Föreläsning 9 Exempel

Transkript

1 Föreläsning 9 Exempel Intervallhalveringsmetoden DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

2 Föreläsning 9 Exempel Intervallhalveringsmetoden Newton-Raphsons metod DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

3 Föreläsning 9 Exempel Intervallhalveringsmetoden Newton-Raphsons metod Mer om rekursion DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

4 Föreläsning 9 Exempel Intervallhalveringsmetoden Newton-Raphsons metod Mer om rekursion Tidskomplexitet DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

5 Föreläsning 9 Exempel Intervallhalveringsmetoden Newton-Raphsons metod Mer om rekursion Tidskomplexitet Procedurabstraktion DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

6 Föreläsning 9 Exempel Intervallhalveringsmetoden Newton-Raphsons metod Mer om rekursion Tidskomplexitet Procedurabstraktion Representation DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

7 Föreläsning 9 Exempel Intervallhalveringsmetoden Newton-Raphsons metod Mer om rekursion Tidskomplexitet Procedurabstraktion Representation Bra om ni läst följande avsnitt i AS: Procedures as General Methods Procedures as Returned Values Tree Recursion Orders of Growth Exponentiation Example: Representing Sets DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

8 Intervallhalveringsmetoden Finn ett nollställe till funktionen f (x). y f(x) x x 0 m x 1 DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

9 Intervallhalveringsmetoden Finn ett nollställe till funktionen f (x). y f(x) x x 0 m x 1 Välj x 0 och x 1 så att f (x 0 ) f (x1) < 0 och x 0 < x 1 DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

10 Intervallhalveringsmetoden... m = (x 0 + x 1 )/2 om f (x 0 ) f (m) < 0 så x 1 = m annars x 0 = m om x 0 x 1 > ɛ annars är m en rot DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

11 Intervallhalveringsmetoden... (define intervallhalvering (lambda (f x0 x1 eps) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

12 Intervallhalveringsmetoden... (define intervallhalvering (lambda (f x0 x1 eps) (define close-enough? (lambda (a b) (< (abs (- a b)) eps))) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

13 Intervallhalveringsmetoden... (define intervallhalvering (lambda (f x0 x1 eps) (define close-enough? (lambda (a b) (< (abs (- a b)) eps))) (let ((m (/ (+ x0 x1) 2))) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

14 Intervallhalveringsmetoden... (define intervallhalvering (lambda (f x0 x1 eps) (define close-enough? (lambda (a b) (< (abs (- a b)) eps))) (let ((m (/ (+ x0 x1) 2))) (if (close-enough? x1 x0) m (if (negative? (* (f x0) (f m))) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

15 Intervallhalveringsmetoden... (define intervallhalvering (lambda (f x0 x1 eps) (define close-enough? (lambda (a b) (< (abs (- a b)) eps))) (let ((m (/ (+ x0 x1) 2))) (if (close-enough? x1 x0) m (if (negative? (* (f x0) (f m))) (intervallhalvering f x0 m eps) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

16 Intervallhalveringsmetoden... (define intervallhalvering (lambda (f x0 x1 eps) (define close-enough? (lambda (a b) (< (abs (- a b)) eps))) (let ((m (/ (+ x0 x1) 2))) (if (close-enough? x1 x0) m (if (negative? (* (f x0) (f m))) (intervallhalvering f x0 m eps) (intervallhalvering f m x1 eps)))))) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

17 Intervallhalveringsmetoden... (define intervallhalvering (lambda (f x0 x1 eps) (define close-enough? (lambda (a b) (< (abs (- a b)) eps))) (let ((m (/ (+ x0 x1) 2))) (if (close-enough? x1 x0) m (if (negative? (* (f x0) (f m))) (intervallhalvering f x0 m eps) (intervallhalvering f m x1 eps)))))) > (intervallhalvering (lambda (x) (- (* x x) 2)) ) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

18 Intervallhalveringsmetoden... (define intervallhalvering (lambda (f x0 x1 eps) (define close-enough? (lambda (a b) (< (abs (- a b)) eps))) (let ((m (/ (+ x0 x1) 2))) (if (close-enough? x1 x0) m (if (negative? (* (f x0) (f m))) (intervallhalvering f x0 m eps) (intervallhalvering f m x1 eps)))))) > (intervallhalvering (lambda (x) (- (* x x) 2)) ) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

19 Newton-Raphsons metod Ett tal x kallas fixpunkt för en funktion f om f (x), f (f (x)), f (f (f (x))),... konvergerar mot x DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

20 Newton-Raphsons metod Ett tal x kallas fixpunkt för en funktion f om f (x), f (f (x)), f (f (f (x))),... konvergerar mot x Ex.: F (x n ) = x n+1 = x n f (x n) f (x n ) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

21 Newton-Raphsons metod... (define newton-raphson (lambda (f guess) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

22 Newton-Raphsons metod... (define newton-raphson (lambda (f guess) (if (good-enough? f guess) guess (newton-raphson f (improve guess f))))) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

23 Newton-Raphsons metod... (define newton-raphson (lambda (f guess) (if (good-enough? f guess) guess (newton-raphson f (improve guess f))))) (define good-enough? (lambda (func guess) (< (abs (func guess)) ))) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

24 Newton-Raphsons metod... (define newton-raphson (lambda (f guess) (if (good-enough? f guess) guess (newton-raphson f (improve guess f))))) (define good-enough? (lambda (func guess) (< (abs (func guess)) ))) (define improve (lambda (guess f) (- guess (/ (f guess) ((derivata f 0.001) guess))))) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

25 Newton-Raphsons metod... (define newton-raphson (lambda (f guess) (if (good-enough? f guess) guess (newton-raphson f (improve guess f))))) (define good-enough? (lambda (func guess) (< (abs (func guess)) ))) (define improve (lambda (guess f) (- guess (/ (f guess) ((derivata f 0.001) guess))))) (define derivata (lambda (f dx) (lambda (x) (/ (- (f (+ x dx)) (f (- x dx))) (* dx 2))))) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

26 Mer om rekursion Definition av fibonaccitalen: 0 om n = 0 fib n = 1 om n = 1 fib n 1 + fib n 2 annars DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

27 Mer om rekursion Definition av fibonaccitalen: 0 om n = 0 fib n = 1 om n = 1 fib n 1 + fib n 2 annars (define fib (lambda (n) (cond ((= n 0) 0) ((= n 1) 1) (else (+ (fib (- n 1)) (fib (- n 2))))))) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

28 Mer om rekursion Definition av fibonaccitalen: 0 om n = 0 fib n = 1 om n = 1 fib n 1 + fib n 2 annars (define fib (lambda (n) (cond ((= n 0) 0) ((= n 1) 1) (else (+ (fib (- n 1)) (fib (- n 2))))))) Varje anrop ger upphov till högst två nya anrop. Antal anrop blir då c:a 2 n. Antalet anrop växer exponentiellt med argumentet n. DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

29 Mer om rekursion... f(3) f(4) f(2) f(2) f(1) f(1) f(0) f(1) f(0) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

30 Mer om rekursion... f(3) f(4) f(2) f(2) f(1) f(1) f(0) f(1) f(0) Antag att ett anrop tar 1 ms. Då tar (fib 4) 9 ms, (fib 10) 177 ms, (fib 20) 20 s, (fib 40) 3.8 dagar, (fib 80) år! DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

31 Mer om rekursion... Kan det göras bättre? Här är en svansrekursiv lösning: DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

32 Mer om rekursion... Kan det göras bättre? Här är en svansrekursiv lösning: (define fib-2 (lambda (n) (fib-2-iter 1 0 1))) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

33 Mer om rekursion... Kan det göras bättre? Här är en svansrekursiv lösning: (define fib-2 (lambda (n) (define fib-2-iter (lambda (fibm fibm-1 m) (if (<= n m) fibm (fib-2-iter (+ fibm fibm-1) fibm (+ m 1))))) (fib-2-iter 1 0 1))) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

34 Mer om rekursion... Kan det göras bättre? Här är en svansrekursiv lösning: (define fib-2 (lambda (n) (define fib-2-iter (lambda (fibm fibm-1 m) (if (<= n m) fibm (fib-2-iter (+ fibm fibm-1) fibm (+ m 1))))) (fib-2-iter 1 0 1))) Antalet anrop av fib-2-iter växer linjärt med argumentet n. Mycket kan vinnas genom att tänka igenom programmet ordentligt. OBS! att fib-2 är svansrekursiv! DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

35 Mer om rekursion... fib-2 Om vi gör trace på fib-2-iter får vi för anropet (fib-2 7): (fib-2-iter 1 0 1) (fib-2-iter 1 1 2) (fib-2-iter 2 1 3) (fib-2-iter 3 2 4) (fib-2-iter 5 3 5) (fib-2-iter 8 5 6) (fib-2-iter ) 13 DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

36 Tidskomplexitet Låt T (n) vara den tid det tar att utföra en uppgift enligt den algoritm vi använder. DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

37 Tidskomplexitet Låt T (n) vara den tid det tar att utföra en uppgift enligt den algoritm vi använder. Vi är då endast intresserade av beroendet av n (problemets storlek) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

38 Tidskomplexitet Låt T (n) vara den tid det tar att utföra en uppgift enligt den algoritm vi använder. Vi är då endast intresserade av beroendet av n (problemets storlek) Om T (n) är proportionell mot 2 n så säger vi att T (n) O (2 n ) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

39 Tidskomplexitet Låt T (n) vara den tid det tar att utföra en uppgift enligt den algoritm vi använder. Vi är då endast intresserade av beroendet av n (problemets storlek) Om T (n) är proportionell mot 2 n så säger vi att T (n) O (2 n ) dvs: ( n 0, c)( n > n 0 )[T (n) c 2 n ] T (n) O (2 n ) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

40 Tidskomplexitet Låt T (n) vara den tid det tar att utföra en uppgift enligt den algoritm vi använder. Vi är då endast intresserade av beroendet av n (problemets storlek) Om T (n) är proportionell mot 2 n så säger vi att T (n) O (2 n ) dvs: eller mer generellt: ( n 0, c)( n > n 0 )[T (n) c 2 n ] T (n) O (2 n ) ( n 0, c)( n > n 0 )[T (n) c f (n)] T (n) O (f (n)) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

41 Tidskomplexitet Beräkning av b n DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

42 Tidskomplexitet Beräkning av b n Linjär rekursion med n steg (T (n) O (n)): { b n 1 om n = 0 = b b n 1 annars DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

43 Tidskomplexitet Beräkning av b n Linjär rekursion med n steg (T (n) O (n)): { b n 1 om n = 0 = b b n 1 annars (define expt-1 (lambda (b n) (if (= n 0) 1 (* b (expt-1 b (- n 1)))))) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

44 Tidskomplexitet... Annan idé (T (n) O (log n)): 1 om n = 0 b n = b (b (n 1)/2 ) 2 om n = är udda (b n/2 ) 2 annars DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

45 Tidskomplexitet... Annan idé (T (n) O (log n)): 1 om n = 0 b n = b (b (n 1)/2 ) 2 om n = är udda (b n/2 ) 2 annars (define expt-2 (lambda (b n) (cond (( = n 0) 1) ((odd? n) (* b (sqr (expt-2 b (/ (- n 1) 2))))) (else (sqr (expt-2 b (/ n 2))))))) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

46 Tidskomplexitet... Bra att veta att man kan räkna på algoritmer. DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

47 Tidskomplexitet... Bra att veta att man kan räkna på algoritmer. Vi kommer inte att göra det. DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

48 Tidskomplexitet... Bra att veta att man kan räkna på algoritmer. Vi kommer inte att göra det. Jag vill bara påpeka att det intuitiva sättet att skriva ett program kan vara förödande. DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

49 Tidskomplexitet... Bra att veta att man kan räkna på algoritmer. Vi kommer inte att göra det. Jag vill bara påpeka att det intuitiva sättet att skriva ett program kan vara förödande. Då och då kan jag komma att påpeka något om en algoritms effektivitet, men bara för att jämföra med någon annan algoritm. DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

50 Tidskomplexitet... Bra att veta att man kan räkna på algoritmer. Vi kommer inte att göra det. Jag vill bara påpeka att det intuitiva sättet att skriva ett program kan vara förödande. Då och då kan jag komma att påpeka något om en algoritms effektivitet, men bara för att jämföra med någon annan algoritm. Mer om detta kommer i komplexitetskursen. DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

51 Procedurabstraktioner Vi har (hittills) byggt abstraktioner med hjälp av procedurer DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

52 Procedurabstraktioner Vi har (hittills) byggt abstraktioner med hjälp av procedurer procedurer som använder procedurer... DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

53 Procedurabstraktioner Vi har (hittills) byggt abstraktioner med hjälp av procedurer procedurer som använder procedurer... procedurer som parametrar DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

54 Procedurabstraktioner Vi har (hittills) byggt abstraktioner med hjälp av procedurer procedurer som använder procedurer... procedurer som parametrar procedurer med inre procedurer DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

55 Procedurabstraktioner Vi har (hittills) byggt abstraktioner med hjälp av procedurer procedurer som använder procedurer... procedurer som parametrar procedurer med inre procedurer procedurer som bygger procedurer DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

56 Procedurabstraktioner Vi har (hittills) byggt abstraktioner med hjälp av procedurer procedurer som använder procedurer... procedurer som parametrar procedurer med inre procedurer procedurer som bygger procedurer Vi har också byggt abstraktioner med hjälp av data. DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

57 Representation I många fall kan vi representera samma (abstrakta) begrepp på flera olika sätt. DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

58 Representation I många fall kan vi representera samma (abstrakta) begrepp på flera olika sätt. Varje representation har sina fördelar och nackdelar. DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

59 Representation I många fall kan vi representera samma (abstrakta) begrepp på flera olika sätt. Varje representation har sina fördelar och nackdelar. Det gäller att kunna resonera kring dessa för- och nackdelar för att välja det som är bäst (??). DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

60 Representation I många fall kan vi representera samma (abstrakta) begrepp på flera olika sätt. Varje representation har sina fördelar och nackdelar. Det gäller att kunna resonera kring dessa för- och nackdelar för att välja det som är bäst (??). Man måste väga enkelhet, effektivitet, begriplighet m m mot varandra. DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

61 Representation I många fall kan vi representera samma (abstrakta) begrepp på flera olika sätt. Varje representation har sina fördelar och nackdelar. Det gäller att kunna resonera kring dessa för- och nackdelar för att välja det som är bäst (??). Man måste väga enkelhet, effektivitet, begriplighet m m mot varandra. Låt oss titta på representation av mängder. Lite enklare begreppsmässigt än de som ska hanteras i labben. DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

62 Representation I många fall kan vi representera samma (abstrakta) begrepp på flera olika sätt. Varje representation har sina fördelar och nackdelar. Det gäller att kunna resonera kring dessa för- och nackdelar för att välja det som är bäst (??). Man måste väga enkelhet, effektivitet, begriplighet m m mot varandra. Låt oss titta på representation av mängder. Lite enklare begreppsmässigt än de som ska hanteras i labben. De kan representeras bl a som oordnade listor, ordnade listor eller trädstrukturer. Vi ska titta lite på de två liststrukturerna. DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

63 Mängdoperationer Operation symboliskt exempel Union A B {1, 2, 3} {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

64 Mängdoperationer Operation symboliskt exempel Union A B {1, 2, 3} {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} Snitt A B {1, 2, 3} {3, 4, 5} = {3} DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

65 Mängdoperationer Operation symboliskt exempel Union A B {1, 2, 3} {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} Snitt A B {1, 2, 3} {3, 4, 5} = {3} Differens A \ B {1, 2, 3}\{3, 4, 5} = {1, 2} DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

66 Mängdoperationer Operation symboliskt exempel Union A B {1, 2, 3} {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} Snitt A B {1, 2, 3} {3, 4, 5} = {3} Differens A \ B {1, 2, 3}\{3, 4, 5} = {1, 2} Kartesisk prod A B {1, 2} {3, 4} = {(1. 3), (1. 4), (2. 3), (2. 4)} DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

67 Mängdoperationer Operation symboliskt exempel Union A B {1, 2, 3} {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} Snitt A B {1, 2, 3} {3, 4, 5} = {3} Differens A \ B {1, 2, 3}\{3, 4, 5} = {1, 2} Kartesisk prod A B {1, 2} {3, 4} = {(1. 3), (1. 4), (2. 3), (2. 4)} Member e A 3 {1, 2, 3} = true DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

68 Mängdoperationer Operation symboliskt exempel Union A B {1, 2, 3} {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} Snitt A B {1, 2, 3} {3, 4, 5} = {3} Differens A \ B {1, 2, 3}\{3, 4, 5} = {1, 2} Kartesisk prod A B {1, 2} {3, 4} = {(1. 3), (1. 4), (2. 3), (2. 4)} Member e A 3 {1, 2, 3} = true Insert A + e {1, 2, 3} + 4 = {1, 2, 3, 4} DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

69 Mängdoperationer Operation symboliskt exempel Union A B {1, 2, 3} {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} Snitt A B {1, 2, 3} {3, 4, 5} = {3} Differens A \ B {1, 2, 3}\{3, 4, 5} = {1, 2} Kartesisk prod A B {1, 2} {3, 4} = {(1. 3), (1. 4), (2. 3), (2. 4)} Member e A 3 {1, 2, 3} = true Insert A + e {1, 2, 3} + 4 = {1, 2, 3, 4} Delete A e {1, 2, 3} 2 = {1, 3} DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

70 Mängdoperationer Operation symboliskt exempel Union A B {1, 2, 3} {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} Snitt A B {1, 2, 3} {3, 4, 5} = {3} Differens A \ B {1, 2, 3}\{3, 4, 5} = {1, 2} Kartesisk prod A B {1, 2} {3, 4} = {(1. 3), (1. 4), (2. 3), (2. 4)} Member e A 3 {1, 2, 3} = true Insert A + e {1, 2, 3} + 4 = {1, 2, 3, 4} Delete A e {1, 2, 3} 2 = {1, 3} För enkelhets skull begränsar vi diskussionen till mängder av heltal och operationerna, och +. DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

71 Representation, oordnade listor... Mängdtillhörighet ( ): (define element-of-set? (lambda (element set) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

72 Representation, oordnade listor... Mängdtillhörighet ( ): (define element-of-set? (lambda (element set) (cond ((null? set) #f) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

73 Representation, oordnade listor... Mängdtillhörighet ( ): (define element-of-set? (lambda (element set) (cond ((null? set) #f) ((= element (car set)) #t) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

74 Representation, oordnade listor... Mängdtillhörighet ( ): (define element-of-set? (lambda (element set) (cond ((null? set) #f) ((= element (car set)) #t) (else (element-of-set? element (cdr set)))))) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

75 Representation, oordnade listor... Mängdtillhörighet ( ): (define element-of-set? (lambda (element set) (cond ((null? set) #f) ((= element (car set)) #t) (else (element-of-set? element (cdr set)))))) Linjär oordnad lista ger O (n) (n är antalet element) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

76 Representation, oordnade listor... Lägga till ett element (+): (define adjoin-set (lambda (element set) (if (element-of-set? element set) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

77 Representation, oordnade listor... Lägga till ett element (+): (define adjoin-set (lambda (element set) (if (element-of-set? element set) set DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

78 Representation, oordnade listor... Lägga till ett element (+): (define adjoin-set (lambda (element set) (if (element-of-set? element set) set (cons element set)))) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

79 Representation, oordnade listor... Lägga till ett element (+): (define adjoin-set (lambda (element set) (if (element-of-set? element set) set (cons element set)))) Också O (n), vi letar igenom mängden och sätter in i första position. DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

80 Representation, oordnade listor... Snittet mellan två mängder ( ): (define intersect (lambda (set-1 set-2) (cond ((or (null? set-1) (null? set-2)) ()) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

81 Representation, oordnade listor... Snittet mellan två mängder ( ): (define intersect (lambda (set-1 set-2) (cond ((or (null? set-1) (null? set-2)) ()) ((element-of-set? (car set-1) set-2) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

82 Representation, oordnade listor... Snittet mellan två mängder ( ): (define intersect (lambda (set-1 set-2) (cond ((or (null? set-1) (null? set-2)) ()) ((element-of-set? (car set-1) set-2) (cons (car set-1) (intersect (cdr set-1) set-2))) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

83 Representation, oordnade listor... Snittet mellan två mängder ( ): (define intersect (lambda (set-1 set-2) (cond ((or (null? set-1) (null? set-2)) ()) ((element-of-set? (car set-1) set-2) (cons (car set-1) (intersect (cdr set-1) set-2))) (else (intersect (cdr set-1) set-2))))) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

84 Representation, oordnade listor... Snittet mellan två mängder ( ): (define intersect (lambda (set-1 set-2) (cond ((or (null? set-1) (null? set-2)) ()) ((element-of-set? (car set-1) set-2) (cons (car set-1) (intersect (cdr set-1) set-2))) (else (intersect (cdr set-1) set-2))))) För varje element i den ena mängden gås den andra mängden igenom. Om båda har n element får vi O ( n 2). Enkla algoritmer till priset av fart. DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

85 Representation, ordnade listor... Vi byter representation till ordnade listor. DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

86 Representation, ordnade listor... Vi byter representation till ordnade listor. Mängdtillhörighet ( ): (define element-of-set? (lambda (element set) (cond ((null? set) #f) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

87 Representation, ordnade listor... Vi byter representation till ordnade listor. Mängdtillhörighet ( ): (define element-of-set? (lambda (element set) (cond ((null? set) #f) ((< element (car set)) #f) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

88 Representation, ordnade listor... Vi byter representation till ordnade listor. Mängdtillhörighet ( ): (define element-of-set? (lambda (element set) (cond ((null? set) #f) ((< element (car set)) #f) ((= element (car set)) #t) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

89 Representation, ordnade listor... Vi byter representation till ordnade listor. Mängdtillhörighet ( ): (define element-of-set? (lambda (element set) (cond ((null? set) #f) ((< element (car set)) #f) ((= element (car set)) #t) (else (element-of-set? element (cdr set)))))) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

90 Representation, ordnade listor... Vi byter representation till ordnade listor. Mängdtillhörighet ( ): (define element-of-set? (lambda (element set) (cond ((null? set) #f) ((< element (car set)) #f) ((= element (car set)) #t) (else (element-of-set? element (cdr set)))))) Fortfarande O (n). DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

91 Representation, ordnade listor... Lägga till ett element (+): (define adjoin-set (lambda (element set) (cond ((null? set) (list element)) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

92 Representation, ordnade listor... Lägga till ett element (+): (define adjoin-set (lambda (element set) (cond ((null? set) (list element)) ((= element (car set)) set) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

93 Representation, ordnade listor... Lägga till ett element (+): (define adjoin-set (lambda (element set) (cond ((null? set) (list element)) ((= element (car set)) set) ((< element (car set)) (cons element set)) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

94 Representation, ordnade listor... Lägga till ett element (+): (define adjoin-set (lambda (element set) (cond ((null? set) (list element)) ((= element (car set)) set) ((< element (car set)) (cons element set)) (else (cons (car set) (adjoin-set element (cdr set))))))) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

95 Representation, ordnade listor... Lägga till ett element (+): (define adjoin-set (lambda (element set) (cond ((null? set) (list element)) ((= element (car set)) set) ((< element (car set)) (cons element set)) (else (cons (car set) (adjoin-set element (cdr set))))))) Fortfarande O (n). DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

96 Representation, ordnade listor... Snittet mellan två mängder ( ): (define intersect (lambda (set-1 set-2) (if (or (null? set-1) (null? set-2)) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

97 Representation, ordnade listor... Snittet mellan två mängder ( ): (define intersect (lambda (set-1 set-2) (if (or (null? set-1) (null? set-2)) () DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

98 Representation, ordnade listor... Snittet mellan två mängder ( ): (define intersect (lambda (set-1 set-2) (if (or (null? set-1) (null? set-2)) () (let ((x1 (car set-1)) (x2 (car set-2))) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

99 Representation, ordnade listor... Snittet mellan två mängder ( ): (define intersect (lambda (set-1 set-2) (if (or (null? set-1) (null? set-2)) () (let ((x1 (car set-1)) (x2 (car set-2))) (cond ((= x1 x2) (cons x1 (intersect (cdr set-1) (cdr set-2)))) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

100 Representation, ordnade listor... Snittet mellan två mängder ( ): (define intersect (lambda (set-1 set-2) (if (or (null? set-1) (null? set-2)) () (let ((x1 (car set-1)) (x2 (car set-2))) (cond ((= x1 x2) (cons x1 (intersect (cdr set-1) (cdr set-2)))) ((< x1 x2) (intersect (cdr set-1) set-2)) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

101 Representation, ordnade listor... Snittet mellan två mängder ( ): (define intersect (lambda (set-1 set-2) (if (or (null? set-1) (null? set-2)) () (let ((x1 (car set-1)) (x2 (car set-2))) (cond ((= x1 x2) (cons x1 (intersect (cdr set-1) (cdr set-2)))) ((< x1 x2) (intersect (cdr set-1) set-2)) (else (intersect set-1 (cdr set-2)))))))) DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

102 Representation, ordnade listor... Snittet mellan två mängder ( ): (define intersect (lambda (set-1 set-2) (if (or (null? set-1) (null? set-2)) () (let ((x1 (car set-1)) (x2 (car set-2))) (cond ((= x1 x2) (cons x1 (intersect (cdr set-1) (cdr set-2)))) ((< x1 x2) (intersect (cdr set-1) set-2)) (else (intersect set-1 (cdr set-2)))))))) Högst m + n om set-1 har m element och set-2 har n. O (n) alltså! En väsentlig förbättring! DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

103 Slut på Scheme, vi börjar med Python Ni har redan kommit långt i programmeringsteknik DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

104 Slut på Scheme, vi börjar med Python Ni har redan kommit långt i programmeringsteknik Med lite eftertanke kan ni redan lösa ganska komplicerade uppgifter DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

105 Slut på Scheme, vi börjar med Python Ni har redan kommit långt i programmeringsteknik Med lite eftertanke kan ni redan lösa ganska komplicerade uppgifter Men kursen handlar egentligen om verktyg för att hantera datorer DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

106 Slut på Scheme, vi börjar med Python Ni har redan kommit långt i programmeringsteknik Med lite eftertanke kan ni redan lösa ganska komplicerade uppgifter Men kursen handlar egentligen om verktyg för att hantera datorer Vi måste bort från det abstrakta och se en del på detaljer DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

107 Slut på Scheme, vi börjar med Python Ni har redan kommit långt i programmeringsteknik Med lite eftertanke kan ni redan lösa ganska komplicerade uppgifter Men kursen handlar egentligen om verktyg för att hantera datorer Vi måste bort från det abstrakta och se en del på detaljer och på andra sätt att tänka DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

108 Slut på Scheme, vi börjar med Python Ni har redan kommit långt i programmeringsteknik Med lite eftertanke kan ni redan lösa ganska komplicerade uppgifter Men kursen handlar egentligen om verktyg för att hantera datorer Vi måste bort från det abstrakta och se en del på detaljer och på andra sätt att tänka Python passar perfekt men övergången kan bli tuff DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24

109 Slut på Scheme, vi börjar med Python Ni har redan kommit långt i programmeringsteknik Med lite eftertanke kan ni redan lösa ganska komplicerade uppgifter Men kursen handlar egentligen om verktyg för att hantera datorer Vi måste bort från det abstrakta och se en del på detaljer och på andra sätt att tänka Python passar perfekt men övergången kan bli tuff Vi pratar Python men övar och labbar fortfarande i Scheme DA2001 (Föreläsning 9) Datalogi 1 Hösten / 24