Föreläsningsanteckningar till kapitel 9, del 2

Föreläsningsanteckningar till kapitel 9, del 2 Kasper K. S. Andersen 17 oktober 2018 1 Hur väljar man hypotes och mothypotes? Allmänt finns två möjliga resultat av en statistik test: Nollhypotesen H 0 förkastas. I detta fall finns tillräckligt bevis för att avvikelsen från H 0 inte är slumpmässig, och mothypotesen H 1 är styrkat. Nollhypotesen H 0 förkastas inte. I detta fall är finns inte statistisk evidens för mothypotesen H 1 och vi fortsättar med antagelsen att H 0 är sann. Vi har dock inte styrkat nollhypotesen H 0. Det är alltså inte möjligt att styrka nollhypotesen. Man väljar då nollhypotesen H 0 som det som allmänt antas gälla och mothyposen H 1 som det motsatta, dvs. det man själv söker bevisa. Man kan jämföra testet med en rättegång: H 0 är påståendet den anklagede är inte skyldig och H 1 är påståendet den anklagede är skyldig. Nollhypotesen antas tills vidare den anklagede är oskyldig tills motsatsen är bevisad. Kun om det finns tillräckligt bevis kann H 0 förkastas och man har styrkat H 1. Exempel: (Övning 9.1) En tillverkare A av brytpinnar säger att hans brytpinnar har en genomsnittlig livslängd µ på 200 timar. En konkurrent B tvivler på detta och påstår att den genomsnittliga livslängd är 190 timar. (a) A önsker att bevisa sitt påstående. Uppställa A:s nollhypotes och mothypotes. (b) B önsker att bevisa sitt påstående. Uppställa B:s nollhypotes och mothypotes. Lösning: (a) A:s mothypotes är det han önsker att visa, dvs. H 1 : µ = 200 och nollhypotesen är därfor H 0 : µ = 190. (b) Motsvarende til (a) fås H 0 : µ = 200 och H 1 : µ = 190. 2 Test av µ i fördelningen N(µ, ), känd Om x 1,..., x n är ett observerat stickprov från N(µ, ) där är känd har vi följande tabell för test av nollhypotesen H 0 : µ = µ 0. 1

Mothypotes H 1 : µ > µ 0 (ensidig test) H 1 : µ < µ 0 (ensidig test) H 1 : µ µ 0 (tvåsidig test) Beslutstrategi Om x > µ 0 + λ α n så förkastas H 0. Om x µ 0 + λ α n så förkastas H 0 inte. Om x < µ 0 λ α n så förkastas H 0. Om x µ 0 λ α n så förkastas H 0 inte. Om x < µ 0 λ α/2 n eller x > µ 0 + λ α/2 n så förkastas H 0. Om µ 0 λ α/2 n x µ 0 + λ α/2 n så förkastas H 0 inte. Tabell 1: Test av µ i N(µ, ), känd. Nollhypotes H 0 : µ = µ 0. Testvariabel x. ( Om ξ 1 ),..., ξ n är den underliggande stickprov gäller enligt Sats 6D att ξ N µ, n (detta har redan används till att härleda tabellen ovan). Om nollhypotesen H 0 : µ = µ 0 är sann gäller då enligt Sats 6A att Låt u = x µ0 / n Beräkningarna och x > µ 0 + λ α x < µ 0 λ α ξ µ 0 / n N(0, 1). (observera att u betecknas med z i engelskspråkig litteratur.) x µ 0 > λ α u = x µ 0 n n / n > λ α x µ 0 < λ α u = x µ 0 n n / n < λ α viser att testerna i tabell 1 är ekvivalenta med beslutstrategien i följande tabell. Mothypotes Beslutstrategi H 1 : µ > µ 0 Om u > λ α så förkastas H 0. (ensidig test) Om u λ α så förkastas H 0 inte. H 1 : µ < µ 0 Om u < λ α så förkastas H 0. (ensidig test) Om u λ α så förkastas H 0 inte. H 1 : µ µ 0 Om u > λ α/2 så förkastas H 0. (tvåsidig test) Om u λ α/2 så förkastas H 0 inte. Tabell 2: Test av µ i N(µ, ), känd. Nollhypotes H 0 : µ = µ 0. Testvariabel u = x µ0 / n. 3 Test av µ i fördelningen N(µ, ), okänd Sen tidigare vet vi att om ξ 1,..., ξ n är ett stickprov från N(µ, ) gäller ξ µ / t(n 1) n (dvs. t-fördelad med n 1 frihetsgrader), där 1 n ( = n 1 i=1 ξi ξ ) 2 är punktskattningen av med s-metoden. Då kan vi på motsvarende sätt använda 2

t = x µ0 s/ n som testvariabel (där s = obs = 1 n n 1 i=1 (x i x) 2 är det observerade värde på ) och jämföra med kvantilerna i t(n 1)-fördelningen. Vi får då följande testar. Mothypotes Beslutstrategi H 1 : µ > µ 0 Om t > t α (n 1) så förkastas H 0. (ensidig test) Om t t α (n 1) så förkastas H 0 inte. H 1 : µ < µ 0 Om t < t α (n 1) så förkastas H 0. (ensidig test) Om t t α (n 1) så förkastas H 0 inte. H 1 : µ µ 0 Om t > t α/2 (n 1) så förkastas H 0. (tvåsidig test) Om t t α/2 (n 1) så förkastas H 0 inte. Tabell 3: Test av µ i N(µ, ), okänd. Nollhypotes H 0 : µ = µ 0. Testvariabel t = x µ0 s/ n. Exempel: Kvicksilverhaltet i 10 fångade fisk (mg/kg). Obs från N(µ, ). 0.8 1.6 0.9 0.8 1.2 0.4 0.7 1.0 1.2 1.1 Prova hypotesen H 0 : µ = 1.2 mot H 1 : µ < 1.2 på signifikansniveau 0.05. Lösning: I detta fall är okänd, så testet blir Om t < t α (n 1) så förkasta H 0. Om t t α (n 1) så förkasta inte H 0. Beräkning ger n = 10, n x i = 9.7 i=1 och n x 2 i = 10.39 i=1 vilket ger x = 9.7 10 Testvariabeln blir = 0.97 och s = obs = t = x 1.2 s/ 10 ( 1 10.39 1 ) 9 10 9.72 = 0.330151. = 0.97 1.2 0.330151/ 10 = 2.20300. Då t 0.05 (9) = 1.83311 och t < t 0.05 (9) så förkastas H 0. 3

t(9) area 0.05 t t 0.05 (9) 0 x Exempel fortsatt: Testa hypotesen H 0 : µ = 1.2 mot H 1 : µ 1.2 på signifikansniveau 0.05. Lösning: Testet blir Om t > t α/2 (n 1) så förkasta H 0. Om t t α/2 (n 1) så förkasta inte H 0. Vi har t = 2.20300 (som ovan) och t 0.025 (9) = 2.26216 varför vi inte förkastar H 0. t(9) area 0.05 t 0.025 (9) t 0 x 4 Hypotesprövning vid normalfördelning och konfidensintervall Anta att vi har ett stickprov ξ 1,..., ξ n från N(µ, ) där är känd. Vid test av H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ > µ 0 då förkastas H 0 inte om [ [ x µ 0 + λ α x λ α µ 0 µ 0 x λ α ;. n n n Dette är precis det ensidiga nedåt begränsade konfidensinterval I µ,obs för µ med konfidensgrad 1 α (jämför Kapitel 8). Alltså gäller H 0 förkastas inte µ 0 I µ,obs. 4

H 0 förkastas µ 0 / I µ,obs. På samma sätt får man H 1 : µ < µ 0. Test av H 0 mot H 1 motsvarer] jämförelse av µ 0 med det ensidiga uppåt begränsade konfidensintervall ; x + λ α n ]. H 1 : µ µ 0. Test av H 0 mot [ H 1 motsvarer jämförelse av µ 0 med det tvåsidiga konfidensintervall x λ α/2 n ; x + λ α/2 n ]. Strategien är allmänt Om µ 0 / I µ,obs då förkastas H 0. Om µ 0 I µ,obs då förkastas H 0 inte. Exempel: ( 8.3.1 Stickprov i par ). Låt ξ i N(µ i, 1 ) och η i N(µ i +, 2 ) för i = 1,..., n och anta att paren (ξ 1, η 1 ),..., (ξ n, η n ) är oberoende. Undersökning av huruvida = 0 med användning av konfidensintervallet I,obs med konfidensgrad 1 α motsvars av hypotesprövning av H 0 : = 0 mot H 1 : 0 på signifikansnivå α. (Jämför Övning 9.36). Exempel: ( 8.3.2 Två oberoende stickprov ). Låt ξ 1,..., ξ n1 N(µ 1, 1 ) och η 1,..., η n2 N(µ 2, 2 ) och anta att ξ 1,..., ξ n1, η 1,..., η n2 är oberoende. Undersökning av huruvida µ 1 = µ 2 med användning av konfidensintervallet I µ1 µ 2,obs med konfidensgrad 1 α motsvars av hypotesprövning av H 0 : µ 1 = µ 2 mot H 1 : µ 1 µ 2 på signifikansnivå α. (Jämför Övning 9.39(b)). Dessutom gäller samma samband som ovan i fallet okänd båda vid konfidensinterval och hypotestestning används då kvantiler i passande t-fördelning. 5