TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004, TEN

Relevanta dokument
TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004, TEN

Tentamen TEN1, HF1012, 29 maj Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic

Ur en kortlek på 52 kort väljer man ( utan återläggning och utan hänsyn till ordning) slumpvis 5 kort. Vad är sannolikheten för att få

Uppgift 2. För två händelser A och B gäller P(A B)=0.5, P ( A ) = 0. 4 och P ( B

TENTAMEN Datum: 14 feb 2011

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 19 nov 07

aug 2017 Kurskod HF1012 Halilovic internet. Betygsgränser: För (betyg Fx). Sida 1 av 13

Våra vanligaste fördelningar

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

σ 12 = 3.81± σ n = 0.12 n = = 0.12

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).

Definition. Antag att 0. Sannolikheten för A om B har inträffat betecknas, kallas den betingade sannolikheten och beräknas enligt följande

Uppgift 2) Datum: 23 okt TENTAMEN I MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, kurskod 6H3000

4 Diskret stokastisk variabel

9. Konfidensintervall vid normalfördelning

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

10. Konfidensintervall vid två oberoende stickprov

Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik.

Uppgift 1. f(x) = 2x om 0 x 1

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

TMS136. Föreläsning 4

F9 Konfidensintervall

0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2.

Detta formelblad får användas under både KS2T och KS2D, samt ordinarie tentamen. x = 1 n. x i. with(stats): describe[mean]([3,5]); 4.

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 1, 4p 24 april 2004, kl

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30

Avd. Matematisk statistik

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.

Avd. Matematisk statistik

P(ξ > 1) = 1 P( 1) = 1 (P(ξ = 0)+P(ξ = 1)) = ξ = 2ξ 1 3ξ 2

Tentamen den 11 april 2007 i Statistik och sannolikhetslära för BI2

(a) sannolikheten för att läkaren ställer rätt diagnos. (b) sannolikheten för att en person med diagnosen ej sjukdom S ändå har sjukdomen, dvs.

Lycka till!

cx 5 om 2 x 8 f X (x) = 0 annars Uppgift 4

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M

Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13

Avd. Matematisk statistik

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

Matematisk statistik, LMA 200, för DAI och EI den 25 aug 2011

Uppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion

faderns blodgrupp sannolikheten att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

en observerad punktskattning av µ, ett tal. x = µ obs = 49.5.

Två parametrar: µ (väntevärdet) och σ (standardavvikelsen) µ bestämmer normalfördelningens läge

Matematisk statistik TMS064/TMS063 Tentamen

Del I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30

Summor av slumpvariabler

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M

Avd. Matematisk statistik

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M

Tentamen LMA 200 Matematisk statistik,

(a) på hur många sätt kan man permutera ordet OSANNOLIK? (b) hur många unika 3-bokstavskombinationer kan man bilda av OSANNO-

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen LMA 200 Matematisk statistik,

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning

Uppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p)

Bestäm med hjälp av en lämplig och välmotiverad approximation P (X > 50). (10 p)

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p)

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18

FÖRELÄSNING 7:

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Dahlbom, U.

TMS136. Föreläsning 7

Tillämpad matematisk statistik LMA522 (maskin/mekatroniks kurs) Tentamen

Lösningsförslag till Tillämpad matematisk statistik LMA521, Tentamen

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT

Faderns blodgrupp Sannolikheten att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

b) Beräkna väntevärde och varians för produkten X 1 X 2 X 10 där alla X i :na är oberoende och R(0,2). (5 p)

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Fredag 8 december 2006, Kl

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Grundläggande matematisk statistik

Uppgift 3: Den stokastiska variabeln ξ har frekvensfunktionen 0 10 f(x) =

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1

Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola.

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)

f(x) = 2 x2, 1 < x < 2.

TENTAMEN Datum: 16 okt 09

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik

TMS136. Föreläsning 10

Transkript:

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF004, TEN 06-06-0 Hjälpmedel: Formler oh tabeller i statistik, räknedosa Fullständiga lösningar erfordras till samtliga uppgifter. Lösningarna skall vara väl motiverade oh så utförliga att räkningarna oh de bakomliggande tankarna är lätta att följa. Lösningarna skall renskrivas oh avslutas med ett tydligt svar som skall vara så förenklat som möjligt. Examinator: Stefan Eriksson Betygsgränser: Betyget Fx: 8p, betyget E: 9 poäng, betyget D: poäng, betyget C: 5p, betyget B: 7 poäng, betyget A: 9poäng.. För händelserna A oh B gäller att P A B) 0, 8, P A B) 0, oh P B) 0, 5 a) Bestäm sannolikheten P A ) b) Bestäm sannolikheten P A B ). ) Avgör om A oh B är oberoende händelser. p). Till en telefonväxel ankommer i genomsnitt,5 anrop per minut. Vi antar att ankomster är Poissonfördelade. Bestäm sannolikheten att minst 5 anrop kommer under ett tidsintervall som är minuter långt. p). Man vill jämföra två metoder för mätning av en vis variabel som anses normalfördelad med okänd standardavvikelse. Man har parvis gjort 5 mätningar under samma villkor oh fått följande observationer. Metod 9 4 5 0 Metod 0 8 0 4 Kan man med 95 % sannolikhet påstå att det finns skillnad mellan metoderna? p) 4. Ett nytt test av blod ger positivt utslag i 98% av fallen för smittat blod oh negativt utslag i 96% av fallen för osmittat blod. Av erfarenhet vet man att irka % av alla prover som genomförs har smittat blod. Vad är sannolikheten att ett blodprov som har gett positivt utslag verkligen är smittat? p) Var god vänd.

5. En elektronisk komponent fungerar dvs strömmen kan passera komponenten) med sannolikheten p0,70. Bestäm sannolikheten att nedanstående system, som består av 0 sådana komponenter. Vi menar att systemet fungerar om det finns minst en fungerande väg mellan A oh B.) Komponenter fungerar oberoende av varandra. p) K K K4 A K K K K5 K6 B K7 K8 K9 K0 6. Arean av en ylinder räknas med A r π + rhπ. Eftersom ett viss mätfel förekommer betraktar vi en mätning av basytans radien r som en stokastisk variabel med väntevärdet E r) 4 m oh variansen V r) 0, m. För höjden h har vi E h) 0 m oh V h) 0, m. Beräkna standardavvikelsen för arean A. p) 7. Låt X, X, X vara oberoende normalfördelade s.v. sådana att E X ) µ 0, E X ) µ, E X ) µ ; Var X ) 4, Var X ), Var X ). Låt Y 5X + 4X X. Bestäm talet b sådant att P Y b) 90% p) 8. Ett bostadsområde planeras för 500 hushåll. En undersökning visar att antalet bilar per hushåll är 0,, eller med sannolikheten 0,, 0,4, 0, resp 0,. Hur många platser skal man planera om sannolikheten att alla bilar ska få plats skall vara 95%. p) 9. I en låda finns 5 röda 0 gröna oh 5 blå kulor. Vi tar 0 kulor på måfå med återläggning. Bestäm sannolikheten att vi får exakt) 5 röda, gröna oh blå kulor. Svaret kan innehålla n binomialkoeffiienter. Motivera svaret. p) k Lyka till!

FACIT. För händelserna A oh B gäller att P A B) 0, 8, P A B) 0, oh P B) 0, 5 a) Bestäm sannolikheten P A ) b) Bestäm sannolikheten P A B ). ) Avgör om A oh B är oberoende händelser. p) a) Från P A B) P + P B) P A B) får vi 0,8 P + 0,5 0. P 0,6 Därmed P A ) P 0, 4. b) Från ovanstående diagram har vi P A B ) P P A B) 0,6 0, 0, ) P A B) 0. oh P P B) 0,6 0,5 0, P A B) P P B) A oh B är oberoende händelser Svar: a) P A ) 0. 4 b) P A B ) 0, ) A oh B är oberoende händelser Rättningsmall: p för varje del. Till en telefonväxel ankommer i genomsnitt,5 anrop per minut. Vi antar att ankomster är Poissonfördelade. Bestäm sannolikheten att minst 5 anrop kommer under ett tidsintervall som är minuter långt. p) a) Under min. intervallet ankommer i genomsnitt λ.5 6. 75. Låt X vara antalet anrop under ett min.-intervall. Pminst 5 anrop kommer under ett tidsintervall som är minuter långt) P X 5) P X < 5) P X 0) + P X ) + P X ) + P X ) + P X 4) 0 4 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ e + e + e + e + e där λ 6. 75 ) 0!!!! 4! { } 0,80 Svar: 0,80 Rättningsmall: p för korrekt metod men fel beräkning. p om allt är korrekt.. Man vill jämföra två metoder för mätning av en vis variabel som anses normalfördelad med okänd standardavvikelse. Man har parvis gjort 5 mätningar under samma villkor oh fått följande observationer.

Metod 9 4 5 0 Metod 0 8 0 4 Kan man med 95 % sannolikhet påstå att det finns skillnad mellan metoderna? p) Först beräknar vi differensen Z Metod Metod Metod 9 4 5 0 Metod 0 8 0 4 Z -6 - oh därefter medelvärdet z 0,4 oh standardavvikelsen n n i * σ z ). 8 i z,45 Eftersom n5 har vi n- 4 frihetsgrader. α 5 % 0.05 α / 0,05 dvs Fx) 0,975 Från tabellen för t-fördelning med r4 frihetsgrader får vi t α / n ),776 * σ,45 Härav tα / n ),776 4,655590 felmarginal) n 5 Konfidensintervall är * * σ σ z tα / n ), z + tα / n ) ) [ 4,665;.865] n n Intervallet innehåller 0) Vi kan inte med 95% säkerhet påstå att det finns skillnad mellan metoderna.) Svar:Vi kan inte med 95% säkerhet påstå att det finns skillnad mellan metoderna. Rättningsmall: Korrekt intervall [ 4,665;.865] ger p. Korrekt intervall oh slutsatsen p 4. Ett nytt test av blod ger positivt utslag i 98% av fallen för smittat blod oh negativt utslag i 96% av fallen för osmittat blod. Av erfarenhet vet man att irka % av alla prover som genomförs har smittat blod. Vad är sannolikheten att ett blodprov som har gett positivt utslag verkligen är smittat? p) Låt S vara händelsen att blodprovet är verkligen smittat. Enligt uppgiften P S) 0,0. Låt O vara händelsen att blodprovet är verkligen osmittat. Enligt uppgiften P O) 0,97. Låt POS vara händelsen att blodprovet ger positivt utslag. Låt NEG vara händelsen att blodprovet ger negativt utslag. Enligt uppgiften har vi P POS S) 0,98 därmed P NEG S) 0, P NEG O) 0,96 därmed P POS O) 0,4

P POS S) Vi skall beräkna P S POS) P POS) Den totala sannolikheten för positivt utslag är P POS) P S) P POS S) + P O) P POS O) 0,0 0.98 + 0.97 0. 04 0,068 Härav P POS S) 0.0 0.98 P S POS) 0,4 P POS) 0,068 Svar: 4,% Rättningsmall: Korrekt total sannolikhet 0,068 ger p. Allt korrekt p 5. En elektronisk komponent fungerar dvs strömmen kan passera komponenten) med sannolikheten p0,70. Bestäm sannolikheten att nedanstående system, som består av 0 sådana komponenter. Vi menar att systemet fungerar om det finns minst en fungerande väg mellan A oh B.) Komponenter fungerar oberoende av varandra. p) K K K4 A K K K K5 K6 B K7 K8 K9 K0 Vi betraktar först Blok K K K4 K K5 K6 K7 K8 K9 K0 som består av fyra parallella vägar som fungerar med följande sannolikheter:

ppväg fungerar) p, ppväg fungerar) p, ppväg fungerar) p, p4 Pväg 4 fungerar) p, P ingen väg i Blok fungerar)-p)-p)-p)-p4) p ) p ) p) p ) PBlok fungerar) P ingen väg i Blok fungerar) p ) p ) p) p ) 0,9487 Slutligen, hela systemet fungerar om K, K oh Blok fungerar. Därför Psystemet fungerar)0,7*0,7*0,94870,4649 Svar:0,4649 Rättningsmall: Korrekt sannolikheten för Blok 0,9487 ger p. Allt korrekt p 6. Arean av en ylinder räknas med A r π + rhπ. Eftersom ett viss mätfel förekommer betraktar vi en mätning av basytans radien r som en stokastisk variabel med väntevärdet E r) 4 m oh variansen V r) 0, m. För höjden h har vi E h) 0 m oh V h) 0, m. Beräkna standardavvikelsen för arean A. p) Vi beräknar de partiella derivatorna av Arean A i punkten r, h) 4,0). Vi har A A 4 rπ + hπ, 4,0) 6π r r A A rπ, 4,0) 8π h h Enligt Gaussformel formelblad) har vi Variansen: A A V σ r + σ h 6π ) 0, + 8π ) 0, 405,4 r h Standardavvikelsen VVVVVVVVVVVVVV 7,489 Svar: 7,489 Rättningsmall: Korrekta värden av partiella derivator ger p. Allt korrekt p A 4,0) 6π oh r A 4,0) h 8π 7. Låt X, X, X vara oberoende normalfördelade s.v. sådana att E X ) µ 0, E X ) µ, E X ) µ ; Var X ) 4, Var X ), Var X ).

Låt Y 5X + 4X X. Bestäm talet b sådant att P Y b) 90% E Y ) 5E X ) + 4E X ) E X ) V σ y 6 Y ) 5 V X ) + 4 V X ) + ) V X ) 56 V Y ) 56,49 Alltså Y N6;,49) Slutligen bestämmer vi b så att P Y b) 0, 90 dvs b 6 Φ b) 0,90 Φ ) 0,90,49 Härav b 6,86 b 6 +,49,86 5,007,49 Svar: b5,007 Rättningsmall: Korrekt till Y N6;,49) ger p. Allt korrekt p 8. Ett bostadsområde planeras för 500 hushåll. En undersökning visar att antalet bilar per hushåll är 0,, eller med sannolikheten 0,, 0,4, 0, resp 0,. Hur många platser skal man planera om sannolikheten att alla bilar ska få plats skall vara 95%. p) Låt X k vara antalet bilar för hushåll k. Då är X k en diskrete s.v. med följande sannolikhetsfördelning: X k 0 P 0, 0,4 0, 0, Härav får vi väntevärdet EX k ),, variansen VX k )0,8 oh standardavvikelsen variansen 0,9. Antalet bilar i alla hushåll beteknar vi med Y. Då gäller Y 500 X k k. Enligt entralla gränsvärdessatsen är approximativt) Y N500,; 0,9 500) d.v.s. Y N650; 0,46) Kvarstår att bestämma b så att PY b) 0,95. b 650 PY b) 0,95 Fb) 0,95 F ) 0,95 0,46 Härav b 650,6449 b 650 + 0,46,6449 68. som vi avrundar uppåt). 0,46 Svar: 684 parkeringsplatser

Rättningsmall: Korrekt till standardavvikelse 0,9) i diskreta delen ger p. Korrekt till Y N650; 0,46) ger p. Allt korrekt p 9. I en låda finns 5 röda 0 gröna oh 5 blå kulor. Vi tar 0 kulor på måfå med återläggning. Bestäm sannolikheten att vi får exakt) 5 röda, gröna oh blå kulor. Svaret kan innehålla n binomialkoeffiienter. Motivera svaret p) k Notera att vi tar kulor med återläggning. Därmed är sannolikheten att få 5 en röd kula, varje gång vi drar en kula på måfå. 50 5 Kortare PR). Samma resonemang gäller för en gröna G) oh blå B) kulor: 50 0 5 PG) oh PB) 50 50 Sannolikheten för 5 röda, gröna oh blå kulor i ordning är därmed 5 5 0 5 50 50 50 Vi kan ordna 5 röda, gröna oh blå kulor på 0! olika sätt 5!!! Därför är sannolikheten för 5 röda, gröna oh blå kulor i någon ordning) lika med 5 0! 5 0 5 6 P 0.0504 5!!! 50 50 50 50 0! 5 Svar: P 5!!! 50 5 0 50 5 50 6 50 0.0504 Rättningsmall: Korrekt metod med mindre slarv fel p. Allt korrekt p