Tillämpad medicinsk teknik. Hösten, 2012
|
|
- Per-Olof Samuelsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Hösten, 2012
2 Medicinsk teknik Vad omfattar M.T. Samverkan mellan människa och maskin! Vilka maskiner och verktyg finns det inom medicinsk teknik? Hur fungerar dem? Hur uppfinner man dem? Vilka vetenskap som ligger bakom dessa uppfinningar? Vilka teoretiska kunskaper behöver man, och varför?
3 Medicinsk teknik Exempel på användningsområden Protes Röntgenundersökning Datortomografi Magnetisk resonanstomografi Ultraljud Elektrokardiogram Pacemaker Respirator Hjärt-lungmaskin
4 Elektromagnetisk strålning Röntgenundersökning
5 Elektromagnetisk strålning Röntgenundersökning Wilhelm Conrad Röntgen ( )
6 Elektromagnetisk strålning Röntgenundersökning: Tillämpningsområden Röntgenastronomi Röntgenkristallografi (studie av metallers kristallstruktur) Röntgenspektroskopi (materia: grundämnen/föreningar) Betastrålning (behandling av cancerformer) Gammastrålning (datortomografi, dödar bakterier)
7 Elektromagnetisk strålning CT scanner Computerized tomography scanner (CT scanner)
8 Elektromagnetisk strålning CT scanner: Hur fungerar det? Röntgenstrålar genom kroppen från flera olika vinklar. Detektorer registrerar strålarnas intensitet. Uppgifterna sänds vidare för bildbehandling (filtrerad återprojektion). Dessa mätdata används för att återskapa en tvådimensionell tvärsnittsbild av objektet. Många tvådimensionella bilder kan i sin tur sammanfogas i datorn till tredimensionella bilder.
9 Elektromagnetisk strålning CT scanner Människohjärtat. Verkliga datorbilden Kan dock roteras.
10 Tomography Teorin bakom tekniken En två dimensionell kropp ges av en täthetsfunktion (tänk på färger) En okänd funktion i planet: f (x, y) Strålningens intensitet mäts med värden i olika riktningar (längs linjer): En känd funktion av linjer: R(L) = L f (x, y)dσ Kan vi bestäma f (x, y)?
11 Tomography Teorin bakom tekniken Matematisk verktyg: Filtrerad Återprojektion, Radon Transform. I praktiken använder man R(L) = log(i in /I ut ) som värdet på linjeintegralen. (VARFöR?)
12 Tomography Teorin bakom tekniken I allmänhet för en homogen kropp I ut = I in e ρd där d är kroppens tjocklek i stålensrikning, och ρ är attenuation (absorbering) koefficient För en icke homogenkropp med täthet d 1, d 2 får man etc...(där av integrale!) I ut = I in e ρ 1d 1 ρ 2 d 2
13 Fler matematiska verktyg För att kunna bestämma f behöver vi en så-kallade Fourier Transform (1 eller 2-dimensioner): F(f )(ξ) = f (x)e ix ξ dx där integrationen sker över hela R eller R 2. Låt oss gå tillbaka till Radon Transformen R(L) = L f (x, y)dσ och obsrevera att L = L(ν, t) beror på riktning ν och position t genom L = {(x, y) : (x, y) ν = t}. Därför kan vi skriva R(f )(t, ν) = R(L) = f (x, y)dσ L
14 Koppling mellan F, och R transform Sats: Det kan visas att F(R(f )(s, ν)) = F(f )(sν). Konsekvens: R(f ) = R(g) = f = g. Frågan att bestämma f kvarstår!
15 Att bestämma f
16 Fourier Transform Given en funktion g hur kan vi bestämma F(g)? Existerar F-transformen alltid?
17 Fourier Transform Exempel: Låt g = 1. För ξ 0 F(g)(ξ) = För ξ = 0 får vi då F(g)(0) = dvs, e ixξ dx = Kan visas = 0 e ix0 dx = F(g)(ξ) = δ 0 (ξ) dx =. Diracs Delta funktion! (Vad är Diracs Delta funktion? )
18 Distributioner! Generaliserade funktioner (Distributioner) är funktioner som tillkommer som gränsfall av sekvens av vanliga funktioner. Exempel: Låt f n (x) = n 2 ( 1 n x ) +. Vi kan beräkna integralen f n (x)dx = 1 för alla n. Å andra sidan lim n f n (x) = 0 för alla x 0, och f n (0) = n. Existerar lim n f n? Svar: JA! Denna gräns funktion kallas Dirac s Delta dunktion.
19 Distributioner! Funktioner som byggs upp på detta sätt kallas Distributioner. Men någon måtta får det ändå vara. Så: Hur konkrett ska vi definiera begreppet distribution? Exempel: f n (x) = exp(f n 1 (x)), med f 0 (x) = exp(x). Blir då våra gamla funktioner också distributioner?
20 Distributioner! Observera att distributioner är INTE punktvis definierade. Därför använder man integraler för att definiera de. Så en dsitribution f bestämms genom sin verkan på snälla funktioner φ genom f (φ) = f (x)φ(x)dx. Exempelvis för Dirac funktionen δ a (φ) = lim f n (x)φ(x)dx = φ(a). n Här har vi valt f n som den sekvensen ovan n 2 ( 1 n x ) +. Visa detta!
21 Derivata av Distributioner! Kan vi derivera distributioner? Om ja, vad får vi då? För Dirac funktionen kan man visa δ a(φ) =... = φ (a). Se kursboken för ytterligare detaljer...
22 SLUT
4-3 Vinklar Namn: Inledning. Vad är en vinkel?
4-3 Vinklar Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig allt om vinklar: spetsiga, trubbiga och räta vinklar. Och inte minst hur man mäter vinklar. Att mäta vinklar och sträckor är grundläggande
Läs merkonstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b
Tentamen i Inledande matematik för V och AT, (TMV25), 20-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) Bestäm { konstanterna a och b så att ekvationssystemet
Läs merSammanfattning av kursdag 2, 2013-03-07 i Stra ngna s och 2013-03-12 Eskilstuna
Sammanfattning av kursdag 2, 2013-03-07 i Stra ngna s och 2013-03-12 Eskilstuna Sammanfattning och genomgång av lektion 1 samt hemläxa. -Hur ta ut en position i sjökortet? Mät med Passaren mellan positionen
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341/LIMAB6, STN2) 2012-01-09 kl 08-13
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341/LIMAB6, STN2) 212-1-9 kl 8-13 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler
Läs merModul 6: Integraler och tillämpningar
Institutionen för Matematik SF65 Envariabelanalys Läsåret 5/6 Modul 6: Integraler och tillämpningar Denna modul omfattar kapitel 6. och 6.5 samt kapitel 7 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas
Läs mer7. SAMHÄLLSORIENTERING ÅK 5
7. SAMHÄLLSORIENTERING ÅK 5 7.2. Elevhäfte 2 7.2.1. Livsfrågor Eva och Micke går båda i 5:an. De träffas ofta efter skolan och lyssnar på musik eller gör hemläxan tillsammans. Ibland funderar de på frågor
Läs merVolymer av n dimensionella klot
252 Volymer av n dimensionella klot Mikael Passare Stockholms universitet Ett klot med radien r är mängden av punkter vars avstånd till en given punkt (medelpunkten) är högst r. Låt oss skriva B 3 (r)
Läs mer4-6 Trianglar Namn:..
4-6 Trianglar Namn:.. Inledning Hittills har du arbetat med parallellogrammer. En sådan har fyra hörn och motstående sidor är parallella. Vad händer om vi har en geometrisk figur som bara har tre hörn?
Läs merKapitel 6. f(x) = sin x. Figur 6.1: Funktionen sin x. 1 Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 6 kapitel 1
Kapitel 6 Gränsvärde 6. Definition av gränsvärde När vi undersöker gränsvärdet av en funktion undersöker vi vad som händer med funktionsvärdet då variabeln, x, går mot ett visst värde. Frågeställningen
Läs merFacit med lösningsförslag kommer att anslås på vår hemsida www.ebersteinska.norrkoping.se. Du kan dessutom få dem via e-post, se nedan.
Detta häfte innehåller uppgifter från fyra olika områden inom matematiken. Meningen är att de ska tjäna som en självtest inför gymnasiet. Klarar du dessa uppgifter så är du väl förberedd inför gymnasiestudier
Läs merFöreläsning 9: Hypotesprövning
Föreläsning 9: Hypotesprövning Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 5, 2014 Statistik Stickprov Ett stickprov av storlek n är n oberoende observationer av en slumpvariabel
Läs merUppdrag: Huset. Fundera på: Vilka delar i ditt hus samverkar för att elen ska fungera?
Uppdrag: Huset Praktiskt arbete: (Krav) Göra en skiss över ditt hus. Bygga en modell av ett hus i en kartong med minst två rum. Koppla minst tre lampor och två strömbrytare till ditt hus. Visa både parallellkoppling
Läs merSF1620 Matematik och modeller
KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF160 Matematik och modeller 007-09-10 Andra veckan Trigonometri De trigonometriska funktionerna och enhetscirkeln Redan vid förra veckans avsnitt var
Läs merLinjära system av differentialekvationer
CTH/GU LABORATION MVE0-0/03 Matematiska vetenskaper Linjära system av differentialekvationer Inledning Vi har i envariabelanalysen sett på allmäna system av differentialekvationer med begynnelsevillkor
Läs mer4-9 Rymdgeometri Namn:.
4-9 Rymdgeometri Namn:. Inledning Rymden har alltid fascinerat. Men vad menas med rymd i matematisk eller geometrisk mening? Här skall du få studera 3- dimensionella figurer och hur man beräknar volymen
Läs merFöreläsning 3: Radiometri och fotometri
Föreläsning 3: Radiometri och fotometri Radiometri att mäta strålning Fotometri att mäta synintrycket av strålning (att mäta ljus) Radiometri används t.ex. för: Effekt på lasrar Gränsvärden för UV Gränsvärden
Läs merInstitutionen för matematik Envariabelanalys 1. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare)
Umeå universitet Dugga i matematik Institutionen för matematik Envariabelanalys 1 och matematisk statistik IE, ÖI, Stat. och Frist. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej
Läs merTvå konstiga klockor
strävorna C Två konstiga klockor resonemang geometri Avsikt och matematikinnehåll Det som kan göra det svårt för barn att avläsa en analog klocka är att förstå att den består av två skalor som är beroende
Läs merVerksamhetsplan HT -09 och VT -10
Verksamhetsplan HT -09 och VT -10 Vi på Solen har under hösten märkt att det finns en nyfikenhet och lust i barngruppen på att titta närmare på detaljer, upptäcka skillnader, mäta och jämföra. Barnen har
Läs merDet är bra om även distriktsstyrelsen gör en presentation av sig själva på samma sätt som de andra.
Modul: Föreningspresentation Ett stort blädderblocksblad delas upp i fyra rutor. Deltagarna, som under detta pass är indelade föreningsvis, får i uppgift att rita följande saker i de fyra rutorna: Föreningsstyrelsen
Läs merSammanfattning på lättläst svenska
Sammanfattning på lättläst svenska Utredningen skulle utreda och lämna förslag i vissa frågor som handlar om svenskt medborgarskap. Svenskt medborgarskap i dag Vissa personer blir svenska medborgare när
Läs merDina tänder är viktiga. Du behöver dem varje dag.
Dina tänder är viktiga. Du behöver dem varje dag. Dina tänder är viktiga Du behöver dina tänder varje dag när du äter, skrattar och pratar. Hela tänder och en frisk mun är viktigt för ett bra liv. Gå på
Läs merBeräkna substansmängd, molmassa och massa. Niklas Dahrén
Beräkna substansmängd, molmassa och massa Niklas Dahrén Uppgifter som jag går igenom i den här filmen: 1. Bestäm molmassan för glukos (C 6 H 12 O 6 ). 2. Hur många mol glukos (C 6 H 12 O 6 ) finns i den
Läs merElektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner. Mats Persson
Föreläsning 26/9 Elektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner 1 Maxwells ekvationer Mats Persson Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en fullständig beskrivning av ett elektromagnetiskt
Läs merFör dig som är valutaväxlare. Så här följer du reglerna om penningtvätt i din dagliga verksamhet INFORMATION FRÅN FINANSINSPEKTIONEN
För dig som är valutaväxlare Så här följer du reglerna om penningtvätt i din dagliga verksamhet INFORMATION FRÅN FINANSINSPEKTIONEN MARS 2016 DU MÅSTE FÖLJA LAGAR OCH REGLER Som valutaväxlare ska du följa
Läs mera n = A2 n + B4 n. { 2 = A + B 6 = 2A + 4B, S(5, 2) = S(4, 1) + 2S(4, 2) = 1 + 2(S(3, 1) + 2S(3, 2)) = 3 + 4(S(2, 1) + 2S(2, 2)) = 7 + 8 = 15.
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D och F, SF161 och SF160, den juni 008 kl 08.00-1.00. DEL I 1. (p) Lös rekursionsekvationen
Läs merNär jag promenerar i stan under julen väcker synen av alla adventsstjärnor
Juan Parera-Lopez Stjärnor tema för julmatematiklektioner Stjärnor är vanligt förekommande i vår vardag, särskilt i adventstider. Förutom att de lyser upp när vi har det som mörkast kan de ge rika uppslag
Läs merBeräkning av inavelsgrad
1 Beräkning av inavelsgrad Detta är ett försök av mig att på ett enkelt sätt illustrera hur man manuellt kan beräkna inavelsgraden vid olika släktparningar. Inavel kan enklast definieras som andelen genpar
Läs merBortom fagert tal om bristande tillgänglighet som diskriminering
Ds 2010:20 Bortom fagert tal om bristande tillgänglighet som diskriminering Lättläst sammanfattning Integrationsoch jämställdhetsdepartementet SOU och Ds kan köpas från Fritzes kundtjänst. För remissutsändningar
Läs merFöreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik
Föreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik Summaregeln Om och B är disjunkta mängder så B = + B, ty innehåller inga upprepningar Produktregeln Om och B är disjunkta mängder så är B = B Exempel:
Läs merSANNOLIKHET. Sannolikhet är: Hur stor chans (eller risk) att något inträffar.
SANNOLIKHET Sannolikhet är: Hur stor chans (eller risk) att något inträffar. tomas.persson@edu.uu.se SANNOLIKHET Grundpremisser: Ju fler möjliga händelser, desto mindre sannolikhet att en viss händelse
Läs merLäraren som moderator vid problemlösning i matematik
Läraren som moderator vid problemlösning i matematik Cecilia Christiansen 9 oktober 2012 Kursplanen för matematik: matematisk verksamhet är till sin art en kreativ, reflekterande och problemlösande aktivitet
Läs merUPPGIFT: SKRIV EN DEBATTARTIKEL
Åk 9 Historia & Svenska Namn: UPPGIFT: SKRIV EN DEBATTARTIKEL Du ska skriva en debattartikel på 1-2 sidor (Times new roman 12). Den ska ta upp exempel på hur mänskliga rättigheter försvagas i dagsläget.
Läs merSkriva B gammalt nationellt prov
Skriva B gammalt nationellt prov Skriva B.wma Då fortsätter vi skrivträningen. Detta avsnitt handlar om att anpassa sin text till en särskild situation, en speciell texttyp och särskilda läsare. Nu ska
Läs merDen magiska dörren. kapitel 1
Den magiska dörren. kapitel 1 Jag är 13 år och går i Oxford. och Jonatan var min kompis han var också 13 år och gick i Oxford. båda körde motocross jag hade en KTM 60 sx och Jonatan hade också en KTM 60
Läs mer6sätt att slippa bottenmåla
6 sätt att slippa bottenmåla 6 sätt att slippa bottenmåla Varje år försöker du överlista dem. Algerna och djuren som vill bosätta sig på din båt. Och varje år står du där i snålblåsten, med värkande armar
Läs merEn dag såg jag ett brev sticka ut från den magiska dörren. Det var skrivet så här:
Den magiska dörren Kapitel 1 Hej Hej! Jag heter Lina. Jag har svart hår, jag är lång och jag har en hörselaparat som är vit. Jag har blåa ögon. Min skola heter Kyrkmons skola. Min skola är grön och brun.
Läs merEkvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden
Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 359 Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden - En inledning Ekvationssystem - matrisformulering Vi såg att
Läs merMöbiustransformationer.
224 Om Möbiustransformationer Torbjörn Kolsrud KTH En Möbiustransformation är en komplexvärd funktion f av en komplex variabel z på formen f(z) = az + b cz + d. Här är a b c och d komplexa tal. Ofta skriver
Läs merBrukningsavgifter. År 2016
Brukningsavgifter År 2016 Brukningsavgifter Varje år betalar du som abonnent en fast avgift och en avgift per bostadsenhet. Dessutom betalar du för det vatten du använder. Storleken på avgifterna beror
Läs merLaborativ matematik som bedömningsform. Per Berggren och Maria Lindroth 2016-01-28
Laborativ matematik som bedömningsform Per Berggren och Maria Lindroth 2016-01-28 Kul matematik utan lärobok Vilka förmågor tränas Problemlösning (Förstå frågan i en textuppgift, Använda olika strategier
Läs merTIMREDOVISNINGSSYSTEM
TIMREDOVISNINGSSYSTEM Företagsekonomiska Institutionen Inledning med begreppsförklaring Huvudmeny Budgethantering Planering Rapportering Signering Utskrifter/Rapporter Byt lösenord Logga ut 1 Inledning
Läs merINSTITUTIONEN FÖR FYSIK OCH ASTRONOMI. Mekanik baskurs, Laboration 1. Bestäm tyngdaccelerationen på tre olika sätt
INSTITUTIONEN FÖR FYSIK OCH ASTRONOMI Mekanik baskurs, Laboration 1 Läge, hastighet och acceleration Bestäm tyngdaccelerationen på tre olika sätt Uppsala 2015-09-29 Instruktioner Om laborationen: Innan
Läs mer2005-01-31. Hävarmen. Peter Kock
2005-01-31 Hävarmen Kurs: WT0010 Peter Kock Handledare: Jan Sandberg Sammanfattning Om man slår upp ordet hävarm i ett lexikon så kan man läsa att hävarm är avståndet mellan kraften och vridningspunkten.
Läs merTentamen SSY041 Sensorer, Signaler och System, del A, Z2
Tentamen SSY4 Sensorer, Signaler och System, del A, Z Examinator: Ants R. Silberberg 6 Dec kl. 8.3-.3, sal: Hörsalsvägen Förfrågningar: Ants Silberberg, tel. 88 Lösningar: Anslås måndag december på institutionens
Läs merBegreppet delaktighet inom rättspsykiatrisk vård
Begreppet delaktighet inom rättspsykiatrisk vård Mikael Selvin ¹, Kjerstin Almqvist ², Lars Kjellin ¹, Agneta Schröder ¹ 1) University Health Care Research Center, Faculty of Medicine and Health, Örebro
Läs merCAEBBK01 Drag och tryckarmering
Drag och tryckarmering Användarmanual 1 Eurocode Software AB Innehåll 1 INLEDNING 3 1.1 ANVÄNDNINGSOMRÅDEN 3 1.2 TEKNISK BESKRIVNING 3 1.3 ARMERINGENS INLÄGGNING 4 1.4 ARBETSKURVA BETONG 4 2 INSTRUKTIONER
Läs merÖvningshäfte i matematik för. Kemistuderande BL 05
Övningshäfte i matematik för Kemistuderande BL 05 Detta häfte innehåller några grundläggande övningar i de delar av matematiken som man har användning för i de tidiga kemistudierna. Nivån är gymnasiematematik,
Läs merHar vi lösningen för en bättre hemtjänst? Självklart.
Har vi lösningen för en bättre hemtjänst? Självklart. Låt oss prata om Självklarhetsmetoden. Låt oss prata om Självklarhetsmetoden! 164 000 äldre är beroende av hemtjänsten i sin vardag. Och det är du
Läs merDatorövning 2 Statistik med Excel (Office 2007, svenska)
Datorövning 2 Statistik med Excel (Office 2007, svenska) Denna datorövning fokuserar på att upptäcka samband mellan två variabler. Det görs genom att rita spridningsdiagram och beräkna korrelationskoefficienter
Läs merTentamensdeltagare från Dataekonomutbildningen, Textilekonomutbildningen och Affärsinformatikutbildningen.
Högskolan i Borås Institutionen Handels- och IT-högskolan Daniel Hjelmgren TENTAMEN I MARKNADSFÖRING 2013-12-20 Kl 09:00 13:00 Tentamensdeltagare från Dataekonomutbildningen, Textilekonomutbildningen och
Läs merSittposition cykel. Enligt Road Racing, technique and training, av Hinault/Genzling
Sittposition cykel Enligt Road Racing, technique and training, av Hinault/Genzling Sadelhöjd Sadelhöjden mäts från centrum av vevpartiet till toppen av sadeln 14,5 cm bakom sadelspetsen (markera punkt
Läs merVi skall skriva uppsats
Vi skall skriva uppsats E n vacker dag får du höra att du skall skriva uppsats. I den här texten får du veta vad en uppsats är, vad den skall innehålla och hur den bör se ut. En uppsats är en text som
Läs merInvisible Friend 2013-02-18 Senast uppdaterad 2013-02-19
Invisible Friend 2013-02-18 Senast uppdaterad 2013-02-19 Jenny Axene och Christina Pihl driver företaget Invisible Friend som skänker dockor till barn som sitter fängslade för att dom är födda där, barn
Läs merKoll på cashen - agera ekonomicoach!
För elever Fördjupningsuppgift: Koll på cashen - agera ekonomicoach! Fördjupningsuppgift: Ekonomicoach Så här går det till Börja med att se filmen Koll på cashen. Därefter är ni redo för att komma igång.
Läs mer1 Navier-Stokes ekvationer
Föreläsning 5. 1 Navier-Stokes ekvationer I förra föreläsningen härledde vi rörelsemängdsekvationen Du j Dt = 1 τ ij + g j. (1) ρ x i Vi konstaterade också att spänningstensorn för en inviskös fluid kan
Läs merVÄRDERINGSÖVNINGAR. Vad är Svenskt?
VÄRDERINGSÖVNINGAR Vad är Svenskt? Typ av övning: Avstamp till diskussion. Övningen belyser hur svårt det är att säga vad som är svenskt och att normen vad som anses vara svenskt ändras med tiden och utifrån
Läs merFinns det någon som kan förklara varför man inte kan använda formeln P=U I rotenur3 cosfi på en pump som sitter i en borrad brunn?
Räkna ut strömmen på en pump i en borra Postad av Tommy - 15 apr 2015 20:48 Finns det någon som kan förklara varför man inte kan använda formeln P=U I rotenur3 cosfi på en pump som sitter i en borrad brunn?
Läs merLab 31 - Lauekamera TFFM08 - Experimentell Fysik
Lab 31 - Lauekamera TFFM08 - Experimentell Fysik Joakim Lindén, Gustaf Winroth 3 oktober 2005 Applied Physics and Electrical Engineering c Lindén, Winroth 2005 1 Inledning - Syfte Laborationen med en lauekamera
Läs merAntal grodor i varje familj Antal hopp tills alla bytt plats Ökning 1 3 5 2 8 7 3 15 9 4 24
strävorna 1AB Grodhopp problemlösning taluppfattning algebra Avsikt och matematikinnehåll Elever behöver få möta många aktiviteter där de kan se att algebra bland annat är generaliserad aritmetik. För
Läs merProgram Handledning Förutsättningar: Träningar Teori
Program Handledning Förutsättningar: Träningar Teori Lördag (Dag 1) 07:30 Samling ledare 08:00 Lägret öppnas Information/indelning grupper iordningställande av sovsalar, genomgång av regler mm 09:30 Träning
Läs merExempel på tentamensuppgifter i LMA100, del 1
Exempel på tentamensuppgifter i LMA100, del 1 Diskret matematik 1. Givet är de 7 bokstäverna i ordet APPARAT. Hur många olika ord (= bokstavspermutationer) kan man bilda av dem med (a) 7 bokstäver (b)
Läs merm 1 + m 2 v 2 m 1 m 2 v 1 Mekanik mk, SG1102, Problemtentamen 2013 08 20, kl 14-18 KTH Mekanik 2013 08 20
KTH Mekanik 2013 08 20 Mekanik mk, SG1102, Problemtentamen 2013 08 20, kl 14-18 Uppgift 1: En bil börjar accelerera med ẍ(0) = a 0 från stillastående. Accelerationen avtar exponentiellt och ges av ẍ(t)
Läs merBoll-lek om normer. Nyckelord: likabehandling, hbt, normer/stereotyper, skolmiljö. Innehåll
1 Boll-lek om normer Nyckelord: likabehandling, hbt, normer/stereotyper, skolmiljö Innehåll Materialet bygger på en övning där eleverna, genom en lek med bollar, får utmana sin förmåga att kommunicera
Läs merEnkätresultat för elever i åk 9 i Borås Kristna Skola i Borås hösten 2012. Antal elever: 20 Antal svarande: 19 Svarsfrekvens: 95% Klasser: Klass 9
Enkätresultat för elever i åk 9 i Borås Kristna Skola i Borås hösten 2012 Antal elever: 20 Antal svarande: 19 Svarsfrekvens: 95% Klasser: Klass 9 Skolenkäten Skolenkäten går ut en gång per termin till
Läs merKURSPLAN,! KUNSKAPSKRAV! ELEVARBETEN!
KURSPLAN, KUNSKAPSKRAV och exempel på ELEVARBETEN KURSPLAN enligt Lgr11 I undervisningen skall du få möjlighet att uttrycka tankar och idéer med hjälp bilder, du skall få möjlighet att skapa egna bilder
Läs merANVÄND NAVIGATIONEN I CAPITEX SÄLJSTÖD
ANVÄND NAVIGATIONEN I CAPITEX SÄLJSTÖD I Navigationen hittar du genvägar till funktioner i programmet. För att utnyttja detta på bästa sätt kan du anpassa Navigationen så att det passar ditt sätt att arbeta.
Läs merNär jag har arbetat klart med det här området ska jag:
Kraft och rörelse När jag har arbetat klart med det här området ska jag: kunna ge exempel på olika krafter och kunna använda mina kunskaper om dessa när jag förklarar olika fysikaliska fenomen, veta vad
Läs merFlera nyanser av diskriminering
ÖVNING: Flera nyanser av diskriminering I den här diskussionsövningen belyser vi diskriminerande strukturer, diskriminerande bemötande och fördomar. Så gör ni: 1 Läs noggrant igenom hela instruktionen
Läs merNedfrysning av spermier. Information om hur det går till att lämna och frysa ned spermier.
Nedfrysning av spermier Information om hur det går till att lämna och frysa ned spermier. Innehållsförteckning Varför ska man frysa ner spermier? Hur går det till? Den här informationen riktar sig främst
Läs merMätningar på op-förstärkare. Del 3, växelspänningsförstärkning med balanserad ingång.
Mätningar på op-förstärkare. Del 3, växelspänningsförstärkning med balanserad ingång. Denna gång skall vi titta närmare på en förstärkare med balanserad ingång och obalanserad utgång. Normalt använder
Läs merHej, vad händer här? Mamma? Är det inte läraren? Vem bestämmer om det här? Nej, utan riksdagsledamöterna! Riksdagsinformationen 2012
P Å S V E N S K A Hej, vad händer här? Mamma? Är det inte läraren? Vem bestämmer om det här? UTGIVARE Riksdagsinformationen 2012 Nej, utan riksdagsledamöterna! Layout och illustrering Hanna Lahti/ Huomen
Läs merLÄSFÖRSTÅELSE PROVKAPITEL. Katarina Neiman Hedensjö
LÄSFÖRSTÅELSE PROVKAPITEL Katarina Neiman Hedensjö Hej! Cirkus Ungefär och Cirkus Exakt Det är första veckan på sommarlovet och Julia ska gå i cirkusskola. Julia älskar allt som har med cirkus att göra.
Läs merHur utvecklar man användbara system? Utvärdering. Användbarhet handlar om kvalitet. Utvärdering. Empiriska mätningar. Metoder
Hur utvecklar man användbara system? Utvärdering Lära sig organisationen Förstå användarens situation Förstå användarens språk Involvera användare i processen Utvärdera, testa och vara LYHÖRD! Användbarhet
Läs merEnergi & Miljötema Inrikting So - Kravmärkt
Energi & Miljötema Inrikting So - Kravmärkt 21/5 2010 Sofie Roxå 9b Handledare Torgny Roxå Mentor Fredrik Alven 1 Innehållsförteckning Inledning s. 3 Bakgrund s. 3 Syfte s. 3 Hypotes s. 3 Metod s. 4 Resultat
Läs mer3.1 Linjens ekvation med riktningskoefficient. y = kx + l.
Kapitel Analytisk geometri Målet med detta kapitel är att göra läsaren bekant med ekvationerna för linjen, cirkeln samt ellipsen..1 Linjens ekvation med riktningskoefficient Vi utgår från ekvationen 1
Läs merx 2 + px = ( x + p 2 x 2 2x = ( x + 2
Inledande kurs i matematik, avsnitt P.3 P.3. Bestäm en ekvation för cirkeln med mittpunkt i (0, 0) och radie 4. Med hjälp av kvadratkompletteringsformeln + p = ( + p ) ( p ) En cirkel med mittpunkt i (
Läs merRepetition av cosinus och sinus
Repetition av cosinus och sinus Av Eric Borgqvist, 00-08-6, Lund Syftet med detta dokument är att få en kort och snabb repetition av vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna sin och cos. Det
Läs mer9. Beräkna volymen av det område som begränsas av planet z = 1 och paraboloiden z = 5 x 2 y 2.
Tentamenskrivning för TMS63, Matematisk Statistik. Onsdag fm den 3 juni, 15, V-huset. Examinator: Marina Axelson-Fisk. Tel: 7-88113 Tillåtna hjälpmedel: typgodkänd miniräknare, tabell- och formelhäfte
Läs merUtbildningsplan för arrangörer
Utbildningsplan för arrangörer Tävlingsorganisation Ett lyckat arrangemang kräver en god organisation och mycket planering. Att veta vem som gör vad och när är inte bara lugnande utan förhindrar även att
Läs merPredikan Lyssna! 1 maj 2016
Predikan Lyssna! 1 maj 2016 Idag är det bönsöndagen en söndag då vi påminns om den fantastiska möjlighet vi har att prata med Gud och att lyssna till honom!! Och det är just det som den tredje vanan i
Läs merNATIONELLA MATEMATIKTÄVLING
NATIONELLA MATEMATIKTÄVLING PRATA OM SPELS EN KURS I SANNOLIKHET 1 INLEDNING Sannolikhetskursen består av sju olika steg där det sista steget utgörs av själva tävlingsmomentet. Det är upp till pedagogen
Läs merNär du som vårdpersonal vill ta del av information som finns hos en annan vårdgivare krävs det att:
1 (6) Sammanhållen journalföring information till dig som möter patienter Detta är ett kunskapsunderlag om sammanhållen journalföring för dig som arbetar i vården. Underlaget innehåller en kort beskrivning
Läs merMUSIKALEN: ANDE DU SOM LIVET GER
MUSIKALEN: ANDE DU SOM LIVET GER Text Thomas J ohansson, 1975 Musik: Karl-Gunnar Svensson 1975 Arrangemang: Karl-Gunnar Svensson, 2013 1 En m usikal om att finna en växande styrka i tron och få ge uttryck
Läs merDu ska nu skapa ett litet program som skriver ut Hello World.
Tidigare har vi gjort all programmering av ActionScript 3.0 i tidslinjen i Flash. Från och med nu kommer vi dock att ha minst två olika filer för kommande övningar, minst en AS-fil och en FLA-fil. AS Denna
Läs merTentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola.
Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola. Hjälpmedel: Valfri räknare, egenhändigt handskriven formelsamling (4 A4-sidor på 2 blad) och till skrivningen medhörande tabeller. Fredagen
Läs merBoken om Teknik. Boken om Teknik är en grundbok i Teknik för åk 4 6.
Boken om Teknik Boken om Teknik är en grundbok i Teknik för åk 4 6. PROVLEKTION: Teknikens arbetssätt att göra på riktigt Följande provlektion är ett utdrag ur Boken om Teknik. Uppslaget som är hämtat
Läs merLEDNINGSÄGARMODUL. Översikt 1(9)
LEDNINGSÄGARMODUL Översikt 1(9) 1. Distributionslista Dokumentet ska distribueras som leverans till PTS. Skall vara tillgängligt för PTS samt projektmedlemmar. 2. Revisionsinformation Rev. Datum Av Kommentar
Läs merTT091A, TVJ22A, NVJA02 By, Pu, Ti. 50 poäng
Matematisk statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TT091A, TVJ22A, NVJA02 By, Pu, Ti 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2012-01-11
Läs merObservera att alla funktioner kan ritas, men endast linjära funktioner blir räta linjer.
1 Matematik som verktyg Antag att vi har en funktion som är en rät linje, y = 1 3x. Eftersom relationen mellan x och y är linjär räcker det med att vi hittar två punkter (två talpar) på linjen för att
Läs merBered en buffertlösning. Niklas Dahrén
Bered en buffertlösning Niklas Dahrén Grundprincipen vid beredning av en buffertlösning ü När vi bereder en buffertlösning blandar vi en svag syra med dess korresponderande bas (den bas som syran också
Läs merTill dig som vill bli medlem i SEKO
Till dig som vill bli medlem i SEKO Med dig blir vi ännu starkare Tack vare att vi är många kan vi sätta tryck på arbetsgivaren. Men du kan hjälpa oss att bli ännu starkare. Vi kämpar för dig Utan oss
Läs merMR 5 FRÅN FÖRBUD TILL RÄTTIGHET WORKSHOP I KLASSRUMMET TEMA: MÄNSKLIGA RÄTTIGHETER (MR)
SIDA 1/7 WORKSHOP I KLASSRUMMET TEMA: MÄNSKLIGA RÄTTIGHETER (MR) LÄRARMANUAL I det här dokumentet finns allt du behöver veta för att hålla workshopen. Här ser du också tydligt i vilka moment du använder
Läs merSignalkräftan i sjöar det handlar om sten och näring
Signalkräftan i sjöar det handlar om sten och näring Sten på land... där gör de ingen kräfta glad Per Nyström, mfl FORMAS Bakgrund Signalkräftan finns etablerad i många sjöar och vattendrag i Sverige -
Läs mer1 Cirkulation och vorticitet
Föreläsning 7. 1 Cirkulation och vorticitet Ett mycket viktigt teorem i klassisk strömningsmekanik är Kelvins cirkulationsteorem, som man kan härleda från Eulers ekvationer. Teoremet gäller för en inviskös
Läs merEllära. Laboration 1 Mätning av ström och spänning
Ellära. Laboration 1 Mätning av ström och spänning Labhäftet underskrivet av läraren gäller som kvitto för labben. Varje laborant måste ha ett eget labhäfte med ifyllda förberedelseuppgifter och ifyllda
Läs merGud bor i ett ljus, dit ingen kan gå. Gud kan vi ej se och inte förstå. Men Gud kommer hit, han vill vara här. Så blir han ett barn, som Maria bär.
Dopets gåva Gud bor i ett ljus, dit ingen kan gå. Gud kan vi ej se och inte förstå. Men Gud kommer hit, han vill vara här. Så blir han ett barn, som Maria bär. Kära föräldrar Sällan känns livet så stort
Läs merFRÅGOR OCH SVAR. Sista dag för att ställa frågor är 2012-09-26. Det är pris med kantin i fordonet som efterfrågas.
Sida 1 av 5 FRÅGOR OCH SVAR Sista dag för att ställa frågor är 2012-09-26 Ställ en fråga om den här upphandlingen Mat transporter. Är det ett garage till garage pris Tierp som efterfrågas eller är det
Läs mer