STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson,

Relevanta dokument
Kurssammanfattning MVE055

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått

Lufttorkat trä Ugnstorkat trä

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp

FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data

FÖRELÄSNING 7:

Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens

Repetitionsföreläsning

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

TENTAMEN MÅNDAGEN DEN 22 OKTOBER 2012 KL a) Bestäm P(ingen av händelserna inträffar). b) Bestäm P(exakt två av händelserna inträffar).

F14 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.2, , 11.5) Hypotesprövning för en proportion. Med hjälp av data från ett stickprov vill vi pröva

Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

TAMS17/TEN1 STATISTISK TEORI FK TENTAMEN ONSDAG 10/ KL

Formler och tabeller till kursen MSG830

FACIT för Förberedelseuppgifter: SF1911 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 2016 KL Examinator: Timo Koski

0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2.

Tentamen i Tillämpad Matematik och statistik för IT-forensik. Del 2: Statistik 7.5 hp

Föreläsning 12, FMSF45 Hypotesprövning

9. Konfidensintervall vid normalfördelning

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl

Exempel. Kontinuerliga stokastiska variabler. Integraler i stället för summor. Integraler i stället för summor

Avd. Matematisk statistik

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka.

Föreläsning 15: Försöksplanering och repetition

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 21 januari 2006, kl

Föreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen

Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik TMA321 1

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 1

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

F1:A Ekonometri, introduktion

LÖSNINGAR TILL. Matematisk statistik, Tentamen: kl FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

Jörgen Säve-Söderbergh

Avd. Matematisk statistik

Föreläsning 12: Repetition

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p)

Avd. Matematisk statistik

Del I. Uppgift 1 Låt A och B vara två oberoende händelser. Det gäller att P (A) = 0.4 och att P (B) = 0.3. Bestäm P (B A ). Svar:...

Föreläsning 7: Punktskattningar

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Föreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)

Sannolikheter och kombinatorik

Bestäm med hjälp av en lämplig och välmotiverad approximation P (X > 50). (10 p)

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

(a) på hur många sätt kan man permutera ordet OSANNOLIK? (b) hur många unika 3-bokstavskombinationer kan man bilda av OSANNO-

Föreläsning 7. Statistikens grunder.

Avd. Matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Avd. Matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Kapitel 9 Egenskaper hos punktskattare

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning

Avd. Matematisk statistik

TAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2

Föreläsning 7: Punktskattningar

Föreläsning 12: Regression

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

f(x) = 2 x2, 1 < x < 2.

Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet

Tentamen den 11 april 2007 i Statistik och sannolikhetslära för BI2

Avd. Matematisk statistik

Föreläsning 12: Linjär regression

(a) Avgör om A och B är beroende händelser. (5 p) (b) Bestäm sannolikheten att A inträffat givet att någon av händelserna A och B inträffat.

Del I. Uppgift 1 Låt X och Y vara stokastiska variabler med följande simultana sannolikhetsfunktion: p X,Y ( 2, 1) = 1

Uppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden

Föreläsning 3. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi

TMS136. Föreläsning 5

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 4 oktober 2016

1. En kortlek består av 52 kort, med fyra färger och 13 valörer i varje färg.

Föreläsning 7: Punktskattningar

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Avd. Matematisk statistik

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

F9 Konfidensintervall

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen

Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

a) Beräkna sannolikheten att en följd avkodas fel, det vill säga en ursprungliga 1:a tolkas som en 0:a eller omvänt, i fallet N = 3.

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder

Föreläsning 5, Matematisk statistik Π + E

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30

Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar

SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH. PASSNING AV FÖRDELNING: χ 2 -METODER. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 14 maj 2018

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori

Transkript:

STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson, 5--9 Lösningförslag skriftlig hemtentamen i Fortsättningskurs i statistik, moment, Statistisk Teori, poäng. Deltentamen : Sannolikhetsteori och statistisk inferens, 5 poäng Måndagen den oktober 5.. Kontinuerlig slumpvariabel med given täthetsfunktion a) Viharatt fx) x förallax medlikhetommx.dessutom x x x fx)dx dx ) S x + Diagram: fx).5.5 - - b) Fördelningsfunktionencdf) beräknas PX x) x ft)dt x t dt t tx t x ) x+ vilket ger x x Fx) + <x< x

Diagram: Fx).75.5.5 - - c) Väntevärde beräknas enligt EX) x dx x4 8 x x 4 8 )4 8 8 8 Varians beräknas tex enligt E X ) x 4 dx x5 x x 5 )5 + 5 VarX)E X ) EX) 5 5. Sannolikheter för olycksfall för olika åldersgrupper givna a) Beteckna dels händelsen "olycka" med tex A, dels resp händelse "försäkringstagare i åldersklass i", tex med C i. Sannolikheten för att en slumpmässigt utvald försäkringstagare råkar ut för ett olycksfall beräknas lagen om total sannolikhet, additionssatsen för disjunkta händelser) PA) PA C )+PA C )+PA C )+PA C 4 ) PA C )PC )+PA C )PC ) +PA C )PC )+PA C 4 )PC 4 ).5.+..55+..+.4.5.8 b) Betingade sannolikheter enligt Bayes sats. PC A) PA C ) PA) PA C )PC ) PA).5..8.7857 PC A) PA C ) PA) PA C )PC ) PA)..55.8.986

. Simultana täthetsfunktion en för de kontinuerliga slumpvariablerna X och Y är given fx,y)x+y för x, y a) Marginalfördelningen för X ges av f x) x+y)dy ) xy+ y y y x+ ) +) x+ respektiveföry gesav f y) x+y)dx x+y)dy ) x x +xy x ) +y +) y+ Eftersom det typiskt gäller att såärx ochy beroende. x+y)dy x+ f x)f y) x+ y+ x +y +xy+ 4 x+yfx,y) b) DenbetingadefördelningenförY givetxxgesav hy x) fx,y) f x) x+y x+ EnformelfördetbetingadeväntevärdetförY,dvs EY Xx) x+ x+ yhy x)dy xy+y ) dy xy + y x+ x+ x+ 6x+ ) y y x+y x+ xy+y x+ dy [ x+ ) + )] x+ 4. Ienamerikanskopinionsundersökningframgickdetatty88avntillfrågade svarade"ja".

a) Ett 9% konfidensintervall för andelen"ja"-svar ges av y y/n) y/n) n ±z 88 88/) 88/) α/ n ±.645.7965 ±.5 avrudnat till KI.5468;.446) 8.% ±.5 b) Varje enskild person kan ses som ett Bernoulliförsök med sannolikhet p att svara "Ja"ochvidefinierarY somsummanavvarjeenkiltutfallx i ochskriver Xi Y n X n Enligt centrala gränsvärdessatsen går fördelningen för X mot en normalfördelning närn.dettaoavsettvaddetärförfördelningfördeenskildaobservationerna i detta fall råkar de vara Bernoullifördelade). Det som krävs är att väntevärde och variansfördennafördelningidettafallgällerattµ X pochσ Xp p)vilket ärändligataleftersom p. 5. AntagattX i Nµ,9)föri,,,4,d.v.s. ettiid stickprovavstorlekn4.utgå ifrån nollhypotesen H : µ 5 och mothypotesen H : µ < 5. En beslutsregel som användsäratth förkastasom x<.5. a) Signifikansnivån α för testet beräknas enligt α PförkastaH H ärsann) P X<.5 µ5 ) ) X 5 P <.5 5 PZ<.67) PZ<.67) 9/4 9/4 eller 4.75%. b) Vi observerar och Φ.67) [enl. tabell].475 x.+4.8+.6+6.8 4 4.5 p-value P X< x H ärsann ) P X<4.5 µ5 ) ) X 5 P < 4.5 5 PZ<.59) PZ<.59) 9/4 9/4 Φ.59) [enl. tabell].776 c) p)antagattdetsannavärdetförväntevärdetärµ.angesannolikhetenatt förkastah givetattµberäknasenligt β PförkastaH H ejsann,µ) P X<.5 µ ) ) X P <.5 PZ<.67) 9/4 9/4 Φ.67) [enl. tabell].955 4

Dettaäralltsåtestetsstyrka dådetsannavärdetpåµär. Observeraattbeslutsregelnärdensamma,viförkastarH om x<.5oavsett. 6. Mankastarentärning88gångerochlåterX betecknaantaletgångermanfårenetta ellerensexa. VidarefårY betecknaantaletgångermanintefårenettaellerensexa. a) Sannolikheten för "etta eller sexa" är /6+/6 / p. Sannolikheten för komplementhändelsen"varkenettaellersexa"blir // p.omkasten är oberoende så gäller att X Bin och det gäller alltså att b) VäntevärdeochvariansförX är ochviharatt 88, ) och Y Bin 88, ) Y 88 X X88 Y EX) np88 96 VarX) np p)88 64 E X ) VarX)+EX) 64+96 98 c) För att normalapproximation skall kunna användas krävs enligt en tumregel att Härharvi np p)>5eller np p)64 så det borde vara ok. För Poissonapproximering brukar mankräva att n är stort ochp<.vilketinteärfallethär. d) Sannolikheterna beräknas med normalapproximering enligt 79.5 96 PX8) P79.5 X 8.5) P X 96 8.5 96 ) 64 64 64 P.6 Z.94) Φ.6) Φ.94) [enligt tabell].98.978.65 och PX>8) PX 8) P X 96 8 96 ) 64 64 PZ.94) Φ.94) [enligt tabell].978 5

däralltsåz N,)ochΦz)PZ z). Kommentar: Exakta beräkningar med datorhjälp ger resp PX8) PX>8) 88 8 88 x8 ) 88 x ) 8 ) 88 8.666556 ) ) x ) 88 x.97495 7. AntagandenärattX Nµ X,σ X )ochy Nµ Y,σ Y )samttvåoberoendeiidstickprov avstorlekn6förx ochmföry samtföljandeobservationer x45.6, s x56.75, ȳ47.4, s y69. a) Hypotesprövning under antagande om lika varianser ger H :µ X µ Y mot H :µ X µ Y > och signifikansnivån α.. Testfunktion och dess fördelning är T X Ȳ S p n + m tn+m )t7) därs p ärenpooladvariansskattningsomberäknasenligt H förkastasommanobserverar Vi observerar och S p n )S x +m )S y n+m T obs t. 7) [enligttabell].47 S p 5 56.75+ 69. 7 T obs 45.6 47.4 6.99 + ) 6 6.99 5.57.47 och H förkastas; den observerade skillnaden mellan genomsnittliga vikter är signifikant skild från noll, hanfåglar väger i snitt mer än honfåglar. b) Hypotesprövning enligtunder samma antaganden som tidigare) H : σ X σ Y mot H : σ X σ Y ochsignifikansnivånα.5.testfunktionochdessfördelningunderh är F S x S y Fn,m )F5,) 6

H förkastasommanobserverar F obs F.5 5,) [enligttabell].96 eller om F obs F.5,5) [enligttabell].8 Obs! Det senare är ekvivalent med F obs F.5,5).8.45 Vi observerar F obs s x s y 56.75 69..96 dvs.45<f obs <.96 ochh kaninteförkastas;stickprovsvariansernaärintesignifikantskilda,vikaninte säga att antagandet om lika varianser inte håller. 8. PåsistasidanfinnerduenbilagamedenhärledningavML-estimatornförenparameter β för en given fördelning. Vi tänker oss ett iid stickprov som grund för skattningen. a) Pdfär dvsen β x exp x ) β Γ)β x exp x ) β Gamma,β) där β är en okänd parameter i Hogg&Tanis används θ isf β). Väntevärde och varians blir EX)β, VarX)β b) För kommentarer kring beräknnigarna se kurslitteratur och föreläsnings-oh. MLestimatorn för β är ˆβ ML X c) ML-estimatorns väntevärde och varians beräknas enligt ) ) X E ˆβML E E X ) EX) ββ dvs det är en väntevärdesriktig estimator) respektive ) VarˆβML Var ) X 9 Var X) VarX) β 9 n 9n β n vilketmansergårmotnollnärn,dvsdetärenkonsistentestimator) 7

Centrala gränsvärdessatsen CGS) kan användas för att approximera fördelningen för ML-estimatorn eftersom ˆβ ML X och X ΣX Normalfördeling när n n eller mer specifikt X distr N β, β ) n CGS säger ju att summan av iid slumpvariabler går mot en normalfördelning när antalet slumpvariabler går mot.) 8