KUNSKAPENS DRIFTKRAFTER INTE BARA FERMATS GÅTA

Transkript

1 KUNSKAPENS DRIFTKRAFTER INTE BARA FERMATS GÅTA JULIUSZ BRZEZINSKI jub/lau250ht03 MATEMATISKA VETENSKAPER GÖTEBORGS UNIVERSITET OCH CHALMERS

2 OVERHEADS FÖRTECKNING OCH TEXT 1. FERMATS GÅTA BOKEN 2. ARTIKLAR, ANDREW WILES Artikel 21 av 100 Tillbaka till rubriklistan Föregående artikel Nästa artikel Ny sökning Datum: Avdelning: SöndagVäxande Vetande Sida: 69 Av: CLAESSON CG Vilket skulle bevisas... Babylonierna visste en del. Pythagoras likaså. Fermat trodde han visste men hade svårt att förklara. Ifjol kom den engelske matematikern Andrew Wiles med gåtans lösning. Förra veckan fick han ett stort pris för sin upptäckt. En upptäckt inom matematiken brukar inte kallas upptäckt. Oftast heter det bevis. Vad Andrew Wiles har bevisat är ingenting mindre än det som kallas Fermats stora sats. Den som babylonierna och Pythagoras var och nosade på utan att känna till den. Om det hade funnits ett nobelpris i matematik, så skulle Wiles utan tvekan få det. I nästan 350 år har beviset för Fermats sats gäckat matematikerna. Låt oss därför gå tillbaka till Pythagoras, en matematiker verksam mer än två tusen år före Fermat. Pythagoras berömda sats, som gäller för rätvinkliga trianglar, säger att summan av kvadraterna på kateterna är lika med kvadraten på hypotenusan. Det visar sig att det finns rätvinkliga trianglar med heltaliga sidor, till exempel 3, 4 och 5. Kvadraten på 3 är 9. Kvadraten på 4 är 16. Summan av 9 och 16 är 25. Vilket är det samma som kvadraten på 5. Kan det möjligen finnas positiva heltal för vilka detta gäller också om de upphöjs till högre potenser än 2? Nej, påstod den franske matematikern Pierre de Fermat år I en antik matematikbok skrev han, att han hade ett bevis för denna sats men att det inte fick plats i den smala marginalen. Fermat lämnade inte sitt bevis till eftervärlden och hans påstående upptäcktes först fem år efter hans död, när hans son bläddrade i boken. Fermats sats kom att bli en av matematikens hittills mest svårknäckta nötter. Schweizaren Leonhard Euler kom nära ett bevis för exponenten 3. Längst kom en tysk matematiker, Eduard Kummer, som utvecklade en hel teori med vars hjälp satsen visades gälla för alla exponenter till och med Kummer själv klarade att bevisa satsen för alla exponenter upp till och med 100. Den som gjorde Fermats sats mest berömd var en tysk vid namn Wolfskehl. Drabbad av olycklig kärlek bestämde han sig för att ta sitt liv. Han planerade till och med datum och klockslag för sin sorti. Men först gick han till ett matematikbibliotek. En bok om Fermats stora sats fängslade honom så att han helt och hållet glömde sin olyckliga kärlek och sitt planerade självmord. Tacksam för att ha fått livslusten tillbaka satte han senare upp ett pris på den då enorma summan mark till den som inom 100 år bevisade eller motbevisade satsen. Tidsfristen för Wolfskehls pris går ut den 13 september Marginalen för Andrew Wiles blev inte stor. Wiles trodde sig redan för två årsedan ha ett hållbart bevis för Fermats sats men fick finna sig i att kolleger fann luckor i det. Tillsammans med en av sina före detta studenter, Richard Taylor, nu professor i Cambridge, lyckades han täppa till luckan och sedan ett år gäller Fermats stora sats som bevisad. Beviset är 130 sidor långt och kräver flera tusen sidor stödjande matematiska tankegångar. Ett mått på hur komplicerad matematik det handlar om, är det faktum att kanske bara ett dussin människor i hela världen helt och hållet kan följa med i Wiles bevis. Och vad är det då den klurige engelsmannen har bevisat? Ja, håll i er, ni som inte umgås med matematisk vokabulär dagligen: Summan av två potenser - x upphöjt till n och y upphöjt till n - är aldrig en potens z upphöjt till n, när x, y och z är positiva heltal och n är större än 2. CG CLAESSON Fotnot: Artikeln bygger på en text av Juliusz Brzezinski professor i matematik vid Göteborgs universitet och Chalmers. Copyright: Göteborgs-Posten eller artikelförfattaren. Tillbaka till rubriklistan Föregående artikel Nästa artikel Ny sökning Enkel sök Utökad sök Boolesk sök Hjälp Info Extra Tips Länkar Kundtjänst Avsluta Mediearkivet, Box 34211, STOCKHOLM

3 PLAN Varför har Singhs bok (berättelse om lösningen av ett matematiskt problem) väckt så stort intresse? Fermats gåta 6000 år historia: från sumererna, babylonierna och grekerna till Fermats ekvation och Wiles. Varför har människor sysslat med Fermats gåta - vilka driftkrafter ligger bakom kunskapssökandet? Hur och varför populariseras kunskap? Är populariseringsinsatser viktiga i skolan? Hur kan en lärare väcka intresse för ämnet hos sina elever? Är (matematisk, naturvetenskaplig) forskning genusrelaterad? (Singh ägnar mycket utrymme åt kvinnliga matematiker)

4 1. KLOSSAR 2. TVÅ BILDER FRÅN GRUNDSKOLANS LÄROBÖCKER ÅK 8, ÅK = 5 2 och x 2 + y 2 = z 2 3. KILSKRIFTSTAVLOR PLIMPTON.

5 PYTHAGORAS EKVATION x 2 + y 2 = z = = = = =

6 FERMATS STORA SATS från Fermat till Wiles 1637 P. Fermat formulärar satsen och bevisar för n = 3(?) och n = 4 dvs x 3 + y 3 z 3 och x 4 + y 4 z L. Euler visar satsen för n = 3 dvs x 3 + y 3 z Franska Vetenskapsakademien utannonserar ett pris för bevis av FSS (guldmedalj F) G. Lejeune Dirichlet (1828) och A.M. Legendre (1830) visar satsen för n = 5 dvs x 5 + y 5 z 5 (Legendre rättar Dirichlets fel) G. Lejeune Dirichlet visar satsen för n = G. Lamé visar satsen för n = 7 dvs x 7 + y 7 z 7 (H. Lebesgue rättar fel 1840) E.E. Kummer visar satsen för alla n 100 med undantag av n = 37, 59, Franska Vetenskapsakademien förnyar priset för ett bevis av FSS. Priset ges ej, men en medalj går till Kummer E.E. Kummer visar satsen för alla n P. Wolfskehl donerar tyska Mark till Königliche Gesellschaft der Wissenschaften i Göttingen som pris för ett bevis av FSS (gäller till den 13 september 2007) S. Wagstaf visar FSS för n FSS sann för n

7 FERMATS STORA SATS från Fermat till Wiles: 1900 talet 1984 På en konferens i Oberwolfach (Tyskland) berättar G. Frey om ett troligt samband mellan Fermats ekvation och en teori från 1950/60-talet formulerad av två japanska matematiker G. Shimura och Y. Taniyama Kenneth Ribet visar att sambandet verkligen gäller (använder ett arbete av J.P. Serre en mycket framstående fransk matematiker): Om Shimura-Taniymas påstående är sant så är Fermats påstående sant Den 23 juni annonserar Andrew Wiles att Shimura-Taniyamas påstående är sant. Alltså är Fermats påstående sant Under hösten upptäcker man olika fel i Wiles resonemang. Ett fel är mycket allvarligt I augusti håller Wiles sin föreläsning på den Internationella Världskongressen i Zürich med drygt 4000 deltagare. Wiles: Problemet består I slutet av september sprids nyheten att Shimura-Taniyamas påstående är bevisat av Wiles. I oktober finns skriftliga redovisningar Bevis av Shimura-Taniyamas påstående publiceras på c:a 120 sidor i Annals of Mathematics Flera konfrenser och böcker om Wiles resultat.

8 KODNINGSTEORI (felkorrigering vid överföring av signaler t ex radar, miniräknare osv): Èvariste Galois (ändliga kroppar) 1830 radarkommunikation 1940-talet, felkorrigering, datorer, miniräknare (kring 1950 och senare), mobiltelefoner,... MATEMATIK: TEORI OCH PRAKTIK KUNSKAPENS DRIFTKRAFTER ANVÄNDBARHET (ANVÄNDA) NYFIKENHET (VETA) Att söka kunskap är i mycket som sex. Det har ett praktiskt syfte, men det är i allmänhet inte därför folk gör det. Frank Oppenheimer Ur K.C. Cole, Universum och tekoppen DATORER: George Boole (Boolesk algebra) c:a 1840 den första datorn c:a 1940 MODERNA KRYPTERINGSSYSTEM: Pierre de Fermat (1600 talet), Leonhard Euler (1700 talet) restaritmetiker ( klockaritmetiker ) krypteringstekniker (säkerhetssystem för datakommunikation), bankomatkort, internet-kommunikation, 1970

9 K.C. COLE, internetsidan

10 VARDAGSMATEMTIK ELLER SÖNDAGSMATEMATIK? En fokusering på tillämpningar skapar sina egna problem: Att syssla med tillämpningar kräver en kombination av mycket goda kunskaper i matematik med förmågan att tolka vardagliga företeelser i matematiska termer. Som konsekvens är det mycket ofta lättare att väcka intresse för ren matematik än för dess tillämpningar. Intressanta matematiska tillämpningar kräver mycket ofta relativt avancerad matematik som inte kan presenteras på skolnivå och som kan försvåra matematikundervisning; Vissa typer av tillämpningar kan vara oinspirerande, ointressanta eller stötande för en del elever; Att reducera matematik till ett begränsat antal tillämpningar berövar matematiken en av dess viktigaste egenskaper dess universella karaktär som är oberoende av konkreta tillämpningar.

11 ANVÄNDBARHET KONTRA NYFIKENHET? FINNS DET EN KONFLIKT MELLAN ANVÄNDBARHET OCH NYFIKENHET I SKOLUNDERVISNINGEN? (frågan gäller alla ämnen fast frågans relevans varierar) VAD KAN MAN GÖRA FÖR ATT VÄCKA MOTIVATION, INTRESSE OCH NYFIKENHET HOS SKOLELEVER?

12 FÖREBILDER Om JAIME ESCALANTE och filmen Stand and Deliver hemsidan om ESCALANTE:

13 FRAMSTÅENDE KVINNLIGA MATEMATIKER HYPATIA (omkring ) Västerlandets första kända kvinnliga matematiker. Redigerade en version av Euklides bok Elementa som var grunden för alla utgåvor till år Skrev en kommentar till Diophantos böcker (Fermats ekvation inspirerades av dessa böcker). Undervisade vid Museion i Alexandria (med dess berömda bibliotek). Som nuplatoniker mördad av en mobb kristna fanatiker. SOPHIE GERMAIN ( ) (pseudonym Monsieur Le Blanc i sin korrespondens med C.F. Gauss och J.L. Lagrange). Vetenskapliga uppsatser i matematik, fysik och filosofi. Mest berömda om Fermats ekvation (s k första fallet ; Sophie Germains primtal ). SONYA KOVALEVSKY ( ). Västerlands mest framstående kvinnliga matematiker under talet. Mycket viktiga insatser inom olika områden (även fysik). Skrev också skönlitterera verk och självbiografi. Från 1889 professor vid Stockholms högskola tack vare Mittag-Lffler. A. Strindbergs åsikt: En kvinnlig professor i matematik är ett elakartat och obehagligt fenomen man kan t o m säga ohygglighet; och att inbjuda henne till ett land som äger så många henne överlägsna manliga matematiker kan endast förklaras av svenskarnas artighet gentemot det kvinnliga könet.

14 POPULARISERING KOMMUNIKATION MED OMVÄRLDEN: VARFÖR? DEN ÖPPNA HÖGSKOLAN: STUDIERNA SKALL UTVECKLA STUDENTERNAS FÖR- MÅGA ATT UTBYTA KUNSKAPER ÄVEN MED PERSONER UTAN SPECIALKUNSKAPER INOM OMRÅDET VARFÖR? KUNSKAP GER MAKT BILDNING ÄR EN DEMOKRATISK RÄTTIGHET MÄNNISKOR VILL FÖRSTÅ SIN OMVÄRLD DEN SOM HAR KUNSKAP BÖR DELA DEN MED ANDRA MAN FINNER GLÄDJE I MÖJLIGHETEN ATT FÖRKLARA FÖR ANDRA SAMHÄLLET BETALAR MAN BÖR KUNNA FÖRKLARA VAD MAN GÖR OCH VARFÖR

15 POPULARISERING KOMMUNIKATION MED OMVÄRLDEN: HUR? KAN KUNSKAPEN FÖRENKLAS? BALANS MEL- LAN HELA SANNINGEN OCH FÖRENKLINGAR. SKALL MAN TRO ATT NÅGOT KOMPLICERAT ÄR ENKELT? EN ETISK FRÅGA. ATT VÄLJA LÄMPLIG NIVÅ (MÅLGRUPP) ATT VÄLJA LÄMPLIGT SPRÅK SLUTSATSER: POPULARISERING KRÄVER STORA KUNSKAPER I ÄMNET POPULARISERING KRÄVER MYCKET BRA FÖRSTÅ- ELSE AV BÅDE ÄMNET OCH LÄRANDEPROCESSEN POPULARISERING ÄR EN DEL AV VARJE LÄRARES VARDAGLIGA ARBETE

16 PROGRESSION Exempel från olika skolböcker

17 GP, Datum: Avdelning: Allmänt Sida: 30 Av: Wallström Anna Lena Räkna med ny matte Stockholm: Det är hög tid att blåsa liv i matematikundervisningen. Alldeles för många elever tappar lusten och skyr ämnet mest av alla. Lusten att lära har varit utgångspunkten i den omfattande granskning av matematikundervisningen som Skolverket gjort i 300 skolor, från förskola till vuxenutbildning. Lusten är nära förknippad med självtillit - det här kan och förstår jag. Detta är centralt i matematikundervisningen och tycks fungera bland de yngre eleverna. Skolverkets granskare har mött entusiastiska femteklassare som tycker nästan allt är kul. - Men det tycks vara i åldern däromkring som något händer. Matematik blir det tråkigaste ämnet, säger undervisningsrådet Ulla Lindqvist. Roligt i början Lärarna i förskolan och grundskolans tidiga år är ofta är duktiga på att smyga in matteövningar i leken. Matten är konkret stimulerar flera sinnen. Men senare förväntas eleverna förstå matematik på en mer abstrakt nivå. - Den förmågan utvecklas individuellt men skolan har inte lyckats anpassa undervisningen därefter, säger Ulla Lindqvist. I stället är det mycket vanligt att eleverna till största delen sitter var och en för sig och mekaniskt räknar i sina böcker, med viss lärarhandledning och bokens facit som hjälp. De elever som har lätt för sig blir uttråkade medan de som inte förstår vad de räknar ger upp. - Det tyder på en osäkerhet hos en del lärare att man inte litar på att målen kan nås på olika sätt. Men lärarna säger att de inte har tillräckligt med tid att föra pedagogiska samtal med varandra, vilket krävs för att lägga om undervisningen på ett radikalt sätt, säger Ulla Lindqvist. Skolverket efterlyser förbättringar på flera områden. Lärarnas betydelse är oomtvistad och många av dem efterlyser vidareutbildning. Skolverket konstaterar också kritiskt i sin rapport att de utvecklingsarbeten som bedrivs på vissa skolor tycks ske på enskilda lärares initiativ utan stöd från skolledning. Anna Lena Wallström TT Copyright: Göteborgs-Posten eller artikelförfattaren. Tillbaka till rubriklistan Nästa artikel Ny sökning Enkel sök Utökad sök Boolesk sök Hjälp Info Extra Tips Länkar

18 GP, Datum: Avdelning: Politik Sida: 36 Nytt matteknep från Östros Ännu ett försök att få barn och ungdomar - från för- till högskolor - mer intresserade av teknik och naturvetenskap: Regeringen tillsätter en matematikdelegation. Den ska granska dagens undervisning, från första räknelekarna till högskolornas avancerade teoretiska modeller, och analysera behovet av ny metodik och förändrade kursplaner, skriver utbildningsminister Thomas Östros i ett pressmeddelande. Med seminarier, spridning av nya forskningsrön och samverkan med olika aktörer ska diskussion om ämnets roll och utveckling i skolan stimuleras, uppger Östros. Framöver hoppas han locka fler till högskolornas tekniska och naturvetenskapliga utbildningar. Delegationen ska presentera sina förslag i maj I fredags lade Skolverket en kritisk rapport om svensk matematikundervisning, och pekade på mekaniskt räknande utan god styrning av lärare eller skolledningar. (TT) Copyright: Göteborgs-Posten eller artikelförfattaren. Tillbaka till rubriklistan Ny sökning Enkel sök Utökad sök Boolesk sök Hjälp Info Extra Tips Länkar Kundtjänst Avsluta Mediearkivet, Box 34211, STOCKHOLM Epost: information@mediearkivet.s

19 Utbildningsdepartementet Utbildningsdepartementet Pressmeddelande Håkan Carlsson Pressekreterare Matematikdelegation för lust och lärande Internationella undersökningar visar att svenska elevers matematikresultat står sig relativt väl i internationell konkurrens. De svenska eleverna ligger något över OECDgenomsnittet, men regeringens ambition är högre än så. Svenska elevers resultat i matematik ska vara ledande vid internationella jämförelser. Goda kunskaper i matematik är nödvändigt för att kunna tolka och hantera olika slag av uppgifter och situationer i skolan och i samhället, säger utbildnings- och forskningsminister Thomas Östros. Matematiken kan fungera både som en dörröppnare till utbildning och arbetsliv och som ett sätt att utestänga. Det är därför viktigt att se över vad som kan göras för att förstärka detta viktiga ämne. Dessutom kan det bidra till att rekrytera elever till naturvetenskapliga och tekniska utbildningsvägar både i gymnasieskolan och inom den högre utbildningen. Syftet med att regeringen nu tillsätter en Matematikdelegation är att förändra attityder till och öka intresset för matematik. Inte minst viktigt är det att ta till vara synpunkter och idéer från eleverna själva. Delegationen tar nu ett samlat grepp om matematikundervisningen allt i från de små barnens ramsor och räknelekar i förskolan till högskolans avancerade teoretiska modeller. Jag ska noga följa delegationens arbete och ser fram emot offensiva förslag, avslutar Thomas Östros. Delegationen ska analysera den nuvarande situationen för matematikundervisningen i Sverige från förskola till högskola och bl.a. bedöma behovet av att förändra nuvarande kursplaner och andra styrdokument. Delegationen har möjlighet att på eget initiativ stimulera utvecklingsarbeten genom att t.ex. ordna seminarier, ge spridning åt intressanta utvecklingsarbeten och forskningsresultat. Delegationen ska samverka med berörda organisationer och myndigheter och bedriva sitt arbete med stor öppenhet och stimulera till diskussion om matematikämnets roll och utveckling i skolan. Uppdraget ska redovisas senast den 28 maj 2004.

20 BOTEMEDEL? 1. SKAPA INTRESSET FÖR ÄMNENESKUNSKAPER SNARARE NYFIKENHET ÄN ANVÄNDBARHET 2. ÅTERSTÄLLA PROGRESSIONEN I SKOLÄMNEN 3. UTBILDA BRA LÄRARE MED FÖRMÅGA ATT MO- TIVERA, ENTUSIASMERA OCH SKAPA INTRESSE FÖR KUNSKAP 4. GE POSITIVA FÖREBILDER (SKOLAN, SAMHÄLLE, MASSMEDIA) 5. FÖRÄNDRA LÄROBÖCKER (KURSPLANER) 6. BÄTTRE POPULARISERINGSINSATSER (BODANIS, SINGH, COLE,...)

21 LITTERATURLISTA 1. Brian Butterworth, DEN MATEMATISKA MÄNNISKAN, W&W, K.C. Cole, UNIVERSUM OCH TEKOPPEN, Svenska Förlaget, Kristin Dahl, DEN FANTASTISKA MATEMATIKEN, Fisher&Co, Richard Mankiewicz, MATEMATIKEN GENOM TIDERNA, Bonnier, John McLeish, MATEMATIKENS KULTURHISTORIA, Forum, (ofta på REA) 6. Simon Singh, KODBOKEN, Nordstedts, Anker Tiedemann, TALENS MAGI, Berghs, Inger Enkvist, FELTÄNKT, SNS Förlag, 3:e upplagan, 2002

22 Just as poetry is the art of words, and music is the art of sounds, mathematics is the art of thinking.