Tom sida. Lab-PM börjar på nästa sida. 1
Chalmers tekniska högskola och April 2001 Göteborgs universitet 11 sidor Fysik och teknisk fysik Christian Karlsson O9 Optik för Basåret En CD-spelare innehåller mycket fysik (figuren visar hur läshuvudet på en CD-spelare är uppbyggt). Hur fokuseras ljuset som läser informationen och hur är informationen lagrad? Varför rymmer DVD-skivor mer än CD-skivor? Varför ser man ibland färger när man tittar på en CD-skiva? Varför är CDskivor relativt okänsliga för damm och fingeravtryck? (Figur från L. Jacobsson och G. Ohlén, Upptäck Fysik B, Gleerups, 1997.) Laborationens syfte är att du ska få en djupare förståelse för geometrisk optik och ljusets vågegenskaper. Du skall före laborationen läsa igenom detta lab-pm och tillhörande avsnitt i kursboken. Hemuppgifterna 1 11 på sidan 6 skall arbetas igenom före laborationstillfället (om laborationen utförs vid två tillfällen skall 1 5 göras inför första tillfället och 6 11 inför andra tillfället).
1 Inledning Den här laborationen handlar om ljus och den klassiska beskrivningen av ljus som en elektromagnetisk vågrörelse. Laborationen är uppdelad i två delar och utförs vanligtvis under två tillfällen. Del 1 (teoriavsnitt 2, hemuppgifter 1 6, labuppgift 1) behandlar geometrisk optik som är den enklaste modellen för att beskriva ljus. I geometrisk optik bryr man sig inte om vad ljus egentligen är, utan bara hur det uppför sig. Man antar att ljus utbreder sig som strålar. Om ljus skall gå från en punkt A till B tar det den väg som tar kortast tid (Fermats princip) [1, 2]. I del 2 av laborationen (teoriavsnitt 3, hemuppgifter 7 11, labuppgifter 2 7) skall vi gå lite djupare och stifta bekanstskap med den elektromagnetiska beskrivningen av ljus (vågmodellen) för att förstå fenomen som ljusets böjning och interferens. I vågmodellen antar man att ljus är en elektromagnetisk vågrörelse. Ljus utbreder sig som en våg genom rummet. Om en våg skall utbreda sig måste något kunna svänga fram och tillbaka. I fallet med ljus är det elektriska och magnetiska fält som svänger. I optiken brukar man för enkelhets skull bortse från det magnetiska fältet och betraktar bara det elektriska fältet. Redan de gamla grekerna kan sägas ha hållit på med en tidig form av geometrisk optik. Som en av få grekiska experimentalister mätte exemplevis Klaudios Ptolemaios ( 100 e. Kr.) infalls- och brytningsvinklar då ljus gick från luft till vatten. Optikarvet fördes sedan vidare i det arabiska väldet och utvecklades av ibn al-haitham, även känd som Alhazen ( 1000 e. Kr.), som till exempel för första gången gav en riktig förklaring till seendet [3]. Alhazens verk översattes senare till latin och låg till grund för den medeltida optiken i Västeuropa. Optiken förde en något slumrande tillvaro under medeltiden, även om framsteg gjordes. Exempelvis finns det målningar från 1300-talet föreställande munkar i glasögon [3]. De första tankarna om att ljus var en vågrörelse dök upp på 1600-talet. En av pionjärerna var holländaren Christiaan Huygens, som också fått ge namn åt Huygens princip som är ett sätt att beskriva hur ljusvågor utbreder sig. Ungefär samtidigt kom Sir Isaac Newton att förespråka en slags partikelmodell för ljus. I sina senare skrifter ansåg Newton att ljus var en ström av korpuskler. Detta senare synsätt förblev förhärskande under 1700-talet. I början av 1800-talet började dock vågmodellen åter vinna mark. Den utvecklades alltmer och på 1860-talet kunde man lägga en solid teoretisk grund för en vågmodell av ljus. Då presenterade nämligen James Clerc Maxwell sina berömda ekvationer. Ur dessa Maxwells ekvationer kunde all dåvarande kunskap om ljus härledas, till exempel Huygens princip men också den geometriska optiken. I början av 1900-talet upptäckte man att ljus också hade partikelegenskaper. Den fotoelektriska effekten, det vill säga den process varvid elektroner frigörs från ett material som belyses med elektromagnetisk strålning, 1
upptäcktes av Heinrich Hertz 1887 och undersöktes vidare av Philipp Eduard Anton von Lenard och Wilhelm Hallwachs. En del aspekter av fenomenet kunde ej förstås utifrån den klassiska elektromagnetiska teorin för ljus [3]. Albert Einstein gav dock 1905 en förklaring där han utsträckte Max Plancks kvanthypotes från 1900 (som i korthet säger att stålningsenergi är kvantiserad). Einstein antog att den elektromagnetiska strålningen i sig är kvantiserad, det vill säga uppför sig som partiklar. Dessa ljuspartiklar kom senare att kallas fotoner [3]. Vi har alltså tre olika modeller för att beskriva hur ljus uppför sig i olika situationer: geometrisk optik, den elektromagnetiska vågmodellen och fotonmodellen. Var och en av dessa modeller gäller dock bara i vissa situationer. Under 1900-talet har en kraftfull men komplicerad teori för hur ljus uppför sig och växelverkar med materia, QED (kvantelektrodynamik), utvecklats [4]. I QED förenas våg- och fotonmodellen till en teori. De tre modellerna vi nämnt ovan kan ses som approximationer till QED, som var och en gäller under särskilda förutsättningar [1]. Kan man då använda böjning (diffraktion) och interferens till något? Ja, även om den här laborationen mest tar upp grundläggande fenomen så är inte steget till tillämpningar så långt. Några blandade exempel: Optisk spektroskopi bygger på att man kan bestämma energin hos ljus och därigenom till exempel få detaljerad information om material på atomär nivå [5]. Detta kan göras med hjälp av gitter i spektrometrar (man kan även använda prismaspektrometrar, Fabry-Perotinterferometrar eller fouriertransformtekniker). En av föregångarna inom spektroskopin var för övrigt Joseph Fraunhofer som tillverkade det första gittret 1823. I dagens laboratorium används lasrar och avancerad optik för att till exempel studera struktur och dynamik i glaser med hjälp av Ramanspektroskopi. Diffraktionstekniker används sedan början av 1900-talet för att bestämma strukturen på atomär nivå i olika kristallina material, från vanligt koksalt till biomolekyler i kristallin form [6]. Förutom röntgenstrålning, som är ljus med kort våglängd, kan elektroner och neutroner användas (partiklar har enligt kvantfysiken vågegenskaper). Typiska avstånd i mellan atomer i fasta material är av storleksordningen Å = 10 10 m. De minsta objekt man kan se med vanliga ljusmikroskop är av storleksordningen µm. Diffraktion är alltså en väldigt kraftfull teknik. Med STM (sveptunnelmikroskop) kan man också se enskilda atomer, men bara då dessa sitter på ytor. Diffraktionsoptik är ett relativt nytt forskningsområde [7]. Med hjälp av datorer och mikrolitografi kan små, avancerade gitter framställas, så kallade kinoformer. Kinoformer kan användas för att manipulera 2
laserljus. Tillämpningsområden finns inom optoelektroniken och laseroptiken. Kinoformer kan till exempel komma till användning i extremt snabba A/D-omvandlare (se Ny Teknik 2000:24). Upplösningsförmågan i optiska instrument, till exempel våra ögon, är begränsad av diffraktion (även linsfel begränsar upplösningsförmågan). Titta på denna text genom ett litet hål i en bit papper, så kommer du att se att upplösningen försämras. Upplösningsförmågan är relaterad till strålningens våglängd (Rayleighs upplösningskriterium). Detta är anledningen till att man med elektronmikroskop kan se mycket mindre föremål ( nm) än i vanliga ljusmikroskop ( µm). Elektroner med hög energi har nämligen mycket kortare våglängd än synligt ljus. I följande två avsnitt presenteras en sammanfattning av den teori som behövs för att förstå laborationen. För en fullständigare behandling hänvisas till läroboken. Sedan följer hemuppgifter (skall göras i förväg) och laborationsuppgifter. 1 2 Geometrisk optik Brytningsindex n för ett material anger hur mycket långsammare ljuset utbreder sig i materialet än i vakuum, alltså n = c v, (1) där v är ljushastigheten i materialet och c ljushastigheten i vakuum. Med denna definition av av n kan man visa att då ett en ljusstråle går från ett material till ett annat gäller att [1, 2] n 1 sin β 1 = n 2 sin β 2, (2) med beteckningar enligt figur 1. Detta är brytningslagen (även kallad Snells lag efter Willebrord Snell som upptäckte sambandet 1621). Brytningsindex är inte konstant i ett och samma material utan beror av ljusets våglängd, n = n(λ). Detta kallas dispersion. Det är brytningsindex våglängdsberoende som ger upphov till färguppdelning i exempelvis ett prisma. En lins är oftast en bit genomskinligt material som är slipat så att man får ljusstrålar att gå på ett visst sätt. Hur linser fungerar kan förstås med hjälp av brytningslagen. En lins karakteriseras av dess fokallängd f. Om f > 0 sägs linsen vara positiv eller konvex. Om f < 0 sägs linsen vara negativ eller konkav. Fokalpunkten för en positiv lins är den punkt på optiska 1 Har du synpunkter på laborationen eller detta lab-pm kan du höra av dig till Olabblaget@fy.chalmers.se 3
β 1 n 1 β 2 n 2 Figur 1: Ljus som går från ett medium 1 till ett medium 2 med annat brytningsindex bryts. fokalplan O optisk axel (OA) f fokalpunkt a f b B O B f a f b Figur 2: Till vänster visas hur parallella strålar bryts i en positiv (överst) och en negativ lins (underst). Till höger visas hur ett objekt avbildas. axeln (OA) där strålar parallella med OA bryts ihop. För en negativ lins är fokalpunkten den punkt på OA från vilken strålar parallella med OA verkar komma (figur 2). När man skall följa strålar genom en positiv lins gäller följande regler: 1. Stråle genom linsens mittpunkt bryts ej. 2. Parallella strålar bryts ihop i en och samma punkt i fokalplanet. För en negativ lins blir regel 2 lite annorlunda: 1. Stråle genom linsens mittpunkt bryts ej. 2. Parallella strålar bryts så att de ser ut att kommit från en och samma punkt i fokalplanet. Linser kan användas för att avbilda objekt (figur 2). Vid avbildning gäller linsformeln 1 f = 1 a + 1 b, (3) 4
där a är avståndet mellan objekt och lins, b är avståndet mellan lins och bildplan och f är fokallängden. Vid användning av ekvation (3) måste man tänka på att använda följande teckenregler: positiv lins: f > 0 negativ lins: f < 0 reellt objekt (framför linsen): a > 0 virtuellt objekt (bakom linsen): a < 0 reell bild (bakom linsen ): b > 0 virtuell bild (framför linsen): b < 0 3 Vågoptik 3.1 Böjning i enkelspalt Om ljus passerar genom en smal spalt kommer en del av ljuset att böjas av åt sidorna. För att förklara detta räcker det inte med geometrisk optik utan man måste ta till den elektromagnetiska beskrivningen av ljus och därmed se på ljus som en vågrörelse. Detta görs enklast med Huygens princip. Huygens princip kan användas för att kvalitativt förstå vad som händer till exempel när ljus böjs av i en spalt. Man kan visa att ljusintensiteten bakom en spalt med spaltbredd a som belyses bakifrån med parallellt ljus med våglängden λ som infaller vinkelrät mot spalten (som i figur 3) har minima i intensiteten då a sin α = mλ, m = ±1, ±2,... (4) där α är vinkeln till minimum av ordning m. Vi ser ur ekvation (4) att då spaltbredden blir liten så blir vinkeln till första minimum stor. Vi kan då tänka oss spaltöppningen som en punktkälla som strålar lika intensivt i alla (framåt-) riktningar. 3.2 Interferens i dubbelspalt Om man har en dubbelspalt med två smala spaltöppningar med avståndet d mellan sig och belyser med parallellt ljus bakifrån kommer spaltöppningarna att fungera som punktkällor. Man kan då observera ett interferensmönster bestående av mörka och ljusa områden på en skärm bakom dubbelspalten. Intensitetsmaxima erhålls då villkoret d sin α = mλ, m = 0, ±1, ±2,... (5) är uppfyllt (samma geometri som i figur 3). 5
Mönster på skärmen Skärm Laser Enkelspalt α Intensitetsfördelning a α I Centralmaximum Maxima Minima α Figur 3: En enkelspalt med spaltbredd a belyses med parallellt strålknippe från en laser. Strålknippet träffar spalten vinkelrätt. På skärmen syns ett böjningsmönster liknande det uppe till höger i figuren. Nere till höger visas hur man kan åskådliggöra böjningsmönstret genom att rita en intensitetsfördelning. 3.3 Gitter Ett gitter består av ett antal smala spaltöppningar med avståndet d (gitterkonstanten) mellan sig. Om spaltöppningarna är smala kan vi tänka oss att dessa fungerar som punktkällor som svänger i takt. I vissa riktningar kommer ljuset från alla öppningar att svänga i fas och därigenom bli förstärkt. Man får då intensitetsmaxima. Vinklarna α till dessa riktningar ges av d sin α = mλ, m = 0, ±1, ±2,... (6) Det är viktigt att inte blanda ihop ekvationerna (4) (gäller för minima i böjningsmönster) och (5) samt (6) (gäller för maxima i interferensmönster). 4 Hemuppgifter Uppgifterna 1 11 nedan skall göras före laborationstillfället (-ena). Svar till alla uppgifter går inte att finna direkt i detta lab-pm. Dock hittar du svar i din lärobok. 1. Formulera brytningslagen. 2. Beskriv fenomenet totalreflektion. 3. Varför delas vitt ljus upp i färger när det passerar ett prisma? 4. Gör en egen bildkonstruktion på ett rutat papper. Välj själv fokallängd och objektstorlek. Rita i skala och tag reda på var bilden hamnar samt hur många gånger större än objektet bilden blir. 6
5. Formulera linsformeln. Verifiera att den gäller för din bildkonstruktion i uppgift 5 ovan. 6. Redogör för Huygens princip. 7. Beskriv fenomenet böjning av ljus som passerar genom en spalt. 8. Beskriv hur, och varför, ett interferensmönster uppstår när en våg passerar genom två smala öppningar. 9. Härled, på ett par rader, villkoret för intensitetsmaxima från en dubbelspalt, ekvation (5) (rita figur). 10. Beskriv hur ett gitter fungerar. 11. Härled, på ett par rader, villkoret för intensitetsmaxima från ett gitter, ekvation (6). 5 Laborationsuppgifter Uppgift 1: Geometrisk optik Uppgiften görs på stationer A-C. a) (A) Studera ljusbrytning i halvcirkelformat glasblock. Bestäm glasets brytningsindex genom att mäta upp totalreflektionsvinkeln. Studera transmission av laserljus genom plexiglasstavar och en enkel optisk fiber. Vad händer om fibern böjs? Förklara. b) (B) Studera dispersion med hjälp av ett prisma. Förklara hur en regnbåge uppkommer. c) (C) Studera avbildning i en lins. Verifiera till exempel att linsformeln gäller. Uppgift 2: Enkelspalt Låt ljus från en laser infalla vinkelrät mot olika enkelspalter och studera böjningsmönstret på en skärm bakom enkelspalten. a) Rita en tydlig figur över försöksuppställningen. b) Skissa intensitetsfördelningarna från enkelspalter med spaltbredderna 0.04 mm och 0.08 mm. Rita i samma skala. Kommentera eventuella skillnader. c) Använd enkelspalt med a = 0.08 mm och mät vinkeln till de tre första minimumen. Jämför med teoretiska värden. 7
Uppgift 3: Dubbelspalt Studera interferens genom att titta på hur ljus beter sig vid passage genom en dubbelspalt. a) Skissa intensitetsfördelningen från en dubbelspalt. b) Bestäm spaltavståndet d. Verkar resultatet rimligt? Hur kan man göra mätningen så noggrann som möjligt? Uppgift 4: Gitter I förra uppgiften tittade vi på en dubbelspalt. Nu skall vi se vad som händer när antalet spalter ökar. a) Skissa intensitetsfördelningarna från gitter med 20, 40 och 80 linjer/mm. b) Vad händer med vinkeln mellan två maxima om gitterkonstanten d halveras? c) Undersök vad som händer med vinkeln mellan två maxima då våglängden varieras. Använd röd och grön laser. Stämmer de senaste observationerna med ekvation (6)? Uppgift 5: Synliga spektrat Bygg en enkel spektrometer på en optisk bänk med vars hjälp du kan bestämma omfånget av det synliga våglängdsområdet. Som ljuskälla använder du en vitljuslampa. a) Rita en tydlig figur av försöksuppställningen inkluderande strålgången. b) Bestäm omfånget av det synliga våglängdsområdet. Jämför med tabellvärden. Uppgift 6: Spårvidd på en CD-skiva En CD-skiva fungerar som ett reflektionsgitter. Om ljus infaller vinkelrätt mot ett reflektionsgitter gäller fortfarande ekvation (6). a) Bestäm spårvidden på en CD-skiva. Rita tydlig figur. 8
Extrauppgifter 1. Bygg något optiskt instrument, till exempel ett enkelt mikroskop eller en kikare. 2. Bestäm tjockleken av ett hårstrå genom att använda en laser. (Ett hårstrå med diameter t ger samma böjningsmönster som en spalt med spaltbredd t.) 3. Tolka ett röntgendiffraktogram som du får av labassistenten. 4. Bestäm våglängderna för de synliga Hg-linjerna. 5. Studera Newtons ringar. 6. Studera Fresnels fläck. 7. Studera diffraktionsmönster från tvådimensionella gitter. 8. Undersök på något vis Rayleighs upplösningskriterium. 9. Ta upp spektrum för Hg, He eller Na med hjälp av den digitala spektrometern. Referenser [1] R. P. Feynman, R. B. Leighton, and M. Sands. Lectures on Physics. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1977. En något okonventionell men mycket läsvärd universitetsgrundkurs i fysik. Flera för denna laboration relevanta kapitel återfinns i volym I och II. [2] H.-U. Bengtsson. Nalle Puh och atomens existens. Rabén Prisma, 1993. Populärvetenskapliga essayer om modern fysik. [3] E. Hecht. Optics. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, third edition, 1998. Kursbok i optik på universitetsnivå. [4] R. P. Feynman. QED The strange theory of light and matter. Penguin Books, Harmondsworth, 1990. Populärvetenskaplig men seriös bok om QED (kvantelektrodynamik), den bästa modell som finns idag för att beskriva hur ljus och materia uppför sig och växelverkar. Skriven av en av männen bakom QED. [5] S. Svanberg. Atomic and molecular spectroscopy. Springer, Berlin, 1992. Introduktion till spektroskopi på universitetsnivå. [6] L. Bragg. Scientific American, page 58, July 1968. [7] J. Bengtsson. Diffractive optics design. PhD thesis, CTH, 1999. 9