Grafer 1.Broarna i Köningsberg och grundläggande grafbegrepp 2 2.Hamiltoncykler 9 Teori Handelsresandeproblemet.11 3.Träd och skog 14 Modell Kruskals algoritm.16 4.Fyrfärgsproblemet..18 Facit 20 Bilder: Illustrationer s.9 av Hans Hillerström. Grafiska konstruktioner av Nils-Göran Mattsson Författarna och Bokförlaget Borken, 2011 Grafer - 1
1 Broarna i Königsberg och grundläggande grafbegrepp Teori Vad är nu en graf? En graf består av en ändlig mängd av s k noder som vi ibland kan beteckna med de naturliga talen, m, n, ibland med stora bokstäver A, B,... i figuren nedan 1, 2 och 3. Eftersom varje graf ger en bestämd mängd noder kan vi skriva nodmängden som N(G). Dessutom består grafen av en ändlig mängd, B(G) av bågar som vi kan beteckna med talpar {m, n} eller kortare a, b, c.. Låt oss kalla m och n för ändpunkter till bågen b. Vi använder våra beteckningar på figuren nedan. N(G)={1, 2, 3} och B(G)= {a, b, c, d}. 1 och 2 (eller 2 och 1) är ändpunkter till bågen b. Vi kallar bågen d för en loop. Vi inför ytterligare definitioner i vår teori om grafer. En väg är en växelföljd av noder och bågar som t ex 2, a, 1, c, 3. Bågarna eller noderna behöver inte vara olika, även följande följder 2, a, 1, b, 2, 2, a, 1, a, 2, 3, d, 3 och 1, c, 3, d, 3, c, 1 är vägar. Längden av en väg är antalet bågar som ingår. Den första vägens längd är alltså 2, den andra 2, den tredje 1, samt den femte 3. Grafer - 2
Sluten Naturligtvis kallar vi en väg där startpunkt och slutpunkt sammanfaller som t ex 3, d, 3, 2, a, 1, b, 2 och 2, a, 1, a, 2 för sluten. Enkel väg En väg kallas enkel om alla dess bågar är olika. Vilka vägar av alla hittills nämnda är enkla? Just dessa: 2, a, 1, c, 3, 2, a, 1, b, 2, 1, c, 3, d, 3, samt 3, d, 3. En sluten och enkel väg kallas en krets. Av de nämnda enkla vägarna är de gula kretsar. Elementär väg En väg kallas elementär om alla dess noder är olika. Startpunkt och slutpunkt kan få vara lika. Vilka vägar av alla hittills nämnda är elementära? Just dessa: 2, a, 1, c, 3, 2, a, 1, b, 2, 3, d, 3 och 2, a, 1, b, 2. En sluten och elementär väg kallas en cykel, t ex de röda G1.1 Hur många loopar innehåller grafen? G1.2 Hur många kretsar finns det med startoch slutpunkt i S? G1.3 Är vägarna i uppgift G1.2 även cykler? Grafer - 3
Teori Königsbergs broar Leonard Euler löste på 1700-talet problemet Königsbergs broar. Folk i staden med de två öarna (B och D) i floden Pregel hade länge undrat varför man inte kunde passera alla de sju broarna (utan att gå samma bro två gånger) som förbinder öarna med fastlandet. Euler löste problemet med hjälp av sin teori om grafer. Nedanstående karta over broarna i Königsberg kan förenklas till grafen skissad under kartan. Vi använder stora bokstäver A, B, C och D i stället för siffror för noderna. De gula broarna i grafen finns inte längre i Kaliningrad som den nu ryska staden heter. Grafer - 4
Eulers lösning kräver ytterligare några definitioner. En eulerväg i en graf är en enkel väg som omfattar alla bågar i G. En eulerkrets är en sluten eulerväg. Detta innebär att Königsbergsbornas problem var att finna en eulerväg eller eulerkrets i den graf som har fått representera Königsbergs sju broar. G1.4 Kan du hitta någon eulerväg till grafen på sidan 2? Är den väg du hittat en eulerkrets? Definition: Grad(nod) är antalet bågar som har denna nod som ändpunkt. Om vi ser på vår bro-graf igen så ser vi följande: grad(a) = grad(c) = grad(d) = 3 samt grad(b) = 5. G1.5 Vilka gradtal har noderna i grafen på sidan 2? Tes: Bro-grafen har ingen eulerkrets. Antag att det funnes en eulerkrets i grafen. Om X var start- och slutnod i denna krets så skulle man lämna denna nod lika ofta som man kommer till densamma. Detta innebär att grad(x) för noden X är jämnt. Men vi har ju redan upptäckt att gradtalet är udda för alla noder. Denna motsägelse innebär att vårt antagande är falskt. Det finns ingen eulerkrets. Låt oss se på beviset ur logisk synvinkel (ett s k indirekt bevis). 1. Antag att p ( = grafen är en eulerkrets) 2. q (= udda gradtal för alla noder) 3. p Þ Det är inte fallet att q 4. Det är inte fallet att q (modus ponens utifrån rad 1. och rad 3.) 5. Alltså en motsägelse mellan rad 2. och 4. 6. Alltså är antagandet om p falskt. 7. Alltså är p ingen eulerkrets. Låt oss nu se om en eulerväg löser Königsbergarnas problem. Om det funnes en eulerväg så skulle endast startnod och slutnod ha ett udda gradtal men, tyvärr är alla övriga noder udda. Grafer - 5
Det finns en eulerkrets i grafen om och endast om gradtalet för varje nod har jämnt gradtal. Det finns en eulerväg (som inte får vara en krets) i G om och endast om gradtalet för precis två noder är udda. G1.6 Vilket gradtal har den brunblå grafen här bredvid? Betyder detta att den kan ritas utan att lyfta pennan från pappret och utan att följa en linje två gånger? (Hjälp: Rita den blå stjärnan först, fortsätt därefter med de bruna linjerna.) G1.7 Kan du gå igenom lägenheten till höger genom att gå in genom en ytterdörr och ut genom den andra genom att passera varje dörröppning precis en gång, G1.8 Kan man hitta en eulerkrets för museet här bredvid? Hitta en krets där du passerar alla dörrar och en där inte detta sker! Vad skulle fördelen med ett sådant museum kunna vara? Grafer - 6
Vi ser nu på begreppen sammanhängande (G ) och osammanhängande graf (G ). En graf är sammanhängande om det finns en elementär väg mellan varje par av noder. Detta gäller inte för osammanhängande grafer. En fullständig graf K n med n noder har egenskapen att det finns precis en båge mellan varje par av noder. Bilden nedan visar K 1, K 2, K 3 och K 4. G1.9 Figuren nedan visar K5 där vi låtit alla skärningspunkter bilda noder. Kan du ge en motivering för att den innehåller en eulerkrets? Vi har redan funnit en sådan i uppgift G1.6, kan du hitta flera? G1.10 Varför har den regelbundna fullständiga 7-hörningen en eulerkrets? Grafer - 7
V1.11 I landet Tujuh finns 15 städer. Är det möjligt att varje stad har vägar till exakt sju andra städer? V1.12 G är en loopfri graf med 10 noder som dessutom är osammanhängande. Bevisa eller gör troligt att det finns högst 36 bågar i denna graf. V1.13 Vilket värde på n ger en fullständig graf med 1225 bågar? n N(G) Teori Handskakningslemmat: n N(G) grad(n) = 2 B(G) grad(n) = 2 B(G) som betyder: Om vi tar gradtalet för alla noder i NG ( ) och summerar dessa får vi ett tal lika med dubbla antalet bågar. (Lemma är en enklare matematisk sats.) Bevis: Varje båge bidrar med att gradtalet ökar för två noder. Detta tydliggör lemmat. G1.14 Vilken eulerväg finns i grafen till uppgift G1.1? V1.15 Existerar det en graf med tre noder med gradtalet 1, tre noder med gradtalet 2? V1.16 På en fest träffar Abel och hans hustru Ada tre andra gifta par. Under festen: (a) skakade ingen hand med sin make eller maka. (b) skakade ingen hand med sig själv (naturligtvis). (c) skakade ingen hand med någon annan mer än en gång. Efter festen visade Ada som är matematiker att de sju andra personerna hade skakat hand med 0, 1, 2, 3, 4, 5 och 6 andra gäster. Hur många hade Abel och Ada skakat hand med? Grafer - 8
2 Hamiltoncykler Innan vi sätter igång med hamiltoncykeln låt oss se på Platons omtalade regelbundna polyedrar som figurerat i så många olika kunskapsområden, från Platons materiefilosofi till modern grafteori. Definition: Om en cykel i en graf innehåller varje nod i densamma så är det en hamiltoncykel. År 1857 uppfann W.R.Hamilton ett spel som kom att kallas A voyage around the world. Den bestod av en dodekaeder. På varje hörn (nod ) av kroppen hade fastsatts en liten pinne samt ett namn på en känd storstad. Spelaren skulle sätta fast ett snöre i en pinne, därefter dra snöret efter en kant (båge) till nästa pinne. Han skulle fortsätta på detta sätt till alla pinnar utan att passera en stad (pinne) två gånger. Till slut skall han nå sitt begynnelsehörn (nod). Spelaren har på detta vis funnit en hamiltoncykel. Grafer - 9
Namnet dodekaeder kommer från det grekiska dodeca + hedron som betyder tolv begränsningsytor (eng. faces). De grundläggande egenskaperna hos en dodekaeder är: Namn Noder (N) Bågar (B) Faces (F) N B + F Dodekaeder 20 30 12 2 G2.1 I figuren här bredvid har vi ritat grafen för dodekaedern. a) Kan du hitta en hamiltoncykel i grafen? b) Kan du verifiera våra ovan nämnda värden på N, B och F? G2.2 I denna figur har vi ritat en graf av ytterligare en platonsk kropp. a) Vilken kropp symboliserar grafen? b) Vilka värden har N, B och F? c) Vilket värden har du hittills fått på N B + F? d) Kan vi generalisera detta uttryck till alla kroppar i rymden? e) Leta upp någon hamiltoncykel till figuren här bredvid. Grafer - 10
G2.3 Visa att grafen här bredvid har både en eulerkrets och en hamiltoncykel. G2.4 Vilken regelbunden rymdkropp symboliserar figuren i G2.3? Teori Handelsresandeproblemet Efter att ha nämnt Hamilton och hans cykler är det intressant att nämna det s k handelsresandeproblemet. Ett handelsresandeproblem uppstår då ett visst antal punkter (noder) i godtycklig ordning skall besökas med minsta möjliga kostnad i form av tid, pengar, resväg eller vad som helst som är mätbart. Vad som skall utföras på de olika punkterna är helt ovidkommande för själva problemets lösning. Vi kan t ex tänka oss att en försäljare ska besöka ett antal kommuner. Hur skall han disponera sin resa för att den skall bli så kort som möjlig? Vi har redan identifierat problemet. Vi vill finna en billig sluten krets som passerar varje nod i en graf precis en gång, en s k hamiltoncykel. Om vår person skall åka till fem städer så kan vi tänka oss att räkna ut 4321 färdsträckan för de olika rutterna. Varför blir det detta antal 2 ( n 1)! rutter? Om han skall besöka n orter blir antalet rutter, som 2 16 redan för n = 20 ger det mycket stora talet 6,1 10. Tyvärr finns det inga bra algoritmer för att lösa problemet, endast ett antal approximativa lösningar. Grafer - 11
Ett av de största handelsresandeproblem som lösts av forskare är ett problem med 24 978 noder. Noderna i problemet var Sveriges 24 978 orter. Resultatet blev att den som har för avsikt att besöka dessa svenska orter måste resa cirka 72 500 km. Antag att vi har en viktad graf, den till höger. Låt mig visa hur jag resonerar i detta fall för att få en som jag hoppas optimal rutt. Jag börjar med CA(4), den näst minsta grannen, kanske borde jag ta den minsta CB(2) men det verkar finnas så höga vikter på den högra halvan. Därefter kör jag med minsta vikter, AE(5), EF(1), FD(2) och tyvärr DB(8) och sluter hamiltoncykeln med BC(2). Den totala vikten blev 22. Kan du finna någon bättre väg än CAEFDBC? En lärorik sajt för TSP (=The Traveling Salesman Problem) är http://www.tsp.gatech.edu// Här kan du finna TPS Games för optimala rutter. Humlor som söker föda löser handelsresandeproblemet varje dag. De besöker blommor på olika ställen och då humlor vill spara energi letar de efter rutter som håller flygdistanserna på ett minimum, säger forskaren Nigel Raine till Guardian. Forskarna använde datorstyrda artificiella blommor för att testa om humlorna flög från blomma till blomma allt eftersom de hittades eller om de letade efter den kortaste vägen mellan alla blommor. Slutsatsen är att humlorna snabbt hittade kortaste vägen för att spara tid och energi. (Ny Teknik den 14/11 2010) Grafer - 12
G2.5 Nedan är 42 tänkta städer utritade, försök hitta en optimal hamiltoncykel med någon intuitivt bra metod. G2.6 Ett litet TSP-projekt. Antag att du vill visa några vänner ditt hemlandskap med avseende på kultur och natur. Välj ut c:a 15 sevärda platser utspridda i ditt landskap och pricka in dessa som noder på en karta. Rita in de bågar (vägar) som förbinder dessa noder. Det kanske behövs extra noder för att få rimlighet i vägkartan bestående av bågar. Dessa noder behöver du inte besöka om du inte vill men de kan förenkla din uppgift. För varje par av noder skriver du in avståndet mellan dessa på bågen på kartan. Beräkna sedan den kortaste färdsträckan för din arrangerade natur- och kulturresa. G2.7 Grafen på första sidan är riktad, vilket innebär att du bara få gå i pilarnas riktning. Visa att det finns en enkel instruktion som gör att du kommer till den gula noden vilken nod du än startar från. Grafer - 13
3 Träd och skog Att en osammanhängande graf vars delar är träd kallas en skog låter rimligt. Men vad är då ett träd i grafteoretisk mening? Ett träd är en sammanhängande graf som saknar cykler. Definitionen av ett löv är denna: Ett löv är en nod med gradtalet ett. Naturligtvis kan ett träd ritas, enligt definitionen, mycket enklare, som t ex figuren här bredvid med tre träd i en skog. Grafer - 14
Teori Billigaste uppspännande trädet Ett uppspännande träd för en graf är en del av grafen som innehåller dess alla noder men inte alla bågar. Vi kan i en graf som G vikta alla bågar. De tilldelas ett tal som kallas kostnaden för bågen b. Om vi nu skulle hitta, vilket man alltid kan, ett billigaste uppspännande träd så är detta det optimala uppspännande trädet. Figuren till höger ovan är det billigaste uppspännande trädet med värdet 6. Varför? Det finns många tillämpningar på denna teori. Vi kanske vill koppla ihop datorer i ett nätverk. Då symboliserar datorerna de olika noderna A 2, B 2, C 2 och D 2. Ihopkopplingen skall ske till minsta möjliga kostnad, dvs summan av de olika kabelläggningarnas kostnad (bågarna A 2B 2, A 2D 2 och C 2D 2 skall vara minimal, i vårt fall lika med 6. Grafer - 15
Modell Kruskals algoritm Bestäm ett minimalt uppspännande träd för nedanstående viktade graf: 6 Metod: Vi sorterar alla bågar = 15 2 st med avseende på vikt. AE 12 BD 21 AB 26 AF 18 BE 22 AD 27 BC 18 CD 24 CF 28 FD 19 CE 24 EF 30 ED 20 AC 25 BF 32 Nu skall vi stegvis bygga upp ett träd med Kruskals algoritm. För varje steg väljer du den båge som har minimal vikt. Denna båge får inte ge upphov till en cykel när den bifogas det träd som du håller på att konstruera. Efter val av (n 1) bågar får du automatiskt ett minimalt träd (det röda trädet med vikten 108). Grafer - 16
G3.1 Bestäm ett minimalt uppspännande träd i vidstående viktade graf G3.2a) Bestäm ett minimalt uppspännande träd i vidstående oviktade graf. (Längder med samma längd har lika vikter.) b) Har grafen en eulerkrets? Grafer - 17
4 Fyrfärgsproblemet Fyrfärgsproblemet har sin upprinnelse år 1852 då Francis Guthrie upptäckte att det räcker med fyra färger för att färglägga grevskapen i England. Han bad sin bror undersöka om det räcker med fyra färger för en karta så att intilliggande regioner, dvs de som delar en gemensam gräns, inte bara en punkt, får olika färger. Frederick Guthrie meddelade sin hypoteser till DeMorgan. Efter en rad mer eller mindre lyckade "bevis" av matematiker under åren fram till 1976 publicerade Kenneth Appel och Wolfgang Haken detta år ett bevis för fyrfärgssatsen. Men detta bevis inte är helt tillfredsställande. I en del av Appel-Hakens bevis används datorhjälp och den kan inte kontrolleras för hand. Även de delar som skulle kunna kontrolleras med papper och penna är mycket komplicerade och omständliga. Så vitt vi vet har ingen kontrollerat beviset i sin helhet. En del enklare bevis som litar på datorprogram och kompilatorer har publicerats. Enligt vissa filosofer t ex Laurence Bonjour skiljer man i matematiken mellan metafysiskt nödvändiga sanningar och de som bevisas i traditionell mening utifrån axiom. Datorbevisen skulle i så fall vara nödvändigt sanna men, åtminstone inte än så länge, bevisbara utifrån axiom och logik. Grafer - 18
Vad har detta med grafteori att göra? Vi låter varje land representeras av en nod och varje gräns mellan två länder av en båge. Detta innebär att en karta representeras av en plan graf. Detta betyder en graf som kan ritas i planet utan att bågarna skär varandra. Det gäller alltså att bevisa att ingen graf behöver mer än fyra färger för att undvika att två sammankopplade noder ska ha samma färg. Grafer - 19
Facit G1.1 Det finns tre loopar. G1.2 Det finns fyra kretsar G1.3 Ja G1.4 1, b, 2, a, 1, c, 3, d, 3 och Nej G1.5 grad(1) = grad(3) = 3 samt grad(2) = 2, observera att loopen räknas dubbelt. G1.6 Det finns en eulerkrets, Du kan säkert hitta den utan svar. G1.7 Eftersom tre noder är udda finns ingen eulerväg. G1.8 G1.9 Eftersom gradtalet för alla noder är jämnt finns det en eulerkrets nämligen: FGIJHFDGCIBJAHEABCDEF G1.10 Eftersom gradtalet för alla noder är jämnt. G1.11 Nej, Eftersom varje stad i Tujuh har sju vägar som leder ut ur staden ger detta totalt 15 7 = 105 vägar som leder ut ur städerna. Detta betyder att varje väg blir räknad två gånger. Alltså finns det 105/2=52,5 vägar vilket är orimligt. Grafer - 20
V1.12 Mest bågar har den graf som består av 9 sammanhängande noder och en isolerad nod. Alltså blir antalet bågar 9 8/2=36. Bevis: Antag att vi får två sammanhängande områden med respektive n och (10 n) noder. Alltså blir antalet bågar n(n 1)/2 + (10 n)(10 n 1)/2. Detta uttryck kan förenklas till n 2 10n + 45. Derivatan av detta uttryck har nollstället n = 5. Alltså ger värdet n=1 eller n=9 det maximala värdet på uttrycket (=36) V.S.B. V1.13 Vi får ekvationen n(n 1)/2 = 1225 med lösningen n = 50 G1.14 BC(brun båge)cacb(l2)(l1)ba(l3)a är en eulerväg. V1.15 Nej ty gradtalet är 3 1 + 3 2 = 9 men enligt Handskakningslemmat skall vi få ett jämnt tal. V1.16 G2.1a) Hamiltoncykeln är blåmarkerad b) F tycks ge 11 delområden (faces) i figuren tills vi förstår att även 8-9-10-11-12 är en begränsningsyta. G2.2 a) Kub b) N=8, B=12 och F=6 c) 2 d) Ja e) AEHDCGFBA Grafer - 21
G2.3 G2.4 Oktaeder G2.5 Grafer - 22