The whole test consists of Part I, Part II, Part III and an oral part and the maximum score is 76 points of which 28 E-, 24 C- and 24 A-points.

Transkript

1 Part I Part II Test time Resources Problems 1-10 which only require answers. Problems which require complete solutions. 10 minutes for part I and II together. Formula sheet and ruler. Level requirements The whole test consists of Part I, Part II, Part III and an oral part and the maximum score is 76 points of which 8 E-, 4 C- and 4 A-points. Level requirements for test grades E: 18 points D: 9 points of which 8 points on at least C-level C: 38 points of which 15 points on at least C-level B: 50 points of which 8 points on A-level A: 61 points of which 14 points on A-level The number of points you can have for a complete solution or an answer is stated after each problem. You can also see what knowledge levels (E, C and A) you can show in each problem. For example (3//1) means that a correct solution gives 3 E-, C- and 1 A-point. For problems where Only answers are required you only have to give a short answer. For other problems it is required that you present your solutions, explain and justify your train of thoughts and, where necessary, draw figures. Write your name, date of birth and educational program on all the sheets you hand in. 1

2 Part I: Digital resources are not allowed. Only answer is required. Write your answers in the test booklet. 1. a) Find the equation to the straight line in the figure. (1/0/0) b) Draw a straight line with gradient k 1 in the coordinate system. (1/0/0). Simplify the expression ( x 5)( x 5) 5 as far as possible. (1/0/0) 3. Solve the equations a) x ( x 7) 0 (1/0/0) b) lg x 3 (1/0/0) c) 3 x x (0/1/0)

3 4. Which of the following equations A-E has non-real solutions? A. x 16 B. x 6 0 C. x 0 D. x E. x 0 (1/0/0) 4 5. It s 7 km by bike from Anna s home to her school. She usually bikes at a speed of 0.35 km/min. Write down a function that states the distance left y km before she reaches her school when she has been cycling for x minutes. (0/1/0) 6. It holds for a quadratic function that: The function has a zero at x = 4 The function has its maximum value at x = 1 For which value of x does the function have its second zero? (0/1/0) 3

4 7. Simplify the following expressions as far as possible. a) b) lg x 0,5lg x (0/1/0) ( xy y) y (0/0/1) 8. The coordinate system shows the graphs of the linear function y f (x) and the quadratic function y g(x) Use the figure and answer the questions. a) Find g () (1/0/0) b) For what values of x is it true that f ( x) g( x)? (0//0) c) Write down the equation of a straight line that does not intersect any of the graphs to the functions. (0/0/1) 4

5 9. In the beginning of year 011, Matilda bought a computer for SEK The value of the computer can be described by V ( t) where V is the value of the computer in SEK and t is the time in years after the purchase. t a) What is the yearly percentage decrease of the value of the computer? (1/0/0) b) Write down a new function that shows the value of the computer V in SEK as a function of time t, where the time t now will be counted in months after the purchase. (0/0/1) 10. A simultaneous equations consist of two equations where each equation contains two variables x and y. a) One of the equations is 3x y 1 Give an example of what the second equation might look like if there are no solutions to the simultaneous equations. (0/0/1) b) One of the equations is still 3x y 1 Give an example of what the second equation might look like if the only solution x to the simultaneous equations is y 3 (0/0/1) 5

6 Part II: Digital resources are not allowed. Write your solutions on separate sheets of paper. 11. Solve the simultaneous equations x y 9 5x y 0 algebraically. (/0/0) 1. Solve the equations algebraically. a) x 4x 45 0 (/0/0) b) 35 x x (0/3/0) 13. Thales of Miletus was a Greek mathematician who lived 600 years ago. He formulated a theorem with the following meaning: Every triangle inscribed in a circle has a right angle if one of the sides of the triangle is a diameter of the circle. The triangle ABC is inscribed in a circle in such a way. Side AC is a diameter of the circle. The point M is the midpoint of distance AC. The figure also shows the distance BM. a) Explain why the two angles denoted by x are of equal size. (1/1/0) b) Show, without using the inscribed angle theorem, that Thales theorem is correct. (0//) 6

7 14. a is a constant in the equation x ( a 1) 0 Solve the equation and simplify the answer as far as possible. (0/0/) 15. There is a point P on the line y x 5 in the first quadrant. The distance between the point P and the origin is 10 length units. Find the x-coordinate of the point P. Give an exact answer. (0/0/4) 7

8 Part III Test time Resources Problems 16-3 which require complete solutions. 10 minutes. Digital resources, formula sheet and ruler. Level requirements The whole test consists of Part I, Part II, Part III and an oral part and the maximum score is 76 points of which 8 E-, 4 C- and 4 A-points. Level requirements for test grades E: 18 points D: 9 points of which 8 points on at least C-level C: 38 points of which 15 points on at least C-level B: 50 points of which 8 points on A-level A: 61 points of which 14 points on A-level The number of points you can have for a complete solution or an answer is stated after each problem. You can also see what knowledge levels (E, C and A) you can show in each problem. For example (3//1) means that a correct solution gives 3 E-, C- and 1 A-point. For problems where Only answers are required you only have to give a short answer. For other problems it is required that you present your solutions, explain and justify your train of thoughts and, where necessary, draw figures and show how you use your digital resources. Write your name, date of birth and educational program on all the sheets you hand in. 1

9 Part III: Digital resources are allowed. Write your solutions on separate sheets of paper. 16. Two similar rectangles have different measures. Rectangle A has sides 4 cm and 6 cm. Rectangle B has one side that is 1 cm. What possible measures can the other side of rectangle B have? (/0/0) 17. A line L 1 is drawn through the points A and B. Another line L is drawn through the points C and D. Are the lines L 1 and L parallel? Justify your answer. (3/0/0) 18. Marcus puts a roast in the oven at The temperature inside the roast is then 16.5 C. The temperature in the roast T C then increases according to the function: t T ( t) where t is the time in minutes. The roast is done when the meat thermometer shows 77 C. Will the roast be ready at when Marcus is having dinner guests? (/0/0)

10 19. Hugo and Ilona are going to computer-simulate a space craft landing on the moon. They have one model each to describe the movement of the space craft towards the surface of the moon. t 0t Hugo uses the model h ( t) 1000 where h is the height in metres 90 3 above the surface of the moon and t is the time in seconds from the moment the space craft starts its landing. a) At what height above the moon does the space craft start its landing according to Hugo s model? (1/0/0) b) Calculate h (300) and interpret the result. (1/1/0) 10t Ilona uses the model g( t) 1000 where g is the height in metres above 3 the surface of the moon and t is the time in seconds from the moment the space craft starts its landing. Compare the two models of how the space craft moves towards the surface of the moon from the moment the space craft starts its landing to the moment it has landed. c) Describe two similarities in the models. (0/1/0) d) Describe some difference between the models. (0/1/1) 3

11 0. A company fills tins with crushed tomatoes. According to the label, one tin contains 400 g of tomatoes. The weight of the tomatoes is normal distributed around the mean value 395 g and the standard deviation is 5.0 g. a) How many percent of the tins can be expected to contain less than the 400 g stated on the label? (/0/0) The company does not want too many dissatisfied customers and is therefore planning to fill more tomatoes into the tins. They change the requirements so that at least 97.7 % of the tins must contain at least 400 g of tomatoes. The standard deviation is still assumed to be 5.0 g. b) Calculate what mean value of the weight that corresponds to this new requirement. (0/3/0) 1. Alice and Moa are discussing mean value and median. Alice claims that: The mean value of three consecutive integers is always equal to the median of the numbers. Moa replies: No, that s not always true. Who is right, Alice or Moa? Justify your answer. (1/1/1) 4

12 . The table and diagram show the length and weight of ten men from the same work place. Name Length (cm) Weight (kg) Anders Leif Göte Bengt Per Stig Lennart Torgny Bertil Ingemar a) Find a linear relationship between the weight y kg and the length x cm. (0/1/0) b) Use the linear relationship you found in a) as a starting point. Interpret what the gradient means in this context. (0/0/) 3. A thin piece of string has a length of 4 m. The string can be shaped into different geometric figures. a) The whole piece of string is shaped into an equilateral triangle, see Figure 1. Calculate the area of the triangle. (0/3/0) b) The piece of string is then divided into two parts of different lengths. A square is then formed out of each piece, see Figure. Investigate if it is possible that the two squares together can have an area of 17 m. (0/0/4) 5

13 Innehåll Allmänna riktlinjer för bedömning... 3 Bedömningsanvisningar... 3 Bedömning av skriftlig kommunikativ förmåga... 4 Provsammanställning - Kunskapskrav... 5 Provsammanställning Centralt innehåll... 6 Kravgränser... 7 Bedömningsanvisningar... 8 Del I... 8 Del II... 9 Del III Bedömda elevlösningar Uppgift 13b Uppgift Uppgift Uppgift 19d Uppgift 0b Uppgift Uppgift 3a... Uppgift 3b... 3 Ur ämnesplanen för matematik... 5 Kunskapskrav Matematik kurs a, b och c... 6 Centralt innehåll Matematik kurs c... 7 Bedömningsformulär... 8 Insamling av provresultat för matematik... 9 Urvalsinsamlingen

14

15 Allmänna riktlinjer för bedömning Bedömning ska ske utgående från läroplanens mål, ämnesplanens förmågor samt kunskapskraven och med hänsyn tagen till den tolkning av dessa dokument som gjorts lokalt. Utgångspunkten är att eleverna ska få poäng för lösningarnas förtjänster och inte poängavdrag för fel och brister. För att tydliggöra anknytningen till kunskapskraven används olika kvalitativa förmågepoäng. I elevernas provhäften anges den poäng som varje uppgift kan ge, till exempel innebär (1//3) att uppgiften ger maximalt 1 E-poäng, C-poäng och 3 A-poäng. I bedömningsanvisningarna anges dessutom för varje poäng vilken förmåga som prövas. De olika förmågorna är inte oberoende av varandra och det är den förmåga som bedöms som den huvudsakliga som markeras. Förmågorna betecknas med B (Begrepp), P (Procedur), PL (Problemlösning), M (Modellering), R (Resonemang) och K (Kommunikation). Det betyder till exempel att E PL och A R ska tolkas som en problemlösningspoäng på E-nivå respektive en resonemangspoäng på A- nivå. För uppgifter av kortsvarstyp, där endast svar krävs, är det elevens slutliga svar som ska bedömas. För uppgifter av långsvarstyp, där eleverna ska lämna fullständiga lösningar, krävs för full poäng en redovisning som leder fram till ett godtagbart svar eller slutsats. Redovisningen ska vara tillräckligt utförlig och uppställd på ett sådant sätt att tankgången kan följas. Ett svar med t.ex. enbart resultatet av en beräkning utan motivering ger inga poäng. Frågan om hur vissa typfel ska påverka bedömningen lämnas till lokala beslut. Det kan till exempel gälla lapsus, avrundningsfel, följdfel och enklare räknefel. Om uppgiftens komplexitet inte minskas avsevärt genom tidigare fel så kan det lokalt beslutas att tilldela poäng på en uppgiftslösning trots förekomst av t.ex. lapsus och följdfel. Bedömningsanvisningar Bedömningsanvisningarna till långsvarsuppgifterna är skrivna enligt olika modeller: Godtagbar ansats, t.ex. med i övrigt godtagbar lösning med korrekt svar ( ) +1E P +1E P Kommentar: Uppgiften ger maximalt (/0/0). Den andra poängen är beroende av den första poängen, d.v.s. den andra poängen utfaller först om den första poängen utfallit. Detta indikeras med användning av liten bokstav och oftast av att ordet med inleder den mening som beskriver vad som krävs för att den andra poängen ska erhållas. E C A Godtagbart enkelt resonemang, t.ex. Godtagbart välgrundat resonemang. t.ex. Godtagbart välgrundat och nyanserat resonemang. t.ex. 1E R 1E R och 1C R 1E R och 1C R och 1A R Kommentar: Uppgiften ger maximalt (1/1/1). Denna typ av bedömningsanvisning används när en och samma uppgift kan besvaras på flera kvalitativt olika nivåer. Beroende på hur eleven svarar utdelas (0/0/0) eller (1/0/0) eller (1/1/0) eller (1/1/1). 3

16 Bedömning av skriftlig kommunikativ förmåga Förmågan att kommunicera skriftligt kommer inte att särskilt bedömas på E-nivå för enskilda uppgifter. Elever som uppfyller kraven för betyget E för de övriga förmågorna anses kunna redovisa och kommunicera på ett sådant sätt att kunskapskraven för skriftlig kommunikation på E-nivå automatiskt är uppfyllda. För uppgifter där elevens skriftliga kommunikativa förmåga ska bedömas gäller de allmänna kraven nedan. Kommunikationspoäng på C-nivå (C K ) ges under förutsättning att eleven behandlat uppgiften i sin helhet och att lösningen i huvudsak är korrekt. Dessutom ska 1. lösningen vara någorlunda fullständig och relevant, d.v.s. den kan innehålla något ovidkommande eller sakna något steg. Lösningen ska ha en godtagbar struktur.. matematiska symboler och representationer vara använda med viss anpassning till syfte och situation. 3. lösningen vara möjlig att följa och förstå. Kommunikationspoäng på A-nivå (A K ) ges under förutsättning att eleven behandlat uppgiften i sin helhet och att lösningen i huvudsak är korrekt. Dessutom ska 1. lösningen vara i huvudsak fullständig, välstrukturerad samt endast innehålla relevanta delar.. matematiska symboler och representationer vara använda med god anpassning till syfte och situation. 3. lösningen vara lätt att följa och förstå. Förutom den allmänna beskrivningen av kraven kan ibland mer utförliga beskrivningar ges i samband med de bedömda elevlösningar där kommunikationspoäng förekommer. 4

17 Provsammanställning - Kunskapskrav Tabell 1 Kategorisering av uppgifterna i kursprovet i Matematik c i förhållande till nivå och förmågor. Poängen i denna tabell anges i samma ordning som i bedömningsanvisningen. Till exempel motsvarar 8b_1 och 8b_ den första respektive andra poängen i uppgift 8b. Del Uppg. Förmåga och nivå Del Uppg. Förmåga och nivå Poäng E C A Poäng E C A B P PM RK B P PM RK B P PM RK B P PM RK B P PM RK B P PM RK Del I Del II 1a 1 16_1 1 1b 1 16_ _1 1 3a 1 17_ 1 3b 1 17_3 1 3c 1 18_ _ a b_1 1 7a 1 19b_ 1 7b 1 19c 1 8a 1 19d_1 1 8b_1 1 19d_ 1 8b_ 1 0a_1 1 8c 1 0a_ 1 9a 1 0b_1 1 9b 1 0b_ 1 10a 1 0b_3 1 10b 1 1_1 1 11_1 1 1_ 1 11_ 1 1_3 1 1a_1 1 a 1 1a_ 1 b_1 1 1b_1 1 b_ 1 1b_ 1 3a_1 1 1b_3 1 3a_ 1 13a_1 1 3a_3 1 13a_ 1 3b_1 1 13b_1 1 3b_ 1 13b_ 1 3b_3 1 13b_3 1 3b_4 1 13b_4 1 M_1 1 14_1 1 M_ 1 14_ 1 M_3 1 15_1 1 M_4 1 15_ 1 M_5 1 15_3 1 M_6 1 15_4 1 M_7 1 Del III Muntlig del Total B = Begrepp, P = Procedur, PM = Problemlösning/Modellering och RK = Resonemang/Kommunikation 5

18 Provsammanställning Centralt innehåll Tabell Kategorisering av uppgifterna i kursprovet i Matematik c i förhållande till nivå och centralt innehåll. En lista över det centrala innehållet återfinns i slutet av detta häfte. Uppg. Nivå Centralt innehåll Kurs Mac Taluppfattning aritmetik och algebra Geometri Samband och förändring Sannolikhet och statistik Problemlösning E C A T7 T9 T10 T11 T1 G3 G4 F3 F5 S1 S3 S4 PI P3 P4 Del I 1a X 1b X X 3a X 3b X 3c X X X X X 7a X 7b X 8a X 8b 0 0 X X 8c X X 9a X X 9b X X 10a X X 10b X X X Del II X X 1a 0 0 X 1b X 13a X 13b 0 X X X X X Del III X X X X X X X X 19a X X 19b X 19c X X X 19d X X 0a 0 0 X X X 0b X X X X a X b 0 0 X 3a X X 3b X X X X Muntlig del, M

19 Kravgränser Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 8 E-, 4 C- och 4 A-poäng. Kravgräns för provbetyget E: 18 poäng D: 9 poäng varav 8 poäng på minst C-nivå C: 38 poäng varav 15 poäng på minst C-nivå B: 50 poäng varav 8 poäng på A-nivå A: 61 poäng varav 14 poäng på A-nivå 7

20 Bedömningsanvisningar Exempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlösningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar finns i materialet markeras detta med en symbol. Del I 1. Max /0/0 a) Korrekt svar ( y x 4 ) +1E P b) Godtagbart ritad rät linje +1E B. Max 1/0/0 Korrekt svar ( x ) +1E P 3. Max /1/0 a) Korrekt svar ( x och x 7 ) +1E P b) Korrekt svar ( x 10 ) +1E P c) Korrekt svar ( x 3) +1C P 4. Max 1/0/0 Korrekt svar (Alternativ B: x 6 0 ) +1E B 5. Max 0/1/0 Korrekt svar ( y 7 0, 35x ) +1C M 6. Max 0/1/0 Korrekt svar ( x ) +1C B 7. Max 0/1/1 a) Korrekt svar ( lg x ) +1C P b) Korrekt svar ( ( x 1) eller x x 1) +1A P 8

21 8. Max 1//1 a) Korrekt svar (6) +1E B b) Godtagbart angivna gränser, t.ex. för x mellan 1 och 5 +1C B där svaret kommuniceras på en nivå som motsvarar kunskapskraven för C, d.v.s. med korrekt använda olikhetstecken ( 1 x 5) +1C K c) Korrekt svar (t.ex. y x 1 ) +1A B Kommentar: y x m där m 8 9. Max 1/0/1 a) Korrekt svar (40 %) +1E M t b) Korrekt svar ( V ,601 ) +1A M 10. Max 0/0/ a) Korrekt svar (t.ex. 3x y 8) +1A B b) Korrekt svar (t.ex. x y 5 ) +1A PL Del II 11. Max /0/0 Godtagbar ansats, t.ex. bestämmer en variabel med algebraisk metod +1E P med i övrigt godtagbar lösning med korrekt svar ( x, y 5 ) +1E P 1. Max /3/0 a) Godtagbar ansats, sätter in värden korrekt i formeln för lösning av andragradsekvationer eller motsvarande för kvadratkomplettering +1E P med i övrigt godtagbar lösning med korrekt svar ( x, x 9 ) +1E P 1 5 b) Godtagbar ansats, löser ekvationen 35 x x och finner korrekta lösningar x och x 7 +1C P 1 5 med uteslutning av den ena lösningen och korrekt svar ( x 5 ) +1C P med välgrundat resonemang om varför den ena lösningen uteslutits, t.ex. 49 kan inte bli 7 +1C R 9

22 13. Max 1/3/ a) E C A Godtagbart enkelt resonemang, t.ex. Triangeln ABM är likbent. Godtagbart välgrundat resonemang. t.ex. Triangeln ABM är likbent för att AM och BM är radier i cirkeln. 1E R 1E R och 1C R b) E C A Eleven visar Thales sats för ett specialfall eller eleven påbörjar en generell metod. Eleven visar Thales sats (generellt) där någon motivering kan vara bristfällig. Eleven visar Thales sats (generellt) med korrekta motiveringar. 1C R C R C R och 1A R Lösningen kommuniceras på en nivå som motsvarar kunskapskraven för A. 1A K Bedömda elevlösningar finns till denna uppgift. 14. Max 0/0/ Godtagbar ansats, t.ex. tecknar ett korrekt uttryck som leder till att båda rötterna kan bestämmas, t.ex. x a 1 +1A P med i övrigt godtagbar lösning med korrekt svar ( x1 a 1, x 1 a ) +1A P 15. Max 0/0/4 Godtagbar ansats, t.ex. ritar figur som visar att informationen i uppgiften och vad som söks är korrekt tolkat med korrekt tecknad ekvation, t.ex. +1A B x ( x 5) 10 +1A PL med i övrigt godtagbar lösning där uteslutningen av den negativa roten är motiverad med korrekt svar ( x 19 ) +1A PL Lösningen kommuniceras på en nivå som motsvarar kunskapskraven för A +1A K Bedömda elevlösningar finns till denna uppgift. 10

23 Del III 16. Max /0/0 Godtagbar ansats, visar förståelse för likformighetsbegreppet, t.ex. genom att bestämma en tänkbar längd på sidan med i övrigt godtagbar lösning med korrekt svar (8 cm och 18 cm) +1E B +1E PL 17. Max 3/0/0 Godtagbar ansats, t.ex. bestämmer riktningskoefficienten för en av linjerna +1E B med godtagbar fortsättning, t.ex. korrekt bestämning av riktningskoefficienterna 8 10 k AB och kcd +1E P 9 11 med godtagbar motivering (t.ex. Nej, de är inte parallella eftersom riktningskoefficienterna inte är lika stora. ) +1E R Bedömda elevlösningar finns till denna uppgift. 18. Max /0/0 Godtagbar ansats, t.ex. tecknar 77 16,5 1, E PL med i övrigt godtagbar lösning med godtagbart svar (t.ex. Ja, steken blir klar i tid. ) t +1E PL 19. Max /3/1 a) Korrekt svar (1000 m) +1E M b) Korrekt beräkning av h(300), 0 +1E P med godtagbar tolkning av svaret t.ex. Efter bromsning i 300 s så landar raketen på månen +1C M c) Godtagbar beskrivning av likheterna (t.ex. h( 0) g(0) och h( 300) g(300) ) +1C M Kommentar: Likheter som redan finns angivna i uppgiftstexten godtas ej. 11

24 d) E C A Eleven ger något enkelt omdöme om en av modellerna, t.ex. höjden minskar lika mycket hela tiden i Ilonas modell. Eleven ger ett nyanserat omdöme om båda modellerna genom att dra någon slutsats om olikheter mellan modellerna i sin helhet t.ex. höjden minskar lika mycket hela tiden i Ilonas modell, i den andra går det fortare i början och långsammare på slutet. 1C M 1C M och 1A M Bedömda elevlösningar finns till denna uppgift. 0. Max /3/0 a) Godtagbar ansats, t.ex. ritar figur som illustrerar problemet +1E B t.ex. med i övrigt godtagbar lösning med godtagbart svar (84 %) +1E PL b) Godtagbar ansats, t.ex. ritar figur som illustrerar problemet +1C B t.ex. med i övrigt godtagbar lösning med godtagbart svar (410 g) Lösningen kommuniceras på en nivå som motsvarar kunskapskraven för C +1C PL +1C K Bedömda elevlösningar finns till denna uppgift. 1

25 1. Max 1/1/1 E C A Eleven påstår att Alice har rätt genom att räkna på ett specialfall där medianen blir lika stor som medelvärdet Eleven påstår att Alice har rätt genom att räkna på några specialfall där medianen blir lika stor som medelvärdet eller eleven gör en generell ansats, t.ex. genom att teckna medelvärdet x x 1 x av de tre talen. 3 Eleven motiverar att Alice har rätt genom att generellt visa att oavsett vilka tre tal som väljs, så är medianen alltid lika stor som medelvärdet 1E R 1E R och 1C R 1E R och 1C R och 1A R Bedömda elevlösningar finns till denna uppgift.. Max 0/1/ a) Godtagbar bestämning av sambandet genom anpassning av linje direkt i diagrammet (t.ex. y x 100 )* eller med hjälp av funktionen för linjär regression på räknaren ( y 0,993x 98, 3 ) +1C P *Kommentar: Anpassning av linje direkt i diagrammet kan medföra stora variationer på koefficienterna trots att anpassningen är korrekt utförd. b) Godtagbar tolkning av riktningskoefficienten (t.ex. 1 cm ger 1 kg till ) +1A M där lösningen kommuniceras på en nivå som motsvarar kunskapskraven för A (t.ex. För varje cm en man ökar i längd ökar han i genomsnitt med 1 kg i vikt ) +1A K 3. Max 0/3/4 a) Godtagbar ansats, t.ex. korrekt uppställd ekvation för beräkning av triangelns höjd med i övrigt godtagbar lösning med godtagbart svar (8 m ) Lösningen kommuniceras på en nivå som motsvarar kunskapskraven för C +1C PL +1C PL +1C K Bedömda elevlösningar finns till denna uppgift. 13

26 b) Godtagbar ansats, t.ex. korrekt uppställd modell för sammanlagda arean x 4 x y 1 +1A M 4 4 med godtagbar strategi för lösning av problemet, t.ex. ritar två grafer på sin räknare, x 4 x y1 och y +1A PL med godtagbar tolkning, t.ex. studerar de två graferna och konstaterar att de aldrig skär varandra ( Arean kan inte vara 17 m ) Lösningen kommuniceras på en nivå som motsvarar kunskapskraven för A +1A PL +1A K Bedömda elevlösningar finns till denna uppgift. 14

27 Bedömda elevlösningar Uppgift 13b Vid bedömning av kommunikativ förmåga för A-nivå, se de allmänna kraven på sidan 4. För denna uppgift kan matematiska symboler och representationer (se punkt för de allmänna kraven) vara vinkelbeteckningar, likhetstecken och termer så som radie, basvinklar, likbent triangel, etc. Elevlösning 1 (C R ) Kommentar: Elevens lösning är korrekt men har inte en tillräckligt tydlig motivering till varför trianglarna ABM och BCM är likbenta. Redovisningen är något knapphändig och det är inte helt tydligt varifrån de införda vinklarna och den första ekvationen kommer. Sammantaget ges lösningen i b)-uppgiften två resonemangspoäng på C-nivå. 15

28 Elevlösning (C R och 1A R ) Kommentar: Eleven motiverar varför BCM är likbent och hänvisar till egna figurer för att förklara vinklarna vid punkten M. Eleven genomför beviset korrekt om än med otydliga motiveringar, t.ex. hänvisar eleven inte till använda satser. Detta innebär att lösningen nätt och jämnt ges resonemangspoängen på A-nivå. Lösningen innehåller alla väsentliga delar men i och med att eleven inte tydligt motiverar alla steg är lösningen inte lätt att följa och förstå. Likhetstecknet används felaktigt på sista raden. Sammantaget uppfyller lösningen inte kraven för kommunikationspoäng på A-nivå. Elevlösning 3 (C R och 1A R och 1A K ) Kommentar: Elevens lösning är korrekt och uppfyller kraven för resonemangs- och kommunikationspoäng på A-nivå. 16

29 Uppgift 15 Vid bedömning av kommunikativ förmåga för A-nivå, se de allmänna kraven på sidan 4. För denna uppgift kan matematiska symboler och representationer (se punkt för de allmänna kraven) vara vinkelmarkering, likhetstecken, hänvisning till Pythagoras sats eller avståndsformel, tydlig figur med införda beteckningar, etc. Elevlösning 1 (1A B och 1A PL ) Kommentar: Eleven ställer upp en korrekt ekvation för lösning av problemet och hittar ekvationens rötter men gör sedan en avslutande felaktig förenkling. Detta ger sammantaget första begreppspoängen och första problemlösningspoängen. Eleven definierar inte sina variabler, har inte någon figur till hjälp och hänvisar inte heller till använd formel/sats. Redovisningen är därför inte tillräckligt utförlig för att uppfylla kraven för kommunikationspoäng på A-nivå. 17

30 Elevlösning (1A B och A PL och 1A K ) Kommentar: Elevlösningen är fullständig och ger därmed begreppspoängen och båda problemlösningspoängen, dessutom är den välstrukturerad. Användningen av Pythagoras sats motiveras av en tydlig figur även om den räta vinkeln inte är markerad. Symbolhanteringen är korrekt. Lösningen är lätt att följa och förstå. Lösningen uppfyller därmed kraven för kommunikationspoäng på A-nivå. Uppgift 17 Elevlösning 1 (1E B och 1E P och 1E R ) Kommentar: Godtagbar lösning och motivering även om kopplingen till riktningskoefficienterna och vad som kännetecknar parallella linjer är indirekt och något vag. Lösningen ger därmed nätt och jämnt alla tre poängen. 18

31 Uppgift 19d Elevlösning 1 (1C M ) Kommentar: Eleven beskriver skillnaden mellan de båda modellerna genom att ge en korrekt beskrivning av rörelsen som beskrivs av funktionen g och en delvis felaktig beskrivning av rörelsen som beskrivs av funktionen h. Sammantaget ges lösningen en modelleringspoäng på C-nivå för beskrivningen av rörelsen som beskrivs av funktionen g. Elevlösning (1C M och 1A M ) Kommentar: Eleven beskriver skillnaden mellan de båda modellerna. Lösningen ger modelleringspoäng på både C- och A-nivå. Uppgift 0b Vid bedömning av kommunikativ förmåga för C-nivå, se de allmänna kraven på sidan 4. För denna uppgift kan matematiska symboler och representationer (se punkt för de allmänna kraven) vara likhetstecken, tydlig figur med införda beteckningar och termer så som normalfördelning, standardavvikelse, medelvärde, etc. Elevlösning 1 (1C B och 1C PL ) Kommentar: Lösningen är möjlig att följa och förstå då det av svaret framgår att x står för medelvärdet, men då det i övrigt saknas terminologi och förklarande text uppfylls inte kraven för kommunikationspoäng på C-nivå. 19

32 Elevlösning (1C B och 1C PL och 1C K ) Kommentar: Lösningen är något otydlig men är möjlig att följa och förstå då eleven använder lämpliga symboler och terminologi. Sammantaget ger lösningen nätt och jämnt kommunikationspoäng på C-nivå. Elevlösning 3 (1C B och 1C PL och 1C K ) Kommentar: Lösningen har en tydlig figur som illustrerar problemet och gör det möjligt att förstå att eleven menar att 400 g ligger två standardavvikelser från medelvärdet. Sammantaget uppfyller lösningen kravet för kommunikationspoäng på C-nivå. 0

33 Uppgift 1 Elevlösning 1 (1E R och 1C R ) Kommentar: Eleven drar en korrekt slutsats utifrån två specialfall och lösningen ger därmed resonemangspoäng på E- och C-nivå. Elevlösning (1E R och 1C R och 1 A R ) Kommentar: Eleven använder generell metod och visar att median och medelvärde alltid får samma värde. Lösningen bedöms därför ge resonemangspoäng på A-nivå. 1

34 Uppgift 3a Vid bedömning av kommunikativ förmåga för C-nivå, se de allmänna kraven på sidan 4. För denna uppgift kan matematiska symboler och representationer (se punkt för de allmänna kraven) vara rottecken, likhetstecken, hänvisning till Pythagoras sats, tydlig figur med införda beteckningar, etc. Elevlösning 1 (C PL ) Kommentar: Elevens lösning är korrekt och ger två problemlösningspoäng. Lösningen är dock knapphändigt redovisad, t.ex. så är inte variabeln x definierad, figuren är otydlig och hänvisning till Pythagoras sats saknas. Lösningen uppfyller därmed inte kravet för kommunikationspoäng på C-nivå. Elevlösning (C PL och 1C K ) Kommentar: Lösningen uppfyller kraven för kommunikationspoäng på C-nivå.

35 Uppgift 3b Vid bedömning av kommunikativ förmåga för A-nivå, se de allmänna kraven på sidan 4. För denna uppgift kan matematiska symboler och representationer (se punkt för de allmänna kraven) vara index, likhetstecken, rottecken, grafer, tydlig figur med införda beteckningar, etc. Elevlösning 1 (1A M och 1A PL och 1A K ) Kommentar: Eleven löser i princip problemet men gör ingen tolkning av svaret och besvarar därför inte frågan om det är möjligt att få den efterfrågade arean. Lösningen uppfyller därmed kraven för modelleringspoängen och den första (men inte den andra) problemlösningspoängen. Redovisningen är tydlig och klar med lämpliga beteckningar, förklarande figur och korrekt algebrahantering. Därmed uppfyller lösningen kraven för kommunikationspoäng på A-nivå. 3

36 Elevlösning (1A M och A PL ) Kommentar: Elevens lösning uppfyller kraven för modelleringspoängen och båda problemlösningspoängen även om kopplingen mellan det faktum att det inte finns några lösningar till andragradsekvationen och slutsatsen är något otydlig. Redovisningen är knapphändig, t.ex. så är införda variabler inte tydligt definierade och figuren saknar beteckningar. Därmed uppfyller inte lösningen kravet för kommunikationspoäng på A-nivå. Elevlösning 3 (1A M och A PL och 1A K ) Kommentar: Elevens lösning uppfyller kraven för modelleringspoängen och båda problemlösningspoängen även om kopplingen mellan det faktum att det inte finns några lösningar till andragradsekvationen och slutsatsen är något otydlig. Redovisningen är lätt att följa och förstå, införda variabler är tydligt definierade via en förklarande figur och algebrahanteringen är korrekt. Därmed uppfyller lösningen kraven för kommunikationspoäng på A-nivå. 4

37 Ur ämnesplanen för matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation med hjälp av matematikens språk är likartad över hela världen. I takt med att informationstekniken utvecklas används matematiken i alltmer komplexa situationer. Matematik är även ett verktyg inom vetenskap och för olika yrken. Ytterst handlar matematiken om att upptäcka mönster och formulera generella samband. Ämnets syfte Undervisningen i ämnet matematik ska syfta till att eleverna utvecklar förmåga att arbeta matematiskt. Det innefattar att utveckla förståelse av matematikens begrepp och metoder samt att utveckla olika strategier för att kunna lösa matematiska problem och använda matematik i samhälls- och yrkesrelaterade situationer. I undervisningen ska eleverna ges möjlighet att utmana, fördjupa och bredda sin kreativitet och sitt matematikkunnande. Vidare ska den bidra till att eleverna utvecklar förmåga att sätta in matematiken i olika sammanhang och se dess betydelse för individ och samhälle. Undervisningen ska innehålla varierade arbetsformer och arbetssätt, där undersökande aktiviteter utgör en del. När så är lämpligt ska undervisningen ske i relevant praxisnära miljö. Undervisningen ska ge eleverna möjlighet att kommunicera med olika uttrycksformer. Vidare ska den ge eleverna utmaningar samt erfarenhet av matematikens logik, generaliserbarhet, kreativa kvaliteter och mångfacetterade karaktär. Undervisningen ska stärka elevernas tilltro till sin förmåga att använda matematik i olika sammanhang samt ge utrymme åt problemlösning som både mål och medel. I undervisningen ska eleverna dessutom ges möjlighet att utveckla sin förmåga att använda digital teknik, digitala medier och även andra verktyg som kan förekomma inom karaktärsämnena. Undervisningen i ämnet matematik ska ge eleverna förutsättningar att utveckla förmåga att: 1. använda och beskriva innebörden av matematiska begrepp samt samband mellan begreppen.. hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg. 3. formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och resultat. 4. tolka en realistisk situation och utforma en matematisk modell samt använda och utvärdera en modells egenskaper och begränsningar. 5. följa, föra och bedöma matematiska resonemang. 6. kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling. 7. relatera matematiken till dess betydelse och användning inom andra ämnen, i ett yrkesmässigt, samhälleligt och historiskt sammanhang. 5

38 Kunskapskrav Matematik kurs a, b och c Betyget E Eleven kan översiktligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av några representationer samt översiktligt beskriva sambanden mellan begreppen. Dessutom växlar eleven med viss säkerhet mellan olika representationer. Eleven kan med viss säkerhet använda begrepp och samband mellan begrepp för att lösa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena i bekanta situationer. I arbetet hanterar eleven några enkla procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär med viss säkerhet, både utan och med digitala verktyg. Eleven kan formulera, analysera och lösa matematiska problem av enkel karaktär. Dessa problem inkluderar ett fåtal begrepp och kräver enkla tolkningar. I arbetet gör eleven om realistiska problemsituationer till matematiska formuleringar genom att tillämpa givna matematiska modeller. Eleven kan med enkla omdömen utvärdera resultatets rimlighet samt valda modeller, strategier och metoder. Eleven kan föra enkla matematiska resonemang och värdera med enkla omdömen egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. Dessutom uttrycker sig eleven med viss säkerhet i tal, skrift och handling med inslag av matematiska symboler och andra representationer. Genom att ge exempel relaterar eleven något i kursens innehåll till dess betydelse inom andra ämnen, yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra enkla resonemang om exemplens relevans. Betyget D Betyget D innebär att kunskapskraven för E och till övervägande del för C är uppfyllda. Betyget C Eleven kan utförligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av några representationer samt beskriva sambanden mellan begreppen. Dessutom växlar eleven med viss säkerhet mellan olika representationer. Eleven kan med viss säkerhet använda begrepp och samband mellan begrepp för att lösa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena. I arbetet hanterar eleven flera procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär med säkerhet, både utan och med digitala verktyg. Eleven kan formulera, analysera och lösa matematiska problem. Dessa problem inkluderar flera begrepp och kräver avancerade tolkningar. I arbetet gör eleven om realistiska problemsituationer till matematiska formuleringar genom att välja och tillämpa matematiska modeller. Eleven kan med enkla omdömen utvärdera resultatets rimlighet samt valda modeller, strategier, metoder och alternativ till dem. Eleven kan föra välgrundade matematiska resonemang och värdera med nyanserade omdömen egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. Dessutom uttrycker sig eleven med viss säkerhet i tal, skrift och handling samt använder matematiska symboler och andra representationer med viss anpassning till syfte och situation. Genom att ge exempel relaterar eleven något i några av kursens delområden till dess betydelse inom andra ämnen, yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra välgrundade resonemang om exemplens relevans. Betyget B Betyget B innebär att kunskapskraven för C och till övervägande del för A är uppfyllda. Betyget A Eleven kan utförligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av flera representationer samt utförligt beskriva sambanden mellan begreppen. Dessutom växlar eleven med säkerhet mellan olika representationer. Eleven kan med säkerhet använda begrepp och samband mellan begrepp för att lösa komplexa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena. I arbetet hanterar eleven flera procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär med säkerhet och på ett effektivt sätt, både utan och med digitala verktyg. Eleven kan formulera, analysera och lösa matematiska problem av komplex karaktär. Dessa problem inkluderar flera begrepp och kräver avancerade tolkningar. I problemlösning upptäcker eleven generella samband som presenteras med symbolisk algebra. I arbetet gör eleven om realistiska problemsituationer till matematiska formuleringar genom att välja, tillämpa och anpassa matematiska modeller. Eleven kan med nyanserade omdömen utvärdera resultatets rimlighet samt valda modeller, strategier, metoder och alternativ till dem. Eleven kan föra välgrundade och nyanserade matematiska resonemang, värdera med nyanserade omdömen och vidareutveckla egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. Dessutom uttrycker sig eleven med säkerhet i tal, skrift och i handling samt använder matematiska symboler och andra representationer med god anpassning till syfte och situation. Genom att ge exempel relaterar eleven något i några av kursens delområden till dess betydelse inom andra ämnen, yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra välgrundade och nyanserade resonemang om exemplens relevans. 6

39 Centralt innehåll Matematik kurs c Undervisningen i kursen ska behandla följande centrala innehåll: Taluppfattning, aritmetik och algebra T7 T9 T10 T11 T1 Algebraiska och grafiska metoder för att lösa exponential-, andragrads- och rotekvationer samt linjära ekvationssystem med två och tre obekanta tal. Begreppet logaritm, motivering och hantering av logaritmlagarna. Begreppet linjärt ekvationssystem. Utvidgning av talsystemet genom introduktion av begreppet komplext tal i samband med lösning av andragradsekvationer. Motivering och hantering av algebraiska identiteter inklusive kvadrerings- och konjugatregeln. Geometri G3 G4 Användning av grundläggande klassiska satser i geometri om likformighet, kongruens och vinklar. Begreppet kurva, räta linjens och parabelns ekvation samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp. Samband och förändring F3 F5 Konstruktion av grafer till funktioner samt bestämning av funktionsvärde och nollställe, med och utan digitala verktyg. Egenskaper hos andragradsfunktioner. Sannolikhet och statistik S1 S3 S4 Statistiska metoder för rapportering av observationer och mätdata från undersökningar, inklusive regressionsanalys. Metoder för beräkning av olika lägesmått och spridningsmått inklusive standardavvikelse. Egenskaper hos normalfördelat material. Problemlösning P1 P3 P4 Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg. Matematiska problem av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen. Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria. 7

40 Bedömningsformulär Elev: Klass: Provbetyg: Del Uppg. Förmåga och nivå Del Uppg. Förmåga och nivå Poäng E C A Poäng E C A B P PM RK B P PM RK B P PM RK B P PM RK B P PM RK B P PM RK Del I Del II 1a 1 16_1 1 1b 1 16_ _1 1 3a 1 17_ 1 3b 1 17_3 1 3c 1 18_ _ a b_1 1 7a 1 19b_ 1 7b 1 19c 1 8a 1 19d_1 1 8b_1 1 19d_ 1 8b_ 1 0a_1 1 8c 1 0a_ 1 9a 1 0b_1 1 9b 1 0b_ 1 10a 1 0b_3 1 10b 1 1_1 1 11_1 1 1_ 1 11_ 1 1_3 1 1a_1 1 a 1 1a_ 1 b_1 1 1b_1 1 b_ 1 1b_ 1 3a_1 1 1b_3 1 3a_ 1 13a_1 1 3a_3 1 13a_ 1 3b_1 1 13b_1 1 3b_ 1 13b_ 1 3b_3 1 13b_3 1 3b_4 1 13b_4 1 M_1 1 14_1 1 M_ 1 14_ 1 M_3 1 15_1 1 M_4 1 15_ 1 M_5 1 15_3 1 M_6 1 15_4 1 M_7 1 Del III Muntlig del Total 8

41 Insamling av provresultat för matematik Från och med höstterminen 011 utför SCB (Statistiska centralbyrån) på uppdrag av Skolverket en totalinsamling av elevresultat. Information om denna totalinsamling utgår från SCB. Sista dag för insamlingen är den 15 juni. Förutom denna totalinsamling genomför provinstitutionen en urvalsinsamling. Denna insamling är nödvändig för att kunna utvärdera och utveckla de nationella kursproven. Genom att du och dina kollegor skickar in resultat är det möjligt att publicera en rapport med resultat från vårens prov under augusti. Rapporten kommer att finnas tillgänglig på Urvalsinsamlingen 1. Gå in på och klicka på länken Resultatinsamling vt 01 som du finner under rubriken Aktuellt högst upp till höger på sidan.. Ladda ner den excelfil som tillhör det kursprov som ska återrapporteras. 3. Fyll i elevresultat för elever födda den 9:e, 19:e, 5:e och 9:e i varje månad i den undervisningsgrupp som genomfört provet. 4. Gå in på och klicka på länken Resultatinsamling vt 01. Ange maga6nu i rutan för lösenord. Skapa en användare och ange några bakgrundsdata. 5. Fyll i lärarenkäten angående kursen och gruppen. 6. Ladda upp excelfilen för den aktuella gruppen. 7. Skicka en kopia av bedömda elevlösningar för elever födda den 9:e i varje månad till: Umeå universitet, Samhällsvetarhuset Institutionen för tillämpad utbildningsvetenskap Nationella prov Att: Monika Kriström UMEÅ Eftersom vissa svar i lärarenkäten skiljer sig åt mellan grupper så måste du göra om delar av proceduren ovan (steg -7) för varje grupp om du har genomfört nationella kursprov i flera undervisningsgrupper. För att det ska vara möjligt att publicera en resultatrapport i slutet av augusti måste vi ha alla resultat senast den 0 juni 01. 9