Prognoser Prognoser i tidsserier: Gissa ett framtida värde i tidsserien killnad gentemot prognoser i regression: Det framtida värdet tillhör inte dataområdet. ftet med en prognosmodell är att göra prognos, inte att förklara det historiska skeendet. Ł Modeller för prognoser behöver inte vara korrekta ur ekonomisk-teoretisk snvinkel. unt förnuft i kombination med effektiv matematik ger i regel de bästa prognoserna.
Exempel : Om utomhustemperaturen under två dagar är c:a -2C är en förnuftiga prognos att temperaturen under nästkommande dag nog kan vara mellan -5 C och -25 C. Med mer kunskap om meteorologi och insamlande av information runt luftfuktighet, vindar, trckförändringar m m kan dock en precisare prognos med fsikaliska modeller räknas fram. Blir den bättre? En kombination av vad meteorologerna säger och vad man själv tror resulterar förmodligen i en tillfredsställande prognos: täll in långfärdsskridskoturen i morgon!
Exempel 2: En historisk studie av försäljningen av satellit-tv-abonnemang visar en genomsnittlig ökning med ungefär 3% per år de senaste tre åren. Vidare har den genomsnittliga försäljningen varit lägre i maj än i september. Om man i augusti innevarande år vill göra en prognos av försäljningen i september kan man. skriva upp den genomsnittliga årsförsäljningen föregående år med (9/2) 3% (eftersom det i september har gått 9 månader sedan föregående år) 2. multiplicera eller addera en faktor/term som motsvarar september månads avvikelse från genomsnittet. 3. ev. kan man också göra en bedömning av konjunkturläget och justera prognosen efter detta.
Man kan också: sätta sig ned och resonera om hur man tror att försäljningen kommer att bli i september, baserat på diverse personers individuella känslor om hur försäljningsutvecklingen ser ut. Vad verkar mest förnuftigt? Kanske en kombination?
Exempel 3 : Ett klassiskt exempel inom prognosticering är aktiekursförändring Jakten på bra prognosmodeller för kommande dags aktiekurs kan liknas vid alkemisternas försök att på artificiell väg framställa guld. Ingen av de hittills gjorda försöken har lckats! Varför? Ingen ekonomisk eller statistik modell har lckats förklara den variation i aktiekurs som finns från dag till dag. Det mesta hamnar i ε. Ł Bästa prognos hittills av morgondagens aktiekurs är dagens kurs, s k persistensprognos. och är inte detta egentligen ganska sunt? Obs! Aktieportföljer är något vars värdeförändring är lättare att prognositicera
Varför skall vi då lära oss om prognosmodeller? Modellerna hjälper till med att ta hand om den variation, som trots allt kan ordnas in i en modell. I många fall kan inte olika subjektiva uppfattningar samlas i en enda prognos, då krävs något objektivt. I flera fall blir de modellbaserade prognoserna bra och bättre än alla konkurrerande alternativ. Engelskspråkig term: forecasting venska språket använder termerna prognos och prediktion, men skulle kanske ha bruk av termen framåtskrivning
tatistiska prognosmodeller:. Anpassad modell för tidsserieregression kan framåtskrivas 2. Klassisk modell för komponentuppdelning kan framåtskrivas beträffande trend och säsong, i mer subjektiv anda beträffande konjunktur 3. Exponentiella utjämningsmetoder: Enkel exponentiell utjämning Dubbel exponentiell utjämning (Holt s metod) Winters metod kan ta hand om de flesta komponenterna i en tidsserie utan att kräva en historiskt anpassad modell. 4. Autoregressiv modellering av tidsserien ger såväl historisk och nulägesbeskrivning som en användbar modell för prognoser, men är matematiskt svårare.
Enkel exponentiell utjämning Bgger på tanken att den studerade tidsserien varken innehåller trendeller säsongskomponenter, t ex årlig försäljning av bildäck Tänkbar modell: t µ ε t Modellen skall dock inte ses som statisk utan vi kan tillåta att nivån (µ ) kan ändras, dock inte enligt någon tpisk trendstruktur. Enkel exponentiell utjämning innebär att man använder historiska data för att jämna ut serien och därmed plocka bort den rent slumpmässiga variationen. Vid utjämningen kan man låta gamla värden och nare värden spela olika stora roller. Den utjämnade serien framskrivs efter det sista värdet.
Beteckna de tillgängliga historiska observationerna, 2, n Inför följande uppdateringsmodell: t α t ( α) t, t,..., n dvs. vi har här infört termen t som anger det utjämnade värdet vid tidpunkt t α är den s k utjämningskonstanten eller utjämningsparametern (smoothing parameter). α Med ett lågt värde på α (nära ) kommer de tidigare värdena i serien att spela en större roll än de senare Ł erien blir mer utjämnad (mer lik ett medelvärde av samtliga observationer) Med ett högt värde på α kommer de senare värdena i serien att spela en större roll än de tidigare Ł erien blir mindre utjämnad och t kommer i högre grad att fånga upp de successiva förändringarna i tidsserien.
om prognos för ett framtida värde (vilket som helst!) används: ˆ n h Uppdateringsformeln n h anger antal tidssteg efter tidpunkten n och kallas på engelska lead. t α t ( α) t, t,, n kallas rekursionsformel och ger vid handen två viktiga frågor: Hur skall vi välja α? Var skall vi börja, dvs. vilket värde skall vi välja på? Valet av α är mer invecklat och får ofta lösas med trial-and-error.
Valet av kan göras på litet olika sätt beroende på tillgången till historiska data: Många historiska värden: Använd -5% av de historiska värdena och beräkna ett medelvärde av dessa. Detta medelvärde är en skattning av µ i modellen och blir också det värde vi sätter till. Låt vara endera den första observationen i det resterande datamaterialet och börja utjämningen från denna. den första observationen i hela datamaterialet och börja utjämningen från denna. Ett fåtal historiska värden: Använd samtliga historiska data och beräkna ett medelvärde av dessa. Detta medelvärde är en skattning av µ i modellen och blir också det värde vi sätter till. Låt vara den första observationen i hela datamaterialet och börja utjämningen från denna.
Exempel: Försäljning av dagligvaror i UA Year ales values 985 5 986 5 987 47 988 49 989 46 99 42 99 43 992 45 993 4 994 43 995 45 996 38 997 47 998 5 999 48 2 48
Tidsserieplott 5 sales 45 4 985 99 995 2 ear 5 sales Med annan skala på -axeln 5 985 99 ear 995 2
Antag modellen: t µ ε t katta µ med medelvärdet av de första 8 observationerna i tidsserien Ł ˆ µ (5 5...45)/8 46. 75 Låt µˆ 46.75
Antag först att försäljningen är ganska stabil, dvs. under den studerade perioden antas inte genomsnittsvärdet µ ändra sig nämnvärt. Ł Välj ett relativt lågt värde på α. Detta innebär att de tidigare värdena i serien kommer att spela en större roll i prognoserna än de senare. Vi låter α. Vi använder nu uppdateringsformeln, som egentligen uppdaterar skattningen av µ. Vi låter vårt här vara det första värdet i tidsserien.
.39 46.544 46 45.. : 992.544 46.938 46 43.. : 99.938 46.487 47 42.. : 99.487 47.652 47 46.. : 989.652 47.52 47 49.. : 988.52 47.5575 47 47.. : 987.5575 47.75 47 5.. : 986.75 47.75 46 5.. : 985 7 8 8 6 7 7 5 6 6 4 5 5 3 4 4 2 3 3 2 2.43 46.826 45 48.. : 2.826 45.584 45 48.. : 999.584 45.982 44 5.. : 998.982 44.758 44 47.. : 997.758 44.59 45 38.. : 996.59 45.566 45 45.. : 995.566 45.85 45 43.. : 994.85 45.39 46 4.. : 993 5 6 6 4 5 5 3 4 4 2 3 3 2 2 9 8 9 9 7 8 8
Prognoser ˆ ˆ ˆ 7 8 9 6 46.4 46.4 ˆ 46.4 ˆ2 etc. 46.4
Anals med hjälp av Minitab tat Time eries ingle Exp moothing
Year T ales val. t t - Forecasts 985 5 46,75 4,25 * 986 2 5 47,75 3,825 * 987 3 47 47,558 -,5575 * 988 4 49 47,52,49825 * 989 5 46 47,652 -,6558 * 99 6 42 47,486-5,48642 * 99 7 43 46,938-3,93778 * 992 8 45 46,544 -,544 * 993 9 4 46,39-5,3896 * 994 43 45,85-2,8564 * 995 45 45,566 -,56557 * 996 2 38 45,59-7,592 * 997 3 47 44,758 2,2488 * 998 4 5 44,982 6,77 * 999 5 48 45,584 2,4593 * 2 6 48 45,826 2,7433 * 2 7 46,43 22 8 46,43 23 9 46,43 24 2 46,43 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 7 8 9
!(!!) &'! " "! $%!! * *
Antag nu att försäljningsvärdena är mindre stabila, dvs. under den studerade perioden kan tänkas ändra sig Ł Låt α vara relativt stor, vilket innebär att senare observationer får större betdelse i prognosen. Låt α.5!(!!) &'! " "! $%!! * *
Ett alternativ kunde vara att successivt ändra värdet på α beroende på hur utjämningen blir. Det utjämnade värdet i en tidpunkt utgör ju prognosen av nästa tidpunkt och via jämförelse med det verkliga värdet denna tidpunkt kan man se hur bra det går. Ett annat och kanske rimligare alternativ är att göra uppdateringen med olika α och sedan välja det α som ger bäst successiva prognoser. Det senare alternativet finns inbggt i Minitab s procedur:
!(!!) &'! " "! $%!! * *!(!!)!(!!) &'! " "! $% &'! " "! $%!! * *!! * *
Dubbel exponentiell utjämning Data antas här innehålla en linjär trend. Modell: I AJÅ (och i Minitab) används en metod med två utjämningsparametrar α och φ (Holt s metod): Uppdateringsschema: t t t ε β β Uppdateringsschema: Prognoser: ( ) n t T T T t t t t t t t t,, ) ( ] [ ) ( φ φ α α h T n n h n ˆ
Exempel: Miljöstatistik! Nedanstående diagram visar koncentrationen i juli månad av kväve i alla dess tänkbara former i Råån vid Helsingborg, åren 987-2 Diagrammet tder på en nedåtgående trend. Vad kan värdet i juli 22 tänkas bli?
tat Times eries Double Exp moothing Två utjämningsparametrar Ł Holt-Winters metod Prognos i en tidpunkt begärs Vill man ha sina prognoser beräknade efter sista värdet i tillgängliga data låter man denna vara tom
Double Exponential moothing Data Total-N Length 5 moothing Constants Alpha (level).2 Gamma (trend).2 Accurac Measures MAPE 46 MAD 873 MD 524 Forecasts Period Forecast Lower Upper 22 256.25-227.74 748.24
*'!(!!) &'! " "! $%!,!-.!)-!! * *
Exponentiell utjämning av tidsserier med trend och säsong: (Holt-)Winters additiva metod (Holt-)Winters multiplikativa metod Bägge metoderna använder tre utjämningsparametrar α, φ, γ för nivå, lutning och säsongssvängning Val av metod görs enligt samma principer som vid klassisk komponentuppdelning
Exempel: Kvartalsvisa försäljningsdata ear quarter sales 99 24 99 2 57 99 3 63 99 4 26 992 9 992 2 63 992 3 76 992 4 27 993 26 993 2 6 993 3 8 993 4 2 994 3 994 2 68 994 3 89! /! 994 4 34 995 33 995 2 67 995 3 95 995 4 3
tat Time eries Winters Method Ingen optimeringsmöjlighet här
Winters' Method for sales Multiplicative Method Data sales Length 2 moothing Constants Alpha (level).2 Gamma (trend).2 Delta (seasonal).2 Accurac Measures MAPE 2.6446 MAD 3.888 MD 23.776 Forecasts Period Forecast Lower Upper Q/996 35.625 26.7 45.33 Q2/996 74.43 64.773 84.87
,!!) &'! " "! $%!,!-.!)- *!!-!! * *! /!
Exempel Nregistrerade bilar!"$%"&! /!
!,!!)! &'! " "! $%!,!-.!)- *!!-!! * * Multiplikativ modell /!! )),!!)! &'! " "! $%!,!-.!)- *!!-!! * * Additiv modell /!
Med användande av Minitab s komponentuppdelning, multiplikativ metod:! /! '!,!)! &'! " 2!) "!!! * * ( )!,!)! *' '' /! /! )' )'' 3 /! /!