Grupper
Definition grupp En grupp (G, ) är en mängd G med en binär operator : G G G som uppfyller följande vilkor:
Definition grupp En grupp (G, ) är en mängd G med en binär operator : G G G som uppfyller följande vilkor: En grupp (G, ) är abelsk eller kommutativ, om den dessutom uppfyller följande villkor:
Vad gäller för alla/abelska grupper (G, ) med identitet e och invers g -1 till g?
Vad gäller för alla/abelska grupper (G, ) med identitet e och invers g -1 till g?
Hitta alla delgrupper av (Z 6, mod 6) Z 6 = {0,1,2,3,4,5}
Hitta alla delgrupper av (Z 6, mod 6) Z 6 = {0,1,2,3,4,5} {0} {0,2,4} {0,3}
Symmetrisk grupp Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av alla permutationer av M.
Symmetrisk grupp Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av alla permutationer av M. De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität (= antal element) är isomorfa Symmetriska gruppen på n element: S n
Symmetrisk grupp Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av alla permutationer av M. De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität (= antal element) är isomorfa Symmetriska gruppen på n element: S n S 1 : M = {1} bara en permutation s (identitetet)
Symmetrisk grupp Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av alla permutationer av M. De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität (= antal element) är isomorfa Symmetriska gruppen på n element: S n S 1 : M = {1} bara en permutation s (identitetet) S 2 : M = {2} två permutationer
Symmetrisk grupp Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av alla permutationer av M. De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität (= antal element) är isomorfa Symmetriska gruppen på n element: S n S 1 : M = {1} bara en permutation s (identitetet) S 2 : M = {2} två permutationer Tabell notation: xx 1... xx nn ff xx 1 ff xx 1
Symmetrisk grupp Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av alla permutationer av M. De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität (= antal element) är isomorfa Symmetriska gruppen på n element: S n S 1 : M = {1} bara en permutation s (identitetet) S 2 : M = {2} två permutationer Tabell notation: xx 1... xx nn S ff xx 1 ff xx 1 2 : 1 2 1 2 och 1 2 2 1
Symmetrisk grupp Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av alla permutationer av M. De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität (= antal element) är isomorfa Symmetriska gruppen på n element: S n S 1 : M = {1} bara en permutation s (identitetet) S 2 : M = {2} två permutationer xx Tabell notation: 1... xx nn S ff xx 1 ff xx 1 2 : 1 2 1 2 och 1 2 2 1 Cykliska notation: skriv varje element som en product av cycler: (x s(x) s 2 (x) s m-1 (x)) där s m (x) = x
Symmetrisk grupp Den symmetriska gruppen Sym(M) till en mängd M består av alla permutationer av M. De symmetriska grupperna till två mängder av samma kardinalität (= antal element) är isomorfa Symmetriska gruppen på n element: S n S 1 : M = {1} bara en permutation s (identitetet) S 2 : M = {2} två permutationer xx Tabell notation: 1... xx nn S ff xx 1 ff xx 1 2 : 1 2 1 2 och 1 2 2 1 Cykliska notation: skriv varje element som en product av cycler: (x s(x) s 2 (x) s m-1 (x)) där s m (x) = x S 2 : (1)(2) och (1 2) cyklar av längd ett brukar utelämnas som underförstådda
Skriv 1 2 3 4 5 6 1 3 5 6 2 4 i cyklisk notation! Lista alla element i S 3 i båda notationerna! Lista alla delgrupper av S 3! Hur manga element har S n? Är S n abelsk?
Transposition: (ij) 1 i<j n byta bara element i och j n 2
Transposition: (ij) 1 i<j n byta bara element i och j n 2 Kan skriva varje permutation som en sammansättning av transpositioner Till exempel: s = 1 2 3 4 5 3 4 5 2 1 = (1 3 5)(2 4) = (15)(13)(24)
Transposition: (ij) 1 i<j n byta bara element i och j n 2 Kan skriva varje permutation som en sammansättning av transpositioner Till exempel: s = 1 2 3 4 5 = (1 3 5)(2 4) = (15)(13)(24) 3 4 5 2 1 Antal inversioner för s: N(s) = antal par (x,y) in s med x<y och s(x)>s(y)
Transposition: (ij) 1 i<j n byta bara element i och j n 2 Kan skriva varje permutation som en sammansättning av transpositioner Till exempel: s = 1 2 3 4 5 = (1 3 5)(2 4) = (15)(13)(24) 3 4 5 2 1 Antal inversioner för s: N(s) = antal par (x,y) in s med x<y och s(x)>s(y) För vår s: (1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5) 7
Paritet av en permutation (tecken) sign(s) =(-1) NN(ss) Eller sign(s) =( 1) mm + jämt och udda N(s) = antalet inversioner i s m = antal transpositioner i sammansättningen
Paritet av en permutation (tecken) sign(s) =(-1) NN(ss) Eller sign(s) =( 1) mm + jämt och udda N(s) = antalet inversioner i s m = antal transpositioner i sammansättningen Till exempel: s = 1 2 3 4 5 = (1 3 5)(2 4) = (15)(13)(24) 3 4 5 2 1 N(s): (1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5) 7 sign(s) = ( 1) 7 = -1 udda
Paritet av en permutation (tecken) sign(s) =(-1) NN(ss) Eller sign(s) =( 1) mm + jämt och udda N(s) = antalet inversioner i s m = antal transpositioner i sammansättningen Till exempel: s = 1 2 3 4 5 = (1 3 5)(2 4) = (15)(13)(24) 3 4 5 2 1 N(s): (1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5) 7 sign(s) = ( 1) 7 = -1 udda sign(s*t) = sign(s)*sign(t) cyklar med jämt längt har udda paritet cyklar med udda längt har jämt paritet
Hitta sign(π 1 ) och sign(π 2 ) Beräkna:
15 puzzle Sam Loyd (1870): 1000 $ till den som kan lösa puzzlet med 14 15
Tentaproblem: Diedergruppen D 3 Diedergruppen Dn: symmetriegruppen för en regelbunden n-hörning
Tentaproblem: Diedergruppen D 3 Diedergruppen Dn: symmetriegruppen för en regelbunden n-hörning a) Hur manga element har D 3? Beskriv hur elementen i D 3 verkar på en liksidig triangle!
Tentaproblem: Diedergruppen D 3 Diedergruppen Dn: symmetriegruppen för en regelbunden n-hörning b) Ordningen av ett element g i en grupp är det minsta heltalet n sådant att g n = e (e är enhetselementet). Vilka ordningar har elementen i D 3?
Tentaproblem: Diedergruppen D 3 Diedergruppen Dn: symmetriegruppen för en regelbunden n-hörning c) Cayleys teorem: Varje ändlig grupp av ordning n är isomorph med en delgrupp till permutationsgruppen Sn Identifiera den delgrupp till D 3 som är isomof med en delgrupp till S 3