Modul: Sannolikhet och statistik Del 3. Sannolikhet kopplingen mellan teoretisk modell och data Experimentera i sannolikhet från teoretisk sannolikhet till data Per Nilsson, Örebro universitet Sannolikhet använder vi för att hantera situationer som inte kan förutsägas med säkerhet, dvs. de innehåller slump. För att få en känsla och förståelse för begreppet slump måste elever ges möjlighet att konkret få uppleva händelser som är slumpmässiga. Utifrån konkreta upplevelser av slump ska undervisningen i matematik utmana elever att inse hur det går att använda begreppet sannolikhet som modell för att bestämma med vilken säkerhet en slumphändelse kommer att ske. Elever ska få erfarenhet av att en händelse som beror av slump är oförutsägbar i det korta loppet, men förutsägbar i det långa loppet. Dessa utgångspunkter motiverar att undervisningen i sannolikhet ska vara experimentbaserad på så sätt att eleverna ges möjlighet att få uppleva verklig slump och undersöka hur vi kan använda sannolikhet som modell för att förstå hur slump beter sig och hur vi kan förutsäga resultaten av slumphändelser. Samband mellan teoretisk och experimentell modell av sannolikhet Att kunna förstå sambandet mellan teoretiska och experimentella modeller av sannolikhet är centralt för lärande i sannolikhet och en undervisning i sannolikhet där elever får experimentera med slump kan erbjuda särskilda möjligheter för elever att reflektera över detta samband. Vi kan tala om sambandet utifrån två riktningar; från teoretisk till experimentell sannolikhet eller från experimentell till teoretisk sannolikhet. Vilken riktning som blir mest framträdande i undervisning beror mycket på om den teoretiska sannolikheten är känd eller inte. I de fall där den teoretiska modellen av ett slumpexperiment är känd, t.ex. vid kast med en vanlig tärning, studeras hur den teoretiska modellen avbildas i data, dvs. i frekvenstabeller och diagram. I de fall då den teoretiska sannolikheten är dold eller omöjlig att avgöra utmanas elever att utifrån frekvensinformation dra slutledningar om den teoretiska sannolikheten, t.ex. om hur det dolda utfallsrummet ser ut. När elever experimenterar med slump sker ofta växlingar mellan dessa båda riktningar. Det har dock visat sig nödvändigt att lärare är medvetna om vilka utgångspunkterna är och vilken riktning som är i fokus i olika faser i undervisningen. I modulens del 3 och 4 ska ni arbeta med en PET-flaska som innehåller ett visst antal flörtkulor av olika färger Här ska vi fortsätta med att diskutera didaktiska frågor då undervisningen tar sin utgångspunkt i teoretisk sannolikhet och hur den avbildas i data. I del 4 kommer vi sedan att diskutera det omvända fallet, då undervisningen inleds med experiment och experimentell sannolikhet för att dra slutsatser om den teoretiska sannolikheten då utfallsrummet är dolt. http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (9)
Tre begreppsliga teman i teoretisk modellering av sannolikhet Det övergripande innehållsdidaktiska perspektivet i denna del är sambandet mellan teoretiska och experimentella modeller av sannolikhet medan det didaktiska perspektivet i denna del också till stor del riktas mot matematiken i sig. Detta motiveras av att man som lärare behöver ha goda kunskaper i det innehåll som ska undervisas för att kunna organisera sin matematikundervisning, ta vara på elevers inspel i klassrummet och bedöma vad elever lärt sig genom undervisningen. Vi kommer därför att här gå närmare in på hur vi kan strukturera ett innehåll, använda den strukturen som ett didaktiskt verktyg för att sedan organisera och bedöma en lärande aktivitet i sannolikhet. Innehållet knyter också an till och berikar bilden av den matris ni arbetat med i del 2. Tidigare diskuterade vi hur sambandet mellan teoretisk och experimentell sannolikhet kan struktureras utefter två riktningar. Detta ser vi som en övergripande didaktisk struktur av sannolikhet. Nu går vi närmare in på den ena riktningen genom att diskutera vad det innebär att förstå teoretisk sannolikhet och hur den avbilas i data i experiment. Förståelsen för detta innehåll kan struktureras i tre begreppsliga teman. Undervisning ska ge elever förutsättningar att a) utveckla förståelse för utfallsrummets betydelse, b) lära sig att identifiera och systematiskt få fram alla möjliga utfall och c) få förståelse för hur teoretisk sannolikhet avbildas i data. A) Utfallsrummets betydelse för slumphändelsers sannolikhet En teoretisk sannolikhetsmodell kan byggas upp på olika sätt, utifrån olika antaganden om slumpförsökets egenskaper. Centralt är dock att modellen formas utifrån objekts fysikaliska och geometriska egenskaper och hur många fall som är gynnsamma för en viss händelse. Begreppet utfallsrum är fundamentalt för att modellera slumpförsök. Med begreppet kan vi beskriva hur slumpförsök beter sig och det ger en bas för att mäta sannolikheten för olika utfall i ett slumförsök. Även om begreppet utfallsrum kan framstå som ett relativt rättframt och tydligt sätt att tänka om hur olika utfall från ett slumpförsök beter sig har det visat sig att elever många gånger har svårt att ta det till sig och följa med i utfallsrumsbaserade resonemang om slump. Som utgångspunkt gäller det förstås att göra klart vilka utfall som är möjliga och vilka som är omöjliga. Fischbein med kollegor har frågat elever i olika åldersgrupper om omöjlig, möjlig och säker händelse genom att ställa frågor utifrån en vanlig tärnings olika utfall. De händelser som studerades var: (a) ett udda tal; (b) ett tal mindre än 7: (c) ett tal större än 6; (d) ett tal större än 0; (e) talet 5. Av de 102 eleverna som gick i klass 4 och 5 låg andelen riktiga svar på fråga a, c, d och e alla över 81%. Den fråga som var svårast, lägst andel riktiga svar, var fråga b. På frågan om eleverna tyckte händelsen att med en vanlig tärning få ett tal http://matematiklyftet.skolverket.se 2 (9)
mindre än sju med en vanlig tärning var omöjlig, möjlig eller säker var det endast 62.7% som svarade att det var en säker händelse dvs. sannolikheten lika med 1. I uppföljande intervjuer visar det sig att elever har svårt att skilja mellan möjlig och säker händelse. Annorlunda uttryck, att få ett tal mindre än 7 är möjligt, det finns många möjligheter att få det. Det var lättare för eleverna att tänka sig händelsen att få ett tal större än 0 som säker. Detta tolkas i studien som att tal större än noll bildar inte bara en mängd av möjligheter utan ses som en form av helhet. Fischbein och hans kollegor ställde också frågor om omöjlig, möjlig och säker händelse i relation till ett lyckohjul som bestod av nummer från 1 till 90. Här visar det sig att på frågan om händelsen att få 31 (exakt ett nummer) är omöjlig, möjlig eller säker, så svarar flera elever att den är omöjlig. I uppföljande intervjuer visar det sig att flera elever uppfattar ovanliga händelser, händelser med låg sannolikhet, som omöjliga. På motsvarande sätt har studier visat att vissa elever anser en händelse vara (helt) säker, bara det finns tillräckligt stöd för händelsen, dvs. är bara sannolikhet tillräckligt hög så anser vissa elever att händelsen kommer att ske. Innan vi går vidare vill vi påminna om de texter som låg till grund för del 2, om att diagnostisera och kartlägga elevers förkunskaper på området. Här pekade vi på flera aspekter som gör att vi som människor ofta finner det svårt att på ett helt rationellt sätt bedöma sannolikheter grundade i utfallsrumsbaserade modeller. Om man som elev inte inser betydelsen av utfallsrummet, eller om man väger in andra faktorer som mer betydelsefulla, spelar det ingen roll om man lär sig tekniker för att få fram alla möjliga utfall i ett utfallsrum. När likformighetsuppfattningen tillämpas betraktas alla utfall i ett utfallsrum som lika sannolika. Elever kan mycket väl se att det finns företräden för ett visst utfall men ändå anse att detta inte spelar någon roll; allt är ändå bara fråga om slump! En elev som tillämpar likformighetsuppfattningen skulle t.ex. på frågan om sannolikheten att ett häftstift landar med nålen uppåt eller nedåt svara att det är lika stor chans, allt är bara en fråga om slump. Som lärare kan man fundera på hur man kan utmana en sådan uppfattning. Likformighetsuppfattningen innebär att det är något magiskt med slump och att slump inte går att reglera eller tillskriva några företräden. Som lite av en motsats till ett sådant resonemang kan sägas vara de elever som tror sig kunna kontrollera slump och lägger in alltför mycket subjektiva bedömningar för att förklara och förutsäga slumpmässiga resultat. Vi kan nog alla känna igen oss i situationen då vi spottar på tärningen eller försöker kasta den på ett speciellt sätt för att få den att landa på den siffra vi vill. En alltför stark tilltro till att, fysikaliskt, kunna kontrollera resultatet av slumpförsök hindrar ofta elever från att reflektera över utfallsrummets sammansättning och betydelse. Den här typen av vidskepelser bär de flesta på och du som lärare bör vara medveten om dem du eventuellt själv bär på och hur dessa kan tänkas inverka på hur du undervisar om slump och sannolikhet. http://matematiklyftet.skolverket.se 3 (9)
B) Att identifiera alla möjliga utfall En förutsättning för att elever ska kunna forma en sannolikhetsmodell baserad på utfallsrummet är att de lär sig identifiera alla möjliga utfall för ett slumpförsök. Som vi har sett av föregående stycke kan detta visa sig besvärligt för elever även när det gäller enkla, enstegshändelser som t.ex. kast med en tärning. I det här stycket kommer vi framförallt att gå närmare in på slumpförsök som är sammansatta. Sammansatta slumphändelser kan också benämnas flerstegsförsök. Kast med två tärningar är ett exempel på en slumphändelse i två steg. Att identifiera alla möjliga utfall i ett flerstegsförsök handlar om att utveckla en kombinatorisk förmåga. Som hjälp med att strukturera kombinatoriska situationer har det visat sig betydelsefullt att använda särskilda matematiska modeller för att åskådliggöra situationerna. Ibland benämns dessa som olika uttrycksformer eller representationsformer. I Del 5 kommer vi fördjupa diskussionen om att åskådliggöra matematiska strukturer och variera mellan olika uttrycksformer. Tabeller och diagram utgör två huvudgrupper av matematiska uttrycksformer för att systematisera och åskådliggöra en kombinatorisk situation. Tittar vi t.ex. på situationen att vi kastar två vanliga tärningar kan vi lista alla 36 möjliga utfall i en tabell. Här finns förstås risk att vi tappar bort någon möjlighet om vi inte är tillräckligt noggranna. Ett annat sätt att åskådliggöra alla 36 möjligheter som nog ger en mer överskådlig bild av situationen är att strukturera sambandet mellan tärningarna enligt diagrammet i Figur 1. 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) Tärning 1 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 1 2 3 4 5 6 Tärning 2 Figur 1. Tvådimensionellt diagram över antalet möjliga utfall vid kast med två tärningar. Något som framträder med viss tydlighet i diagrammet är den princip som kallas för ordningens betydelse och som brukar ställa till problem för många. Tittar vi i diagrammet ser vi t.ex. att summan tre går att få på två olika sätt, etta på ena tärningen och tvåa på andra tärningen och tvärtom. Att inse ordningens betydelse i flerstegsförsök är erkänt svårt för http://matematiklyftet.skolverket.se 4 (9)
många elever (och vuxna) och är något du som lärare bör vara extra uppmärksam på när du undervisar om sådana försök. På frågan om sannolikheten mellan att få utfallet två klave eller utfallet en klave och en krona vid kast med två mynt svarar många att chansen är densamma. Men, om du provar att rita ett liknande diagram med mynten som för de två tärningarna ser du att du kan få krona och en klave på två sätt men två klave bara på ett sätt, dvs. P(en av varje)=0.5 och P(två klave)=0.25 (Här är P förkortning av det engelska ordet för sannolikhet; probability). En viktig egenskap med uttrycksformer som syftar till att strukturera kombinatoriska situationer är att användningen av uttrycksformerna ska vara generell, dvs. de ska kunna användas till att hantera nya, liknande situationer och problem. Även om diagrammet i Figur 1 ger en överskådlig bild av ett utfallsrum är strukturen begränsad till endast tvåstegsförsök. Vill man identifiera alla möjliga utfall i fler steg än två räcker inte diagrammet till. Träddiagram är ett klassiskt och centralt exempel på en matematisk uttrycksform med generella egenskaper. Tänk dig in i situationen att du ska använda elevernas garderob för att få dem att reflektera över sannolikhet och kombinatorik. Börja med att du har två stycken lådor med kläder. I den ena lådan ligger det två byxor, ett par jeans och ett par chinos. I den andra lådan ligger det tre tröjor, en gul, en blå och en svart tröja. En morgon var du så trött att du inte ens tittade ner i lådorna utan tog bara ett par byxor och en tröja på måfå. Nu är frågan, vad är sannolikheten att du tog fram ett par chinos och en svart tröja? I vår modell antar vi att det är lika stor chans för båda byxorna och för alla tre tröjorna. Ett sätt att forma en modell över slumpmässigheten av situationen är att tänka oss två lyckohjul. På det ena hjulet finns det två lika stora fält, det ena fältet representerar jeans (J) och det andra fältet chinos (C). På motsvarande sätt formar vi ett andra lyckohjul med tre lika stora fält: ett för gul (G), ett för blå (B) och ett för svart (S) tröja (Figur 2). Vi kan illustrera alla möjliga kombinationer med följande figur och träddiagram: J C J C G B S G B S Figur 2. Illustration av möjliga kombinationer. Vi kan läsa träddiagrammet som att vi till varje par byxor kan kombinera tre olika tröjfärger. Varje vägskäl illustrerar därför multiplikation. Vi får alltså 2 3=6 olika möjligheter att klä på http://matematiklyftet.skolverket.se 5 (9)
oss. Sannolikheten att du tar fram ett par chinos i kombination med en svart tröja blir därmed 1/6. Mer formellt skriver vi detta som P(chinos och svart tröja)=1/6. Säg nu att det finns en tredje låda i byrån och i den finns det två par strumpor, ett par randiga (R) och ett par prickiga (P). Vad blir då chansen att vi plockar fram kombinationen chinos, svart tröja och prickiga strumpor? För att besvara detta måste vi först ta reda på hur många kombinationer vi totalt kan få. För att ta reda på detta bygger vi helt enkelt vidare på modellen i Figur 2 genom att lägga till en tvågren på varje tröjfärg (Figur 3). J C G B S G B S R P R P R P R P R P R P Figur 3. Att vi kan upprepa och bygga vidare på samma struktur för att lösa nya liknande uppgifter med hjälp av ett träddiagram visar på träddiagrammets iterativa egenskap. Genom Figur 3 får vi fram att det finns 2 3 2=12 olika sätt att kombinera två par byxor, tre tröjor och två par strumpor. I urn-liknande situationer, som klädsituationen är exempel på, skiljer man mellan situationer med återläggning och situationer utan återläggning. Med återläggning ändras inte förutsättningar för efterföljande steg, för efterföljande dragningar ur en urna. I fallet utan återläggning så återställer man inte förutsättningarna efter en observation. Att bilda hundratal med siffrorna 1, 2 och 3 får illustrera de båda situationerna. Om vi börjar med återläggning så har vi tillgång till alla tre siffrorna i varje steg, i varje observation. Figur 4 visar alla 27 möjliga kombinationer. Säg att vi har en maskin som slumpmässigt bildar alla hundratal med återläggning. Då blir P(123)= 1/27. 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Figur 4. http://matematiklyftet.skolverket.se 6 (9)
1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 Figur 5. Figur 5 illustrerar fallet utan återläggning. Totala antalet kombinationer blir nu bara sex. Om en maskin slumpmässigt kombinerar ihop tal blir här P(123)= 1/6, vilket är betydligt högre än i fallet med återläggning. Figur 2, Figur 3 och Figur 4 illustrerar kombinatoriken där problemsituationer följer principen för återläggning, medan Figur 5 illustrerar en problemsituation utan återläggning. Även om själva konstruktionen av diagrammen skiljer sig åt bygger de på en gemensam princip för hur man kan visualisera kombinatoriska situationer med träddiagram. Att vi kan utveckla och använda träddiagram även till situationer som är principiellt olika visar att träddiagrammet är en modell med konstruktiva egenskaper. C) Avbildning av teoretisk sannolikhet i data 2 1 Att kunna identifiera alla möjliga utfall är viktigt för att teoretiskt modellera sannolikheten för ett slumpförsöks olika utfall. Men att lära tekniker för att komma åt alla möjliga utfall har inget värde om eleverna inte utmanas att inse att utfallsrummet ligger till grund för händelsers sannolikheter och hur sannolikheterna avbildas i data. Fundera på frågan: Vad är sannolikheten att få ett udda tal när vi kastar en vanlig tärning? Har vi inga andra misstankar är det naturligt att anta att tärningen är perfekt symmetrisk och att alla sidor på tärningen är lika sannolika. I vår modell lägger vi också till att antalet gynnsamma fall för en händelse har betydelse för hur stor sannolikhet en händelse har. Men det räcker inte att bara att titta på hur många sätt vi kan få ett visst resultat på. För att få fram ett numeriskt värde på sannolikheten behöver vi också inkludera division (del av antal) i vår matematiska modell. Tittar vi på den perfekt symmetriska tärningen, numrerad som vanligt från 1 till 6, kan vi sedan beräkna matematiska resultat. Vi har tre udda tal av totalt 6 tal och vi får P(udda)=3/6=1/2. Nu vill vi analysera hur detta stämmer med en verklig, konkret situation. Vi vill ta reda på hur modellen avbildar sig i data! Frågor vi då ska försöka få eleverna att ställa sig är hur många gånger vi behöver kasta för att få en rättvis bild av hur modellen avbildar sig i data. Vad säger det om vår teoretiska modell om vi kastar tärningen två gånger och inte får något udda tal? Är detta skäl nog att ifrågasätta vår modell? Är t.ex. antagandet om att tärningen är perfekt symmetrisk totalt fel? Här blir det viktigt att läraren skapar reflektioner om sambandet mellan den teoretiska modellen och data (observationer) och betydelsen av stickprovets storlek för sambandet. http://matematiklyftet.skolverket.se 7 (9)
Vanligt är att elever övergår till att prioritera frekvensdata framför en teoretisk modell. Elever kan ha utvecklat en sund, teoretisk modell, där de identifierat och byggt sin modell på alla möjliga utfall. Men, när data från ett experiment skiljer sig från vad de förväntat sig, vänder sig ofta eleverna till observationsresultaten när de ombeds göra nya förutsägelser. Tankestrategin representativitet är ett exempel på detta (se del 2). Viktigt för att kunna inse och förstå sambandet mellan teoretisk sannolikhet (utfallsrummets sammansättning) och experimentell sannolikhet (hur data fördelar sig) är att förstå betydelsen av ett stickprovs storlek. Genom undervisning ska eleverna utveckla förståelse för att slumpfenomen är oförutsägbara i korta serier men förutsägbara i långa serier. Bara för att vår teoretiska modell säger att det är lika stor chans att få krona som klave vid varje kast med ett givet mynt innebär inte detta att vi måste få, eller ens komma i närheten av, fem klave vid tio kast. Kastar vi tusen kast kan vi inte säga att vi får exakt hälften (50%) klave, men vi kan säga att sannolikheten har ökat för att komma närmare 50% än i fallet med 10 kast. Intuitivt kan vi uttrycka det som att de relativa frekvenserna stabiliserar mot den teoretiska sannolikheten ju fler observationer vi gör. Detta är grunden för de stora talens lag som beskrevs i texten om sannolikhetens och statistikens historia. En god förståelse för betydelsen av stickprovets storlek kommer vi i kommande delar också se är en av grundpelarna i att förstå statistik. Skapa förståelse för skillnaden mellan absoluta och relativa frekvenser Det har visat sig värdefullt att lärare utformar en undervisning som låter elever experimentera med slump. På så vis utmanas eleverna att naturligt göra kopplingar mellan upprepade försök av ett experiment och de resultat de hade förväntat sig baserat på kunskap om utfallsrummet. I sådana sammanhang har det dock visat sig betydelsefullt att läraren utmanar sina elever att lägga märke till skillnaden mellan absoluta och relativa frekvenser. Med absoluta frekvenser menas det antal observationer som erhölls av de olika utfallen. Med relativa frekvenser menas hur stor andel av varje utfall som erhölls. Det går att jämföra slumphändelser utifrån absoluta frekvenser. Man ser om ett resultat förekommer betydligt oftare än andra och kan därmed dra slutsatsen att det utfallet är sannolikare. Men det går inte att sätta ett numeriskt värde på sannolikheter enbart utifrån absoluta frekvenser. Då måste vi istället beräkna de relativa frekvenserna genom att titta på hur stor andel av ett utfall vi erhöll av alla observationer vi gjorde. Om vi bara tittar på absoluta frekvenser skulle vi kunna tro att korta serier stämmer bättre än långa serier i jämförelse med utfallsrummets sammansättning. Säg t.ex. att vi kastar samma mynt som tidigare tio gånger och får 3 klave och 7 krona. Skillnaden i absoluta frekvenser blir fyra. Vi fortsätter och kastar 1000 kast och får 600 krona och 400 klave, dvs. en skillnad på 200. Skillnaden i absoluta frekvenser ökar från 4 till 200. Men, skillnaden i relativa frekvenser minskar från 4/10 till 200/1000 (från 0,4 till 0,2). Så, för att jämföra och bestämma hur väl proportionerna av möjliga utfall i ett utfallsrum avbildas i data måste du som lärare inte bara få elever att inse betydelsen av stickprovets storlek, du måste också få dem att reflektera över skillnaden mellan absolut och relativ frekvens, att det är de relativa frekvenserna som närmar sig och stabiliserar sig mot det teoretiska värdet på sannolikhet http://matematiklyftet.skolverket.se 8 (9)
när antalet observationer ökar. Förståelse för relativ frekvens inbegriper förståelse för bråk och procent, vilket gör sannolikhet till ett lämpligt område att arbeta med för att utveckla förståelse för bråk. Arbeta med variation Som didaktisk strategi för att utmana och utveckla elevers förståelse för relationen mellan teoretisk och experimentell sannolikhet vill vi lyfta fram vikten av att du som lärare låter elever utföra och diskutera experiment som på olika sätt innehåller variation. Ett sätt kan vara att hålla utfallsrummet intakt och variera storleken på stickprovet. Ett annat kan vara att ändra utfallsrummet (se t.ex. fördjupningstexten i del 2 om hur tärningarna varierade mellan de fyra spelomgångarna i Summaspelet). Om eleverna är mottagliga för det kan sedan ett tredje sätt vara att arbeta med variation i utfallsrum samtidigt som stickprovsstorleken varieras. Referenser Fischbein, E., Nello, M. S. & Marino, M. S. (1991). Factors affecting probabilistic judgements in children and adolescents. Educational Studies in Mathematics, 22(6), 523-549. http://matematiklyftet.skolverket.se 9 (9)