Statistisk försöksplanering Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TentamensKod: Skriftlig tentamen 3 hp 51SF01 Textilingenjörsutbildningen Tentamensdatum: 2 November Tid: 09:00-13 Hjälpmedel: Miniräknare med tömda minnen Totalt antal poäng på tentamen: 50 För att få respektive betyg krävs: G = 25 poäng VG = 37.5 poäng Allmänna anvisningar: Nästkommande tentamenstillfälle: 31 januari 2017 Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller: Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in. Lycka till! Ansvarig lärare: Sara Lorén Telefonnummer: 033-435 4622, 076 1364871
Fråga 1: Förklara följande begrepp inom försöksplanering (7p) a) Faktor b) Nivå c) Peseudo-replikat d) Experimentenhet e) Samspel f) Respons g) Block Fråga 2: (4p) En faktor kan vara slumpmässig eller fix. a) Ge ett exempel när det är lämpligt att antaga att en faktor är slumpmässig. (1p) b) Skriv upp en modell för ett försök med en slumpmässig faktor. Ange också vad som är stokastiskt i modellen. (2p) c) Skriv upp en modell för ett försök med en fix faktor. Ange också vad som är stokastiskt i modellen. (1p) Fråga 3 (4p) a) Vad är skillnaden mellan ett reducerat faktorförsök och ett fullständigt faktorförsök? (2p) b) När kan det vara lämpligt att använda reducerade faktorförsök? (1p) c) Inom reducerade faktorförsök förekommer begreppet alias (sammanblandning). Vad menar man med det? (1p) Fråga 4 (4p) a) Förklara skillnaden mellan ett konfidensintervall och ett prediktionsintervall. Gör detta i ord och inte i formler. (2p) b) Förklara i ord vad determinationskoefficienten R 2 mäter. Nämn också en nackdel med R 2. (2p)
Fråga 5: (13 p) För att studera hur livslängden påverkades av trycket och temperaturen gjordes ett randomiserat faktorförsök med två replikat. Där man testade 4 olika tryck (40,50,60 och70) och 2 olika temperaturer (100 och 150). Resultatet finns i tabell 1. Du kan antaga att livslängden är normalfördelad. Summan av alla observationerna är 43.9 ( dvs 43.9. Summan av kvadraten på alla observationer är 120.85. (dvs 120.85 ). Tabell 1: Data till fråga 5 Tryck Temperatur 40 50 60 70 Summa 100 2.7 2.5 2.6 2.7 21.3 2.8 2.4 2.7 2.9 150 2.8 2.7 2.9 2.9 22.6 2.9 2.6 3.0 2.8 Summa 11.2 10.2 11.2 11.3 a) Rita en samspelsgraf som illustrerar ett eventuellt samspel mellan temperatur och tryck. Tolka även figuren.(3p) b) Gör en ANOVA och testa för signifikanta faktorer använd signifikansnivån =0.05. Presentera en ANOVA tabell och ange vilka faktorer och samspel som är signifikanta. (6p). c) Gör två parvisa tester på om det är någon skillnad i livslängd mellan olika tryck använd signifikansnivån =0.05. Jämför om det är skillnad i livslängd när man använder tryck 40 mot tryck 50. Jämför även om det är skillnad i livslängd när man använder tryck 60 mot tryck 70. (4p) Fråga 6: (4 p) Antag att vi vill bestämma den genomsnittliga längden på en produkt i en tillverkningsprocess. Vi tänker att göra mätningarna på ett antal slumpmässigt utvalda produkter i produktionen. Från tidigare mätningar vet man att standardavvikelsen mellan produkterna brukar vara cirka = 5. Vi vill ha ett stickprov som är så stort att ett 95% konfidensintervall för högst har längden ± 1.2. Du kan anta att vikten är normalfördelad. Hur stort stickprov behövs?
Fråga 7: (7 p) Man genomför ett experiment för att studera ögats fokustid. Det man studerade var hur fokustiden påverkades av avståndet mellan objektet och ögat. Fyra olika avstånd studerades. Till förfogande fanns 5 personer att tillgå. Försöket genomfördes som ett randomiserat blockförsök. Resultatet av försöket finns i tabell 2. Delar av ANOVA tabellen för försöket finns i tabell 3. Tabell 2: Data till fråga 7 Avstånd 1 2 3 4 5 Summa 4 10 6 6 6 6 34 6 7 6 6 1 6 26 8 5 3 3 2 5 18 10 6 4 4 2 3 19 Summa 28 19 19 11 20 Tabell 3: Delar av en ANOVA för data i tabell 2. Variationskälla SS fg Avstånd 32.95 3 Block Error Total 84.55 19 a) Är avståndet en signifikant faktor på signifikansnivån 0.01? Du kan anta att det inte finns något samspel mellan block och avstånd. Besvara med hjälp av ANOVA. (3p) b) Försöket gjordes som ett blockförsök. Vad är motiveringen till det? (2p) c) Antag istället att man ser de olika personerna som replikat. Besvara följande fråga med hjälp av ANOVA. Är avståndet en signifikant faktor på signifikansnivån 0.01? (2p)
Fråga 8: (7 p) För att kunna dra slutsatser från en variansanalys krävs vissa förutsättningar för att analysen ska gälla. a) Nämn tre stycken.(2p) b) Beskriv hur man kan kontrollera dessa förutsättningar. (1p) c) Beskriv vad man kan gör om förutsättningarna ej är uppfyllda (en för varje förutsättning i a). (2p) d) Figur 1-2 visar residualer mot predikterat värde. Beskriva vilka slutsatser man göra om förutsättningarna i variansanalysen från figurerna. Vilken är skillnaden mellan figur 1 och 2? (1p) e) Figur 3 visar en normalfördelningsplot av residualerna. Vilken slutsats kan man göra? (1p) Figur 1 : Residualerna mot predikterat värde. Figur 2: Residualerna mot predikterat värde. Figur 3: Normalfördelningsplot
Formelsamling för Statistisk försöksplanering Kontinuerliga Fördelningar Normal, Exponential, 0 Diskreta Fördelningar Binomial 1, 0,1,, 1 Poission, 0,1,.! Stickprovsvarians 1 1 Sammanvägd (Poolad) stickprovsvarians 1 1 2 Konfidensintervall X stokastisk variabel med okänt väntevärde μ och känd varians σ 2. Ett 100(1-α)% tvåsidigt konfidensintervall för μ / / X normalfördelad stokastisk variabel med okänt väntevärde μ och okänd varians σ 2. Ett 100(1-α)% tvåsidigt konfidensintervall för μ,, X normalfördelad stokastisk variabel med okänt väntevärde μ och okänd varians σ 2. Ett 100(1-α)% tvåsidigt konfidensintervall för σ 2 1 1,, Hypotestest X stokastisk variabel med okänt väntevärde μ och känd varians σ 2 Test statistika för test av väntevärde X normalfördelad stokastisk variabel med okänt väntevärde μ och okänd varians σ 2. Test statistika för test av väntevärde X normalfördelad stokastisk variabel med okänt väntevärde μ och okänd varians σ 2. Test statistika för test av varians Test av hypoteser på μ 1 -μ 2 variansen känd, normalfördelade populationer Test av hypoteser på μ 1 -μ 2 i normalfördelningen variansen okänd Test av lika varians för två oberoende normal fördelningar :, : Förkastnings kriterium,,
Linjära kontraster där 0 Variansskattningen är Envägs ANOVA (balanserad) Variationskälla SS Df MS F 0 Faktor SS Faktor a-1 MS Faktor Error SSError a(n-1) MS Error Total SS Total an-1... Envägs ANOVA med block (balanserad) Variationskälla SS Df MS F 0.. Faktor SS Faktor a-1 MS Faktor Block SS B b-1 MS Block Error SS Error (a-1)(b-1) MS Error Total SS Total ab-1........ Tvåvägs ANOVA (balanserad) Variationskälla SS Df MS F 0 A SS A a-1 1 B SS B b-1 1 Samspel SS AB (a-1)(b-1) 1 1 Error SS E ab(n-1) 1 Total SS T abn-1.....
Tvåvägs ANOVA med block (balanserad) Variationskälla SS Df MS F 0 Block SS Block b-1 A SS A a-1 C SS C c-1 AC SS AC (a-1)(c-1) Error SS E (ac-1)(b-1) Total SS T abc-1....... En slumpmässig faktor 1,,, 1,,2, ~ 0, ~ 0, antar att och är oberoende av varandra.. Det gäller att.. och att.. och Enkel linjär regression Modell Skattningar och På matrisform Konfidensintervall för 0 1 1 2,2 2 1 Prognosintervall för :, 1 2 1 2