Regel finns för strukturen på nätet Koordinatsystem anger element position

Transkript

1 Nätgenerering

2 Nätgenerering För större problem måste topologin skapas med hjälp av algoritmer Utgår ofta från en geometrisk beskrivning Kriterier kan sättas som anger hur tätt elemennätet skall genereras Area/Volymskriterier Explicit angivelse av antal element på ränder Resultat från tidigare beräkning kan ligga till grund för hur ett nät skall förbättras, adaptivt nät.

3 Nätgenering Strukturerad nätgenerering Regel finns för strukturen på nätet Koordinatsystem anger element position Ostrukturerad nätgenerering Algoritm fyller volym ytor med element Ofta begränsade till triangel eller tetraederelement

4 Ostrukturerat nät

5 Strukturerade nät

6 Strukturerade nät

7 Triangle 2 dimensionell nätgenererare för triangel element Skriven av Jonathan Shewchuck Kan generera nät från Punkter Geometri beskriven med linjer och punkter Kvalitetskriterier kan definieras: Max area Minsta vinkel

8 Triangle Geometri definition

9 Triangle Geometri definition l = 0.2 w = 0.05 h = 0.1 Index börjar på 0 vertices = array([ [0.0, h], [l, h], [l, 0.0], [l w, 0.0], [l w, h w], [0.0, h w] ]) segments = array([ [0,1,1], [1,2,1], [2,3,3], [3,4,1], [4,5,1], [5,0,2] ]) Kantmarkörer 1 anger inget randvillkor.

10 trimesh2d Nodkoordinater Elementtopologi Nodfrihetsgrader Randfrihetsgrader coords, edof, dofs, bdofs = trimesh2d(vertices, segments, maxarea=0.0001, dofspernode=2) Nodkoordinater Max area tillåten för triangelelement

11 trimesh2d maxarea=

12 trimesh2d maxarea=

13 trimesh2d maxarea=

14 Randvillkor def applybc(boundarydofs, bcpresc, bcval, marker, value=0.0, dimension=0): """ Apply boundary condition to bcpresc and bcval matrices. Parameters: """ boundarydofs Dictionary with boundary dofs. bcpresc 1 dim integer array containing prescribed dofs. bcval 1 dim float array containing prescribed values. marker Boundary marker to assign boundary condition. value Value to assign boundary condition. If not giben 0.0 is assigned. dimension dimension to apply bc. 0 all, 1 x, 2 y bc, bcval = applybc(bdofs,bc,bcval,2,0.0)

15 Randvillkor def applyforce(boundarydofs, f, marker, value=0.0, dimension=0): """ Apply boundary condition to bcpresc and bcval matrices. Parameters: """ boundarydofs Dictionary with boundary dofs. f force matrix. marker Boundary marker to assign boundary condition. value Value to assign boundary condition. If not giben 0.0 is assigned. dimension dimension to apply force. 0 all, 1 x, 2 y applyforce(bdofs,f,3,10e3,2)

16 Uppritning av elementnät def eldraw2(ex, ey): """ Draw elements in 2d. Parameters: ex, ey plotpar Element coordinates (not implemented yet) """

17 Uppritning av elementvariabler def eliso2(ex, ey, showmesh=false): """ Draw elements in 2d. Parameters: ex, ey showmesh Element coordinates Display element mesh """

18 Uppritning av elementförskjutning def eldisp2(ex, ey, ed, magnfac=0.1, showmesh=false)

19 Objektorientering

20 Klasser Grupperar data och funktioner till en enhet Funktioner i klassen opererar på data i klassen Möjligör enklare och mer lättförstådd kod Kan utökas i framtiden utan att existerande kod behöver ändras Alla datatyper i python är klasser

21 Exempel på klass Konstruktor. Anropas när klassen instantieras (skapas) Alla klassfunktioner har self som första parameter, vilken är en variabel som pekar på den egna instansen. Skickas automatiskt till funktionerna. class Point: def init (self, x, y): self._x = x self._y = y def show(self): print "x =", self._x, ", y =", self._y def setposition(self, x, y): self._x = x self._y = y def getposition(self): return self._x, self._y p1 = Point(0.0, 0.0) p1.show() p1.setposition(2.0, 3.0) p1.show() x = 0.0, y = 0.0 x = 2.0, y = 3.0 x = 1.0, y = p2 = Point(1.0, 2.0) p2.show() x, y = p2.getposition() print x, y

22 Arv Nya klasser kan ärva funktionalitet från andra klasser Funktionalitet kan läggas till utan att påverka existerande x = kod 0.0, y = 0.0x = 2.0, y = 3.0x = 1.0, y =

23 Exempel på arv class Circle(Point): def init (self, x, y, radius): Point. init (self, x, y) self._radius = radius Anropa Points konstruktor def show(self): x, y = self.getposition() print "x =", self._x, ", y =", self._y, ", radius =", self._radius def setradius(self, radius): self._radius = radius def getradius(self): return self._radius def getarea(self): return pi*self._radius**2 if name == " main ": c1 = Circle(0.0, 0.0, 1.0) c1.setposition(1.0, 2.0) c1.show() print "area =", c1.getarea() setposition från Point

24 Visualisation in Python

25 Outline 2D Tkinter Canvas widget Python Gnuplot matplotlib 3D PyOpenGL vpython Visualisation Toolkit VTK

26 Python Gnuplot Python interface to Gnuplot Allows direct plotting of Python and Numeric data types in Gnuplot Depends on an external application Does not integrate with GUI toolkits

27 Examples

28 Code import Gnuplot from Numeric import * points1 = [[0,1.2],[1.1,5.2],[2, 0.3]] x = arrayrange(0.0, 1.8, 0.1) y = 3 2*x + 2*sin(4*x) points2 = transpose(array([x,y])) gnuplot = Gnuplot.Gnuplot() d1 = Gnuplot.Data(points1, with='lines', title='points1') d2 = Gnuplot.Data(points2, with='linespoints', title='points2') d3 = Gnuplot.Data(x, y, with='linespoints', title='x and y') gnuplot.title('simple Python Gnuplot demo') gnuplot.xlabel('t') gnuplot.plot(d1, d2) gnuplot.hardcopy(filename='tmp.ps', enhanced=1, mode='eps', color=0, fontname='times Roman', fontsize=28) gnuplot('set term png small') gnuplot('set output "tmp.png"') gnuplot.plot(d1, d2, d3)

29 matplotlib Python module for 2D plotting No dependencies on external applications Close to MATLAB syntax Many backends for export Integrates into wxwindows, Tkinter etc. Supports Numeric

30 Examples

31 Simple from pylab import * plot([1,2,3,4]) show()

32 x and y series from pylab import * plot([1,2,3,4],[1,4,9,16]) show()

33 axis and saving from pylab import * plot([1,2,3,4], [1,4,9,16], 'ro') axis([0, 6, 0, 20]) savefig('secondfig.png') show()

34 Setting properties from pylab import * from Numeric import * x = arange(0.0, 2*pi, 0.1) y = sin(x) x1 = arange(0.0, 2*pi, 0.1) y1 = cos(x1) x2 = arange(0.0, 2*pi, 0.1) y2 = sin(2*x2) plot(x, y, linewidth=2.0) line, = plot(x, y, 'o') line.set_antialiased(false) # turn off antialising lines = plot(x1, y1, x2, y2) set(lines, color='r', linewidth=2.0) set(lines, 'color', 'r', 'linewidth', 2.0) show()

35 Setting properties

36 Subplots from pylab import * def f(t): s1 = cos(2*pi*t) e1 = exp( t) return multiply(s1,e1) t1 = arange(0.0, 5.0, 0.1) t2 = arange(0.0, 5.0, 0.02) figure(1) subplot(211) plot(t1, f(t1), 'bo', t2, f(t2), 'k') subplot(212) plot(t2, cos(2*pi*t2), 'r ') show()

37 Subplots

38 Multiple figures from pylab import * figure(1) # the first figure plot([1,2,3]) figure(2) # a second figure plot([4,5,6]) figure(1) # figure 1 current title('easy as 1,2,3') # figure 1 title show()

39 Multiple figures

40 Fonts from pylab import * font = {'fontname' : 'Courier', 'color' : 'r', 'fontweight' : 'bold', 'fontsize' : 11} plot([1,2,3]) title('a title', font, fontsize=12) text(0.5, 2.5, 'a line', font, color='k') xlabel('time (s)', font) ylabel('voltage (mv)', font) show()

41 Fonts

42 Mathematical text from pylab import * t = arange(0.0, 2.0, 0.01) s = sin(2*pi*t) plot(t,s) title(r'$\alpha_i > \beta_i$', fontsize=20) text(1, 0.6, r'$\sum_{i=0}^\infty x_i$', fontsize=20) text(0.6, 0.6, r'$\cal{a}\rm{sin}(2 \omega t)$', fontsize=20) xlabel('time (s)') ylabel('volts (mv)') savefig('mathtext_tut', dpi=50) show()

43 Mathematical text

44 Plot window controls

45 vpython 3D graphics module for Python Easy to use Real time visualisation Not for everything, but a good start

46 A simple program from visual import * redbox = box(pos=vector(4,2,3), size=(8.,4.,6.), color=color.red) greenball = sphere(pos=vector(4,7,3), radius=2, color=color.green)

47 Viewing the scene Right button

48 Viewing the scene Right button

49 Viewing the scene left and right button

50 Animation from visual import * ball = sphere(pos=( 5,0,0), radius=0.5, color=color.red) wallr = box(pos=(6,0,0),size=(0.2,4,4),color=color.green) walll = box(pos=( 6,0,0),size=(0.2,4,4),color=color.green) dt = 0.05 ball.velocity = vector(2., 0., 0.) while True: rate(100) # Not more than 100 times/s ball.pos = ball.pos + ball.velocity*dt if ball.x>wallr.x: ball.velocity.x = ball.velocity.x if ball.x<walll.x: ball.velocity.x = ball.velocity.x

51 Animation

52 Visualising velocity direction from visual import * ball = sphere(pos=( 5,0,0), radius=0.5, color=color.red) wallr = box(pos=(6,0,0),size=(0.2,4,4),color=color.green) walll = box(pos=( 6,0,0),size=(0.2,4,4),color=color.green) dt = 0.05 ball.velocity = vector(2., 1.5, 0.) ballvel = arrow(pos=ball.pos, axis=ball.velocity, color=color.yellow) while True: rate(100) # Not more than 100 times/s ball.pos = ball.pos + ball.velocity*dt if ball.x>wallr.x: ball.velocity.x = ball.velocity.x if ball.x<walll.x: ball.velocity.x = ball.velocity.x ballvel.pos = ball.pos ballvel.axis = ball.velocity

53 Visualising velocity direction

54 Adding a trail from visual import * ball = sphere(pos=( 5,0,0), radius=0.5, color=color.red) wallr = box(pos=(6,0,0),size=(0.2,4,4),color=color.green) walll = box(pos=( 6,0,0),size=(0.2,4,4),color=color.green) dt = 0.05 ball.velocity = vector(2., 1.5, 0.) ball.trail = curve(color=ball.color) ballvel = arrow(pos=ball.pos, axis=ball.velocity, color=color.yellow) while True: rate(100) # Not more than 100 times/s ball.pos = ball.pos + ball.velocity*dt if ball.x>wallr.x: ball.velocity.x = ball.velocity.x if ball.x<walll.x: ball.velocity.x = ball.velocity.x ballvel.pos = ball.pos ballvel.axis = ball.velocity ball.trail.append(pos=ball.pos)

55 Adding a trail

56 A complete example from visual import * ball = sphere(pos=( 5,0,0), radius=0.5, color=color.red) wallr = box(pos=(6,0,0),size=(0.2,12,12),color=color.green) walll = box(pos=( 6,0,0),size=(0.2,12,12),color=color.green) wallt = box(pos=(0,6,0),size=(12,0.2,12),color=color.green) wallb = box(pos=(0, 6,0),size=(12,0.2,12),color=color.green) dt = 0.05 ball.velocity = vector(2., 1.5, 1.5) ball.trail = curve(color=ball.color) ballvel = arrow(pos=ball.pos, axis=ball.velocity, color=color.yellow) while True: rate(100) # Not more than 100 times/s ball.pos = ball.pos + ball.velocity*dt if ball.x>wallr.x: ball.velocity.x = ball.velocity.x if ball.x<walll.x: ball.velocity.x = ball.velocity.x if ball.y>wallt.y: ball.velocity.y = ball.velocity.y if ball.y<wallb.y: ball.velocity.y = ball.velocity.y if ball.z>6: ball.velocity.z = ball.velocity.z if ball.z< 6: ball.velocity.z = ball.velocity.z ballvel.pos = ball.pos ballvel.axis = ball.velocity ball.trail.append(pos=ball.pos)

57 A complete example

58 Other examples

59 Visualisation Toolkit Open Source 3d graphics toolkit Language bindings to C++, Java, Python, Tcl Implements most visualisation algorithms available Uses a the Visualisation network concept Large and complex to use Easier in Python : )

60 Simple example # load VTK extensions from vtkpython import * # create a rendering window and renderer ren = vtkrenderer() renwin = vtkrenderwindow() renwin.addrenderer(ren) renwin.setsize(300,300) iren = vtkrenderwindowinteractor() iren.setrenderwindow(renwin) # create an actor and give it cone geometry cone = vtkconesource() cone.setresolution(8) conemapper = vtkpolydatamapper() conemapper.setinput(cone.getoutput()) coneactor = vtkactor() coneactor.setmapper(conemapper) # assign our actor to the renderer ren.addactor(coneactor) # enable user interface interactor iren.initialize() iren.start()

61 Simple example

62 More advanced examples

63 2D Graphics using OpenGL

64 OpenGL Programmeringsgränssnitt (API) för hårdvarustödd 2D/3D grafik Plattformsoberoende Generellt Flexibelt Låg nivå...

65 Uppritning Uppritning sker med 10 grafiska primitiver Alla skapas på samma sätt # Draw 4 points glbegin(gl_points) glvertex2i( 50, 50) glvertex2i( 50, 50) glvertex2i( 50, 50) glvertex2i( 50, 50) glend()

66 GL_POINTS v1 v0 v2 v3 v4

67 GL_LINES v6 v3 v0 v2 v4 v1 v5 v7

68 GL_LINE_STRIP v1 v2 v0 v3 v6 v5 v4

69 GL_LINE_LOOP v1 v2 v0 v3 v6 v5 v4

70 GL_TRIANGLES v1 v3 v4 v0 v2 v5

71 GL_TRIANGLE_STRIP v0 v2 v3 v1 v4

72 GL_TRIANGLE_FAN v1 v2 v3 v0 v4

73 GL_QUADS v1 v2 v5 v6 v0 v3 v4 v7

74 GL_QUAD_STRIP v1 v3 v5 v7 v0 v2 v4 v6

75 GL_POLYGON v5 v4 v0 v3 v1 v2

76 Egenskaper för primitiver Linjer och Punkter Utanför glbegin()/glend() Linjetjocklek, gllinewidth(2.0) Punktstorlek Färg Ges på vertex nivå Innanför glbegin()/glend() Ges i RGB, där 1.0 är max intensitet och 0.0 är min intensitet Interpolering mellan vertex

77 Egenskaper för primitiver # Sätt linjebredden gllinewidth(2.0) glbegin(gl_lines) glvertex2i( 1000,0); glvertex2i(1000,0); glvertex2i(0, 1000); glvertex2i(0, 1000); glend() # Sätt punktstorleken glpointsize(5) glbegin(gl_points) glvertex2i( 50, 50) glvertex2i( 50, 50) glvertex2i( 50, 50) glvertex2i( 50, 50) glend()

78 Egenskaper för primitiver

79 Egenskaper för primitiver glbegin(gl_quads) glcolor3f(1.0, 0.0, 0.0) # Röd färg glvertex2i(-50, -50) glcolor3f(0.0, 1.0, 0.0) # Grön färg glvertex2i( 50, -50) glcolor3f(0.0, 0.0, 1.0) # Blå färg glvertex2i( 50, 50) glcolor3f(1.0, 1.0, 0.0) # Gul färg glvertex2i(-50, 50) glend()

80 Egenskaper för primitiver

81 Geometriska transformationer Transformationer viktiga i datorgrafik Translation Rotation Skalning OpenGL Transformationsmatriser i hårdvara Modell glmatrixmode(gl_modelview) Projektion glmatrixmode(gl_projection)

82 Initiering av matriser # Initiera modelview matrisen till enhetsmatrisen glmatrixmode(gl_modelview) glloadidentity()

83 Translation Translaterar koordinatsystem gltranslatef(x, y, z) Aktuell matris multipliceras med en translationsmatris

84 Translation gltranslatef(40.0, 40.0, 0.0) glbegin(gl_quads) glcolor3f(1.0, 1.0, 1.0) glvertex2i( 20, 20) glvertex2i( 20, 20) glvertex2i( 20, 20) glvertex2i( 20, 20) glend()

85 Translation

86 Rotation Rotation av koordinatsystem glrotatef(angle, axis_x, axis_y, axis_z) Högerhandsregel Positiv Z axel ut ur skärm

87 Rotation gltranslatef(40.0, 40.0, 0.0) glrotatef(30.0, 0.0, 0.0, 1.0) glbegin(gl_quads) glcolor3f(1.0, 1.0, 1.0) glvertex2i( 20, 20) glvertex2i( 20, 20) glvertex2i( 20, 20) glvertex2i( 20, 20) glend()

88 Rotation

89 Skalning Skalar aktuell koordinatsystem glscalef(scale_x, scale_y, scale_z)

90 Skalning gltranslatef(40.0, 40.0, 0.0) glrotatef(30.0, 0.0, 0.0, 1.0) glscalef(2.0, 2.0, 0.0) glbegin(gl_quads) glcolor3f(1.0, 1.0, 1.0) glvertex2i( 20, 20) glvertex2i( 20, 20) glvertex2i( 20, 20) glvertex2i( 20, 20) glend()

91 Skalning

92 Problem med aktuell metod Matriser måste hela tiden initieras Svårt att implementera hierarkiska transformationer Många och upprepade matrismultiplikationer

93 OpenGL Matrisstack Stapel av matriser Översta matrisen är den aktuella Läggs en matris till stapeln tilldelas den den aktuella matrisen glpushmatrix() Matris kan förkastas med glpopmatrix() Reducerar matrismultiplikationerna Snabbar upp koden Implementerad i hårdvara

94 glpushmatrix()/glpopmatrix() glpushmatrix() gltranslatef(40.0, 40.0, 0.0) glrotatef(30.0, 0.0, 0.0, 1.0) glbegin(gl_quads) glcolor3f(1.0, 1.0, 1.0) glvertex2i(-20, -20) glvertex2i( 20, -20) glvertex2i( 20, 20) glvertex2i(-20, 20) glend() glpopmatrix() glpushmatrix() gltranslatef(-40.0, -40.0, 0.0) glrotatef(-30.0, 0.0, 0.0, 1.0) glbegin(gl_quads) glcolor3f(1.0, 1.0, 1.0) glvertex2i(-20, -20) glvertex2i( 20, -20) glvertex2i( 20, 20) glvertex2i(-20, 20) glend() glpopmatrix()

95 glpushmatrix()/glpopmatrix()

96 Uppritning i skärmbuffert Måste rensas för varje uppritning glclear(gl_color_buffer_bit) Bakgrundsfärg glclearcolor(red, green, blue) Dubbelbuffring Minskar flimmer Uppritning i dold buffer Växling mellan synlig/dold

97 Projektion och skärmvy Projektion mappar modellkoordinater till skärmen glmatrixmode(gl_projection) 2D = Ortografisk projektion gluortho2d(left, right, top, bottom)

98 Initiering av projektionsmatris # Initiera projektionsmatris glmatrixmode(gl_projection) glloadidentity() # Skapa en projektion som mappar koordinater # direkt mot skärmkoordinater. gluortho2d(0,width, 0, height) # Initiera modelview matrisen till enhetsmatrisen glmatrixmode(gl_modelview) glloadidentity()

99 Skärmvy Anger var i fönstret uppritningen skall ske glviewport(x,y,width,height) Medger uppritning i flera vyer för samma fönster Måste uppdateras då fönstret ändrar storlek

100 OpenGL i Python PyOpenGL Bindningar för OpenGL och relaterade projekt GLU, GLUT, GLE etc # * coding: cp1252 * from OpenGL.GL import * from OpenGL.GLU import * import sys, time