sats 2.5 Om a har rest r vid division med d b har rest s vid division med d så har a + b rest r + s a b rest r s ab rest rs a n rest r n Obs! Sats 2.5 säger inget om principal rest. Denna sats kan även skrivas { a r (mod d) b s a + b r + s a b r s ab rs a n r n (mod d) vilket uttalas a kongruent med r modulo d, b kongruent med s modulo d, a + b kongruent med r + s modulo d, osv. med innebörden att a r är en multipel av d, b s är en multipel av d, a + b (r + s) är en multipel av d, osv. Exempel Bestäm det minsta positiva heltal som är kongruent med 11 + 13 14 15 (mod 16). 11 + 13 14 15 = 11 2 6 + 13 (2 7) 3 5 = 1 6 + 13 (8 49 7) 5 (1 7 16) 6 + 13 ((56 3 16)(49 3 16)) 5 = 9 6 + 13 8 5 (81 5 16) 3 + 13 8 (64 4 16) 2 = 1 3 + 0 = 1 (mod 16). SGD Euklides algoritm För att förkorta ett bråk primtalsfaktoriserar man och stryker sedan från täljare och nämnare. På gymnasiet får man lära sig MGN (minsta gemensamma nämnare). Vi ska nu introducera SGD och MGM. d kallas största gemensamma delare för a och b betecknat SGD(a, b) om 1. d > 0 2. d a d b 3. (c a c b) c d 2
Exempel Är SGD(, 16) = 2? 1. 2 > 0 (ok) 2. 2 och 2 16 (ok) men t.ex. 4 och 4 16 fast 4 2 så SGD(, 16) 2. För att bevisa att 4 är SGD(, 16) kan man resonera: Klart att a a. Enl. Sats 2.1 gäller a b a c a (b + c) där a, b, c var är godtyckliga heltal. Speciellt med b = och c = 16 gäller a a 16 a ( + 16) dvs a 4. Därmed är SGD(, 16) = 4. Bättre sätt att ta reda på SGD är genom att använda Euklides algoritm eller genom primtalsfaktorisering. Euklides algoritm För att bestämma SGD(a, b), antag att a > b och låt { a = c1 b + r 1 där 0 r 1 b b = c 2 r 1 + r 2 där 0 r 2 r 1 För i = 3, 4, 5,... låt r i 2 = c i r i 1 + r i 0 r i r i 1 tills r i = 0 (där r 1, r 2,..., r i 2, r i 1, r i,... alla betecknar principala rester). Då är SGD(a, b) = r i 1, dvs den näst sista resten, dvs den sista icke-försvinnande resten. Metod med primtalsfaktorisering Ett alternativ till Euklides algoritm är att man skriver bråket: a/b och primtalsfaktoriserar 1 a och b. De faktorer som är gemensamma för täljare och nämnare är gemensamma delare och produkten av dessa: största gemensamma delare! Låt oss ta ett exempel som vi löser på båda sätten. Exempel Finn största gemensamma delare till 516 och 156. Euklides algoritm 516 }{{} det större = 3 156 }{{} det mindre + 48 icke-försvinnande rest 156 = 3 48 + sista icke-försvinnande rest 48 = 4 + 0 försvinnande rest Eftersom r 3 = 0 är SGD(516, 156) = r 2 =. 1 Primtalsfaktoriseringen görs lämpligen genom att först dividera a med 2, om detta är ett heltal dividera med 2 igen, osv. tills det tar stopp, fortsätt med 3 tills det tar stopp, sen 5, 7, 11,..., min( a, b). 3
Primtalsfaktorisering 516 156 = 2 258 2 78 = 2 2 9 2 2 39 = primtal {}}{ 2 2 3 43 2 2 3 13 }{{} primtal De faktorer som är gemensamma i täljare och nämnare är 2, 2, 3 så produkten dvs SGD(516, 156) = 2 2 3 =. Två heltal a, b sådana att SGD(a, b) = 1, kallas relativt prima. Sats 2.7 p primtal p ab p a p b Om a, b heltal så kallas m minsta gemensamma multipel, betecknat MGM, om 1. m > 0 2. a m b m 3. (a c b c) m c. Obs! a, b Z \ {0} : SGD(a, b) MGM(a, b) = ab. Exempel Bestäm a) SGD(5005, 4056) b) MGM(5005, 4056). a) Primtalsfaktorisering 5005 4096 = 5 1001 4 1014 = 5 7 143 2 3 507 dvs SGD(5005, 4096) = 13. b) MGM(a, b) = ab SGD(a, b). = 5 7 11 13 2 3 3 169 Detta är ju enkelt då vi just beräknat SGD(5005, 4096): = 5 7 11 13 2 3 3 13 2 MGM(5005, 4096) = 5005 4056 13 = 1561560 4
Obs! Alla jämna tal kan skrivas 2k och alla udda 2k + 1 där k är ett heltal. Divisionsalgoritmen är användbar för att bevisa allmänna utsagor om rest från heltalsdivision: Exempel Bevisa att kuben av ett udda tal, a, (dvs ett udda tal, a, upphöjt till 3) alltid bildar resten 1 vid division med a 1. Låt b = a 1. Då är b jämnt eftersom a är udda. Vidare är a 3 a 1 = (b + 1)3 b = b3 + 3b 2 1 + 3b 1 2 + 1 3 b = b 2 + 3b + 3 + 1 b där b 2 + 3b + 3 är ett heltal (eftersom b är ett heltal) och resten är 1. Man kan också resonera: Låt a = 2k + 1. Då är a 1 = 2k och (2k + 1) 3 = (2k) 3 + 3 (2k) 2 1 + 3 (2k) 1 2 + 1 3 = 8k 3 + k 2 + 6k + 1 = 2k(4k 2 + 6k + 3) + 1 (2k + 1)3 varmed = 4k 2 + 6k + 3 + 1 2k 2k dvs resten är alltid 1. 5
Exempel på heltalsdivision Vad blir resten vid heltalsdivision av 10101 + 11 110 med? Resten vid heltalsdivision av 10101 med : 8 4 1 1 2 1 0 1 0 1-9 6 5 0 10101 = A + 9-4 8 2 1-1 2 9 Resten vid heltalsdivision av 11 med : 11 = 0 + 11 Resten vid heltalsdivision av 110 med : 9 1 2 1 1 0 110-1 0 8 = B + 2 2 Sats 2.5 11 110 = C + 2 11 = C + 1 + 10 Sats 2.5 Dvs resten är 7. 10101 + 11 110 = D + 9 + 10 9 + 10 = D + 1 + = D + 1 + 7 6