KUNGL. SKOGSHÖGSKOLANS SKRFTER BULLETN OF THE ROYAL SCHOOL OF FORESTRY Nr 14 och 15 STOCKHOLM, SWEDEN Redaktör: Professor OLOF TAMM 1953 nteret simpe ou interets composes dans e cacu de a croissance Enke eer sammansatt ränta vid tiväxtberäkning Av SVEN PETRN Sammansatt ränta vid tiväxtprocentberäkning i feråriga perioder Zinseszinsen bei der Berechnung der Zuwachsprozente in mehrjährigen Perioden Av ENAR STRDSBERG Särtryck ur "skogshögskoan 125 år" Reprioted from "The Roya Schoo of Forestry of Sweden 125 Years" SX:OGSBBLOTEX:ET, SX:OGSHÖGSKOLAN, STOCX:HOLM ( distribution)
Sammansatt ränta vid tiväxtprocentberäkning i feråriga perioder Av ENAR STRDSBERG Om ett virkesförråd våren år håer ett virkeskapita k1 m3 och under året växer med P1 % samt nästa år med p2 % på detta års vårkapita k2 = k1,op1 osv. så bir förrådet om tio år k11 = k1.,op1.,op2,op10 = k1.,op10 Medetiväxtprocenten för perioden erhåes atså genom att beräkna det geometriska mediet av faktorerna,op1...,op10 och man får og,op = _!_ og,opi. n i= Tiväxtprocenterna bruka oftast visa en med ådern kontinuerigt sjunkande serie. Om faktorerna,op1...,op10 visa en geometriskt faande serie så bida faktorerna og,op1... og,op10 en aritmetisk serie och man får og,op1 + og,op10 og,op - --. o. e er O 2 og,op = 2 (og,op5 + og,op6). Värdet för,o p kan då aväsas på kurvan för 2 år 5,5 dvs. för medetaet av ådrarna ti O. Emeertid visar det sig att og,op i praktiken inte bir en rät inje utan en nedåt konvex kurva, ti föjd varav p får ett värde som på kurvan kan aväsas för en åder något under 5,5 år. Med stöd av en tiväxtundersökning från Eriksbergs fideikommiss ska här redovisas de feverkningar som uppkomma genom att för en viss period som medetiväxtprocenter använda värdet på tiväxtkurvan vid periodens mitt. Tiväxten beräknades genom borrning tio år tibaka i tiden. För exempevis åderskassen 51-60 år (åk V) utgår man från provstammarnas nuvarande voym V k55 och deras voym tio år tidigare Vk45 och förhåandet mean dem Vk55: Vk45 bir tiväxtfaktorn,op vr 10. Tiväxtprocentserien erhåes genom att på samma sätt beräkna inedetiväxtprocenterna för övriga åderskasser.
44 ENAR STRDSBERG Vi man nu utnyttja undersökningen ti att göra en beräkning framåt i tiden så är det icke fut korrekt att på nuvarande virkesförrådet i åderskass V (Vk45) tiämpa tiväxtfaktorn,op v1 i\ven om man förutsätter att tiståndet i åderskass V är identiskt med tiståndet i åderskass V för tio år sedan och att deras utvecking en tioårsperiod framåt även skue vara densamma så måste virkesförrådet Vk45 vara mindre än Vk45 då i det förra inte ingår de träd som under perioden avverkats. Kaas de avverkade trädens kubikmassa vid periodens början för A så att Vk45 - A = Vk45 så är det på förrådet Vk45 - A som tiväxtprocenten p V bör tiämpas under det att tiväxten på de träd som komma att avverkas är okänd och med den tiämpade undersökningsmetodiken - tiväxtberäkning bakåt i tiden.:.._ ej heer kan bestämmas. Om man ändock använder tiväxtprocenten P vi för kvantiteten Vk45 så bygger man på antagandet att tiväxten för de träd som komma att avverkas är densamma som för dem som få stå kvar, och för avverkningskvantiteten A är pv1 då bott ett närmevärde grundat på en sannoikhetsbedömning. 1 Om bedömningen inte är fut riktig bi feverkningarna härav dock ganska små om avverkningskvantiteten A utgör en ringa de av totaförrådet. Det är emeertid tydigt att det osäkerhetsmoment som här föreigger gör att det ej finns anedning att överdriva kravet på noggrannhet beträffande andra avsnitt av beräkningsmetoden. Om man godtar att de uträknade tiväxtprocenterna även kunna användas för beräkningar framåt i tiden och att den grafiskt uppagda tiväxtprocentserien korrekt redovisar tiväxtprocentens beroende av ådern så kan man för ett förråd av en viss åder, på kurvan aväsa den reativa tiväxtökningen för en tioårsperiod framåt. Men om man önskar tiväxten för en annan period t. ex. för ett år eer för tjugo år så ger en aväsning på kurvan inte korrekt resutat. För att i detta fa erhåa ett exakt värde är det ämpigare att i stäet konstruera fram förrådsutveckingen. Ur kvoten av Vk55 och,op 1 0 erhös förrådet tio år tibaka Vk45. Divideras detta med,oj)-10fås förrådet. V V tjugo år tibaka Vk35 och genom ytterigare divisioner erhåes en förrådsutvecdingsserie som anger det nuvarande förrådets storek 10, 20, 30 etc. år tibaka. Fig. visar en sådan förrådsutveckingsserie varvid ti utgångspunkt vats förrådet för åderskass (11-20 år) k15,5 som satts ika med ett. Det kan i detta sammanhang diskuteras ti viken åder förrådet för åderskass rätteigen bör hänföras. Medetaet av ådrarna 11 och 20 år bir 15,5 år. Genom att förrådsutveckingsserien inte är rätinjig kommer vidare medetaet av förråden k11 ti k20 att bi större än k15,5 och hänföra sig ti ådern 15,5 +D, och detta D, värde bir oika för oika åderskasser. En bättre beräkning skue kunna erhåas genom att provträdsmateriaet uppdeades i årskasser i stäet för i åderskasser och att en utjämnad 1 Vid norma åggaring i ett kontinuerigt skogsbruk, där garingen huvudsakigen inriktas på att ta bort de t e k n i s k t mindre värdefua träden samt att reducera stamantaet innan tendens ti tiväxtstagnation framkommit, är det fut möjigt att tiväxtprocenten är något högre för de utstämpade träden än de kvarämnade eftersom tivä.'i:tprocenten sjunker med stigande diameter. Vid garing som nätt och jämnt föregriper sjävgaring är förhåandet däremot givetvis det om_ vända.
SAMMANSATT RA.NTA VD TLLVA.XTPROCENTBERA.KNNG 45 voym 80 70 60 so 'O 30 20 /0 O L----=o:;::::::..o_...,..............,,å/d er O 15,s 75,s.9S,s 1/S,s qr Fig.. Förrådsutveckingskurva (för k-värdena i tabe ) kurva över tiväxtfaktorns storek för oika årskasser konstruerades. Det förefaer dock föga troigt att den noggrannhet som härvid stod att vinna skue motsvara det ökade arbetet, varför man ämpigen bör godta de åderskassvis beräknade tiväxtvärdena, och åta avståndet mean två värden på abskissan, ådersaxen, utgöra exakt åderskassens tidrymd. Om man sedan avsätter förrådsvärdena över ådrarna 15, 25, 35 etc. år eer över 15,5, 25,5, 35,5 etc. år eer eventuet över 15,6, 25,6, 35,6 etc. år betyder detta en förskjutning av origo med 0,5-0,6 enheter viket om man så önskar ätt kan justeras. Av ämpighetsskä räknas här i fortsättningen med att förråden hänföra sig ti ådrarna 15,5, 25,5 etc. år. Ur den utjämnade tiväxtprocentserien erhös vid aväsning för de oika åderskasserna föjande värden på p och og,op10: åderskass V v V V V 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 p 11,5 7,5 5,4 4,2 2,9 og,op 10 0,472749 0,314085 0,228406 0,178677 0,145205 0,124154 åderskass X x X X 81-90 91-100 101-110 --120 år p 2,6 2,5 2,4 2,3 % og,op 1 0 0,111474 0,107239 0,103000 0,098756 Dessa värden återfinnas även i tabe i koumn 2 och 5. Genom succesiv summering av og,op: 10 erhåes värdena på og k och k vika stå i tabe koumn 4 och 3. Om man på den så erhåna förrådsutveckingskurvan tager fram värdena för exempevis ådrarna 30 och 31 år erhåes tiväxtprocenten under det 30:e året,,op3 0 = k31: k3o 3,4
46 ENAR STRDSBERG TABELL. Värdena för förrådsutveckingskurvan och differensvärden för og k. Die W erte der Vorratsentwickungskurve und die Differenzwerte fiir og k. 1 2. 3 a - är Pa+4,5 k a 4 og ka 5 6 7 61 a D 2 a 8 6 4 a 9 6 5 a 15.5 11.5 1.000 25.5 7.5 2.970 35.5 5.4 6.121 45.5 4.2 10.357 55.5 8.4 15.628 65.5 2.9 21.833 75.5 2.6 29.059 85.5 2.5 37.562 95.5 2.4 48.083 105.5 2.3 60.952 115.5 76.515 0. 00 0.472749 0.786834 1.015240 1.193917 1.339122 1.463276 1.574750 1.681989 1.784989 1.883745 0.472749-0 15 8664 1 + 0.072985 314085-228406 - 178677-145205 -- 124154-111474 - 107239-0987561 103000-85679 + 35950 49729 + 16257 33472 + 12421 21051 + 8371 12680 + 8445 4235 4239 4244 4 5-0.037035 19693 3836 4050 + 74 8449 1 + 0.017342 + 15857 214 + i:976 8523 + 8448-1 0 A 1 = og rop L_j. a J a+4,5 Detta värde ska sedan jämföras med medetiväxten för åderskass V (7,5 %) som erhåits ur kvoten av åderskassens förråd nu och för tio år sedan -,op V 10 = k35,5: k2575 - och som enigt gängse praxis hänföres ti ådern 30 år, (medetiväxtprocenten PV betecknas därför i fortsättningen p30). På förrådsutveckingskurvan känner man endast värdena k15,5, k25,5, k35,5 etc. men på grund av kurvans kontinueriga gång kunna meaniggande värden interpoeras med stor noggrannhet om hänsyn tages inte bott ti -differenserna 61 15,5 = k25,5 - k15,5;6 1 25,5 =k35,5- k25,5 etc., utan även ti -differensernas differenser, 2-differenserna 6 2 15,5 = D 1 25,5-6115,5 etc. samt ti dessa differensers differenser 3- differenserna D 3 osv. Om man utgår från ett på förrådsutveckingskurvan känt värde k erhåes det för ådern a+i sökta värdet k +. enigt föjande forme där m betecka a ' nar kassvidden som ju i detta fa är O år.1 a '.... /\ { +' = { + - L_j. + - - (-- ) 6 a m a 1 m 2 a + +- -<--) c--2) D3 +... J m m m a 1 Beträffande formens häredning samt icke iniär interpoering se Yue Kenda: ntroduccion to the theory of statistics.
SAMMANSATT RANTA VD TLLVÄXTPROCENTBERÄKNNG 47 Eftersom det i detta fa gäer att erhåa värdet på tiväxtprocenten pao och denna enkast erhåes ur beräkningen og 1,opa0 = og ka1 - og kao har här vats att interpoera värdena för og k. Denna beräkningsmetod eder även i övrigt fram ti avsevärda förenkingar vid beräkningen. Man erhåer og k3t = og k15,5 + 1,55. L, 1 15,5 +. 1,55. 0,55!::-, 2 15," - 1,5"5. 0,55. 0,45!::-, a 15,5 + 1,55. 0,55. 0,45. 1,45 6. \5,5 i L± -. 1,55. 0,55. 0,45. 1,45. 2,45!::-, 5 15>5. 5_ och og kao =og k15,5 + 1,45!::-, \5,5 + 1-;. 1,45 0,45!::-,2 15'"- - 13 1,45. 0,45. 0,55!::-, 3 15>i + 14 1,45. 0,45. 0,55. 1,55!::-, 4 15,5-15. 1,45. 0,45. o, 55 1,55. 2,55!::-, "15,5 varför man får og,opao = og ka1 - og kso = O,!::-, 1 15,5 +O, 6 2 15,5-0,1. 0,45. 0,55 0,1. 0,45. 0,55. 1,45. 1,55 6. 3 15>5+ --- 2. 3 2-3 4 5 = O, ( D \5,5 + 6. 2 15,5) - 0,004125 D 3 15,5 + 0,0004635 6. 515,;; = 0,1 D 1 25,5-0,004125 6315,5 + 0,0004635 D 5 15,5 Då den sista termen visar sig vara av sådan storeksordning att den kan försummas och den första termen är detsamma som og 1,op30 får man atså fram föjande mycket enka samband mean tiväxtprocenten för år 30 (pa0) och medetiväxtprocenten för tioårsperioden kring år 30 (ij30) og,opa0 = og 1,opa0-0,004125 L, 3 15,5 eer og 1,opa0 =og 1,opa0-0,04125 (og,op20 +og,op4o- 2og,op 3 o). beräkningen har hänsyn då tagits ti punkterna P2o, pa0, P4o och P5o varvid den senares värde emeertid saknar betydese. Den generea formen kan skrivas: og,opa =og 1,opa -0,04125 (og 1,opa_1 0 +og,opa+ O - 2og 1,6j''J Värdena på p: a och -p a redovisas i tabe 2 ko. 3 och 2. ()
48 ENAR STRDSBERG Tabe 2. Jämförese mean medetiväxtprocenter vid oika periodängd. V ergeich zwischen mittieren Zuwachsprozenten bei verschiedenen Periodenängen. 5- so- 5o- 20- a Pa Pa Pa Pa Pa Pa+5 Pa+5 -r--- ---- ----%-;----------:------:--------+---:- --1 20 11.5 11.42 11.44 - - 9.48 9.19 30 7.5 7.43 7.44 8.10-6.44 6.30 40 5.4 5.36 5.37 50 4.2 4.18 4.19 5.69 6.36 4.80 4.74 4.33 4.67 3.80 3.76 60 3.4 3.39 3.39 3..\0 3.70 3.15 3.12 70 2.9 2.89 2.89 2.97 3.12 2.75 2.71 80 2.6 2.59 2.59 2.67 2.76 2.55 2..>5 90 2.5 2.50 2.50 2.50 2.54 2.45 2.45 too 2.4 2.40 2.40 2.40-2.35 2.35 Önskar man medetiväxtprocenten för en 5-års period ( 5 ]5) kan man på samma sätt bestämma og k33 och og k28 och härur beräkna og,o5j-30 = (og k33 --og k28). 5 Man kommer med iknande beräkningsmetodik som förut fram ti föjande forme. (2) og,o5p a =og,opa- 0,003125 D3 a _14,5+ 0,0003437 1:':, 5 a _14,5 där den sista termen kan negigeras. Det visar sig atså att den sökta medetiväxtprocenten för en femårsperiod även den är mindre än den erhåna medetiväxtprocenten för en tioårs period men att skinaden denna gång är mindre än i förra faet då det gäde en ettårsperiod. Värdena på 5 p framgå av tabe 2 koumn a 4. För en tjugoårsperiod erhåes exempevis medetiväxtprocenten 2 0 p25 med känne- 20_.dom om förråden ks5,5 och k15,5 då man får og,op05=- (og k35,5 -og k15,5) 20 = _2_ (og,c)p 10 20 + og,op10 3 0) = (og,op20 +og,opso). 20 2 Medetiväxtprocenten för samma tidpunkt under en tio-årsperiod erhåes genom interpoering ur tiväxtprocentserien. og,op 1 0 25 = og,c)p 10 2o + 0,5 D 2 15,5-0,5. 0,5. 1,5 D 415,5-0,5. 0,5. 1,5. 2,5 D. 5 15,5 Då 0,5 D 2 15,5-0,5 (og,op10s0 -og,op1 0 20) så bir 0,5. 0,5 D 3 15,5 +!J -o ( -o + -o ) O 125 A 3 ' og,op 25 - - og,op 20 og,op so 2 + 0,0625 i:':, 41575-0,039 i:':, 5 157u ---, L.:o 15,5 1
SAMMANSATT RANTA VDTLLVAXTPROCENTBERAKNNG 49 Man finner atså att medetiväxtprocenten för tjugoårs-perioden bir större än för tio-årsperioden. 20 og,op 2 5 -og,op25 = 0,0125 D. \5,5-0,00625 L, 4 15,5 + '0,0039!:::,. 515,5 (3) Värdena på 20pa+5 och Pa+5 med hänsyn tagen ti D, 3 oeh h. 4 framgår av tabe 2 koumn 7 och 8. För trettioårs-perioden beräknas medetiväxtprocenten 3 0 P,30 såunda. v- _to : to og,opso = -(og k45,5 - og k15,5) = - (og,op2o + og,opso 30 30-1 0 - + og,op40} = - (og,op2o + og,opso + og,op.w) 3 Man får därför d og,ops0 - og,oj)30 = (og,oj)20 +og,oj)40-2og,op 3 0) =- D. 31 5,5 (4) 30 För femtioårs-perioden erhåes og : P4o - og,op4o =(og,op2o + og,opg0 + og,oiao+ og,opao- 4og,op4o). = =O, D. 3 2 5,5 + 0,02 D. 5 11;,5 (5) Värdena på 30p a och 50 p a redovisas i tabe 2 koumn 5 och 6. Av undersökningens resutat så som detta redovisats i tabe 2 framgår att om man hänför medetiväxtprocenten för en tioårsperiod ti periodens mitt så är värdet på medetiväxtprocenten något högre än tiväxtprocenten för ifrågavarande år. Feet är emeertid av så ringa storeksordning att den uppagda tiväxtprocentserien med mycket god approximation ka i, användas för tidsperioder under tio år då man erhåer ett endast obetydigt högre tiväxtbeopp än det rätta. Om man för ängre tidsperioder än tio år såsom medetiväxtprocent använder det för periodens mitt avästa värdet på tiväxtprocentkurvan erhåes ett systematiskt negativt fe som ökar med periodens ängd och för en period över 20 år i de yngre åderskasserna uppnår en sådan storek att det knappast bör toereras. 4
50 ENAR STRDSBERG Zusammenfassung ZNSESZNSEN BE DER BERECHNUNG DER ZUW ACHSPROZENTE N MEHRJA.HRGEN PERODEN Bei Zuwachsberechnungen pfegt man im agemeinen den reativen Zuwachs dem absouten vorzuziehen. Der absoute Zuwachs zeigt grosse Variationen fiir ungeiche Bonitäten, während der reative Zuwachs davon ziemich unberiihrt beibt. Da man im agemeinen den Hozvorrat in Bonitätskassen weder aufgeteit hat, nach aufgeteit wiinscht, gibt eine Berechnung nach dem Zuwachsprozent darum sicherere Resutate. Die grundegende Aufteiung des Materias ist gewöhnich die in Aterskassen. Fiir verschiedene Aterskassen erhät man wesentich verschiedene Zuwachsprocentwerte. Darum berechnet man die Zuwachsprozentwerte fiir einen recht begrenzten Atersabschnitt. Nach Ausgeichrung biden. die erhaten Prozentwerte eine mit dem Ater kontinuierich sinkende Kurve. Bei der Zinseszinsrechnung wird dann der Prozentwert auf die Mitte der untersuchten Periode bezogen. Kennt man z. B. den Hozvorrat bei den Atern 55 und 45 Jahre, errechnet man die Prozente gemäss der Forme und bezieht sie auf das Ater 50 Jahre. Dieser Prozentsatz kann auch aufgefass werden as der Mittewert der Jahreszuwachsprozente p,,, p... p,,. Wi man dann das untersuchte Materia fiir Zuwachsberechnung in der Zukuft gebrauchen, benutzt man die Ausgeichskurve fiir die Zuwachsprozente und 1iest auf ihr den W ert ab, der sich die Mitte der Periode bezieht, iiber die man die Rechnung erstreeken wi. Wenn jedoch die Zu'kuftsprognose sich auf andere Lägenperioden, z. B. 5-oder 20-Jahres Perioden, beziehen so, treten gewisse Fehangaben åuf. Eine genaue Auffassung von der reativen Vorratsentwickung ässt sich erhaten, wenn man von einen Vorrat ausgeht und ihn von 10-Jahres- zu O"}ahres-Periode,riickwärts durch den Zuwachsfaktor dividiert. Man. bekommt z..b. Vk, :, = o _w Vk55 : 1,op50 und Vk;;:,= Vk45:,op40 etc. Fig. zeigt eine Serie einer derartigen Vorratsentwickung, bei der zum Ausgangspunkt der Vorrat fiir die Aterkasse (-20 Jahre) k1,,, gewäht ist. Dieser ist geich gesetzt. Die Werte sind angegeben in Spate 3 in Tab.. Die Spate gibt das Ater an und Spate 2 die Zuwachsprozente, die einem um 4,5 Jahre höherem Ater entsprechen. Diese Werte haben sich ergeben bei einer Untersuchung des Zuwaches auf dem Fideikommiss Eriksberg in Södermanand.
SAMMANSATT RANTA VD TLLVKXTPROCENTBERKKNNG 51 Die Zwischenwerte auf der Kurve können mit hoher Genauigkeit durch numerische nterpoat1on berechnet werden. Der Vorrat peim Ater a + i ässt sich berechnen gemäss der Forme i 1 1 i i 2 1 ii i 3 k+ =k.+-d " +- -(--)D +- -(--1)(--2)D + m a 2 m m a 2.3 m m m a wobei m die Kassenbreite bezeichnet, die im voriegenden Pae 10 Jahre betrug. ndem man in dieser Weise das Vorrat von Jahr zu Jahr bestimmt, kann auch das Jahreszuwachsprocent berechnet werden. Man bekomt z. B. og,opao = og k" - og k30 Da diese Bestimmung durch Logarithmenrechnui:g erfogt, ist die obenstehende nterpoation nicht auf k sonder auf og k bezogen. Die Werte fur og k sindin T abeie Spate 4 angegeben und die ersten bis funften Differenzen dieser Werte stehen in Spate 5-9. Bei Anwendung der nterpoationsforme erhät man (Vg. Seite 47) 1 3 5 og,op30 = og k31 =og k30 = 0,1.6 ö,5-0,004125 Dt5,5 + 0,0004635 D 15,5 wobei der Sch1ussausdruck vernachässigt werden kann." Dies ässt sich auch schreiben og,op 3 0 = og,op 3 0-0,04125 (og,oj)20 +og,op4o- 2og,o}J. o). Es ergibt sich, wie in Tab. 2 Spate 3 und 2 gezeigt, dass das Jahreszuwachsprozent Pso (7,43 %) etwas niedriger wird as das mittere Zuwachsprozent fur d e 10-jahresperiode 25,5-35,5 p30 (7,5 %). Der Prozentsatz des mittieren Zuwachses paa, kann aufgefasst werden as das geometrische Mitte der Jahreszuwachsprozente p"''' p20,, p..,, da O k25,5,op25,5,op26,5...,op 3 4,5 = ks5,5 = k25,5.,o:pso Werden die Jahreszuwachprozente p"''' P2o,s... p,,, graphisch dårgestet, ergibt sich daher dass d r Wert ihres geometrischen Mittes auf dieser Kurve ein Ater von etwas unter 30 J ahren anzeigt. Der mittere Zuwachsprocent fur die Funfjahrperiode 28-32 Jahre, 5, wird dadurch rhaten, dass man in geicher Weise die Werte og ksa und og k2s berechnet. Mit geicher Berechnungsmethodik wie vorher kommt man dann zu fagender Forme og,o 5 p;ö = og,op;ö- 0,003125 D 315,5 + 0,0003437 D 5 15,5 (2). Wie aus Spate 4 in Tabee 2 hervorgeht, wird auch eer mittere Zuwachsprozent 'p,, (7,44 %) niedriger as fur die Zehnjahrperiode (7,5 %) aber etwas höher as fur die Einjahrperiode (7,43 %). Die Differenzen verschwinden bei den höheren Atern und sindam grössten bei den nied'rigen Aterskassen. Aber der systematische positive Feher, den man durch Anwendung der Zehnjahreswerte bei Perioden unter :z:ehn Jahren erhät, muss durch-. gehend as von geringer Grössenordnung angesehen werden. Die Werte der mittieren Zuwachsprozente fur die 20-30- und 50-Jahr-Perioden sind aus Spate 7, 5 und 6 in tabee 2 ersichdich und sind mit Hife fagender Formen berech:i::tet worden
52 ENAR STRDSBERG 20 Jog 1op25 -og 1oj)25 = 010125 D 31515-0100625 6 41515 + 070039 D 51575 (3) 50 og 170P4o -og 170JJ4o = 07 1D, 32575 + 0702 6 5 1575 (5) Diese Zuwachsprozentwerte werden aso grässer as die entsprechenden Prozentwerte fiir die Zehnjahrperiode. Benutzt man die Prozentwerte der Zehnjahrperioden fur Berechnungen uber }ängere Perioden, erhät man einen systematischen negativen Feher. Aus T abeie 2 geht hervor, dass Berechnungen fur ängere Perioden as 20 Jahre nur empfohen werden können, soweit es sich um Ueberschagsrechnungen handet. Wunscht man genauere Berechnungen fur so ange Perioden, ist es notwendig, erst diese systematischen Feher gemäss den oben gegebenen Fo'men zu verbessern.