Symboler och abstrakta system Warwick Tucker Matematiska institutionen Uppsala universitet warwick@math.uu.se Warwick Tucker, Matematiska institutionen, Uppsala universitet 1
Vad är ett komplext system? uppbyggt av många liknande, enkla enheter/objekt dessa enheter har välkända egenskaper tillsammans uppstår dock ett mycket komplicerat beteende. Beteenden hos system kan löst indelas i tre klasser: statiskt komplext slumpmässigt Som människor fascineras vi ofta av just det komplexa. Warwick Tucker, Matematiska institutionen, Uppsala universitet 2
Tre olika fokus (på bilen) 1. enhetens beståndsdelar har två hjulpar har en ratt har 4-8 tändstift 2. enhetens egenskaper kan backa/köra framåt kan svänga (hjälpligt) kan variera fart [0-110 km/h] 3. enhetens gruppdynamik kan bilda köer kan kollidera kan propagera information Warwick Tucker, Matematiska institutionen, Uppsala universitet 3
Tre olika fokus Att härleda egenskaper från komponenter handlar om mekanik; (Svårt, men möjligt.) Att härleda beteenden från egenskaper handlar om dynamik; (Oftast omöjligt.) Notera att vi kan byta ut enheten bil mot exempelvis planet, myra, neuron, atom etc. Komplexa system återfinns på alla skalor Liknande prognossvårigheter gäller även helt abstrakta system, trots att vi där har total insyn i fokusnivå 1 och 2. Warwick Tucker, Matematiska institutionen, Uppsala universitet 4
Cellulära automata Diskreta rutor vars beteenden ges av enkla grafiska regler: Startkonfigurationen har en väsentlig påverkan på dynamiken: Med exakt samma uppsättning egenskaper kan både regelbundna och fullständigt slumpmässiga mönster genereras. Warwick Tucker, Matematiska institutionen, Uppsala universitet 5
Warwick Tucker, Matematiska institutionen, Uppsala universitet 6
Tre viktiga ingredienser 1. grupper, multiplicitet, parallellism (utsträcker sig i rummet) Komplexa system är ofta högst parallella samlingar av liknande enheter. Parallella system är redundanta och kan således tåla förluster. Dessutom kan olika strategier utprovas samtidigt. 2. iteration, rekursion, återkoppling (utsträcker sig i tiden) Iteration kan svara mot reproduktion för levande objekt. Rekursion ger upphov till självliknande strukturer. Återkoppling ger upphov till utveckling. 3. anpassning, inlärning, evolution Kan ses som en konsekvens av parallellism och iteration i en konkurrenskraftig miljö med ändliga resurser; dåliga strategier/enheter filtreras bort. Warwick Tucker, Matematiska institutionen, Uppsala universitet 7
Tre viktiga ingredienser 1. grupper, multiplicitet, parallellism Många bilar färdas i trafiken. 2. iteration, rekursion, återkoppling Bilresorna upprepas dagligen. 3. anpassning, inlärning, evolution Vägvalet anpassas. Det är värt att notera att, trots att varje bilist enbart arbetar med lokal information, bidrar deras gemensamma agerande via 1 + 2 + 3 till en robust samt global egenskap hos trafiken, nämligen maximal genomströmning. Vi bilister löser dagligen ett svårt, tidsberoende optimeringsproblem. Utan att veta om det. Warwick Tucker, Matematiska institutionen, Uppsala universitet 8
Genetiska algoritmer (GA) Introducerades av John Holland under 1960-talet och baseras på teorin för ärftlighet (Mendel 1822-1884). Simulerar evolutionen hos en population och ger upphov till en klass av approximativa algoritmer. En typisk GA 1. Skapa en initialpopulation 2. Utvärdera alla individers hälsotillstånd 3. Utse en grupp för avel, baserat på individernas hälsa 4. Tillämpa genetiska operatorer på medlemmarna i avelsgruppen 5. Konstruera en ny (lika stor) generation bestående av avkomman 6. Om generationen är tillräckligt frisk slutar vi. Annars återvänder vi till punkt 2 Warwick Tucker, Matematiska institutionen, Uppsala universitet 9
Implementeringen av en GA 1. Kräver en representation (kodning) av individer som beror på det specifika problemet. Varje kromosom utgörs av flera gener från ett särskilt alfabet. 2. Hälsan hos en individ skall mäta hur nära hon är att lösa problemet. 3. Ändra skalan så att populationens totala hälsopoäng blir 1. Dela ett roulettehjul i proportionerliga delar och snurra......individen som kommer upp väljs ut för avel. Upprepa! Warwick Tucker, Matematiska institutionen, Uppsala universitet 10
4. Två genetiska operatorer: korsbefruktning och mutation. Olika kodningar av det genetiska materialet kräver olika genetiska operatorer. 6. Stoppkriterium, t.ex. Flera generationer utan hälsoförbättring. Ett specifikt mål har uppnåtts. Warwick Tucker, Matematiska institutionen, Uppsala universitet 11
Varför använda genetiska algoritmer? Väl anpassade för många beräkningskrävande problem Adaptiva; fortsätter att prestera bra i en föränderlig miljö Kräver begränsad matematisk förståelse av problemet Mycket lämpade för parallellberäkningar. Nackdelar: Prestandan beror på problemkodningen och operatorerna Inga garantier för konvergens (heuristisk metod) Kan vara instabil med avseende på parametrar. Warwick Tucker, Matematiska institutionen, Uppsala universitet 12
Rese-problemet Du önskar att resa inom Europa genom att besöka London, Paris, Rom, Stockholm och Wien. Om du vet biljettpriserna mellan dessa städer, hur hittar du den billigaste resan? Längre resor: städer möjliga resor 5 120 10 362.800 100 10 150 Warwick Tucker, Matematiska institutionen, Uppsala universitet 13
En svensk semesterresa... (24978 orter) Andra tillämpningar Borrning i kretskort (65.000 hål) Reseplanering för lastbilar och pakethämtning Fabrikssömnad av kläder Små förbättringar ger stora vinster. Warwick Tucker, Matematiska institutionen, Uppsala universitet 14
Sammanfattning enkla regler kan ge upphov till komplext beteende (Occams rakblad) dynamiken hos komplexa system är svår att förutse (rolig forskning) komplexa system kan användas som beräkningsmaskiner (nyttig forskning) Warwick Tucker, Matematiska institutionen, Uppsala universitet 15