FÖRELÄSNING 14 Sammanfattninga av kursens block inför tentan BILD Vi har jobbat med numerisk metoder, datorprogram och tolkning av lösning. Numeriska metoder BILD olika områden: Linjära ekvationssytem, Integraler och Icke-linjära ekvationer. Linjära ekvationssystem: 1. Gausselimination med radpivotering - stabiliserar algoritmen för att behålla noggrannheten i beräkningarna - annars risk för avrundningsfel.. LU-faktorisering: Dela upp koefficientmatisen i en under- respektive övertriangulär matris för att snabba upp beräkningen av lösningen till ekvationssystemet Ü =. Om systemet ej är LU-faktoriserat krävs Ò flyttalsop. För att lösa ett triangulärt system krävs Ò flyttalsop. Ni ska kunna algoritmen för att utföra LU-faktorisering med radpivotering, samt lösa systemet mha L- respektive U-matriserna mha framåt- och bakåtsubstitution. Ni ska även kunna implementera det i Matlab: [l,u,p] = lu(a); d = L\(P*b); x = U\d; Ni ska även kunna följa en kod som utför LU-faktorisering samt Gausselimination.. Residual Ü: ej pålitligt. 1
4. Konditionstal: cond(a) där cond(a) = 1 Tolkning: Rel fil i Ü kond tal * rel fel i höberled Vilket innebär att fel i indata, kan förstärkas med en faktor cond(a) i beräkningsprocessen. Ü Ü Ü Tolkning av konditionstal: illa.kond = nära singulär matris = kan innebära stora fel i beräkningarna = störningskännsligt problem. Påverkas inte av beräkningsalgoritm. 5. Norm: = Ô Ñ Ü Ñ Ð ÒÚ Ö ØØ ÐÐ Ì 1 = maximala kolonnbeloppssumman ½ = maximala radvektorsumman Integraler 1. Trapetsformeln: Ê (Ü) Ü = ( (Ü 0) + (Ü 1 ) + (Ü ) + + (Ü Ò 1 ) + (ÜÒ) ) + Ê( ) där trunkeringsfelet Ê( ) = 1 ¼¼ (Ø) för intervallet Ø och =. Ò Noggrannhetsordningen är vilket innebär att en halvering av steglängden innabär att felet minskar med en faktor 4. Vi kan numeriskt uppskatta trunkeringsfelet mha -dels regeln: Ê( ) Ì ( ) Ì ( ) Ê. Simpsons formel: (Ü) Ü = ( (Ü 0) + 4 (Ü 1 ) + (Ü ) + 4 (Ü ) + + (Ü Ò ) + 4 (Ü Ò 1 ) + (Ü Ò )) + Ê( ) där tunkeringsfelet Ê( ) = 180 4 (4) (Ø) för intervallet Ø och =. Ò Noggrannhetsordningen är 4 vilket innebär att en halvering av steglängden innabär att felet minskar med en faktor 16. (4) (Ü) måste vara kontinuerligt deriverbar i intervallet Ü. Vi kan numeriskt uppskatta trunkeringsfelet mha 15-dels regeln: Ê( ) Ë( ) Ë( ) 15
. Generell feluppskattning och korrektion av resultatet: Richardssonextrapolation och Rombergs metod É( ) É( ) Ô 1 där Ô är metodens noggrannhetsordning Mha Richardssonextrapolation kan förbättrade värden av approximationer av integraler beräknas. Exempelvis: Ë( ) = Ì ( ) + Ì ( ) Ì ( ) 4. Implementation i Matlab: använda inbyggda funktioner samt egen implementation av metoderna (högre betyg). Icke-linjära ekvationer: 1. Lös problemet (Ü) = 0.. Iterativa metoder: Bisektionsmetoden (ide): Halvera intervallet Välj som nytt intervall den del där teckenbyte finns Upprepa Linjär konvergens men relativt säker metod. Newton-Raphsons metod (ide): Hitta nollställe till tangenten i en punkt Välj detta nollställe som ny punkt Upprepa tills tillräckligt nära lösningen Kvadratisk konvergens men osäkert resultat.. Stoppvillkor och feluppskattning: Ü +1 Ü ØÓÐ, ØÓÐ ges av användaren. while abs(xu-xa) > tol Kan bli problematiskt vid diffus skärning. 4. Konvergens: lim ½ Ü +1 Ü Ü = Ö Ö = 1, linjär konvergens medför halvering av felet för varje iteration Ö =, kvadratisk konvergens medför felet vid iteration + 1 är ungefär felet vid iteration i kvadrat
5. Implementation i Matlab: använda inbyggda funktioner samt egen implementation av metoderna (högre betyg). Datorprogram BILD 4 Ni ska klara av att implementera metoderna som vi använt i kursen i MAT- LAB. Det innebär: vanliga skalära variabler, vektorer och matriser villkorssatser loopar (while och for) skriva egna funktioner och kunna anropa egna funktioner anrop av Matlabs egna funktioner som vi använt i kursen Tolkning av lösningar BILD 5 Datoraritmerik: 1. Avrundningsfel: datorn räknar med ändling precision, kancellation. Diskretiseringsfel: vi kan bara dela in problemet i ett ändligt antal punkter. Uppskattning av fel: absolut fel och relativt fel 4. Talrepresentation: maskinepsilon, overflow, underflow, Inf, Nan 5. Ett flyttal = 0.mantissan* ÜÔÓÒ ÒØ Mantissa: binära tal. 6. Kancellation: undvik att subtrahera lika stora tal, summera termer i växande ordning. Uppskattningar: Allt vi gör i beräkningsvetenskap är uppskattningar aldrig exakta beräkningar. Vi måste alltså vara medvetna om datorns så väl som metodernas begränsningar och för- och nackdelar. Vi måste alltså pröva oss fram så som ni har gjor på labbar och miniprojekt. 4
Kursen mål BILD 6-9 De tre första huvudmålen gäller numerisk analys och det fjärde att implementera de numeriska metoderna på en dator så att vi kan simulera ett verkligt fall. Allmänna betygskriterier BILD 10 Betygskriterier i detalj BILD 11-14 Ett exempel på ett tentaresultat BILD 15 5