Tentamen 2017-04-22 kl 8-13 FAFF25/FAFA60 Fotonik 2017 Läs noga igenom dessa instruktioner innan du påbörjar arbetet! Lösningarna ska vara renskrivna och väl motiverade. Beskriv i text hur du löser uppgiften, och förklara de beteckningar du använder i formler och uttryck. Uppgifter utan tydligt markerat svar ger inte full poäng och glöm inte enheter! Tillåtna hjälpmedel är miniräknare, godkänd formelsamling (t.ex. TeFyMa) samt formelblad. Mobiltelefon får ej finnas i fickan eller framme på bordet. Börja ny uppgift på ett nytt blad och skriv bara på en sida av pappret. Skriv anonymkod (alternativt namn) på varje blad och numrera sidorna. Uppgifterna är inte sorterade efter svårighetsgrad. Varje korrekt löst uppgift ger 3 poäng efter en helhetsbedömning. - För betyg 3 krävs minst 12 poäng. - För betyg 4 krävs minst 16 poäng. - För betyg 5 krävs minst 20 poäng. Formelbladet hittar du sist i detta häfte. Lycka till // Martin Hansson 1. Inledande frågor: a) En enkel lupp består av endast en lins och är märkt 8x. Vad är linsens brännvidd? Glöm inte markera om linsen är positiv eller negativ. b) Använd figuren nedan och fullfölj gången för de två strålarna samt markera var bilden hamnar. Blir bilden reell eller virtuell? Linsen är negativ och de två svarta punkterna markerar linsens brännpunkter. c) En halvcylinder av glas (nn = 1,5) kan användas för att bestämma brytningsindex hos vätskor. En droppe av vätskan placeras på halvcylinderns plana yta, och man uppmäter sedan att totalreflektion inträffar vid en infallsvinkel av 60. Vad är vätskans brytningsindex? 2. Diskussionsuppgift Under åren 1884 1885 utvecklades den konstriktning som kallas pointillismen (från franskans point som betyder punkt). Konstnärer som Georges Seurat och Paul Signac byggde upp sina tavlor med hjälp av en stor mängd små färgpunkter. Tanken var att när man betraktade tavlorna på lite avstånd skulle punkterna flyta ihop till ett enhetligt färgintryck. Den teknik som Seurat och Signac uppfann är idag vanligare än någonsin. Varför flyter färgpunkterna ihop? Var används tekniken idag? Nämn ett exempel. 1
Tentamen 2017-04-22 kl 8-13 FAFF25/FAFA60 Fotonik 2017 3. Bestämning av hårtjocklek Då du arbetar med en röd helium-neon-laser (λλ = 632,8 nm) råkar laserstrålen stryka längs med håret på din arm innan det träffar en skärm 2,2 m bort. På skärmen ser du då att den ursprungliga laserfläcken på några få millimeter sprids ut längs med ett par linjer i olika vinklar (se figuren ovan till vänster). a) Beskriv i ord vad som orsakar mönstret och förklara varför ljuset sprids längs flera räta linjer. b) Du tar ett fotografi av böjningsmönstret tillsammans med en linjal då endast ett hårstrå belyses (se figuren ovan till höger). Beräkna hårstråets tjocklek och var noga med att motivera valet av formler. 4. Rubinlasern Den första användbara lasern gjordes vid Hughes Research Laboratories i Malibu av Theodore Maiman år 1960. Den första lasern var en rubinlaser, där lasermediet bestod av en rubinkristall. Det är mellan energinivåer i Cr 3+ -joner som lasring fås på våglängden 694 nm. Figuren till höger visar ett tvärsnitt genom en rubinlaser i vilken pumpning sker med den spiralformade blixtlampan. En rubinstav innehåller 10 17 Cr 3+ -joner per kubikcentimeter. Maximum på linjeprofilen är gg(ff 0 ) = 6,67 ps och livstiden för den övre nivån är 3 ms. Brytningsindex för rubinstaven är 1,78. a) Vad är förstärkningsfaktorn γγ(ff 0 ) om 75% av populationen pumpas till den övre lasernivån? Du kan förutsätta att den resterande populationen befinner sig i den nedre lasernivån. b) Rubinstaven är 5 cm lång och placeras i en kavitet där en av ändspeglarna har 100% reflektans, och den andra har en lägre reflektans för att koppla ut en del av laserljuset. Vilken är den minsta reflektans som den andra spegeln kan ha för att få nettoförstärkning i kaviteten? 2
Tentamen 2017-04-22 kl 8-13 FAFF25/FAFA60 Fotonik 2017 5. Rotation av polarisation Ibland behöver man rotera polarisationsriktningen hos planpolariserat ljus (t.ex. laserljus eller ljuset från en LCD-skärm). Det finns många sätt att göra detta, varav ett billigt sätt är att använda sig av två eller fler polarisatorer. a) Ljus som är planpolariserat i horisontalplanet infaller med intensiteten II 0 mot två polarisatorer (se figur ovan). Den första polarisatorns (A) transmissionsaxel är roterad 45 från horisontalplanet runt den optiska axeln. Precis bakom är den andra polarisatorn (B) placerad med transmissionsaxeln roterad 90 från horisontalplanet runt den optiska axeln. I vilken riktning är det transmitterade ljuset polariserat och hur hög är intensiteten uttryckt i II 0? b) Man byter nu plats på de två polarisatorerna. Hur hög blir den transmitterade intensiteten nu jämfört med intensiteten på det infallande ljuset? c) Ett annat sätt att rotera polarisationsriktningen för planpolariserat ljus är att använda en halvvågsplatta. Kvarts är ett dubbelbrytande material med brytningsindexen nn oo = 1,545 respektive nn ee = 1,552. Vilken är den minsta tjocklek av kvarts som krävs för att skapa en halvvågsplatta för våglängden 560 nm? 6. Interferens med plantolk En tunn plankonvex lins placeras med den krökta ytan mot en plantolk, d.v.s. en perfekt plan glasyta, och belyses sedan med ett parallellt strålknippe vid våglängden 632,8 nm från linsens plana yta. Plantolkens yta avbildas i reflektion, d.v.s. från samma håll som belysningen, och ger en bild enligt figuren till höger. Både linsen och plantolken är gjord av glas av typen kvarts med ett brytningsindex på 1,457. a) Tredje ringen för total utsläckning i reflektion ligger på en radie av 2,95 mm från centrum av mönstret. Bestäm krökningsradien för linsens konvexa yta. b) Använd den krökningsradie du bestämde i a) och beräkna den linsens brännvidd. Om du inte fick fram ett svar i a) kan du använda krökningsradien 5,5 m för linsens konvexa yta. 3
Tentamen 2017-04-22 kl 8-13 FAFF25/FAFA60 Fotonik 2017 7. Radioteleskopet Arecibo Upplösningen hos avbildande optik är starkt kopplad till de elektromagnetiska vågornas frekvens. För radiovågsteleskop innebär detta att den insamlande reflektorn måste ha en mycket stor diameter för att ge en liten vinkelupplösning. Radioteleskopet vid Arecibo på Puerto Rico var fram till 2016 världens största med en diameter av 305 m och har figurerat till exempel i filmen GoldenEye från 1995. a) Vad är teleskopets vinkelupplösning vid radiofrekvensen 1,42 GHz? b) Ett annat sätt att skapa en god vinkelupplösning är att placera ut flera mindre parabolantenner längs med en linje. Detta principen för teleskopet Very Large Array i New Mexico. För att rikta teleskopet mot ett objekt måste varje parabolantenn riktas ditåt, men även en fördröjning måste introduceras mellan de mottagna signalerna innan de adderas ihop. Antag att parabolerna är utplacerade med ett avstånd av 3 km och riktas mot en avlägsen punkt 3 från zenit och att parabolerna samt objektet ligger i samma plan. Hur stor är tidsskillnaden för ljusvågor som lämnar punktkällan då de når två intilliggande mottagare? 8. Okänd optisk fiber Nobelpriset 2009 gick bland annat till Charles K. Kao för hans forskning om hur ljus kan ledas i en optisk fiber. För att uppmäta designparametrarna för en optisk fiber används en uppställning där man kopplar in ljus i fibern och mäter transmissionen. Laserljus kopplas in i fibern genom att fokusera det laserstråle med hjälp av en lins med brännvidden 50 mm. I figuren till höger visas den uppmätta transmissionen genom en okänd fiber, där man varierat laserstrålens diameter före fokusering. Laserljusets våglängd är 780 nm och fibern är så kort att du kan försumma dämpning på grund av absorption. Fiberns kärndiameter är 5 µm och kärnans brytningsindex är 1,52. a) Bestäm fiberns numeriska apertur. b) Vad är mantelns brytningsindex? Om du inte fick fram ett svar i uppgift a), så kan du räkna med NA = 0,1. c) Hur många moder kan existera i fibern vid denna våglängd? 4
Lösningsförslag Tentamen i fotonik FAFA60/FAFF25 April 24, 2017 1 Inledande frågor a) Det som anges på luppen är vinkelförstoringen G = 8. Vinkelförstoringen kan skrivas G = d 0 /f, där d 0 = 25 cm är avståndet för tydligast seende. f = d 0 /G = 25 cm/8 = 3,125 cm b) Bilden blir virtuell och förminskad enligt figuren nedan. c) Brytning i ett plant ytskikt mellan två material med olika brytningsindex, n 1 och n 2, ges av n 1 sin α 1 = n 2 sin α 2. Gränsvinkeln för total reflektion, d.v.s den minsta infallsvinkel α g för vilken totalreflektion inträffar, kan beräknas genom att sätta α 2 = 90 sin α 2 = 1. n 2 = n 1 sin α g = 1,5 sin 60 = 1,299 1
2 Diskussionsuppgift Färgerna flyter ihop på grund av ögats begränsade vinkelupplösning. Färgpunkterna på en bildskärm är ett modernt exempel på samma idé. Inom tryckeribranschen utnyttjas färgpunkter för att bygga upp en bild. Vid fyrfärgstryck delas en färgbild upp i tre färger samt svart som trycks var för sig. 2
3 Bestämning av hårtjocklek a) Varje belyst hårstrå ger upphov till diffraktion eller böjning. Enligt Babinets princip kommer böjningsmönstret från ett hårstrå vara identiskt med böjningsmönstret från en spalt med samma tjocklek (förutom i det område där laserljuset skulle träffa utan ett objekt i vägen). Laserljuset böjs vinkelrätt mot hårstråets orientering och laserljuset utbredningsriktning. När flera hårstrå belyses kommer varje hårstrå ge upphov till böjning som motvaras av en linje i det totala böjningsmönstret. b) Enligt Babinets princip kan formeln, a sin θ = mλ, för böjningsminimum för en spalt användas även på hårstrået. I denna formel motsvarar a hårstråets tjocklek och våglängden är angiven till λ = 632,8 nm. Från figuren avläses att tredje böjningsminimum (m = 3) ligger på ett avstånd x = 4,1 cm från centralmaximum och böjningsmönstret observeras på ett avstånd L = 2,2 m. Detta ger vinkeln θ = arctan (x/l) = 1,0677.... a = mλ sin θ = 3 632,8 nm 102 µm sin (arctan (4,1 cm/2,2 m)) 3
4 Rubinlasern a) Förstärkningsfaktorn ges av γ (f 0 ) = (N 2 N 1 ) λ2 8πτ g (f 0). I uppgiftstexten anges att livstiden är τ = 3 ms, samt att maximum på linjeprofilen är g (f 0 ) = 6,67 ps. Våglängden i formeln gäller i materialet, och man måste därför ta hänsyn till brytningsindex, d.v.s. λ = λ 0 /n, där λ = 694 nm och n = 1,78. Variablerna N 1 och N 2 är populationen i det nedre respektive övre lasertillståndet, och vi får att N 2 = 0,75N och N 1 = 0,25N, där N = 10 17 cm 3. Slutligen beräknas förstärkningsfaktorn till γ (f 0 ) = 0,6724 m 1 b) Förstärkning i en rundtripp i laserkaviteten ges av G = R 1 R 2 e 2γ(f0)L, där L = 5 cm är förstärkningmediets längd. För att få en nettoförtärkning måste G > 1. Reflektansen i ena ändspegeln är känd, R 1 = 1, och reflektansen R 2 sökes. 1 R 2 > = 0,93497... 0,935 R 1 e2γ(f0)l 4
5 Rotation av polarisation a) Vi får angivet att polarisatorerna har sina transmissionsaxelar i vinklarna θ A = 45 respektive θ B = 90 från horisontalplanet, i vilket det infallande ljuset är polariserat. Det infallande ljuset blir efter A polariserat 45 från horisontalplanet med intensiteten I A = I 0 cos 2 (θ A ) = I 0 cos 2 (45 ) = I 0 /2. Ljuset blir efter B polariserat i vinkeln 90 från horisontalplanet med intensiteten I B = I A cos 2 (θ B θ A ) = I A cos 2 (45 ) = I A /2 = I 0 /4 b) Om vi byter plats på polarisatorerna så är vinkeln mellan det infallande ljusets polarisation och första polarisatorns transmissionsaxel 90 och inget ljus kommer transmitteras enligt Malus lag. c) En halvvågsplatta motsvaras av att en fasskillnad på φ = π introduceras mellan två vinkelräta polaristations komponenter. Formeln för fasskillnad i ett dubbelbrytande material introduceras en fasskillnad φ = 2π λ d n e n o. Våglängden är angiven till λ = 560 nm och de två brytningsindex är 1,545 respektive 1,552. Vi söker tjockleken d: d = φλ 2π 1 = 40 µm n e n o 5
6 Interferens med plantolk a) Vi får angivet att den tredje mörka ringen ligger på en radie x = 2,95 mm. Interferensen i en plantolk ger att luftspaltens höjd är vid detta avstånd d = 3λ/2. Pythagoras sats utnyttjas för: x 2 + (R d) 2 = R 2 R = x2 + d 2 2d = 4,584 m b) Formeln för brytningsstyrka i en lins är: ( 1 1 = (n 1) + 1 ) f R 1 R 2 Här är R 2 = på grund av att den andra ytan är plan. Brytningsindex är angivet till n = 1,457. Detta ger nu: f = R 1 n 1 = 10 m (1) 6
7 Radioteleskopet Arecibo a) Reflektorns diameter är 305 m och vid frekvensen f = 1,42 GHz är våglängden λ = c/f 0,21 m. Rayleighs upplösningskriterium tillsammans med formeln för böjning i cirkulär öppning (D sin θ = 1,22λ) ger minsta vinkeln θ mellan två objekt som ska upplösas: ( ) 1,22λ θ = arcsin 0,0484 = 2,9 D b) Vägskillnaden för vågorna från en avlägsen punkt kan beräknas genom l = d sin θ, där d = 3 km är det horisontella avståndet mellan mottagarna och θ = 3 är vinkeln till punkten. Detta ger tidsförskjutningen: t = l/c = d sin θ/c = 524 ns 7
8 Okänd optisk fiber a) Den numeriska aperturen begränsar stråldiametern uppåt. Diametern vid vilken transmissionen börjar sjunka avläses till D = 12 mm. Den numeriska aperturern ges då av NA = sin θ a = sin (arctan (D/2/f)). Med brännvidden f = 50 mm beräknas värdet till: NA 0,119 b) Den numeriska aperturen ges även av uttrycket NA = n 2 k n2 m. Kärnans brytningsindex är angiven till n k = 1,52 och mantelns brytningsindex löses ut: n m = n 2 k NA2 1,515 c) Fiberparametern beräknas genom V = πd kna λ 0. Här är kärnans diameter d k = 5 µm och våglängden är 780 nm. Fiberparameterns värde blir då: V = 2,4 För värden på V < 2,405 gäller att fibern är en så kallad enkelmodfiber, d.v.s. att endast en mod kan existera i fibern. 8