Beviskraft
Bayesiansk sannolikhetsteori villkorad sannolikhet P = sannolikhet H = hypotes E = evidens P(H E) P = sannolikhet T = bevistema F = bevisfaktum P(T F)
Händelseträd H E -E -H E -E
hypotesen är sann (H) (vattkoppor) bevistemat är sant (T) (skyldig) hypotesen är falsk (-H) (ej vattkoppor) bevistemat är falskt (-T) (oskyldig) beviset föreligger (E) (utslag) sann positiv falsk positiv bevisfaktum föreligger (F) (vittnet identifierar) beviset föreligger inte (-E) (ej utslag) falsk negativ sann negativ bevisfaktum föreligger inte (-F) (vittnet identifierar ej)
sannolikhet för sann positiv Frekvens av patienter med utslag bland patienter med vattkoppor? P(E H) Hur troligt är det att vittnet skulle identifiera den tilltalade som GM om den tilltalade är skyldig? P(F T) högre sannolikhet => större beviskraft sannolikhet för falsk positiv Frekvenser av patienter med utslag bland patienter utan vattkoppor? P(E -H) Hur troligt är det att vittnet skulle identifiera den tilltalade som GM om den tilltalade är oskyldig? P(F -T) lägre sannolikhet => större beviskraft
beviskraft = sannolikhet för sann positiv P(E H) P(F T) sannolikhet för falsk positiv P(E -H) P(F -T)
beviskraft = sannolikhet för sann positiv P(E H) P(F T) sannolikhet för falsk positiv P(E -H) P(F -T) Exempel: Hur troligt är det att vittnet skulle identifiera den tilltalade 90 % som GM om den tilltalade är skyldig? Hur troligt är det att vittnet skulle identifiera den tilltalade 3 % som GM om den tilltalade är oskyldig? beviskraft = 0.90 / 0.03 = 30
Vad betyder beviskraft på 30? beviskraft > 1 P(H E) > P(H) beviskraft = 1 P(H E) = P(H) beviskraft < 1 P(H E) < P(H) beviskraft är ett mått på relevans
Vad betyder beviskraft på 30? Stark stöd eller svagt stöd? Jämförelse med graviditetstest: P(E H) = P(E -H) = Beviskraft =
Vad betyder beviskraft på 30? Stark stöd eller svagt stöd? Jämförelse med graviditetstest: P(E H) = 0,90 P(E -H) = 0,01 Beviskraft = 0,90 / 0,01 = 90
beviskraft sannolikhet för bevistemat innan vi tog hänsyn till bevisfaktumet efter vi har tagit hänsyn till bevisfaktumet
Bayes teorem: odds ex ante beviskraft = odds ex post P(H) P(E H) P(H E) = P(-H) P(E -H) P(-H E)
Bayes teorem kan skrivas på olika sätt: P(H E) = P(H) P(E H) P(E) P(H E) = P(H) P(E H) P(H) P(E H) + P(-H) P(E -H) P(H) P(E H) P(H E) = P(-H) P(E -H) P(-H E)
En beviskraft på 30 innebär att bevisfaktumet gör oddset för att bevistemat är sant 30 gånger högre. innan vi tog hänsyn till bevisfaktumet efter vi har tagit hänsyn till bevisfaktumet bevistemats odds för odds för bevistemats sannolikhet bevistemat bevistemat sannolikhet 25 % 0.25 / 0.75 0.33 0.33 30 = 10 91 % (0.91 / 0.09 10) 50 % 0.5 / 0.5 = 1 1 30 = 30 97 % (0.97 / 0.03 30) 75 % 0.75 / 0.25 = 3 3 30 = 90 99 % (0.99 / 0.01 90)
Nationellt forensiskt centrum (NFC) Utlåtandeskala P(E H) P(E -H) Grad +4 > 1 000 000 Resultaten talar extremt starkt för att Grad +3 6 000 1 000 000 Resultaten talar starkt för att Grad +2 100 6 000 Resultaten talar för att Grad +1 1-100 Resultaten talar i någon mån för att
» P sannolikhet falsk positiv» P P(F -T)» ssannolikhet att sannolikhet att oskyldig person» Har m har motsvarande ärr: 1% - 0,02%
Sannolikheten ex ante är 60% Sannolikheten för sann positiv är 100%. Sannolikheten för falsk positiv är 10%. Vad är sannolikheten ex post?
Bayes teorem
P(H E) = P(H) P(E H) P(H) P(E H) + P(-H) P(E -H) 0.6 1 0.6 0.6 1 + 0.4 0.10 0.64 = = 0.9375
= gravid, gravtest positivt = gravid, gravtest negativt = ej gravid, gravtest positivt = ej gravid, gravtest negativt OBS! P(E -H) P(-H E) omkastning av falsk positiv ( Prosecutor s Fallacy ) P(E -H) = 0,01 P(-H E) 0,09 P(H E) = 0,91
= gravid, gravtest positivt = gravid, gravtest negativt = ej gravid, gravtest positivt = ej gravid, gravtest negativt OBS! P(E -H) P(-H E) omkastning av falsk positiv ( Prosecutor s Fallacy ) P(E -H) = 0,01 P(-H E) = 10 / (9 + 10) 0,53 P(H E) = 0,47
= skyldig, utpekad = skyldig, ej utpekad = oskyldig, utpekad = oskyldig, ej utpekad P(T) = 500 / 1000 = 0,50 P(F T) = 400 / 500 = 0,80 P(F -T) = 25 / 500 = 0,05 beviskraft = 0,80 / 0,05 = 16 P(T F) = 400 / (400 + 25) 0,94
Fallet med den blå bilen
Tabell 1 Resultat för blå bilar Vittnet uppger att bilen är blå (korrekt) Vittnet uppger att bilen inte är blå (felaktigt) Vittnet A 90 % 10 % Vittnet B 80 % 20% Tabell 2 Resultat för bilar som inte är blå Vittnet uppger att bilen är blå (felaktigt) Vittnet uppger att bilen inte är blå (korrekt) Vittnet A 20 % 80 % Vittnet B 10 % 90 % Beviskraft: Vittne A = 0.90 / 0.20 = 4.5 Vittne B = 0.80 / 0.10 = 8
3 % Vittnesmålet från A har klart högre bevisvärde än vittnesmålet från B. 13 % Vittnesmålet från A har något högre bevisvärde än vittnesmålet från B. 48 % Vittnesmålet från A har samma bevisvärde som vittnesmålet från B. 31 % Vittnesmålet från A har något lägre bevisvärde än vittnesmålet från B. 5 % Vittnesmålet från A har klart lägre bevisvärde än vittnesmålet från B. => 95 % underskattar betydelsen av falsk positiv
Bevisningen som fällde Thomas Quick: Underskattning falsk positiv?
Domen för mordet på Yenon Levi (Hedemora Tingsrätt, 1997-05-28) Ställde förhörsledaren Seppo Penttinen ledande frågor?
bevistema = Penttinen ställde inte ledande frågor bevisfaktum = Penttinen säger att han inte ställde ledande frågor Hur troligt är det att Penttinen skulle säga 100 % att han inte ställde ledande frågor om han inte ställde ledande frågor? Hur troligt är det att Penttinen skulle säga 50 % att han inte ställde ledande frågor om han ställde ledande frågor? beviskraft = 1 / 0.50 = 2
Domen för mordet på Yenon Levi (Hedemora Tingsrätt, 1997-05-28) Ställde förhörsledaren Seppo Penttinen ledande frågor? Genom vittnesmålet med Seppo Penttinen är utrett att förhören hållits på ett föredömligt sätt utan inslag av t.ex. ledande frågor. (s. 18)
Referensklassproblem Terroristmålet (2015)