Elenergiteknik. Industrial Electrical Engineering and Automation. Exempelsamling - Uppgifter. Olof Samuelsson

2014 Industrial Electrical Engineering and Automation Elenergiteknik Exempelsamling - Uppgifter Olof Samuelsson Industriell Elektroteknik och Automation Lunds Tekniska Högskola

Elenergiteknik Exempelsamling Olof Samuelsson Industriell Elektroteknik och Automation 2014

Innehåll Uppgifterna i denna exempelsamling är hämtade enbart från duggor och tentamina i Elenergiteknik under flera år. Detta garanterar att de är relevanta för kursens examination. De senaste årens duggor ordinarie tentamina ingår dock inte utan kan användas i sin helhet för att få ett intryck av hur en dugga respektive tentamen ser ut. Lund, Oktober 2008 Alla referenser till kursboken Elenergiteknik har anpassats till den senaste upplagan. Lund, Januari 2014 Uppgifter... 5 1 Effekt och energi... 5 2 Växelström och effekt i tre faser... 13 3 Dynamik... 27 4 Kraftelektronik och elmotorer... 36 Lösningar... 53 1 Effekt och energi... 53 2 Växelström och effekt i tre faser... 58 3 Dynamik... 68 4 Kraftelektronik och elmotorer... 76

Elenergiteknik Uppgifter 1 Effekt och energi Uppgifter Uppgifterna har delats in i de fyra kategorierna Effekt och energi, Växelström och effekt i tre faser, Dynamik och slutligen Kraftelektronik och elmotorer. Detta är i stort en kategori för vardera av kursens tre delar/inlämningsuppgifter samt Dynamik som berör de två sista delarna. Eftersom tentamensuppgifterna ges efter att allt material undervisats är de dock inte renodlade, vilket gör att det i många fall är svårt att hitta en entydig kategorisering. I rubriken till varje uppgift står D för dugga eller T för tentamen samt det datum då denna gavs. Varje kategori inleds med de kortare uppgifterna från duggorna. 1 Effekt och energi Energi och effekt är absolut grundläggande i kursen. Nära relaterat är kvoten mellan dessa som är en tid, samt verkningsgrad som är kvoten mellan energier eller effekter. 1.1 Elenergi och -effekt D020925:2 Välj enhet och tiopotens-prefix så följande påståenden blir korrekta: a) Sveriges vattenmagasin rymmer 34. b) Årsförbrukningen av el i Sverige under 2001 var ca 150. c) 17 januari 2001 mellan kl 17 och 18 var den elektriska systembelastningens totala aktiva effekt i Sverige, Norge, Finland och Själland ca 61.6. 1.2 Kraftvärmeverk D030924:1 a) Ett litet kraftvärmeverk baserat på en gasturbin går på gas och ger 105 kw el med en verkningsgrad på 30%. Vilken effekt matas in i form av ett gasflöde? b) För kraftvärmeverket i a) med samma ineffekt har produktion av el och värme tillsammans verkningsgraden 78 %. Hur mycket värmeeffekt får man ut vid produktion av 105 kw el? c) Vattenturbinen i ett vattenkraftverk med en installerad generatoreffekt på 100 MW och årlig drifttid på 5000h ska renoveras. Verkningsgraden beräknas förbättras 3 procent. Hur mycket är den extra el värd som produceras under tio år med den renoverade turbinen? Använd ett elpris på 250 SEK/MWh. 1.3 Vindkraftverk D050921:1 I ett visst vindkraftverk omvandlas vindenergin först till mekanisk energi av en vindturbin som driver en växellåda. Denna driver en trefasig asynkrongenerator som matar ut elenergin i elnätet. a) Vid ett driftfall levererar generatorn 2 MVA med en effektfaktor på 0,85. Hur mycket aktiv elektrisk effekt matas ut på elnätet? b) Förlusterna i generator och växellåda är tillsammans 89,5 kw. Vilken verkningsgrad har vindkraftverket räknat från vindturbinens axel till elnätet? 5

1 Effekt och energi Uppgifter Elenergiteknik c) Hur mycket energi levererar verket om det drivs enligt ovan kontinuerligt i ett dygn? d) Vindturbinens rotor har diametern 70 m, tröghetsmomentet 2.5 10 6 kgm 2 och roterar med varvtalet 20 varv/min. Vilken energi finns lagrad enbart i turbinens rotor vid detta varvtal? 1.4 Asynkrongenerator D040922:1 En asynkrongenerator i ett kraftverk uppges ha cosϕ=0.85, drifttid 3000 h/år och verkningsgrad 95 %. I produktion lämnar generatorn 5 MW till elnätet. a) Vilken aktiv effekt lämnar turbinen till generatorn? b) Vilken skenbar effekt lämnar generatorn till elnätet? c) Vilken energi levererar generatorn under ett år? 1.5 Vägguttag och magnetfält D030924:2 a) I ett vanligt enfas vägguttag i Sverige har spänningen effektivvärdet b) I ett vanligt enfas vägguttag i Sverige har spänningen toppvärdet c) Du har beräknat det totala B-fältet från en trefasig 400 kv kraftledning med 1000 A till 0.57 µt på 100 m håll. B-bidraget från en av faserna på 100 m håll är17.5 µt! Välj den viktigaste orsaken till att totala fältet är mindre än fältet från en fas: Avstånden från fasledarna till mätpunkten är olika. Symmetriska trefasströmmar summeras till noll. B-fältbidragen från de tre faserna är olika riktade i mätpunkten. 1.6 Pumpreglering D031015:1 Flödet från en pump skall reduceras. I figuren till höger finns både pump-kurvor och lastkurvor för strypt och ostrypt system. a) Vilken av följande metoder ger högst medeleffektförbrukning vid flödesreducering med en centrifugalpump: Tryck A) Till/från-reglering B) Strypning C) Varvtalsreglering b) Med vilken eller vilka av följande metoder kan man kontinuerligt reducera varvtalet för en växelströmsmotor: Flöde 6

Elenergiteknik Uppgifter 1 Effekt och energi A) Reducera tröghetsmomentet B) Reducera frekvens och/eller spänning C) Öka maskinens poltal c) Uppskatta ändringen av effektuttaget vid varvtalsreglering respektive strypning. 1.7 Massflöden D041013:1 Samma centrifugalpump är ansluten i tre olika fall: Tryck I fall A pumpar den genom en 5 cm diameter ledning till en tank med vattenytan i nivå med pumpen I fall B pumpar den genom en betydligt tunnare rörledning än A till samma tank som i fall A. I fall C pumpar den genom samma rörledning och till samma tank som i fall A, men med lägre pumpvarvtal. Flöde a) Ange i diagrammet vilken av de tre fallen som hör till vilken arbetspunkt. b) Vilken av fallen B och C ger den lägsta energikostnaden om man antar att de åstadkommer samma volymflöde? c) Uppskatta skillnaden i energiåtgång mellan fall B och C. 1.8 Elhybridfordon D041013:4 a) Vilka är de två viktigaste fördelarna för ett elhybridfordon jämfört med ett konventionellt fordon? b) Hur är storleksrelationen (i kg) mellan en elmaskin och en förbränningsmotor designade för samma maximala vridmoment, 1:1, 1:10 eller 1:100? c) Hur stort batteri (i kg) behövs för att fånga rörelseenergin hos en normal personbil som bromsar från 100 km/h till stillastående, 1-10-100 kg? 1.9 Elhybridfordon D051012:3 a) I elhybridfordon är det centralt med hög verkningsgrad. Vilken är den maximala verkningsgraden för en bensinmotor (Otto-motor)? Vilken ungefärlig verkningsgrad har en permanentmagnetiserad synkronmotor? b) Bedöm med hjälp av hur energiflödet går om verkningsgraden för en elhybridbil som man tankar med bensin kan vara högre än bensinmotorns maximala verkningsgrad. OBS ja/nej räcker inte som svar! 7

1 Effekt och energi Uppgifter Elenergiteknik c) En elhybridbil av plugin-typ kan tankas med både el och bensin. Energiförbrukningen avgörs av kombinationen av ren eldrift och hybriddrift. Ange om verkningsgraden för någon kombination kan vara högre än bensinmotorns maximala verkningsgrad? OBS ja/nej räcker inte som svar! d) En liter bensin innehåller ca 10 kwh energi. Hur mycket energi kan ett batteri med motsvarande volym rymma? 1.10 Drifttid T080108:1 Ett kraftverk lämnar inte alltid sin maximala effekt, men den energi som produceras under ett år kan räknas om till maximal effekt producerad under en kortare tid som kallas årlig drifttid. Detta är ett viktigt nyckeltal för olika kraftverkstyper. Kommentera gärna dina svar i denna uppgift! a) Kärnkraftverk i Sverige har typiskt en årlig drifttid på ca 7500 h. Hur mycket installerad effekt behövs för att producera 2025 GWh per år? Detta motsvarar den utbyggnad av Ringhals 4 som beräknas vara klar 2011. b) Solceller i Sverige har typiskt en årlig drifttid på ca 1000 h. Hur mycket solcellseffekt behöver installeras för att producera 2025 GWh per år? c) Sveriges största solelanläggning juli 2007 på Ullevi är på 80 kw. Hur många sådana (avrunda uppåt) ger den installerade effekten i uppgift b? d) Vindkraftverk på land i Sverige har typiskt en årlig drifttid på ca 2000 h. Hur mycket effekt behöver installeras för att producera 2025 GWh per år? e) Ett vindkraftverk är idag typiskt på 3 MW. Hur många sådana (avrunda uppåt) ger den installerade effekten i uppgift d? 8

Elenergiteknik Uppgifter 1 Effekt och energi 1.11 Energitillgänglighet T080325:1 Uppgifterna ovan har hämtats från fickfoldern om Elåret 2006 från Svensk Energi. Ur dessa kan man bestämma antalet fulleffekttimmar den installerade kapaciteten (antas här vara den samma hela 2006) behöver för att producera årets energi. Uttryckt i % av årets timmar kallas detta kraftslagets energitillgänglighet. a) Bestäm energitillgängligheten för vattenkraft 2006. b) Bestäm energitillgängligheten för kärnkraft 2006. c) Bestäm energitillgängligheten för övrig värmekraft 2006. d) Kärnkraftverken körs som kondenskraftverk. Uppskatta hur mycket energi släpptes ut i havet med kärnkraftverkens kylvatten under 2006. e) Uppskatta verkningsgraden för transporten (i det svenska kraftsystemet) av el från kraftverken till förbrukarna. 9

1 Effekt och energi Uppgifter Elenergiteknik 1.12 El från sol och vind T080829:1 Enligt fickfoldern om Elåret 2007 från Svensk Energi kom under 2007 1,4 TWh el från 788 MW installerad vindkraftkapacitet. Ur detta kan man bestämma antalet fulleffekttimmar den installerade kapaciteten (antas här vara den samma hela 2007) behöver för att producera årets energi. Uttryckt i % av årets timmar kallas detta kraftslagets energitillgänglighet. a) Bestäm antalet fulleffekttimmar och energitillgängligheten för vindkraft 2007. b) Använd svaret i a och uppskatta hur mycket elenergi ett litet vindkraftverk på 2,2 kw lämnar under ett år. c) Enligt läroboken lämnar söderriktade solceller i Sverige ca 100 kwh/m 2 under ett år. Uppskatta hur mycket elenergi en solelanläggning på 110 W och ungefär 1 m 2 lämnar under ett år. d) Bestäm energitillgängligheten för solel baserat på uppgifterna i c. e) Vindkraftverket ovan kostar enligt uppgift 28000 SEK, solelanläggningen 16900 SEK (sommarerbjudande). Om anläggningarna antas hålla lika länge och övriga kostnader försummas kostar en kwh solcellsel X gånger så mycket som en kwh vindkraftel. Bestäm X. 1.13 Effektiv energianvändning T021022:4 Ett köpcentrum är på 10000 m 2 golvyta med i genomsnitt 5 meters takhöjd, d.v.s. 50000 m 3 luft, som skall bytas var timme. Ventilationen sker med en motordriven fläkt. Nattetid (8 timmar/dygn, året om) vill man minska ventilationen, till 50% av full ventilation. Detta kan ske genom endera strypning eller reducering av fläkthastigheten med en kraftelektronisk effektomvandlare (frekvensomvandlare). Figuren visar fläktkurva och lastkurva för normal drift samt fläktkurvan för drift vid den reducerade hastighet som ger halva flödet. a) Rita i figuren på fri hand in hur lastkurvan borde se ut för strypt drift. b) Hur stor effekt åtgår för att ventilera lokalen i normal, strypt respektive lågvarvsdrift om man antar att hela drivsystemets (motor + kraftelektronik) verkningsgrad (mekanisk effekt ut/elektrisk effekt in) är 80%? Använd data för strypt drift från din egenhändigt ritade kurva. 10

Elenergiteknik Uppgifter 1 Effekt och energi 150 100 H [N/m2] 50 0 0 5 10 15 Q [m3/s] Fläktkurva och lastkurva för normal drift samt fläktkurvan för drift vid den reducerade hastighet som ger halva flödet. Flöde Q i m 3 /s. c) Med ett energipris på 0.7 SEK/kWh, hur mycket får frekvensomvandlaren kosta om den skall betala sig på 3 år? d) Frekvensomvandlaren är trefasigt ansluten till nätet (400 V, 50 Hz). Hur stor fasström drar den från nätet vid normaldrift och vid reducerad hastighet om vi antar att det sker med effektfaktorn 1. 1.14 Effektiv energianvändning T031021:4 Du har i denna kurs studerat två olika tillämpningar där energianvändning kan effektiviseras genom kraftelektronisk motorstyrning, dels fläkt/pump-drift, dels framdrift av fordon. a) Förklara med egna ord varför och på vilket sätt energianvändningen skiljer sig mellan varvtalsstyrning och strypning av flöden i fläktar/pumpar. Med i förklaringen skall följande begrepp vara: tryck, flöde, varvtal, effekt, pumpkurva/fläktkurva, lastkurva. b) Skissa en lastkurva och en fläktkurva för ett ventilationssystem, rita in arbetspunkterna för fullt flöde respektive halverat flöde och uppskatta storleksordningen i förhållandet mellan energianvändningen vid varvtalsstyrning respektive strypning. c) Förklara med egna ord hur förbränningsmotorns energianvändning påverkas vid hybridisering av ett konventionellt fordon. Förklaringen skall innehålla följande begrepp: varvtal, vridmoment, effekt, arbetspunkt, verkningsgrad, 11

1 Effekt och energi Uppgifter Elenergiteknik energilagring. Som stöd får du en verkningsgradsmapp för en konventionell förbränningsmotor. d) Ange typiska värden för fordonets medelverkningsgrad vid konventionell drift samt vid hybriddrift. 12

Elenergiteknik Uppgifter 2 Växelström och effekt i tre faser 2 Växelström och effekt i tre faser Synkrongeneratorer som nästan all världens el framställs med producerar trefasig växelspänning och växelström. I denna form överförs nästan all el från kraftverket via transformatorer och kraftledningar ända fram till slutanvändaren. Aktiv effekt är genom sitt nära samband till energi det mest centrala. Växelspänning över kapacitanser respektive växelström genom induktanser ger reaktiv effekt. Växelström används både till aktiv och reaktiv effekt och för att kunna utnyttja apparaters kapacitet på bästa sätt söker man minimera flöden av reaktiv effekt, bland annat genom reaktiv effektkompensering. 2.1 Motoreffekt D020925:4 Ett oscilloskop ansluts till en trefasig elmotor och visar följande kurvformer för spänningarna mellan fas och nolla samt strömmarna i fasledarna till motorn. u ˆ =325 V, i ˆ =3.08 A, ϕ=36.9 a) Bestäm den skenbara trefaseffekt som motorn drar. Ange enhet i svaret. b) Bestäm den aktiva trefaseffekt som motorn drar. Ange enhet i svaret. c) Tre kondensatorer valda för fullständig reaktiv effektkompensering kopplas in parallellt med motorn. Spänningen antas oförändrad. Hur stor blir strömmen i en fas till motor och kondensator? 13

2 Växelström och effekt i tre faser Uppgifter Elenergiteknik 2.2 Trefasspänningar och strömmar D040922:3 Oscilloskopbild som visar att spänningen u L1N mellan fas L1 och nollan har toppvärdet 325 V, spänningen u L1L2 mellan faserna L1 och L2 har toppvärdet 563 V samt att strömmen i 1 i fas L1 har toppvärdet 4.1 A. u L1N och u L1L2 passerar noll med 1.67 ms mellanrum och u L1N och i 1 passerar noll med 2.05 ms mellanrum. Frekvensen är 50.00 Hz. a) Antag symmetri och komplettera nedanstående uttryck för ögonblicksvärden på fasspänningar och strömmar i alla tre faserna. Använd numeriska värden men behåll t. u L1N (t) = u L 2N (t) = u L 3N (t) = i 1 (t) = i 2 (t) = i 3 (t) = b) Välj spänningen i fas L1 som riktfas och skriv visaruttrycken för fasspänningar och strömmar i alla tre faserna. U L1N = U L 2N = U L 3N = I 1 = I 2 = I 3 = c) Rita de sex visarna från b) i det komplexa talplanet. I R 14

Elenergiteknik Uppgifter 2 Växelström och effekt i tre faser 2.3 Växelströmsmotor D040922:4 På en trefasig växelströmsmotor står 380 V, 4.7 A, cosϕ 0.89 (ind). Spänningen är en huvudspänning. Motorn ansluts till ett vägguttag med huvudspänning 380 V och frekvensen 50 Hz. Motorn belastas sedan så att den drar 4.7 A varvid cosϕ blir 0.89. a) Hur mycket skenbar, aktiv och reaktiv effekt drar motorn? b) Vi vill ansluta tre Y-kopplade kondensatorer i samma vägguttag så att motor och kondensator tillsammans bara drar aktiv effekt från nätet. Vilken kapacitans ska varje kondensator ha? c) Vi vill ansluta tre D-kopplade kondensatorer i samma vägguttag så att motor och kondensator tillsammans bara drar aktiv effekt från nätet. Vilken kapacitans ska varje kondensator ha? 2.4 Jordfelsbrytare D020925:1 Avgör i följande tre fall om inkoppling via en jordfelsbrytare skulle skydda den avbildade personen som genomflyts av ström enligt den vita blixten när denne: a) Vidrör spänningsförande del. b) Vidrör fas och nolla. c) Vidrör spänningsförande ej skyddsjordat hölje. Svara med ja (den skyddar) eller nej (den skyddar inte). a) b) c 2.5 Jordfelsbrytare D030924:3 Ange rätt eller fel för följande tre påståenden: Jordfelsbrytare a) fungerar bara för utrustning med ansluten skyddsjord Rätt Fel b) mäter ström till jord genom att summera strömmarna i fasledare och nolledare. Rätt Fel c) bryter inte strömmen om jag stoppar ett finger i varje hål i ett vägguttag. Rätt Fel 15

2 Växelström och effekt i tre faser Uppgifter Elenergiteknik 2.6 Glödlampor och jordfelsbrytare D050921:4 a) Tre glödlampor märkta 230 V och 60 W är kopplade i delta och anslutna till ett trefasuttag i labbet där huvudspänningen är 230 V. Vilken effekt utvecklar lamporna tillsammans om de i stället Y-kopplas? b) Jordfelsbrytaren i labbet skyddar en kopplingslåda med tre fasanslutningar, nolla och jord. Finns det något sätt att koppla en glödlampa mellan fasanslutningar och nolla så att brytaren löser ut? Visa i så fall hur man kopplar. c) Finns det något sätt att koppla en glödlampa till fasanslutningar, nolla och jord så att brytaren löser ut? Visa i så fall hur man kopplar. d) Cykelkraftverket i labbet kopplades in till elnätet genom ett fasningsdon, där det parallellt med strömbrytaren i varje fas kopplats en lampa. Antag att elnät och cykelgenerator båda har huvudspänningen 230 V och att infasningsproceduren kommit så långt att det bara återstår att få rätt fasläge. Lamporna blinkar då långsamt. Vilken är den största spänning (effektivvärde) en lampa då utsätts för? 2.7 Elektriska maskiner D041013:2 En trefasig växelströmsmotor som en PermanentMagnetiserad SynkronMaskin PMSM, kan beskrivas genom samband mellan begreppen nedan. Dra linjer mellan begreppen i vänster och höger kolumn nedan för att knyta ihop sådana som det råder ungefärlig proportionalitet emellan. Elektrisk storhet Spänning Ström (i y-led) Effekt Frekvens Mekanisk storhet Varvtal Vridmoment 16

Elenergiteknik Uppgifter 2 Växelström och effekt i tre faser 2.8 Trefasig pumpmotor D050921:3 På en trefasig pumpmotor ansluts probar för mätning av ström och fasspänning i fas a. Oscilloskopsbilden av signalerna från probarna visas härintill. Toppvärdena på spänningskurva (u) och strömkurva (i) avläses till 315 V respektive 3.5 A. Bredden av en ruta på oscilloskopsskärmen motsvarar 2 ms. a) Skriv uttrycket för komplex fasspänning och ström i fas b med spänningen i fas a som riktfas. b) Vilken reaktiv effekt drar motorn? c) Tre kondensatorer kopplade i Y väljs för full reaktiv kompensering. Hur stor är varje? 2.9 Solcellsanläggning D051012:4 En solcellsanläggning är enfasigt ansluten till elnätet i ett hus. Solcellen levererar likspänning till en likspänningsomvandlare som sedan levererar växelspänning till nätet. a) Man mäter upp kurvformerna för spänning (enhet V) och ström (enhet A) här intill där tiden anges i sekunder. Vilket effektivvärde har grundtonen i spänningen respektive strömmen? b) Vilken aktiv respektive reaktiv effekt lämnar solcellsanläggningen till nätet? c) Vilken aktiv respektive reaktiv effekt lämnar själva solcellen ungefär? 17

2 Växelström och effekt i tre faser Uppgifter Elenergiteknik 2.10 Trefasspänningar och strömmar T021022:1 a) Visa (gärna grafiskt) att effektivvärdet av spänningen mellan två faser i ett symmetriskt trefassystem är faktorn 3 större än effektivvärdet av spänningen mellan fas och nolla. b) Ett rent resistivt värmeelement och en kondensator är anslutna till samma vägguttag där spänningens effektivvärde är 230 V och frekvensen 50 Hz. Med en amperemeter mäter man strömmens effektivvärde. För värmeelementet är denna 4 A och för kondensatorn är den 3 A. Den sammanlagda strömmen från vägguttaget uppmäts till 5 A. Förklara (gärna grafiskt)! c) På laboration 1 anslöt du två lampor till ett trefasigt uttag med symmetriska spänningar. Du kopplade en lampa mellan en fas och nolla och en likadan lampa mellan en annan fas och nollan. Visa att strömmen i nollan är lika stor som strömmen i en av faserna. På laboration 1 gjorde du infasning av cykelgeneratorn till elnätet enligt figuren. u A (t)=180sin(314t+2.09) V u B (t)=180sin(314) V u C (t)=180sin(314t 2.09) V Infasning av cykelgenerator mot elnätet (vänster) och spänningarna i de tre faserna relativt nollpunkten N på nätsidan av glödlamporna (höger). d) Genom att ha rätt transformator och välja rätt varvtal och slutligen ha tur slocknar alla tre glödlamporna under en längre stund. Vilka är då ögonblicksvärdena u a (t), u b (t), u c (t) för spänningarna i de tre faserna relativt nollpunkten n på cykelsidan av glödlamporna? e) Vad blir strömmarna genom de tre strömbrytarna om de sluts medan lamporna är släckta? 2.11 Växelspänning och växelström T040824:1 Ett trefasuttag i labbet har symmetriska trefasspänningar 400/230V och anslutningar märkta L1, L2, L3 och N. En 60W-lampa kopplas mellan fas L1 och nollan N. En annan 60W-lampa ansluts på samma sätt, men mellan fas L2 och N. a) Rita kopplingsschema och beräkna storleken på strömmen genom varje lampa. b) Beräkna storleken på strömmen i nolledaren N. En tredje 60W-lampa ansluts nu även mellan fas L3 och nollan N, så att en symmetrisk belastning erhålls. Kring varje ledare bildas ett magnetfält 18

Elenergiteknik Uppgifter 2 Växelström och effekt i tre faser proportionellt mot strömmen i genom ledaren samt omvänt proportionellt mot avståndet r till ledaren: B=µµ 0 i/(2πr) c) Beräkna det totala B-fältet på avståndet 1.5 m. Relativt 1.5 m kan avstånden mellan ledarna sättas till noll. 2.12 Visare och tidsuttryck för sinusstorheter T041019:1 Visare för ström och fasspänning för fas a samt huvudspänning mellan faserna a och b för en trefasig belastning ansluten till ett trefasigt vägguttag. Strömvisaren har längden 2 A, medan fasspänningsvisare och huvudspänningsvisare har längden 230 respektive 400 V. a) Antag symmetri och använd figuren för att skriva upp de totalt nio komplexa visaruttrycken för ström och spänning i varje fas samt spänningen mellan alla faserna. Använd spänningen i fas a som riktfas. b) Antag att frekvensen är 50 Hz och skriv upp hur samma nio storheter beror på tid. c) Rita hur de tre storheterna i figuren, ström och fasspänning för fas a samt huvudspänning mellan faserna a och b, beror på tiden under 20 ms. Det är viktigt att före/efter framgår liksom större/mindre än för jämförbara storheter. d) Vilken aktiv och reaktiv effekt drar belastningen? e) Hur mycket energi drar belastningen under ett dygn? 2.13 Sinusformade trefasspänningar T051018:2 I ett trefasigt vägguttag med fasspänning 230 V och frekvens 50 Hz är en trefasig fyrpolig synkronmotor ansluten. a) Beskriv varje fasspänning med sinusuttryck. b) Beskriv de tre fasspänningarna med visaruttryck. c) Beskriv de tre spänningarna som en vektor. 19

2 Växelström och effekt i tre faser Uppgifter Elenergiteknik d) Hur fort roterar vektorn? e) Med vilket varvtal (i varv per minut) går motorn? 2.14 Växelspänning och växelström T031021:1 Tre 60W-lampor kopplade i Y utgör en symmetrisk trefaslast som är kopplad via fyra ledningar till ett 400/230V trefasuttag. a) Rita kopplingsschema och beräkna storleken på strömmarna i de fyra ledningarna. b) En av lamporna går sönder. Rita kopplingsschema och beräkna storleken på strömmarna i de fyra ledningarna. Alla punkter i ett kraftsystem kan betraktas som en växelspänningskälla (vid trefas tre) med spänningen V TH och frekvensen 50 Hz i serie med en induktans L TH (vid trefas tre). När man ansluter elektrisk utrustning i en sådan punkt påverkar man spänningen mer eller mindre. För ett visst enfasigt vägguttag är V TH =230V och L TH =15.2 mh. c) En annan växelspänningskälla har samma spänning (både amplitud, frekvens och fasläge) som vägguttaget. Vilken blir strömmen om källan kopplas till vägguttaget med + mot + och mot? När vill man ansluta en spänningskälla till en annan på just detta sätt? d) En resistans R=22.5 Ω ansluts till vägguttaget. Beräkna effektivvärdet på spänningen i vägguttaget. Ange typ (aktiv/reaktiv) och tecken på den effekt vi drar ur vägguttaget. e) En kapacitans för vilken gäller att 1/(ωC)=10R ansluts till vägguttaget. Beräkna effektivvärdet på spänningen i vägguttaget. Ange typ och tecken på den effekt vi drar ur vägguttaget. 2.15 Spänningsfall T080829:2 Till ett enfasigt vägguttag med spänningen 230 V ansluts ett strykjärn märkt 2300 W, 230 V, 50 Hz. Vägguttaget modelleras som en spänningskälla i serie med en impedans. Värmeelementet i strykjärnet kan betraktas som en konstant resistans och vid de situationer du ska studera nedan är det inkopplat av termostaten. Impedansen bakom vägguttaget är en induktiv reaktans på 5Ω. a) Rita kopplingsschema. Ange följande spänningar: spänningskällan, spänningsfallet över vägguttagets inre impedans, spänningen i vägguttaget där strykjärnet ansluts. b) Rita visare för spänningskällan, spänningen i vägguttaget och strömmen ur vägguttaget. c) Beräkna spänningen i vägguttaget. 20

Elenergiteknik Uppgifter 2 Växelström och effekt i tre faser En kondensator som lämnar 1000 var reaktiv effekt vid 230 V ansluts till vägguttaget tillsammans med strykjärnet. d) Beräkna spänningen i vägguttaget. Om belastningen hade dragit induktiv effekt hade reaktiv effektkompensering varit aktuell. Den påverkar framför allt strömmen till vägguttaget. e) Hur då? 2.16 Elcentral T080325:2 L1 L2 L3 PEN N Figuren från en broschyr från Elsäkerhetsverkets visar en elcentral i exempelvis ett hushåll. Jordfelsbrytare (JFB) syns liksom fem ledningar man kan ansluta elektriska apparater till de tre faserna (L1, L2, L3), skyddsjord (PEN) och nolla (N). Ofyllda rektanglar på ledarna anger säkringar. Elcentralen är märkt 400/230 V. a) Beskriv inkoppling av voltmeter för att mäta upp 400 V respektive 230 V. b) Beskriv hur en 230 V glödlampa på 60 W ansluts och ange vilken ström som går i de fem ledningarna om inget annat är anslutet. c) Beskriv de två sätt som en trefasig askynkronmotor med y-kopplad lindning kan anslutas. Skyddsjord förutsätts ansluten i båda fallen. d) Asynkronmotorn drar 4 A. Ange vilken ström som går i de fem ledningarna. e) Måste en elektrisk apparat vara ansluten till skyddsjord för att skyddas av jordfelsbrytaren? Motivera ditt svar. 2.17 Trefaseffekt T021022:2 a) En växelströmsmotor kan betraktas som en symmetrisk trefasig belastning. En sådan motor ansluts till ett trefasigt spänningsuttag med symmetrisk 50 Hz växelspänning. På ett oscilloskop kan man se kurvformer för spänning och ström. Toppvärdet på spänningen mellan fas och nolla är 325 V. Toppvärdet på strömmen i en fas är 2,56 A. Strömmen i en fas ligger vinkeln 36.9 efter 21

2 Växelström och effekt i tre faser Uppgifter Elenergiteknik spänningen mellan samma fas och nollan. Beräkna den aktiva och reaktiva effekten dels i en fas, dels sammanlagt för alla faser. b) En växelströmsmotor drar den komplexa effekten 1200+j900 VA. För att minska den reaktiva effekt som dras från elnätet ansluter man till samma trefasuttag som motorn tre kondensatorer som man delta-kopplar. Hur mycket reaktiv effekt ska kondensatorna tillsammans generera för att åstadkomma fullständig reaktiv effektkompensering? Man vet inte om lindningarna i motorn är kopplade i Y eller delta. Svara därför både för det fall då man antar att motorns lindningar är kopplade i Y och för det fall då man antar att de är kopplade i delta. c) En växelströmsmotor som drar 1200 W aktiv effekt och 900 var reaktiv effekt går dygnet runt. Hur mycket energi drar den på ett dygn? d) En växelströmsmotor driver en pump som kan hämta upp 150 liter grundvatten till en behållare på 59 s. Grundvattennivån ligger 10 m under behållaren. Medan motorn går drar den en skenbar effekt på 625 VA med cosϕ=0.8 (induktivt). Vilken verkningsgrad har pump och motor tillsammans, dvs hur mycket av den elektriska energin blir nyttigt arbete? 2.18 Kondensatorinkoppling T080108:2 Kraftledningar för högspänning kan enklast beskrivas som en serieinduktans medan de för lågspänning snarare är en serieresistans. Varje fas i kraftnätet i en viss punkt kan därför betraktas som en Thevenin-ekvivalent en konstant spänningskälla i serie med en impedans Z (här induktans respektive resistans). I båda fallen kan man ha nytta av att koppla in en kondensator på samma sätt som man ansluter en belastning. E Z I + U - a) En induktans L på 365 mh ansluts till ett enfasigt 230 V vägguttag (E=230 V, f=50 Hz, Z=R=1 Ω). Hur stor förlusteffekt i R ger induktansen (!) upphov till? b) Parallellt med L ansluts en kondensator för fullständig reaktiv effektkompensering. Hur stor ska kondensatorn vara (i µf)? c) Hur stor blir förlusteffekten nu? Normalt är förbrukning inte rent induktiv utan i huvudsak resistiv och lite induktiv. Den resistiva delen av strömmen kan dock inte elimineras genom reaktiv kompensering. Elproduktion nära förbrukningen med exempelvis solceller kan dock reducera den resistiva strömkomponenten i elnätet. d) Mellan fas och nolla i en punkt i högspänningsnätet beter sig nätet som en Thevenin-ekvivalent med en 50 Hz växelspänningskälla på 81 kv (140/ 3 kv) 22

Elenergiteknik Uppgifter 2 Växelström och effekt i tre faser och en induktans på 62,4 mh. En kondensator på 8,1 µf ansluts mellan fas och nolla. Vad blir spänningen U i procent av vad den var innan kondensatorn anslöts? Kondensatorn påverkar alltså situationen i elnätet i båda fallen, men på olika sätt. e) Beskriv inverkan av kondensatorn i de två fallen. 2.19 Reaktiv effektkompensering av elmotor T080325:3 En trefasig asynkronmotor med verkningsgrad η=87% drar en reaktiv effekt på 600 var och lämnar en axeleffekt på 900 W när den ansluts till ett uttag med spänningen 400 V och frekvensen 50 Hz. a) Vilken skenbar effekt drar motorn? b) Vilken ström drar motorn? c) Ett kondensatorbatteri med tre Y-kopplade kondensatorer ansluts parallellt med motorn. Vilket värde på kondensatorerna ger minst ström från vägguttaget? Du kan anta att spänningen är opåverkad. d) Vilken ström drar motor och kondensatorer tillsammans från vägguttaget? e) Vilken ström drar själva motorn vid fullständig kompensering? 2.20 Trefaseffekt T031021:2 En trefasig asynkronmotor märkt 2,2 kw, 400 V, cosϕ=0.8 ansluts till ett vägguttag med huvudspänning 400 V och frekvensen 50 Hz. Motorn, vars verkningsgrad är 88%, belastas med 2,2 kw på axeln varvid motorn alltså ger den nyttiga uteffekt som anges i märkningen. a) Vilken elektrisk aktiv effekt drar motorn? b) Vilken ström drar motorn? c) Tre Y-kopplade kondensatorer med kapacitans C ansluts till samma uttag som motorn för att minska strömmen från nätet. Vilken ström drar motorn om kondensatorerna valts för fullständig reaktiv effektkompensering? d) Vilket värde på C ger fullständig reaktiv effektkompensering? e) En ny ingenjör får för sig att strömmen till motorn i b) blir ännu mindre om kondensatorernas kapacitans väljs större. Uppskatta eller beräkna strömmen för C=75µF och avgör om ingenjören har rätt. 23

2 Växelström och effekt i tre faser Uppgifter Elenergiteknik 2.21 Trefasströmmar T080829:4 Figuren nedan visar en oscilloskopsbild från mätningar på en trefasig motor. Spänningen mäts dels mellan fas 1 och nollan (u L-N ), dels mellan fas 1 och fas 3 (u L-L ). Strömmen i mäts i fas 1. Nätspänning och motor kan betraktas som symmetriska. Oscilloskopsbild från mätningar på trefasig motor. Inställningar på oscilloskop och probar ger skalfaktorerna 2 ms/ruta, 5 A/ruta, 200 V/ruta. a) Använd fasspänningen i fas 1 som riktfas (vinkelreferens) och bestäm strömvisarna för de tre faserna. b) Bestäm strömvektorn vid t=0 (oscilloskopsbildens vänsterkant). Uttryck den ϕϕ som i ( 0) = 3/ 2xe c) Bestäm den aktiva effekt som motorn drar. d) Bestäm den reaktiva effekt som motorn drar. e) Strömmarna går i en trefaskabel. Vad blir B-fältet vid t=0 på 1 m vinkelrät avstånd från kabeln som kan betraktas som lång och rak? Svara med ögonblicksvärde. Avståndet mellan fasledarna är ca 1 cm och kan därmed försummas här. B-fältet i luft, x m från en lång rak ledare med strömmen i(t) är B(x,i)=µ 0 i(t)/(2πx) (µ 0 =4π 10-7) riktat enligt högerhandsregeln. 2.22 Reaktiv effektkompensering av trefasmotor T041019:2 En trefasig asynkronmotor med verkningsgrad η=90% drar en reaktiv effekt på 1200 var och lämnar en axeleffekt på 1800 W vid spänningen 400V. a) Vilken ström dras från vägguttaget? b) Ett kondensatorbatteri med tre Y-kopplade kondensatorer på 20 µf ansluts i samma vägguttag. Ange storlek och tecken på den reaktiva effekt som 24

Elenergiteknik Uppgifter 2 Växelström och effekt i tre faser kondensatorer och motor tillsammans drar från vägguttaget. Avgör också om inkopplingen av kondensatorerna ger mindre total ström från vägguttaget än i uppgift a. Du kan anta att spänningen är opåverkad. c) Upprepa uppgift b men med de tre 20 µf-kondensatorerna i stället kopplade i delta. d) Vilken ström dras från vägguttaget vid fullständig kompensering? 2.23 Kraftledning och reaktiv effektkompensering T051018:4 En kraftledning för 400 kv hanterar både hög spänning och stor ström. a) Varför är 400 kv bättre än exempelvis 10 kv för de stora kraftledningarna som går genom Sverige? b) På en viss kraftledningssträcka överväger man att sänka spänningen från 400 kv till 220 kv. Om den överförda effekten inte påverkas, hur förändras då den magnetiska flödestätheten (B-fältet) nära kraftledningen? c) Hur kan man utforma kraftledningsstolparna för att reducera B-fältet på marken nära kraftledningen? Beskriv i ord! Sedan det skånska kärnkraftverket Barsebäck stängts kan transmissionsnätet i södra Götaland starkt förenklat beskrivas som en induktiv reaktans på 30 Ω i varje fas mellan kärnkraftverket Ringhals och Skåne. Ringhals är då en trefasig spänningskälla med huvudspänning 415 kv och elförbrukningen i Skåne är 2000 MW och 0 Mvar. d) Anta Y-koppling, rita kretsschema för en fas och visa att huvudspänningen i Skåne blir 385 kv. e) Spänningen 385 kv är för låg. Barsebäcksverket kunde hålla spänningen vid ca 415 kv i Skåne. Hur kunde synkrongeneratorerna i Barsebäck ge bättre spänning? 2.24 Reaktiv effekt och spänning T040824:2 Alla punkter i vårt kraftsystem kan betraktas som en växelspänningskälla (vid trefas tre) med spänningen V TH och frekvensen f i serie med en induktans L TH (vid trefas tre). När man ansluter elektrisk utrustning i en sådan punkt påverkar man spänningen mer eller mindre. För ett visst enfasigt vägguttag i USA är V TH =130V, f=60 Hz och L TH =20 mh. a) En resistans R=26.5 Ω ansluts till vägguttaget. Beräkna effektivvärdet på spänningen i vägguttaget. b) En kapacitans för vilken gäller att 1/(ωC)=10R ansluts till vägguttaget. Beräkna effektivvärdet på spänningen i vägguttaget. 25

2 Växelström och effekt i tre faser Uppgifter Elenergiteknik c) En annan växelspänningskälla har samma spänning (både amplitud, frekvens och fasläge) som vägguttaget. Vilken blir strömmen om källan kopplas till vägguttaget med + mot + och mot? Hur utnyttjades detta för cykelkraftverket i laboration 1? 26

Elenergiteknik Uppgifter 3 Dynamik 3 Dynamik Ett tema i kursen är energilager med vattenmagasin, kapacitanser, induktanser och svänghjul som de tydligaste exemplen. Innehållet i ett energilager kan inte förändras momentant, då det skulle kräva oändlig energi per tidsenhet, det vill säga effekt. Detsamma gäller begreppet dynamiskt tillstånd som är nära knutet till energilager. Förändringen av innehållet i ett energilager kan i stället formuleras som en tidsderivata lika med en balans mellan två storheter som verkar för att fylla på respektive tömma energilagret. I praktiken har det stort värde att ur tidsvariationen för denna balans bestämma tillståndets tidsvariation. Detta innebär en tidsintegration, vilket är kärnan i programvara för tidssimulering. I kursen används Matlab/Simulink för tidssimulering. Grundläggande förståelse för dynamiska tillstånd, tillståndsderivator och tidsintegration är en förutsättning för att kunna tolka resultat från simuleringsprogram och därmed för att kunna använda sådana. 3.1 Balansekvationer D020925:3 Blockschemat intill är en del av en modell av en elektrisk motor med parametrarna J och D. Te och Tm är insignaler. Te är motorns drivande moment och Tm är lastmomentet. a) Vilken av följande balansekvationer beskriver blockschemat? dω A) J = Te Tm Dω dt B) 1 dω = T J dt e T m ω D C) 1 dω = T J dt e T m Dω b) Vilken av följande ekvationer gäller vid stationaritet? D) T e = T m + Dω E) T e = T m + ω D F) ω = 0 c) Påverkar J vad som gäller vid stationaritet (ja/nej)? 27

3 Dynamik Uppgifter Elenergiteknik 3.2 Stegsvar RL-krets D040922:2 Simulink-modell i(t) vid steg i u(t) från 0 till 100 V. a) Skriv den differentialekvation som motsvaras av ovanstående Simulinkmodell. b) Rita i en graf som den till höger in de stegsvar som erhålls dels med L dels med 2L. c) Rita i en graf som den till höger in de stegsvar som erhålls dels med R dels med 2R. 3.3 Ström i RL-krets D050921:2 En RL-krets kan beskrivas med differentialekvationen L di dt = u Ri a) Rita differentialekvationen som blockdiagram. Använd ett integrationsblock som beräknar tillståndets tidsfunktion (utsignal) med hjälp av tillståndets tidsderivata (insignal). Ange vad som är u och i i diagrammet. b) Antag periodiska signaler och välj tre kurvpar som kan vara samhörande u(t) och i(t). Ange noga vilken som är u(t) respektive i(t). Samma kurva kan användas flera gånger. A B C D E F 28

Elenergiteknik Uppgifter 3 Dynamik 3.4 Kraftverkstyper och energilager T031021:3 a) Jämför typiska anläggningar för vindkraft, värmekraft och solceller genom att rangordna dem i nedanstående tabell (Använd 1=störst, 2=mellan, 3=minst): Vindkraft Värmekraft Solceller Installerad effekt Årlig drifttid Årlig energiproduktion Oregelbundenheten i sol och vind gör att energilager blir allt mer intressanta. Kursen har tagit upp ett antal energilager. Skriv dynamiska balansekvationer för de energilager man utnyttjar för att (i första hand utan reglering) hantera balansen mellan storheterna i b)-d) nedan. Du ska beskriva alla ingående storheter och också ange vilken storhet i ekvationen man direkt styr när man tillför reglering. Med andra ord, vilken storhet kan alltså betraktas som utsignal från en en regulator? b) Balans mellan tillförd värmeeffekt och den kyleffekt temperaturskillnad ger. c) Balans mellan turbineffekt och varierande belastning i kraftnätet. d) Balans mellan nederbörd/snösmältning och flöde förbi vattenkraftturbinerna. 3.5 Simulink-modell T080108:3 Vid numerisk lösning av differentialekvationer beräknar en integrationsalgoritm de dynamiska tillståndens tidsfunktion ur deras tidsderivata. I Simulink skrivs ekvationerna in på blockschemaform med integrationsblock som har tidsderivata som insignal och tillståndets tidsfunktion som utsignal. För kretsarna nedan är e insignal. e(t) R C u(t) e(t) R L i(t) a) Rita Simulink-diagram för RC-kretsen ovan. b) Vilken tidskonstant har RC-kretsen och vilken ekvation gäller stationärt? c) Rita Simulink-diagram för RL-kretsen ovan. d) Vilken tidskonstant har RL-kretsen och vilken ekvation gäller stationärt? 29

3 Dynamik Uppgifter Elenergiteknik 3.6 Likströmsmotor T080325:5 100 ω (rad/s) t (s) -100 0 0,5 2 2,5 3 3,5 5 5,5 En konstantmagnetiserad likströmsmotor används för en rörelsecykel där motorn står still, accelereras framåt, går med konstant hastighet, bromsas, står still, accelererar bakåt, går med konstant hastighet, bromsas och står still. Hastighetsprofilen ser ut enligt figur ovan och lastmoment saknas. Du ska nu bestämma kurvformen på ankarspänningen u a (t) som åstadkommer denna rörelse. Använd ekvationerna 13-1, 14-1, 14-3 med magnetflöde Ψ m =1.1 T, tröghetsmoment J=0.02 kgm 2, ankarinduktans L a =10 mh, ankarresistans R a =3 Ω. a) Motorn är obelastad. Bestäm den vridmomentsprofil som ger den önskade hastighetsprofilen. b) Bestäm den strömprofil som ger önskad vridmomentsprofil. Kraftelektroniken som driver motorn har en samplingsperiod på 1 ms, så detta är den kortaste tid som en strömförändring kan ta. c) Ankarspänningen u a (t) innehåller tre termer. Rita dessa ackumulerat (först den stationärt största termen, ovanpå denna den näst största och slutligen den minsta) så att summan framgår. Den slutliga spänningsprofilen är densamma som fås ur ett reglersystem som programmeras för den aktuella rörelsen. 3.7 Balansekvationer T040824:3 En enkel dynamisk balansekvation (första ordningens differentialekvation) kan beskriva hur vattennivån i ett vattenmagasin beror av tillflöde och avtappning. Vatten som tappas av släpps genom turbinerna i ett vattenkraftverk och ger elenergi. a) Skriv den dynamiska balansekvationen för ett vattenmagasin och rita motsvarande blockschema. Ange vad alla ingående storheter betyder och vilken enhet de har. En annan balansekvation beskriver hur frekvensen i ett kraftsystem med växelspänning beror på den mekaniska effekt som tillförs kraftverkens turbiner och den elektriska effekt som generatorerna belastas med. 30

Elenergiteknik Uppgifter 3 Dynamik b) Dela systemets totala turbineffekt i två delar med en (liten) del som representerar ett kraftverk samt en (stor) del för alla andra kraftverk tillsammans. Använd detta och skriv den dynamiska balansekvationen för frekvensdynamiken i ett kraftsystem och rita motsvarande blockschema. Ange betydelse och enhet för alla ingående storheter. När man ändrar pådraget p i ett vattenkraftverk och släpper mer vatten till turbinerna blir avtappningen i magasinet k1 p och turbineffekten blir k2 p. Detta påverkar både magasinsnivå och kraftsystemets frekvens. c) Visa hur a) och b) hänger ihop genom att rita ett gemensamt blockschema. 3.8 Husuppvärmning T021022:3 Liksom i en av simuleringsuppgifterna ska du nu studera uppvärmning av ett hus med modell enligt figur. Inomhustemperaturen regleras genom att ett värmeelement på 10 kw slås till när innetemperaturen Tinne underskrider 18 C och slås ifrån när den överstiger 22 C. Du ska här analysera vad som händer om regleringen slutar att fungera när temperaturen är 18 C. Fram till dess har temperaturen varierat som i figuren. Utetemperaturen Tute är 10 C. Rt=0.003 K/W, Ct=1.8 MWs/K. Simulink-diagram (vänster) för husdynamik där P normalt växlar mellan 0 och 10 kw vilket ger variationen i innetermperatur Tinne enligt grafen (höger). a) Regleringen hakar upp sig så att elementet inte kan slås ifrån. Beräkna det stationära värde innetemperaturen Tinne ställer in sig på efter lång tid och med vilken tidskonstant τ1 temperaturen förändras. b) Regleringen hakar upp sig så att elementet inte kan slås till. Beräkna det stationära värde innetemperaturen Tinne ställer in sig på efter lång tid och med vilken tidskonstant τ2 temperaturen förändras. c) Rita i samma graf temperaturen som funktion av tid i de två fallen. Markera i grafen sluttemperaturen som Tinne når i respektive fall. Markera även τ1 och τ2 i bilden. 3.9 Hustemperatur T080829:6 I en inlämningsuppgift har du använt en modell av temperaturdynamiken i ett hus och simulerat temperaturreglering. Regulatorn försöker hålla 20 C inne genom att slå till värmeelementet på 10 kw när innetemperaturen sjunker under 19,5 C och slå ifrån när temperaturen överstiger 20,5 C. Huset har en 31

3 Dynamik Uppgifter Elenergiteknik termisk resistans på 0,0045 och en termisk kapacitans på 1800000. Vid en utetemperatur på 10 C varierar temperaturen enligt figuren nedan. 20.5 20 19.5 3000 3200 3400 3600 3800 4000 4200 4400 4600 4800 5000 5200 Innetemperaturens variation vid periodisk stationaritet med parametrar enligt ovan. a) Rita tidsfunktionen för effekten som värmeelementet lämnar. Förklara hur den bestäms. b) Bestäm medeleffekten som lämnar värmeelementet. c) Beskriv hur temperaturvariationen vid periodisk stationaritet förändras om ett värmeelementet på 20 kw används i stället. Illustrera skillnaden mot figuren ovan. d) Beskriv hur temperaturvariationen ser ut vid periodisk stationaritet om husets termiska kapacitans dubblas. Illustrera skillnaden mot figuren ovan. (Värmelementet är åter på 10 kw.) e) Beskriv hur temperaturvariationen ser ut vid periodisk stationaritet för en utetemperatur på 0 C. (Termiska kapacitansen är åter 1800000.) 3.10 Temperaturdynamik T041019:4 Ett hus har en elpanna på 10 kw som styrs av innetemperaturen med en termostat. Pannan slår periodiskt till och från enligt figur. Huset har en termisk resistans Rt=0.004 K/W och en termisk kapacitans Ct=2.25 10 6 Ws/K. Effektförbrukning elpanna. a) Vilken medeleffekt motsvarar effektförbrukningen i figuren? b) Vilket medelvärde på innetemperaturen ger det om utetemperaturen är 11 C? 32

Elenergiteknik Uppgifter 3 Dynamik c) Rita hur innetemperaturen förändras under tio timmar om värmesystemet stängs av vid ett ögonblick då innetemperaturen är 20.0 C och utetemperaturen är 11 C. Ange korrekta siffror på axlarna. d) Hur kan man enklast bestämma tidskonstanten rent praktiskt om man inte känner Rt och Ct? Ange enklaste mätutrustning och metod. e) Kraftelektronisk strömreglering av en RL-krets påminner om termostatstyrd reglering av hustemperatur (vid konstant utetemperatur). Skriv upp de två differentialekvationer som var och en utgör simuleringsmodellen för respektive fall. Visa för varje storhet i det ena fallet vilken motsvarighet den har i det andra fallet. 3.11 Dynamik för temperatur och ström T040824:4 Liksom i en av simuleringsuppgifterna ska du nu studera uppvärmning av ett hus med modell enligt figuren. Inomhustemperaturen regleras genom att ett värmeelement på 10 kw slås till när innetemperaturen Tinne underskrider 18 C och slås ifrån när den överstiger 22 C. Du ska här analysera vad som händer om regleringen slutar att fungera när temperaturen är 18 C. Fram till dess har temperaturen varierat som i figuren. Utetemperaturen Tute är 10 C. Rt=0.003 K/W, Ct=1.8 MWs/K. Simulink-diagram (vänster) för husdynamik där P normalt växlar mellan 0 och 10 kw vilket ger variationen i innetemperatur Tinne enligt grafen (höger). a) Regleringen hakar upp sig så att elementet inte kan slås ifrån. Beräkna det stationära värde innetemperaturen Tinne ställer in sig på efter lång tid. b) Tidskonstanten är densamma för ökning och minskning av temperaturen. Bestäm tidskonstanten och ange om den är mycket/lite större/mindre än periodtiden för switchningarna ovan. Kraftelektronisk strömreglering av en serie-rl-krets påminner mycket om temperaturreglering av huset ovan. Utgå från exemplet på s 139 i boken men sätt e=(uref=)0, R=0.5 Ohm för att få en RL-krets. Övriga värden är Ud=300 V, L=10 mh, switchfrekvens=1000 Hz. c) Dioden går sönder så att spänningen över RL-kretsen blir Ud. Beräkna det stationära värde strömmen i genom R och L ställer in sig mot innan transistorn går sönder. 33

3 Dynamik Uppgifter Elenergiteknik d) Tidskonstanten är densamma för ökning och minskning av strömmen. Bestäm denna tidskonstant och avgör (som i b) hur den förhåller sig till periodtiden för switchningarna ovan. 3.12 Strömrippel T080108:5 Kraftelektronisk energiomvandling baserad på switchning har hög verkningsgrad och är därför attraktiv i tillämpningar med stora effektflöden. En bieffekt av switchningen är att den påverkar strömmens kurvform genom att rippel en taggighet adderas. Eftersom strömvariationer avspeglas i kraft- och momentvariationer i elektriska motorer ger kraftelektronikmatade motorer i exempelvis elektriska lok ofta ifrån sig ett pipande ljud. Man strävar därför efter litet strömrippel Både lik- och växelströmsmotorer kan modelleras som en inducerad spänning i serie med en induktans och en resistans. Fenomenet strömrippel studeras enklast för en likströmsmotor modellerad enligt figur nedan. Motorn matas av en enkvadrant nedspänningsomvandlare som från en likspänning U dc genererar en rektangelvågsformad spänning u med nivåerna 0 och U dc. Rektangelvågen har periodtiden T=1/f s där f s är bärvågsfrekvensen och en duty-cycle D som ger lämpligt medelvärde på u. Anta U dc =300 V, E=U dc /2, L=10 mh, f s =1kHz, D=0,5. i(t) + u(t) - L E a) Strömmen har medelvärdet noll vid periodisk stationaritet. Rita strömkurvformen under 2 ms vid denna situation. Detta är strömripplet! b) Beräkna strömripplets amplitud (topp till topp) i A. c) Dubbla bärvågsfrekvensen till 2 khz. Beräkna strömripplets amplitud i A för f s =2 khz. d) Rita strömmens kurvform för 2 ms i samma figur som uppgift 5a. e) Beskriv hur strömripplets amplitud och frekvens beror på f s. En växelriktare producerar växelspänning för växelströmsmotorer med frekvensen 0-100 Hz beroende på önskat varvtal. Då får strömmens grundton denna frekvens och strömripplet blir övertoner som låter som pip. Pipljudet kan göras mindre störande genom att förskjuta det till frekvenser över det hörbara området. En nackdel med detta är att förlusterna associerade till switchningen ökar med bärvågsfrekvensen. 34

Elenergiteknik Uppgifter 3 Dynamik 3.13 Kraftelektronisk strömreglering T051018:5 En likspänningskälla på 300 V matar via en enkvadrant nedpänningsomvandlare en last som kan beskrivas som en induktans L=10 mh i serie med en likspänning e=100 V. Omvandlaren styrs av en triangelvågsmodulator där triangelvågen hela tiden är positiv, har periodtiden 1 ms och spänningsbörvärdet är en tredjedel av triangelvågens maxvärde. a) Anta att triangelvågen börjar på noll vid t=0 och att strömmen i kretsen då är 10 A. Rita strömmen för tiden t=0-2 ms. Ange tid och ström vid switchningarna. Likspänningsomvandlaren med sin triangelvågsmodulator kan ses som en styrbar spänningskälla. Tillsammans med en strömregulator som i bokens kapitel 13 kan strömmen regleras. Ett alternativ är att använda en strömregulator baserad på ett relä med hysteres (som termostaten i hussimuleringen). Den kan styra en switch direkt och ersätter både triangelvågsmodulator och strömregulator. Reläet kopplar 300 V till lasten när strömmen blir lägre än börvärdet minus 2 A och 0 V när strömmen är högre än börvädet plus 2 A. b) Anta att börvädet är 8 A och att strömmen i kretsen är noll vid t=0 då reläet är i tilläge. Rita strömmen för tiden 0-2 ms. Ange tid och ström vid switchningarna. Ledning a och b: För switchens två lägen kan enkla differentialekvationer beskriva strömmens förändring fram till nästa switchning. 35