Geometri Mål När eleverna har arbetat med det här kapitlet ska de kunna mäta och räkna ut omkretsen på olika geometriska figurer räkna ut arean av rektanglar, kvadrater och trianglar använda de vanligaste enheterna för area: cm 2, dm 2, m 2 Grundkurs, sid. 66 Diagnos, sid. 78 Blå kurs, sid. 80 Röd kurs, sid. 86 Sammanfattning, sid. 92 Läxor: Läxa 9 11, sid. 144 Repetition: Repetition 3, sid. 154 Eleverna har tidigare arbetat med omkrets och area. En del elever har svårt att hålla isär de båda begreppen. I grundkursen repeteras därför först omkrets och area var för sig så att eleverna ska bli säkra på begreppen. I detta kapitel introduceras enheten dm 2 för area. Här behandlas nu även triangelns area. Den visas först som hälften av den omskrivna rektangelns area. Sedan införs begreppen bas och höjd samt formeln för triangelns area. Uträkningarna innehåller ibland decimaltal. I en del uppgifter ska eleverna rita sina lösningar. Tipsa dem om att ta hjälp av linjer och rutor i sina räknehäften. Varje elev behöver en linjal med millimetergradering. Det kan vara bra att ha meterlinjal och måttband tillgängliga i klassrummet. Den Blå kursen innehåller fler grundläggande uppgifter på att räkna ut omkrets och area. Talen i uppgifterna är valda så att uträkningarna blir enkla. Eleverna kan på så sätt fokusera på själva geometrin. I den Röda kursen får eleverna arbeta vidare med omkrets och area, nu med lite mer krävande uppgifter, t.ex. att räkna ut arean av sammansatta figurer. Romb och parallellogram tas upp som nya begrepp och här behandlas också parallellogrammens area. 50 Geometri
Sid. 66 67 Ingressens övre del föreställer några mayapyramider. I kapitel 3 befinner vi oss till stor del i Mellanamerika hos mayafolket (se texten nedan). De nedre bilderna visar en bollplan med målring. Statyn föreställer en jaguar och är en del av ett tempelaltare. Svar till frågorna: Statyn Kommer eleverna ihåg vad som menas med area? Be dem förklara. Vilka enheter för area kommer de ihåg? Skriv gärna upp de föreslagna enheterna och be dem sedan föreslå föremål som kan vara lämpliga att ange i respektive enhet. Om eleverna förstår innebörden av area inser de lätt svaret på frågan: 2 m. Bollplanen Fråga 1 och 2: Ungefär 35 m bred och 95 m lång. Under ritningen finns utmärkt en sträcka som motsvarar 10 m. Låt eleverna uppskatta bredden och längden med hjälp av sträckan. Fråga 3: Ungefär 260 m. Be eleverna förklara hur de räknar. Det blir förmodligen olika svar: genom att dubbla långsidorna för sig, kortsidorna för sig och sedan addera genom att lägga ihop en långsida och en kortsida och multiplicera resultatet med 2. Lämplig fråga att ställa: Vad kallas det i matematiken när man räknar ut längden runt omkring någonting? Fråga 4: Mellan 5 och 6 meter. Jämför längden av människan på bilden med templet. Svaren till frågorna vid bollplanen blir naturligtvis inte exakta, men de bör vara rimliga och eleverna bör få motivera sina svar. Kort om mayafolket: I städernas centrum fanns förnämliga byggnadsverk, palats och pyramider. Pyramiderna var byggda till gudarnas ära. Höga trappor ledde upp till toppen av pyramiderna där det oftast låg ett tempel. Mayafolkets präster var duktiga astronomer. Från stora observatorier studerade de himlakropparna. Utifrån sina resultat utarbetade de en kalender. Förmodligen var bollspelet inte bara en sport utan det hade också en religiös innebörd. Mayafolket hade utvecklat ett skriftspråk. För att skriva tal använde man tre olika tecken, majskorn för talet 1, pinne för talet 5 och snäcka för talet 0. De använde ett slags positionssystem med talet 20 som bas. Talen skrevs nerifrån och uppåt. Vanligt folk bodde i enkla hyddor och livnärde sig som bönder. Majs var den viktigaste grödan. Mayafolket var duktiga hantverkare, man vävde med vackra mönster, flätade korgar, tillverkade jadesmycken och skålar av keramik. Sid. 68 69 Uppslaget repeterar begreppet omkrets. I flera av uppgifterna ska eleverna rita egna bilder. Tipsa dem om att ta hjälp av räknehäftets linjer och rutor. Att rita alla figurer med linjal är ett måste. Uppgift 7 består i att rita en rektangel med given omkrets. Om någon elev behöver hjälp kan man tipsa om att dela upp halva omkretsen i en kortoch en långsida. Måtten på en del av sidorna är inte utsatta i uppgift 10. Led in eleverna på att titta på motstående sida för att få fram längden. Geometri 51
Sid. 70 71 Begreppet area repeteras. Poängtera att en kvadratmeter och en kvadratcentimeter kan se ut på olika sätt, men att deras område är lika stort som en kvadrat med sidan en meter respektive en centimeter. Det är viktigt att eleverna förstår att en kvadratmeter eller kvadratcentimeter inte måste ha formen av en kvadrat. I uppgifterna 11 13 får eleverna bestämma arean av några figurer med hjälp av rutnäten. Uppmärksamma eleverna på att man även kan mäta arean av figurer som inte har raka sidor. På sidan 71 introduceras enheten kvadratdecimeter, dm 2. Det kan vara lämpligt att eleverna gör Arbeta tillsammans och arbetar praktiskt med kvadratdecimetern innan de gör de övriga uppgifterna på sidan. Arbeta tillsammans. Till uppgiften behövs papper, sax och tejp. Syftet med uppgiften är att eleverna ska få en konkret uppfattning av storleken av en kvadratdecimeter. Det är viktigt att förstå att en kvadratdecimeter kan se ut på olika sätt, men att området är lika stort som en kvadrat med sidan en decimeter. Som extrauppgift kan eleverna rita konturen av sin hand på ett centimeterrutat papper och sedan uppskatta handens area. Är den mer eller mindre än en kvadratdecimeter? Arbetsblad 3:1 Sid. 72 73 På sidan 72 repeteras formeln för rektangelns area. Uträkningarna innehåller här ibland decimaltal. Poängtera att rektangelns båda sidor måste anges i samma enhet. I uppgift 20 måste alltså antingen längden eller bredden räknas om till en annan enhet innan arean beräknas. Triangelns area behandlas på sidan 73. När eleverna tittar på figurerna i rutan inser de säkert att triangelns area är hälften av den omskrivna rektangelns area. Eleverna kan också konkret pröva detta. De klipper ut en rektangel och ritar in en triangel på samma sätt som triangel 2 i rutan. De klipper sedan ut triangeln och prövar om de två små trianglarna täcker den stora. Arbetsblad 3:2, 3:3 Sid. 74 75 På sidan 74 införs begreppen bas och höjd. Poängtera att höjden i en triangel går från ett hörn och vinkelrätt mot sidan mitt emot, basen. I triangeln kan man alltså tänka sig tre olika baser och höjder, men vi fördjupar oss inte ännu i detta. I uppgifterna 26 och 27 ska eleverna rita trianglar med given bas och höjd. Uppmärksamma dem på att höjden kan ritas från valfri punkt från basen, men att den måste vara vinkelrät mot basen. Formeln för triangelns area visas på sidan 75. Vi har avsiktligt väntat med att ta upp formeln för att eleverna ska kunna förstå vad de gör och inte bara mekaniskt använda en formel. Till uppgifterna 32 och 33 kan eleverna få tipset att först tänka ut hur stor area den omskrivna rektangel skulle ha. Arbetsblad 3:4, 3:5 52 Geometri
Sid. 76 77 I uppgifterna 34 37 upptäcker eleverna att figurer med lika lång omkrets kan ha olika stora areor, och figurer med lika stor area kan ha olika omkretsar. I utmaningen på sidan 93 kan eleverna göra fler liknande upptäckter. Ett tips till elever som kört fast på uppgift 38: Rita av figuren och fyll sedan ut torget med rektanglar som är lika stora som altaret. Arbetsblad 3:6 Sid. 78 79 Facit till Diagnosen 1 a) 36 m b) 115 m sid. 80 81 2 a) 10 cm 2 b) 5 cm 2 sid. 82 85 3 a) En ritad kvadrat med sidan 4 cm. 16 cm 2 b) En ritad rektangel med måtten 5 cm x 1,5 cm. 7,5 cm 2 sid. 82 83 4 a) m 2 b) m c) cm 2 d) cm sid. 80 83 5 a) 70 m b) 250 m 2 sid. 80 83 6 a) 5 cm 2 b) 5 cm 2 sid. 84 85 7 a) En ritad triangel med basen 9 cm och höjden 4 cm b) 18 cm 2 sid. 84 85 Facit till Kluringar Engelsk kluring Vilket värde har varje figur? triangel = 5 cirkel = 3 parallellogram = 2 rektangel = 7 Enklast är att börja med rad 3. Här tar cirklarna på var sida om likhetstecknet ut varandra och parallellogrammen är lika med två kvadrater, dvs. 2. Fortsätt med rad 2, där man nu kan få värdet på cirkeln. 6 katter Det tar 6 minuter för en katt att fånga en råtta. För att fånga två råttor behöver katten 12 minuter. 6 katter fångar då tillsammans 12 råttor på 12 minuter. Hattar till kräftskiva Fritjof bör välja 2 stycken 20-kronorsförpackningar och 3 stycken 24-kronorsförpackningar. Han betalar då 112 kr och får 26 hattar. 8 3 cm sid. 80 81 BLÅ KURS Sid. 80 81 Uppslaget behandlar omkrets. I några av uppgifterna ska eleverna mäta eller rita figurer med givna mått. Var uppmärksam på att eleverna använder linjalen på ett riktigt sätt och mäter ifrån nollan. Det kan förekomma att de mäter från ettan på linjalen. Ge tipset att ta hjälp av rutor och linjer i räknehäftet. Uppgift 44 består i att rita rektanglar med given omkrets. Det kan resultera i olika lösningsförslag. Låt gärna eleverna jämföra och diskutera sina lösningar. Geometri 53
Sid. 82 83 På uppslaget finns grundläggande uppgifter att beräkna area. De elever som fortfarande har svårt med begreppet area kan behöva ytterligare praktisk träning. Det kan vara bra att låta dem använda en areamall, dvs. en bit av ett genomskinligt overheadblad på vilket man kopierat centimeterrutning. Låt eleverna uppskatta arean på småsaker i klassrummet och sedan lägga areamallen över och mäta. Till lite större föremål kan de använda några utklippta kvadratdecimeter, täcka en del av föremålet med dem och sedan försöka uppskatta hela arean. Eventuellt kan de föra in sina resultat i en tabell. Arbetsblad 3:1, 3:2 Sid. 84 85 Triangelns area. Innan eleverna gör uppgifterna i boken kan de konkret få upptäcka att en triangel alltid är en halv rektangel. Se kommentar till sidan 73. Låt eleverna arbeta med fler rektanglar av olika storlek. Arbetsblad 3:4, 3:5 RÖD KURS Sid. 86 87 På uppslaget finns textuppgifter med tema om mayafolket. De innehåller blandade uppgifter på omkrets och area. Några av uppgifterna på sidan 87 hör ihop med ritningen. Eleverna måste mäta i ritningen för att kunna lösa uppgifterna. En centimeter på ritningen är en meter i verkligheten. Sid. 88 89 Här får eleverna arbeta med att beräkna arean av områden som kan tänkas vara sammansatta av flera geometriska figurer. Det är inte alltid så lätt att genomskåda detta. I en del av uppgifterna finns därför prickade hjälplinjer utsatta i figurerna. Uppmana gärna eleverna att rita av de övriga figurerna, rita in hjälplinjer och sätta ut mått för att lättare kunna räkna ut. Uppgift 74 b kan vara bra att ta upp till diskussion. Här har eleverna kanske olika förslag till lösningar: hela den rödvita rektangeln minus den vita triangeln eller summan av olika rektanglar och en triangel. Vilken lösning är enklast? Även till uppgift 76 kan man tänka sig olika lösningar. Låt gärna eleverna jämföra sina lösningar med en kompis och förklara hur de tänkt. Arbetsblad 3:3, 3:7 54 Geometri
Sid. 90 91 På sidan 90 presenteras begreppen parallellogram och romb och på sidan 91 visas hur man beräknar arean av en parallellogram. Låt gärna elever som löst uppgift 82 få jämföra sina svar och förklara för varandra hur de löst uppgiften. Arbetsblad 3:8 UTMANING Kvadratens och rektangelns omkrets är lika i samtliga uppgifter. Vid jämförelse mellan kvadratens och rektangelns areor gäller följande: skillnad mellan sidorna skillnad mellan areorna 1 1 1 = 1 2 = 1 2 2 2 = 2 2 = 4 3 3 3 = 3 2 = 9 4 4 4 = 4 2 = 16 y y y = y 2 Om kvadratens sida är a är kvadratens area a 2. Om skillnaden mellan kvadratens sida och rektangelns sidor är b så är rektangelns area (a + b) (a b) = a 2 b 2. Detta är det geometriska beviset för konjugatregeln. Vi talar naturligtvis inte med eleverna om konjugatregeln och dess härledning nu, det kommer betydligt senare i matematikstudierna, men det kan vara spännande för dem att redan nu konkret upptäcka detta samband. Geometri 55
Arbetsblad 3:1 Omkrets och area 1 Hur stor omkrets och area har varje figur? Omkrets cm Omkrets Omkrets Area cm 2 Area Area Para ihop de figurer som har lika stor area. Färglägg ett par rött, ett par blått och ett par gult. De röda areorna är vardera cm 2 De blåa areorna är vardera cm 2 De gula areorna är vardera cm 2 56 Geometri
Arbetsblad 3:2 Omkrets och area 2 Räkna ut rektangelns omkrets och area. 3 m 4 dm 8 m 9 dm Omkrets m Area m 2 Omkrets Area Mät i figuren. Sätt ut måtten. Räkna ut rektanglarnas omkrets och area. Omkrets cm Area cm 2 Omkrets Area Rita en rektangel med längden 10 cm och bredden 2,5 cm. Räkna sedan ut rektangelns omkrets och area. Omkrets Area Geometri 57
Arbetsblad 3:3 Svenssons bostad omkrets och area Här är en ritning över familjen Svenssons bostad och en tabell med några ifyllda mått. Räkna ut de mått som fattas för varje rum och fyll i tabellen. Längd (m) Bredd (m) Omkrets (m) Area (m 2 ) Hela lägenheten 14 7,5 105 Vardagsrum 6,5 4 Kök 5 3,5 Badrum 2 8 Sovrum 4 16 Wilmas rum 15 14 Oscars rum 3 13 Med hjälp av måtten på övriga rum i bostaden kan du räkna ut hallens omkrets och area. Hallens omkrets: Hallens area: 58 Geometri
Arbetsblad 3:4 Trianglar Räkna ut triangelns area. 8 m 9 m 10 m 23 m 3,5 m 6 m Area m 2 Area Area Mät basen och höjden. Räkna ut triangelns area. bas bas bas cm Bas Bas Bas cm Höjd Höjd Höjd cm 2 Area Area Area Geometri 59
Arbetsblad 3:5 Area rita och räkna Rita två trianglar. Den första ska ha basen 6 cm och höjden 4 cm. Den andra ska ha basen 8 cm höjden 3,5 cm. Räkna sedan ut arean av trianglarna. Area Area Rita en rektangel som har längden 7,5 cm. Omkretsen ska vara 21 cm. Räkna ut rektangelns bredd och area. Bredd Area Rita en kvadrat, en rektangel och en triangel. Alla ska ha arean 9 cm 2. 60 Geometri
Arbetsblad 3:6 Tangram Det här är ett urgammalt kinesiskt pussel. Det uppfanns enligt legenden av guden Tan för över 4 000 år sedan, när han ville visa hur jorden blev till. Klipp ut bitarna. A B E F D C G 1 Vilka två bitar har tillsammans lika stor area som biten D? 2 Jämför arean av biten C med biten D. Vad finner du? 3 Jämför arean av biten D med biten G. Vad finner du? Rita av de figurer du byggt i ditt räknehäfte. 4 Bygg en kvadrat av bitarna A, C, E och F. 5 Bygg en annan kvadrat av bitarna C, D, E, F och G. 6 Använd bitarna A, C, E och G och bygg en rektangel. 7 Bygg en ny rektangel av bitarna A, B, C, E och F 8 Försök att bygga en triangel av alla bitarna. 9 Använd alla bitarna och bygg en rektangel. 10 Hitta tre bitar som tillsammans har lika stor area som triangeln A. (Det finns tre olika lösningar.) Geomeetri 61
Arbetsblad 3:7 Omkrets och area kluringar OBS! Måtten avser alltid den del av figuren där måtten är inskrivna. Räkna ut den gråa rektangelns area. Omkrets 140 m Omkrets 200 m 100 m 2 Area 25 m Räkna ut den gråa rektangelns omkrets. Area 1 000 m 2 200 m 2 100 m 2 Omkrets Omkrets 180 m 62 Geometri
Arbetsblad 3:8 Sammansatta figurer Mät i figuren. Räkna sedan ut arean. Kom ihåg enheten. Arean är Arean är Räkna ut figurens area. 9 cm 20 cm 4,5 cm 10,5 cm 10 cm 18 cm 12 cm Arean är Arean är 4 cm 4 cm 4 cm 14 cm 12 cm 7 cm 4 cm 24 cm 8 cm Arean är Arean är Geometri 63