Multicriteria decision making

Transkript

1 Linköpings Tekniska Högskola Carl-Louis Sandblom och Clas Rydergren, ITN TNK047 Optimering och systemanalys Övningsuppgifter 20 oktober 2009 Multicriteria decision making M1 The board of directors of a large corporation consists of the six individuals A F. The corporation has decided to go ahead with exactly one of the four projects W, X, Y, and Z. Each member of the board has ranked the four projects with the following results: Individual Ranking A B C D E F First Y Z X Z W X Second X W W Y Z W Third W X Z X Y Z Forth Z Y Y W X Y In order to pick a winner (i.e., a project to go ahead with) the board has to use the Condorcet criterion according to which project U wins, if for every other project V, U is ranked higher than V by a strict majority (more than 50%) of the individuals. (a) Which are the winners, if any? (b) Same as a) except that F is excluded from the board? (c) Same as a) except that D is excluded from the board? (d) Same as a) except that project X is excluded from consideration? (e) Same as a) except that in the Condorcet criterion, the word strict is omitted? (Uppgiften är inte kopplad till något kapitel i kursboken.) M2 Consider the same situation as in Exercise M1 except that the plurality criterion is used, for which project U wins if for any other project V, the number of individuals ranking U first is strictly larger that the number of individuals ranking V first. In (e), the words strictly larger than are replaced by larger than or equal to in the plurality criterion. (Uppgiften är inte kopplad till något kapitel i kursboken.) M3 Grönsaksfirman Ferrsk producerar svamp på burk i tre fabriker (I, II och III), som levererar till fyra distributionscentraler (A, B, C och D). De tre fabrikernas produktionskapacitet (som ej kan överskridas) är respektive 1000kg, 600kg och 800kg per månad, och de fyra distributionscentralerna kräver minst respektive 300kg, 500kg, 400kg och 700kg per månad. Nettovisten (i kr per kg) beror på i vilken fabrik varan produceras och till vilken distributionscentral den levereras, enligt tabellen nedan. Ferrsk har tre målfunktioner: z 1 : Maximera nettovinsten; z 2 : Maximera produktionen i fabrik II; z 3 : Minimera leveransen från fabrik I till distributionscentral B. 1

2 Distributionscentral Fabrik A B C D I 9:50 8:50 11:- 9:40 II 8:80 10:20 9:60 8:70 III 9:10 9:30 9:90 10:10 (a) Formulera, men lös ej, en vektoroptimeringsmodell för firman Ferrsk. (b) Hur modifieras optimeringsmodellen i (a) ovan om Ferrsk dessutom vill: z 4 : Maximera totala leveranserna från fabrikerna I och III till distributionscentralerna C och D? (c) Hur modifieras optimeringsmodellen i (a) ovan om Ferrsk istället för målet z 2 (som minimerar kapacitetsgapet för fabrik II) vill z 2 : Minimera det största av kapacitetsgapen för de tre fabrikerna? M4 Ett beslutsproblem med fyra möjliga beslut d 1, d 2, d 3 och d 4, och tre kriterier c 1, c 2 och c 3 har resulterat i en nyttomatris: U = (u ik ) = Man har bestämt sig för att ge de tre kriterierna vikter w 1 = 0.4, w 2 = 0.3 och w 3 = 0.3. (a) Rangordna de fyra besluten och finn det bästa genom att använda den allmänna MCDM-proceduren med viktad summa. (b) Rangordna de fyra besluten och finn det bästa genom att använda den allmänna MCDM-proceduren med viktad produkt. (c) Rangordna de fyra besluten och finn det bästa genom att använda TOPSISmetoden med Manhattan-avståndet till den ideala punkten. (d) Rangordna de fyra besluten och finn det bästa genom att använda TOPSISmetoden med Euklidiska avståndet till den ideala punkten. M5 (Following the example on pages ) A decision maker faces the task of choosing one of three sites for the location of a sanitary lanfill. The three decisions are then d 1, d 2 and d 3. The criteria are cost (in millions of dollars), impact on the surrounding communities, and the environmental protection afforded by the solution. The decision maker s evaluations are summarized in the table below. Note that the first Cost Community impact Environmental protection d 1 20 high poor d 2 80 medium very good d 3 40 medium medium two criteria are of the minimization type wheras the last is of the maximization type. Using Edwards linear scaling technique for criterion c 1 (cost), a 5-point scale starting at very low, then continuing to low, medium, high and very high for c 2 (community impact), and the 5-point scale that ranges from very good, to 2

3 Cost Community impact Environmental protection d d d good, medium, poor, and very poor for criterion c 3 (environmental protection). The scores on both qualitative scales are assumed to have equidistant utilities, and are shown in the table above. Use the weight vector [ ] and the generic MCDM procedure to obtain a ranking of the decision alternatives, as well as an optimal decision, using (a) the weighted sum model; (b) the weighted product model. M6 (Following the example on page ) A retail franchise is planning to locate a new store in a rapidly developing town. Management has delineated three important features: (annualized) costs, the quality of the neighborhood, and the future potential of the site. Letting c 1, c 2 and c 3 symbolize the three criteria, the potential locations d 1, d 2, d 3 and d 4 have been evaluated as shown in the table below. c 1 (Cost, $) c 2 (Neighborhood) c 3 (Site) d 1 40 medium good d 2 50 medium very good d 3 30 good poor d 4 60 very good medium Translating the evaluations into a utility matrix results in U = (u ik ) = Defining the ideal point as the column maxima, we obtain ū = [1 1 1]. Use the weight vector [ ] and the TOPSIS method to rank the potential location decisions, using (a) the Manhattan distance; (b) the Euclidian distance. M7 (Following the example on page ) A city council has to evaluate its four historic buildings. In particular, it operates a lighthouse museum with an original Fresnel lens, a downtown townhouse whose main feature is its 19th century collection of paintings, an old factory on the fringes of town that sports avent-garde art exhibitions, and a historic farm near a modern-day suburb. The main criteria used in the evaluation are the operating costs and the loss of revenue based on potential alternative uses of the buildings (the input factors), as well as the number of visitors, the architectural integrity, and the historical significance of the buildings (the output factors). The numerical evaluations are shown in the table on the next page. Evaluating the Factory, we can set up the following linear programming problem: 3

4 Input factors Output factors Operating Loss of Numbers of Architectual Historical costs revenue visitors (in 1,000) integrity significance Lighthouse Townhouse Factory Farm P 3 : min E 3 20w w w 3 + 5w 4 10E 3 100w w w w 4 60E 3 18w w 2 + 5w 3 + 3w w w w w w w w w 4 70 w 1 + w 2 + w 3 + w 4 = 1 w 1,w 2,w 3,w 4 0. The solution to this problem is w 1 = 0, w 2 = , w 3 = 0, w 4 = , with Ē 3 = This result indicate that the Factory is only about 86% efficient as compared with a combination of the existing facilities, more specifically, a fictious combinations of 9% of the townhouse and 91% of the farm. Using the DEA approach, formulate (and using AMPL, solve) the linear programming models for (a) the lighthouse; (b) the townhouse; (c) the farm. and explain why they are all efficient. M8 Ett nytt akademiskt utbildningsprogram planeras i en mellansvensk högskolestad. Flera upplägg och alternativ har diskuterats och man har kommit fram till sex tänkbara beslut. För dessa har kostnaderna k 1 (i miljoner kronor, Mkr) och inställningen bland företagen i regionen (k 2 ) uppskattats enligt tabellen nedan, där beslutet d 1 svarar mot att utbildningsprogrammet ej startas. Man har också fastställt vikterna w 1 = 0,7 och w 2 = 0,3 för de två kriterierna. Beslut k 1 : Kostnad (Mkr) k 2 : Inställning d 1 0 mycket negativ d 2 4,5 negativ d 3 5,2 neutral d 4 5,7 neutral d 5 6,0 mycket positiv d 6 6,7 positiv (a) Bestäm nyttomatrisen (utility matrix) för detta beslutsproblem (använd en 5- gradig Likert-skala för det kvalitativa kriteriet k 2 ) och visa hur besluten d 4 och d 6 kan elimineras, eftersom de domineras av andra beslut. (b) Rangordna de kvarvarande besluten och finn det/de bästa genom att använda den allmänna MCDM-proceduren med viktad produkt. 4

5 (c) Rangordna de kvarvarande besluten och i) finn det/de bästa genom att använda TOPSIS-metoden med Manhattan-avståndet till den ideala punkten, samt ii) rangordna de kvarvarande besluten och finn det/de bästa genom att använda TOPSIS-metoden med Euklidiska avståndet till den ideala punkten. M9 Ett sjukhus har följande dagliga minimibehov av sjuksköterskepersonal: Skift Dygnstid Minimibehov (personer) 1 06:00-10: :00-14: :00-18: :00-22: :00-02: :00-06:00 30 Skiftespersonalen anländer vid början av varje skift och arbetar 8 timmar i sträck (med avbrott endast för avtalsenliga pauser). Sjukhusadministratören önskar bestämma det minsta antal personer som behövs för att tillräckligt mycket personal ska finnas i varje skift. Formulera, men lös ej, en vektoroptimeringsmodell för sjukhuset, som: (a) Minimerar totalantalet sjuksköterskepersonal (z 1 ); Minimerar antalet personer på nattskiften (skiften 5 och 6) (z 2 ); (b) Modifiera optimeringsmodellen i a) ovan, om sjukhuset dessutom vill: Minimera absoluta skillnaden i totala antalet personer som börjar under förmiddagsskiften 1 och 2 jämfört med eftermiddagsskiften 3 och 4 (z 3 ). (c) Modifiera optimeringsmodellen i b) ovan, om sjukhuset dessutom vill: Minimera det maximala antalet personer under något av nattskiften 5 och 6 (z 4 ). Formulera det linjära programmeringsproblem som erhålles med viktmetoden, om i b) ovan målen z 1, z 2 och z 3 sammanvägs, med viktvektorn w = (5, 3, 2). M10 Lågprisbolaget Havringeflyg önskar schemalägga minst två dagliga avgångar från Skavsta till Göteborg, Malmö, Oslo och Helsingfors vardera. De möjliga avresetiderna är 07:00, 07:30 och 08:30. Havringeflyg leasar flygplanen till en kostnad av :- per avgång för tiderna 07:00 och 07:30, och :- för tiden 08:30; vidare får Havringeflyg ej använda mer än tre plan för tiden 07:00, fem plan för tiden 07:30 och fyra plan för tiden 08:30. Vinsten per avgång (leasingkostnad oräknad) framgår av följande tabell: Stad 07:00 07:30 08:30 Göteborg Malmö Oslo Helsingfors (a) Formulera, men lös ej, en vektoroptimeringsmodell för Havringeflyg, som: 5

6 Maximerar totala nettovinsten (z1); Minimerar antalet avgångar f or tiden 07:30 (z2). (b) Modifiera optimeringsmodellen i a) ovan om Havringeflyg dessutom vill: Minimera totala leasingkostnaden (z3); Maximera antalet inrikes avgångar f or tiden 08:30 (z4). (c) Modifiera optimeringsmodellen i b) ovan om Havringeflyg dessutom vill: Minimera absoluta skillnaden i antalet avgångar för tiderna 07:00 och 07:30 (z5). (d) Formulera det linjära programmeringsproblem som erhålles med viktmetoden, om i b) ovan målen z1, z2, z3 och z4 sammanvägs, med viktvektorn w = (4, 7000, 1, 500). (Varför är vikterna så olika?) M11 Person Z ska bygga en sökmotor till sin arbetsgivares intranät. En viktig del i denna sökmotor är att rangordna de webbkällor som blir sökbara. När sedan en rangordning av webbkällorna skapats så går det snabbare att presentera bra information till den som gör sökningen. Sökningen i sökmotorn görs genom att ett eller flera ord skrivs in av användaren varefter sökmotorn snabbt hittar i vilka dokument som dessa ord förekommer. Dessa dokument kommer att presenteras i den ordning i vilken källorna har rangordnats. Person Z har satt upp ett antal kriterier för hur rangordningen ska göras, dessa är: tillgänglighet, korrekthet, etc. Alla kategorierna och listan med webbkällor ges i tabellen nedan. Siffrorna (heltalen) i tabellen anger en bedömning mellan 0 och 10; ju lägre desto bättre. Webbkälla tillgänglighet korrekthet fullständighet presentation A B C D Viktning (a) Transformera tabellen ovan till en nyttomatris. Använd nyttomatrisen för att göra en rangordning av webbkällorna baserat på TOPSIS-metoden och med det euklidiska avstånd som avståndsmått. (b) Antag nu att Z vill minska antalet webbkällor och tänker sig att använda DEAmetodik för att göra detta. Formulera det problem som Z behöver lösa för att utvärdera effektiviteten hos källa B. Antag att kriteriet tillgänglighet betraktas som en output factor, och övriga som input factors vid utvärderingen. 6

7 Games against nature N1 Byggfirman Agemo måste besluta om man ska lämna en offert eller ej på ett planerat bro- och/eller tunnel-projekt mellan fastlandet och en stor ö. Det kostar Agemo :- att arbeta ut och lämna in en offert på en bro, medan nettoförtjänsten skulle bli 1,2Mkr om broprojektet får klartecken. Likaledes vore kostnaden :- för en tunneloffert, medan nettoförtjänsten blir 1,7Mkr om tunnelprojektet får klartecken. En tredje möjlighet för Agemo vore att lämna offert på både bro- och tunnelprojektet, och en fjärde vore att inte lämna någon offert alls. De fyra möjliga utfallen svarar mot byggandet av en bro, en tunnel, bäggedera eller ingendera. (a) Konstruera en betalmatris genom att rubricera de fyra raderna (svarande mot besluten) och de fyra kolumnerna (svarande mot utfallen), och att beräkna alla betalningarna. (b) Vilka är de maximin-optimala besluten? (c) Finn alla optimala beslut med Laplace-kriteriet. (d) Beräkna grämelsematrisen och bestäm alla optimala minimax-grämelse-beslut. Antag nu att Agemo har uppskattat att sannolikheten för de fyra utfallen är respektive 0,47, 0,21, 0,01 och 0,31. (e) Vilka är de optimala besluten med Bayes kriterium? (f) Vilka är de optimala besluten med förväntade grämelse-kriteriet? (g) Vad är det förväntade värdet av perfekt information? (h) Visa genom direkt uträkning att EMV + EOL är konstant för alla beslut och lika med EMV med perfekt information. N2 A bank is opening a new branch in a certain area of a large city, and is considering the purchase of a building lot on which to construct the new office. The lot is currently (February-March) for sale at $300,000. If it is still on the market in April, the bank can buy the lot for $250,000, but there is a probability p = 0.3 that it will no longer be on the market. If it is still on the market in April, there is a probability p = 0.6 that it will be available in May; when the price will be $100,000. The lot will certainly not be on the market by June. At any time, the bank may purchase an equally attractive neighbouring lot, for which it has acquired an option to purchase at $400,000. Given that the bank must acquire one of the lots by June, find its optimal policy and its expected outlay for the purchase. What is the probability that the bank will buy the $400,000 lot? N3 Consider the Wagner job interview problem, where applicants are interviewed, one after the other. During each interview, the applicant turns out excellent, good or only acceptable, as given in the table below. At the end of each interview, the Outcome Probability Value ($) Excellent ,000 Good ,000 Acceptable ,000 decision hire or do not hire must be made. No more than three applicants can 7

8 be interviewed, and at the end of the process exactly one hiring must have been completed. (a) Draw a decision tree and find a policy which maximizes the expected value of the applicant hired. What is this value? (b) For what range of values of an excellent applicant (presently $7,000) will the optimal policy, found i (a) above, remain optimal? (c) Same as (a), except that each interview now costs $500 to perform. N4 I Wagners anställningsproblem intervjuas sökande till ett arbete, en efter en. Vid varje intervju befinns den sökande vara utmärkt, bra eller acceptabel, enligt följande tabell: Utfall Sannolikhet Värde (euro) Utmärkt 0, Bra 0, Acceptabel 0, Vid slutet av varje intervju måste beslutet anställ eller anställ ej göras. Högst tre sökande kan intervjuas, och vid slutet av proceduren måste en sökande ha anställts. Antag nu att intervjuproceduren är imperfekt, på ett sådant sätt att varje sökande som intervjuas bedöms som lovande eller icke lovande, enligt följande sannolikhetstabell: Intervjubedömning Sökande Lovande Icke lovande Utmärkt 0,10 0,05 Bra 0,35 0,20 Acceptabel 0,05 0,25 (a) Konstruera ett beslutsträd och finn en strategi som maximerar väntevärdet för den sökande som anställs. Vad är väntevärdet? (b) Använd resultatet från (a) och uppgift N3 till att beräkna väntevärdet av den imperfekta intervjuprocessen. Vad är väntevärdet av perfekt information? N5 The Bayesalli Electronic Company is planning to introduce a new video cassette on the market. Presently they are considering the following three options: (a) Produce the full number of cassettes, which is the expected demand on the market. (b) Produce a partial number of cassettes. (c) Produce a minimal number of cassettes. The company estimates that the expected profit for the first year under the following states of nature (regarding product acceptance by the market) will be as shown in the table below. Obtain an optimal decision and the associated expected monetary value. N6 In Excersise N5 above, the management of the Bayesalli Electronic Company wants to test their product for market acceptance prior to launching it on the market. The 8

9 State of nature (product acceptance) Course of action Excellent Good Poor Full production $250,000 $180,000 -$10,000 Partial production $170,000 $200,000 -$5,000 Minimal production $80,000 $120,000 $35,000 Probability of occurence service of the Clearview Research Institute are considered for a pilot evaluation of the market reaction to the video cassette. The Bayesalli management believes that the analysis provided by Clearview (resulting in a favourable or an unfavourable projection) are associated with the probabilities shown in the table below. Incorporate this Clearview projection Product acceptance Favorable Unfavorable Excellent Good Poor additional information into the decision tree, and find an optimal policy. Assume for the time being that Clearview does not charge for its services. N7 Consider Excercise N5 and N6 above. Clearview now wants to charge $20,000 for its market evaluation service. (a) Will the optimal decision from Excercise N6 change? (b) Calculate the expected value of perfect information and the expected value of imperfect information. (c) At what price would the Bayesalli management be indifferent between hiring and not hiring the Clearview service? N8 Mr. Ong is considering a number of risk ventures. He is indifferent between an investment opportunity offering $50,000 with certainty and a risk opportunity giving $30,000 with probability 0.4 and $70,000 with propability 0.6. He is also indifferent between obtaining $75,000 for sure and a risky investment offering $70,000 with probability 0.2 and $100,000 with probability 0.8. How would he rank the risky ventures shown in the figure on the next page? N9 Ledningen inom företaget NTI överväger brandförsäkring för sitt varulager. Rådande försäkring har en självrisk på 1500 euro och försäkringspremien är 5000 euro per år. Om självrisken höjs till 6000 euro, går årspremien ned från 5000 euro till 4500 euro. Ledningen uppskattar att i händelse av brand, kommer ersättningskostnaden (till fullo täckt av försäkringen, minus självrisken) att belöpa sig euro; vidare uppskattar man att brandrisken är 0,025 varje år, och att högst en brand om året kan förekomma. (a) Konstruera en betalmatris för att jämföra de båda försäkringsalternativen med alternativet att ej ha någon försäkring alls. (b) Vilket försäkringsalternativ är bäst ur EMV-synvinkel, och hur blir jämförelsen med ingen försäkring alls? Antag nu att NTIs nyttofunktion är u(x) = 1 exp{ (x + 300)/300)}, där x är uttryckt i tusentals-euro. 9

10 0.4 $30,000 A: $20, $50, $30,000 B: 0.1 $20, $40,000 C: 0.8 $30,000 $50, $70,000 (c) Konstruera en betalmatris för att jämföra den förväntade nyttan hos de båda försäkringsalternativen med förväntade nyttan hos alternativet att ej ha någon försäkring. (d) Vilket försäkringsalternativ är bäst ur förväntad nyttosynvinkel, och hur blir jämförelsen med ingen försäkring alls? N10 Det styrande politiska partiet i Entropia önskar hålla en folkomröstning i en viktig fråga. Partiets strateger har analyserat de möjliga valutgångarna, beroende på det politiska klimatet vid tiden för omröstningen och även formuleringen av frågan, vilken kan ges en negativ, neutral eller positiv ton. Man har också möjligheten att inte ha någon omröstning alls. Följande betalmatris representerar de alternativa utgångarna av omröstningen (i procent av rösterna), enligt partistrategernas bedömningar: Klimat Beslut Mycket gynnsamt Ganska gynnsamt Ganska ogynnsamt Mycket ogynnsamt Negativ ton Neutral ton Positiv ton Ej omröstning Sannolikhet (a) Bestäm alla maximax- och maximin-optimala beslut. (b) Finn alla optimala beslut, om Laplace-kriteriet används, och likaså om Bayeskriteriet används. (c) Beräkna grämelsematrisen och bestäm alla optimala minimax-grämelse-beslut, liksom de optimala besluten med förväntade grämelse-kriteriet. (d) Vad är det förväntade värdet av perfekt information? (e) Samma som a) och b) ovan, förutom att beslutet ej omröstning inte tillåts. (f) Samma som c) och d) ovan, förutom att beslutet ej omröstning inte tillåts. 10

11 (g) Diskutera tillämpbarheten av a) till f) ovan och utred vilka omständigheter som kunde göra något av kriterierna lämpligare än något av de andra. N11 Riskkapitalbolaget Gredelin måste bestämma sig för att köpa eller hyra utrustning för det mobila G3-nätets utbyggnad, där man lämnat en byggoffert. Av framförhållningsskäl måste köp-hyr- beslutet göras innan Gredelin vet om offerten godtagits. Om Gredelin köper utrustning, gör man en nettovinst om euro om offerten godtas, men en nettoförlust om euro om offerten avslås. Om Gredelin i stället hyr utrustning, gör man en nettovinst om euro om offerten godtas, men ingen förlust om offerten avslås. Gredelin bedömer att sannolikheten att offerten godtas är 70%; Gredelin har också nyttofunktionen u(m) = M , där M är uttryckt i euro. (a) Använd ett beslutsträd till att bestämma Gredelins optimala strategi, då den förväntade nyttan ska maximeras. (b) Vilken sannolikhet för att offerten ska godtas skulle göra Gredelin indifferent mellan besluten köp och hyr? (c) Vilken nettovinst av ett köp -beslut och godtagen offert skulle göra Gredelin indifferent mellan besluten köp och hyr? (d) Vad är säkerhetsekvivalenten, och vad är riskpremien för beslutet hyr? (e) Vad vore Gredelins optimala strategi om EMV i stället för förväntade nyttan skulle maximeras? N12 Företaget Radiohälsa avser att eventuellt lämna offert på användning av deras ultraljudsbaserade diagnostik-system i en offentlig upphandling. Radiohälsa överväger en av fyra olika offerter på 7 miljoner kronor; 7,5 miljoner kronor; 8 miljoner kronor, respektive 9 miljoner kronor, eller att inte lägga något bud. Andra företag bjuder också på samma projekt och det lägsta budet vinner kontraktet. Radiohälsa har räknat ut att deras nettovinst (i tusentals kronor) blir enligt tabellen nedan, där D i, i = 1,2,3,4 anger Radiohälsas offertbud och N j, j = 1,2,3,4,5 anger andra företags ( naturens ) bud. Utfall (lägsta budet vinner) N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 Beslut 6,5M 7M 7,5M 8M 9M D 1 : bjud ej D 2 : 7M D 3 : 7,5M D 4 : 8M D 5 : 9M (a) Redovisa de maximin-optimala besluten samt finn alla optimala beslut om Laplace-kriteriet används. (b) Beräkna grämelsematrisen (regret matrix) och bestäm alla optimala minimaxgrämelse-beslut. (c) Antag nu att Radiohälsa har uppskattat att sannolikheterna för utfallen N 1 till N 5 är 0,20; 0,40; 0,25; 0,10; respektive 0,05. i) Bestäm de optimala besluten om Bayes-kriteriet används. ii) Vilka är de optimala besluten om det förväntade grämelse-kriteriet används? 11

12 N13 Ett stort svenskt företag i sportdetaljbranschen har utvecklat en ny typ av snowracer och vill nu lansera den. Marknadsförarna bedömer att den nya snowracer:n kommer att sälja bra med sannolikhet 0,4 och att de kommer att sälja dåligt med sannolikhet 0,6. Följande tabell anger motsvarande nettovinst (i miljoner kronor): Strategi Utfall Lansera snowracern Lansera ej snowracern Säljer bra 45 0 Säljer dåligt Marknadsförarna är ovilliga att bestämma strategi på grundval av endast denna information och vänder sig till ett marknadsanalysföretag för att skaffa mer information. Analysföretaget erbjuder sig att utföra en marknadsundersökning för priset åttahundratusen kronor. Betingade sannolikheter för marknadsprognoser för givna försäljningsvolymer visas i följande tabell (bl.a. kan utläsas att om den Säljer bra så ges prognosen Ljus med sannolikhet 0,4.): Verklig volym Prognos Säljer bra Säljer dåligt Ljus 0,4 0,2 Neutral 0,5 0,5 Dyster 0,1 0,3 (a) Vad är optimal strategi, med Bayes kriterium, baserat på informationen utan prognos? (b) Konstruera hela beslutsträdet för detta problem och bestäm det förväntade värdet av marknadsundersökningen? N14 Lågprisföretaget Nodl avser att etablera sig i ett expanderande stadsområde. Etableringen skulle innebära köp av markområden, kallade respektive Lima, Mike och November, och det beslut som ska fattas är att förvärva inget, ett, två eller alla tre områdena. Beslut om att bygga på något av områdena är ännu inte aktuellt, och Nodl är för närvarande bara intresserat av den kortsiktiga vinsten av en ökning eller nedgång i värdet av markområdena. Man räknar med tre möjliga utfall vad gäller konjunkturen: försämrad, stabil, eller förbättrad konjunktur. Följande tabell visar det kortsiktiga värdet av varje markområde, såväl som deras nuvarande marknadspris (i tusentals euro): Kortsiktigt värde Markområde Marknadspris Försämrad Stabil Förbättrad konjunktur konjunktur konjunktur Lima Mike November (a) Definiera varje möjligt förvärvsbeslut och konstruera betalmatrisen, bestående av kortsiktiga vinster/förluster netto. (b) Vilka är de maximin-optimala besluten? (c) Finn alla optimala beslut, om Laplace-kriteriet används. 12

13 (d) Beräkna grämelsematrisen och bestäm alla optimala minimax-grämelse-beslut. Antag nu att Nodl har uppskattat att sannolikheterna för de tre konjunkturutfallen (försämrad, stabil, förbättrad) är (0.15; 0.55; 0.30). e) Vilka är de optimala besluten om Bayes EMV-kriterium används? f) Vilka är de optimala besluten om det förväntade grämelse (EOL)-kriteriet används? g) Vad är det förväntade värdet av perfekt information? h) Visa genom direkt uträkning att EMV + EOL är konstant för alla beslut och dessutom lika med EMV med perfekt information. N15 Oljebolaget Baltimar ska besluta om att borra efter olja eller ej inom ett givet område. Det kostar c enheter, där 1 enhet = euro, att utföra ett seismiskt prov, vars resultat är goda, medelgoda eller dåliga utsikter att finna olja. Själva borrningen kostar 75 enheter. Det finns tre möjliga utfall vid en borrning: hög utvinning av olja med ett diskonterat netto-värde (NPV) av 200 enheter, måttlig utvinning, med ett NPV av 100 enheter, eller ingen olja alls. Baltimars tidigare erfarenheter från hundra borrningar av liknande typ kan redovisas i följande tabell: Utfall Seismiskt Hög utvinning Måttlig utvinning Ingen olja alls Summa provresultat Goda utsikter Medelgoda utsikter Dåliga utsikter Summa (a) Konstruera ett beslutsträd som kan användas till att finna en strategi som maximerar Baltimars väntevärde för det fattade beslutet. (b) Vilket är det största värdet av c för vilket ett seismiskt prov är lönsamt? (c) Om det seismiska provet kostar 3 enheter mindre än det c som beräknats i b) ovan, vad blir Baltimars optimala strategi? Vad är EVPI och EVII? (d) Inför nu följande nyttofunktion u(x), där x mätes i enheter som ovan: u(x) = ( 1)/(100 + x). Med nyttor i stället för monetära värden, och med det värde av c som beräknats i c) ovan, vad blir Baltimars optimala strategi? N16 Person X går just nu på civilingenjörsprogrammet Kommunikations- och transportsystem, och kommer om c:a ett år att välja kurser inom en av tre möjliga profiler. Beroende på hur arbetsmarknaden ser ut om c:a två år så kommer det att vara olika svårt att få jobb inom de branscher som profilerna riktar sig mot och inkomsten påverkas av hur karriärsvängningarna ser ut inom dessa branscher. Alternativt kan en egen profil skapas eller så kan X hoppa av utbildningen. X är bara intresserad av att maximera sin förväntade totala inkomst fram till sin pension. X gör tillsammans med sina kompisar en uppskattning av hur stor inkomsten blir för de olika profilerna beroende på hur framtiden kan ta sig ut. De har själva 13

14 kommit upp med fyra tänkbara framtidsprognoser som de har givits namnen Energikris, Interneteran, Retro och Tillverkningsindustri. Uppskattningarna av sin totala inkomst (miljoner kronor) för de olika framtidsutsikterna har de sammanfattat i följande tabell: Framtidsutfall Profilval Energikris Internetera Retro Tillverkningsindustri Kvantitativ logistik Trafikinformatik Data- telekommunikation Egen profil Hoppa av Framtidsscenariosannolikhet (a) Vilka är maximin- och maximaxbesluten? (b) Antag att du varken är helt och hållet pessimist eller optimist och därför inte riktigt litar på maximin- och maximaxreglerna. Använd Hurwicz kriterium med viktningen λ för att bestämma ett optimalt beslut. Rita upp ett diagram med λ på den horizontella axeln och förväntad total inkomst på den vertikala. Är det någon profil som dominerar för alla värden på λ? Vilket är det optimala profilvalet för λ = 0.5? (c) Efter en lång diskussion i kompiskretsen har X kommit upp med sannolikheter för de olika framtidsscenarierna. Sannolikheterna finns givna i tabellen ovan. Vilket är det optimala profilvalet enligt Bayes-regel? (d) Vad skulle vara värdet för X av perfekt information? N17 En biluthyrningsfirma planerar att investera i ett hundratal nya uthyrningsbilar. De har att välja på att bara köpa små, bara medelstora eller bara stora bilar. De minsta bilarna är bensinsnålast, och de största bensintörstigast. Biluthyrningsfirman är osäker på hur bensinpriset utvecklas i framtiden. Om bensinpriset kommer att gå upp hastigt så antas att de mindra bilarna blir lättare att hyra ut, men om priset stiger i mer normal takt så antas att de stora bilarna är mest lönsamma att hyra ut. De förväntade vinsterna (tusentals kronor) för varje alternativ av hyrbilsinköp och bensinprisutveckling ges i tabellen nedan. VD på biluthyrningsfirman bedömer att priset stiger hastigt med sannolikhet 0.6 och med normal takt med sannolikhet 0.4. Utfall Normal stigning Hastig stigning Små bilar Medelstora bilar Stora bilar (a) Konstruera ett beslutsträd som kan användas till att finna en strategi som maximerar firmans väntevärde för det fattade beslutet. (b) Antag att biluthyrningsfirman inte vill använda EMV-beräkningar för sitt beslut utan istället vill använda följande nyttofunktion u(x), där x mätes i tusentals kronor, som ovan: u(x) = /( x) 14

15 för att värdera en vinst (eller kostnad). Vad är det optimala beslutet och vad är den förväntade nyttan? Vad är säkerhetsekvivalenten? Är firman riskrädd (riskaverse) eller riskbenägen (riskprone)? (c) Biluthyrningsfirman har möjligheten att köpa en prognos för jordens oljemarknadsutveckling som ger viss information om hur bensinpriset kommer att stiga. Prognosen används som underlag vid beslutet. Följande tabell ger sannolikheterna för att prognosen är korrekt för de två möjliga utfallen. Utfall Normal stigning Hastig stigning Prognos Normal stigning Hastig stigning i) Använd prognosinformationen för att revidera sannolikheterna i beslutsträdet. Bestäm optimal inköpsstrategi. ii) Vad är värdet av den imperfekta information som prognosen gav? iii) Vad är värdet av perfekt information om huruvida priset stiger normalt eller hastigt för biluthyrningsfirman? 15

16 Game theory G1 In the small country Nedews, the two car manufacturers Ovlov and Baas presently share between them 70 percent of the automobile market. Depending on each company s decision to compete or cooperate with the other company, the resulting payoff bimatrix of each company s market share will be as follows: Ovlov Baas Cooperate Compete Cooperate (48, 29) (37, 32) Compete (50, 18) (40, 23) The first number in each pair indicates Ovlov s market share, and the second number indicates Baas market share, both expressed in percent. (a) Determine the optimal strategy for each manufacturer, assuming that the objective is to maximize the market share. (b) In an effort to promote the domestic car industry, the Government of Nedews wishes to encourage cooperation between the two manufacturers. This is done by announcing that a penalty tax, corresponding to a market share of t percent will be levied on each company which decides to compete instead of cooperate. If both companies decide to compete, then the tax levied will be retained by the Government, whereas if only one company decides to compete, then the Government will retain half of the tax and subsidize the cooperating company with the other half. For what values of t will both companies be indeced to cooperate? (c) Investigate the behaviour of the two companies and the resulting market share for all possible values of t. G2 Two construction firms, C. Meant and Konk Reat, are competing for two large building contracts A (with a net worth of $12 million) and B (worth $15 million). Each firm must submit proposals for both A and B, and each contract will be awarded to the firm that has submitted the best proposal for it. Konk Reat has five engineers specifically assigned to work on proposal preparation, whereas C. Meant has six such engineers. We assume that all engineers are equally good, and that the more enginneers that work on a contract proposal, the better it is. Therefore, the firm that has assigned more engineers to work on a contract proposal than its opponent will get that contract. If both firms have assigned an equal number of engineers to a contract proposal, that contract will be carried out as a joint venture with the value of it split equally between C. Meant and Konk Reat. (a) Define the strategies open to C. Meant and Konk Reat and set up the payoff matrix with Konk Reat as the row player and the payoffs being the amounts that Konk Reat recieves. Note that each firm must assign at least one engineer to each contract, and that this is a constant non-zero sum game. (b) What is the gain floor of Konk Reat and the loss-ceiling of C. Meant? (c) Find all maximin and minimax strategies. 16

17 (d) Is the game stable? Why or why not? G3 Consider Excercise G2 above. Assume that of Konk Reat s five proposal preparation engineers, only two are competent to deal with contract A (but all of them are competent to deal with B). (a) Set up the revised payoff matrix. (b) Find all optimal pure strategies for each player. (c) Find all optimal mixed strategies for each player. (d) What is the value of this revised game? G4 A night security guard (Rambo) is watching over four entrances (number 1, 2, 3 and 4), to a building containing consumer merchandise, but can only guard one of the entrances and has to decide which one to protect. A burglar Charlie is planning to break in through one of the entrances. Not knowing which entrance is protected by guard R., the burglar C. still has to choose one of the entrances for his breakin. If C. breaks in through an entrance which happens to be guarded he will be captured by R., with probabilities 0.6, 0.7, 0.8 and 0.9, respectively, depending on choosing entrance 1, 2, 3 and 4, respectively. Capturing the burglar is worth $1,000 to the guard; if the burglar manages to escape after breaking in through a guarded entrance, he will only do so empty handed. If C. breaks in through an unguarded entrance, he will safely leave with stolen merchandise worth $500, $1,000, $1,500 and $2,000, respectively, depending on having chosen entrance 1, 2, 3 and 4, repsectively. (a) Assuming that the above situation can be modeled as a two-person zero-sum matrix game, set up the payoff matrix of expected gains, with R. as the row player and C. as the column player. (b) What is the gain-floor of R. and the loss-ceiling of C.? (c) Find all optimal pure strategies. (d) Is the game stable? Why or why not? Assume now that the entrances 1 and 4 are permanently sealed, making them impossible to break through, and that this fact is known to both Rambo and Charlie. (e) Set up the revised payoff matrix and find all optimal strategies. (f) What are the optimal mixed strategies and what is the value of the game? G5 Betrakta följande kooperativa spel med tre spelare. Den karaktäristiska kostnadsfunktionen, v(s), betecknar den minsta kostnad som koalitionen S kan uppnå. Värdet på v(s) är v(1) = 4, v(1,2) = 10, v(1,2,3) = 12 v(2) = 7, v(1,3) = 8, v(3) = 5, v(2,3) = 10. Vi antar att varje spelare vill minimera sin egen kostnad. (a) Formulera ett optimeringsproblem, som säkert har en tillåten lösning, för att avgöra om kärnan (Core) är tom eller ej. (b) Bestäm Shapley-värdet för var och en av de tre spelarna. 17

18 G6 På ett större svenskt universitet löneförhandlar den lokala fackföreningen med universitetets ledning. Förhandlingen kan analyseras som ett två-personers nollsummespel. Parterna har vardera fyra rena strategier. Betalningsmatrisen anger fackföreningens utfall (löneökningen i kronor per anställd och månad) och har följande utseende: Ledningens strategi Fackets strategi (a) Vilka är de optimala rena strategierna för fackföreningen och för företagsledningen? Vad är fackföreningens vinstgolv (lägsta garanterade löneökning) och företagsledningens förlusttak (maximala utgift)? (b) Eliminera så långt som möjligt eventuella dominerade strategier. Finn därefter alla rena och blandade optimala strategier för båda spelarna. Är spelet stabilt? Varför eller varför ej? G7 Skokedjan Skopricken erbjuder köp tre par skor, betala för två par. Personerna A, B och C är alla i behov av nya sommarskor, och de vill alla tre köpa en modell som kostar 299kr. De tre bor alla i närheten av en av skokedjans butiker, men för att erbjudandet ska gälla så måste köpet göras vid ett och samma tillfälle i en och samma butik. Personerna A, B och C kommer överens om att träffas i butiken på centralortens torg för att prova ut och köpa skorna. Person A måste göra en resa till butiken till kostnad av 50kr tur och retur, person B måste göra en resa till kostnad av 20kr tur och retur och person C bor granne med butiken. När de genomfört köpet, och fått var sitt par skor till ett värde av 299 kr, för totalt 598 kr så blir de lite oense om hur mycket var och en borde betala för att det ska bli rättvist. De tre hoppas nu att lite spelteori kan användas för att komma fram till en rättvis kostnadsdelning. Skriv ner eventuella ( rimliga ) antaganden du gör utöver den information som finns ovan. (a) Formulera ett optimeringsproblem, baserat på att alla kostnader som uppstått i samband med köpet ska delas, som hjälper dem att avgöra om kärnan (core) är tom eller ej, om den inte är tom, ger förslag på en kostnadsdelning som ligger i kärnan. Avgör också om en uppdelning där varje person betalar en tredjedel av den totala kostnaden ligger i kärnan. (b) Beräkna Shapley-värdet för var och en av A, B och C. Avgör om dessa kostnader tillhör kärnan. G8 Två schampotillverkare, A och B, dominerar den svenska marknaden och har 85% av den svenska marknaden. Dessa två företag väljer mellan att samarbeta eller att konkurrera med varandra. Beroende på hur de väljer så uppskattar experter utfallsmatrisen (the payoff matrix) som Första talet i varje par indikerar B:s marknadsandel i procent och det andra anger A:s andel. 18

19 A Samarbeta Konkurrera Samarbeta (48, 29) (37, 32) B Konkurrera (50, 18) (40, 23) (a) Bestäm optimal strategi för var och en av de två företagen under antagandet att de till maximera in marknadsandel. (b) EU vill uppmuntra de två företagen att samarbeta och inför därför en extra skatt på schampo. En skatt på t motsvarar t procent av de två företagens marknadsandel. Hur ska denna skatt sättas för att det blir optimalt för de två företagen att samarbeta? (c) Bestäm de två företagens optimala strategi för alla möjliga värden på t. G9 (a) Du håller på och utvecklar ett avancerat sällskapsspel och ett av spelets moment är en en-mot-en-situation där var och en av de två spelarna måste välja en av två strategier. Beroende på hur motspelaren väljer så resulterar det i att den ene av spelarna tar eller ger fiktiva pengar till den andra. Situationen kan alltså liknas vid ett tvååpersoners- nollsummespel. Den vinst som spelare A (radspelaren) gör i spelet är givet i spel-uppställningen nedan. Du har ännu inte bestämt värdet p i vinstmatrisen. För att spelet ska fungera bra så måste vill du att en-mot-en-situationen, om spelarna spelar optimalt, motsvarar ett rättvist spel. Bestäm p så att spelet blir rättvist. B A p (b) Betrakta ett två-personers nollsummespel. Spelare A har tre strategier och B har tre. Betalningsmatrisen anger spelare A:s utfall/vinst och har följande utseende: B A Eliminera eventuella dominerade strategier. Finn alla rena och blandade optimala strategier för spelare A med hjälp av t.ex. grafisk lösning. Ange spelets värde. G10 (a) Betrakta ett nollsummespel där vinstmatrisen för radspelaren har följande utseende B A q 3 5 p 7 19

20 där p och q är parametrar. i) Bestäm alla värden på p och q så att det finns en sadelpunkt i detta spel. ii) Visa att element (rad 3, kolumn 2) inte kan vara en sadelpunkt oberoende av val av p och q. (b) Betrakta ett två-personers nollsummespel. Spelare A har tre strategier och B har tre. Betalningsmatrisen anger spelare A:s utfall/vinst och har följande utseende: B A Eliminera eventuella dominerade strategier. Finn alla rena och blandade optimala strategier för spelarna A med hjälp av t.ex. grafisk lösning. Ange spelets värde. 20

21 Location models L1 Consider the graph in the figure below. 3 n2 8 n n4 6 n3 4 (a) Set up the matrix of direct distances. (b) Use the Floyd-Warshall algorithm to determine the matrix of shortest paths. (Se sidorna i boken Optimeringslära för en algoritmbeskrivning.) L2 I formuleringen av Location Set Covering problemet nedan representeras täckningsmatrisen av mängden N i vilken består av alla noder som kan täcka nod i. P LCSP : Min z = s.t. y j j J y j 1 i I j N i y j = 0/1 j J Antag att en nod är täckt om en resurs är lokaliserad mindre än T tidsenheter från noden, samt att körtiden mellan nod i och j är d ij tidsenheter. För att slippa definiera en täckningsmatris är det möjligt att direkt i modellen ta hänsyn till villkoret att samtliga noder ska täckas inom T tidsenheter. En dylik modell kan vara enklare att använda om flera olika T ska utvärderas. Antag att 0 < d ii < ǫ och formulera en sådan modell. L3 Betrakta följande p-nod center problem. P : Min z = s.t. max i d ij x ij j J x ij = 1 i I j J j J y j = p x ij y j i I;j J x ij 0 i I;j J y j = 0/1 j J Formulera om problemet så att målfunktionen blir linjär. L4 An administrative district includes 18 small villages. One of the functions of the district is to ensure that each community is reasonably well served in case of a fire. It was established that no village should be farther than 8 minutes from its 21

22 n1 n2 n3 n n 4 5 n n n8 n n10 n11 n n n n n n n closest fire hall. The graph with the villages and the distances between them is shown in the graph below. The covering matrix is then given in the table below. n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 n 6 n 7 n 8 n 9 n 10 n 11 n 12 n 13 n 14 n 15 n 16 n 17 n 18 n n n n n n n n n n n n n n n n n n Use the reduction algorithm for the set covering problem to reduce the problem as much as possible. First eliminate unit rows, then dominated columns then dominated rows, then repeat as often as possible. What is the optimal location of the facilities, and how many fire stations will be needed in the district? L5 Industrial customers have contracted demands for heat pumps. These units are to be delivered from the warehouse of the central suppier to the companies. The supplier is now attempting to locate the warehouse, as to minimize the transportation cost of the pumps to its customers. The demand is fairly constant throughout the year. The delivery is per pickup truck, one heat pump at a time, resulting in a linear cost function. The graph below shows the supplier s customers, their double-digit demands and the single-digit distances between the customers. A consultant of the supplier had suggested to locate the warehouse between the nodes n 2 and n 3 at a distance of d 23 [w 3 /(w 2 + w 3 )] = 9[90/( )] = 5.5 from n 2. They have based their argument on the large weights of the adjacent nodes n 2 and n 3 that provide a strong pull to locate the warehouse there. (a) Without any calculations, do you agree with the consultant s recommendations? (b) Find a location on the network that minimizes the total delivery cost. How much more expensive was the consultant s recommendation? (c) Ignore now the weights at the nodes, and assume that the same graph were to 22

23 40 n 3 1 n n n4 n be used by some planner to locate a node 1-center. Where would this center be located? L6 Givet en oriktad graf med 5 noder och med en BV-matris (Billigaste Väg mellan varje par av noder) enligt BV = Antag att varje nod har vikten 1. (a) Bestäm en 1-median i grafen (b) Vad blir skillnaden om vi istället efterfrågar ett 1-nod-center? (c) Antag att vi i noderna vill lokalisera så många anläggningar att: maximala avståndet till någon kund ej överskriver 3. totala kostnaden minimeras då kostnaden att lokalisera i nod j ges av c j = (2,3,1,3,4). Formulera problemet som ett optimeringsproblem. L7 Consider the tree, with numbers next to the edges denoting their direct distances, below. 12 n4 n 4 7 n 3 11 n15 6 n 5 1 n 6 5 n 8 n 12 9 n 16 5 n2 4 n 6 7 n9 8 3 n n 17 3 n 3 19 n n 14 23

24 (a) Start at n 13 and determine the absolute 1-center. Describe your steps in a few words. (b) Determine the absolute 2-center. Describe your procedure in no more than two sentences. L8 Betrakta följande matematiska formulering av det kapaciterade lokaliseringsproblemet z = min då m i=1 j=1 n c ij x ij + n f i y i i=1 n x ij S i y i 0, i = 1,...,m (1) j=1 m x ij = D j, j = 1,...,n (2) i=1 x j 0, i = 1,...,m,j = 1,...,n (3) y i {0,1}, i = 1,...,m. (4) där x ij = antal transporterade enheter från anläggning i till kund j och Antag att följande data är givna: { 1 om anläggning i öppnas y i = 0 annars m = 2 n = 3 f ( = (14 16) c = S = (3 7) D = (2 3 2) (a) Visa att modellen ovan är ekvivalent med den modellen för det kapaciterade lokaliseringsproblemet som är givet på sidan 207 i kursboken. (b) En lösningsmetod för det kapaciterade lokaliseringsproblemet kan baseras på Lagrangedualitet. Formulera det lagrandeduala problemet där villkor (2) Lagrangerelaxeras. L9 (a) Lös 1-median problemet för grafen nedan. De tvåsiffriga talen vid noderna anger nodvikterna, och de ensiffriga talen vid bågarna anger avstånden. (b) Motivera, med matematiskt/logiskt resonemang, varför en optimallösning till 1-median-problemet alltid lokaliserar anläggningen i en nod i grafen. (c) Antag att vi vill lokalisera en mellanstadieskola på en av flera möjliga platser. Vi önskar att placeringen av skolan ska ha egenskapen att de hushåll som ligger inom skolans upptagningsområde inte får för långt till skolan. Vi tänker oss att vi, mer precist, vill att det/de hushåll som får längst till skolan ska ligga så nära som möjligt. Formulera detta som en matematisk modell enligt en standardtyp för anläggningslokalisering. Definiera variabler och parametrar som används i modellen noggrannt. Vad kallas modellen? ) 24

25 L10 (a) Formulera ett lokaliseringsproblem av typen p-median som ett linjärt heltalsproblem. Definiera de variabler och parametrar som ingår i ditt problem. För att istället göra rättvisa lokaliseringar kan målet för p-median-problemet modifieras så att ett rättvisemått används. Betrakta rättvisemåttet att finna minsta z r = max i {d i } min i {d i } där d i är avståndet mellan en customer -nod och närmsta facility -nod. Omformulera p-median-problemet till ett explicit linjärt heltalsproblem där detta rättvisemått används som mål. (Explicit innebär här att max- och min-operatorerna i måttet inte kan användas i problemformuleringen.) (b) Visa med ett exempel att rättvisemåttet i deluppgift a) kan ge upphov till lösningar där varje customer får långt till sin tillordnade facility. L11 Det är måndag och det är första dagen efter semestern. På ditt skrivbord ligger ett papper med en matematisk modell och texten: Vi har tänkt att implementera denna variant på maximal covering location-modellen, kan du titta på denna modell till jag är tillbaka n l i max w ij x ij under villkoren i=1 j=1 y s jx ik, j = 1,...,k, k = 1,...,l i, i = 1,...,n, (1) s ijk n y i M, (2) i=1 y i = {0,...,L}, i = 1,...,n (3) x ij {0,1}, i = 1,...,n, j = 1,...,l i. (4) och { 1 om efterfrågan från nod i kräver j enheter för att anses täckt x ij = 0 annars samt y i = antal som lokaliseras i nod i. Förklara vilken funktion var och en av parametrarna bör ha i modellen; beskriv funktionen av var och en av de två bivillkorsgrupperna; beskriv vad som kan modelleras/maximeras med hjälp av den valda målfunktion, och ge ett förslag på ett sammanhang då denna typ av modell skulle kunna vara användbar. 25