STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM KH/CW/SS Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, /5 01, 9-14 Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer motiveras Resonemang, ekvationslösningar och uträkningar får inte vara så knapphändiga att de blir svåra att följa För varje problem skall tydligt framgå vilket svar som ges När så är möjligt skall svaret bestå av si ror med rätt enheter Antalet värdesi ror skall stå i rimlig proportion till i texten angivna värdesi ror Avdrag görs om lösningar eller svar inte utformas i enlighet med ovanstående För godkända betyg krävs minst 5 poäng på del A, samt ett sammanlagt antal poäng som är olika för olika betyg För betyg E krävs minst 15 poäng sammanlagt Hjälpmedel : UTDELAD RÄKNEDOSA, PHYSICS HANDBOOK, BIFOGAD FORMELSAMLING MED TABELLER, BANAN Del A: Begrepp och grundläggande förståelse 1 Sture brukar sälja mobiltelefoner utanför Konsum vid Slussen Han får 00 kr i provision för varje telefon han säljer Nu får han ett erbjudande om att stå där mellan 14 och 16 på torsdagseftermiddagen Han brukar i genomsnitt få in ungefär 500 kr på ett sådant pass Nu har han ont om pengar och skulle behöva 1000 kr till en akut utgift Uppskatta sannolikheten för att han skulle få ihop sina 1000 kr om han accepterar erbjudandet om jobb Antag att antalet sålda telefoner är poissonfördelat (p) Figuren visar funktionen f(x) En mätning ger värdet x m =0,7 med ett relativt fel på 10% Bestäm r = f(x m ) med fel! (p)
3 Sture brukar jobba på ett café i Stockholms finanskvarter Han tycker sig ha lagt märke till att försäljningen av bakelser på eftermiddagen visar ett samband med börsutvecklingen följande dag Han ser en möjlighet till förtjänst, men vill först på statistisk väg undersöka om det finns ett samband, så han samlar in följande data: Antal sålda bakelser Börsförändring i procent 17 +1, 8 0,84 0 1,38 3 3, 16 +0,7 9 +0,71 5 1,91 16 +1,30 Undersök med lämplig statistisk metod om dessa data är förenliga med slumpmässiga variationer eller tyder på ett samband (p) 4 Man gör två ekvivalenta mätningar av samma storhet Felen är normalfördelade med standardavvikelsen 0 Hur sannolikt är det att medelvärdet av de två mätningarna avviker med mindre än 0 från det sanna värdet (p) 5 Du har utarbetat en teori för brythållfastheten hos olika konstruktionsdetaljer som utsätts för kraftverkan För att testa teorin utsätter du sådana föremål för krafter och registrerar den kraft som ger ett brott Genom att mäta flera gånger på identiska föremål tar du fram medelvärde och standardavvikelse för brottkraften Du gör detta för tio olika typer av föremål Sedan beräknar du en chikvadratsumma baserad på din teori och de tio medelvärdena Vad drar du för slutsats om du får a: =1,7? b: =8,4? c: = 15,3? d: = 34,1?
Del B: Fördjupande uppgifter 6 En skruvfabrikant har levererat skruvar till datortillverkaren BananaComp Skruvarna används allihop för att tillverka 6000 datorer Sedan meddelar skruvfabrikenten att man under en tid haft ett fel på en av sina maskiner, vilket lett till att levereransen innehållit 1000 försvagade skruvar Dessa skruvar har varit blandade med andra på ett helt slumpmässigt sätt BananaComp har använt 5 skruvar av den aktuella typen i var och en av sina datorer, och av dessa 5 skruvar håller sex hårddisken på plats Man anser att en dator måste betraktas som defekt om den innehåller två eller fler försvagade skruvar, eller om åtminstone en av hårddiskens skruvar är försvagad Du har just köpt en av dessa nya datorer från BananaComp! Hur stor är sannolikheten att den är defekt? (5p) 7 För att bestämma tyngaccelerationen g kan man använda en Atwoodsk fallmaskin, som är konstruerad för att minska accelerationen i fallet så att tiden blir lättare att mäta Figuren nedan visar en sådan maskin Två vikter, m och M>mär förbundna med ett tunt snöre som löper över en lätt trissa med försumbar friktion Den accelererande kraften blir (M m)g och den totala massan blir M + m, så Newtons kraftlag ger (M m)g =(M + m)a där a är accelerationen Tiden det tar för M att falla sträckan s fås ur sambandet s = at Detta ger En sådan mätning ger resultatet s =(1,300 ± 0,00)m M = (815 ± 4)g m = (787 ± 4)g t =(4,1 ± 0,1)s g = M + m M m a = M + m M m s t Bestäm ett värde på g med fel utifrån ovanstående mätvärden! (Det är tillåtet, men inte nödvändigt, att förenkla räkningarna med lämpliga approximationer) (5p)
8 Tre stokastiska variabler x, y och har medelvärden µ x, µ y och µ, och standardavvikelserna x, y och Bestäm medelvärden och variansmatris för de två variablerna a = x + b = y (5p) 9 Vid radioaktivt sönderfall minskar aktiviteten proportionellt mot e t där är sönderfallskonstanten Halveringstiden ges av T 1/ = ln För att bestämma halveringstiden för ett radioaktivt ämne placerar man ett prov i en behållare där det finns ett GM-rör Bakgrunden har bestämts mycket noga till 0,8 pulser per sekund Man räknar antalet pulser från GM-röret under tio minuter och får följande resultat: intervall (minuter) antal pulser 0 1 107 1 86 3 58 3 4 41 4 5 6 5 6 34 6 7 3 7 8 1 8 9 17 9 10 15 Bestäm halveringstiden med fel! (5p)
Uppgift 1, lösning: Inkomsten blir I = 00, där är antalet sålda telefoner Medelvärdet av I är 500, vilket betyder att medelvärdet av är µ =,5 För att han ska få ihop 1000 kr måste Sture sälja fem telefoner eller fler, dvs det krävs att > 4 Eftersom är poissonfördelat kan vi beräkna denna sannolikhet som P ( > 4) = 1 (P (0) + P (1) + P () + P (3) + P (4)) där P (0) = e µ =0,08, P (1) = µp (0) = 0,05, P () = µ P (1) = 0,57, P (3) = µ 3 P () = 0,14, P (4) = µ 4 P (3) = 0,134 Detta ger P ( > 4) = 1 0,89 och svaret blir att sannolikheten är 11% Uppgift, lösning: Ur figuren får vi direkt, som ovan, att f(x m ) = 6, och alltså Felet i r får vi genom felfortplantning: r = 3844 r = dr dx m x m = f(x m )f 0 (x m ) x m där x m = 10% x m =0,07 Ur figuren kan vi få df dx genom att dra tangenten (som ovan) Detta ger att f 0 (x m )= 63/0,5 = 16 Vi får alltså att r = 6 16 0,07 = 115 Svaret blir r = 3800 ± 1100 Alternativt kan vi läsa av grafen för x =0,7 + 0,07 och x =0,7 0,07 och bilda skillnaden, vilket ger f = 71 53 = 18, och sedan beräkna felet i r = f som r =f f = f f = 6 18 = 1116 Eller också kan vi direkt bilda r = f(0,7 + 0,07) f((0,7 0,07) = 71 53 = 3 Med två värdesi ror i felet blir svaret desamma för dessa två metoder som för den första
Uppgift 3, lösning: För att undersöka om det finns ett samband beräknar vi den linjära korrealtionskoe cienten r och utnyttjar tabell för att beräkna p-värdet för nollhypotesen att samband saknas Räkningarna kan sammanfattas i en tabell: antal börsförbakelser (x) ändring (y) x x y y (x x) (y y) (x x)(y y) 17 1, 0,5 1,70 0,06,89 0,43 8 0,84 8,75 0,36 76,56 0,13 3,14 0 1,38 3,5 0,90 10,56 0,81,9 3 3, 6,5,74 39,06 7,50 17,1 16 0,7 0,75 0,75 0,56 0,56 0,56 9 0,71 7,75 1,19 60,06 1,4 9,3 5 1,91 8,5 1,43 68,06,04 11,79 16 1,3 0,75 1,78 0,56 3,17 1,34 Medelvärde: 16,75 0,48 Summa: 55,5 18,53 39,39 Korrelationskoe cienten blir P (x x) r = pp (x x) P (y y) = 0,57 För åtta avläsningar ger tabell C att sannolikheten för r > 0,57 ligger mellan 1% (för r > 0,57 0,5 0,5) och 1% (för r > 0,6) En linjär interpolation ger p = 1% + 0,1 (1% 1%) = 15% Sannolikheten för ett lika stort eller större r är alltså 15%, och slutsatsen blir att man med signifikansnivån 10% inte kan säga att det finns ett samband (Men om Sture tyckt sig se ett negativt samband och ville testa för detta skulle han acceptera att det finns ett sådant Sannolikheten för r< 0,57 är ju 7,5%) Uppgift 4, lösning: Kalla mätvärden för x 1 och x Båda kommer från samma normalfördelning med ett medelvärde µ (det sanna värdet) och standardavvikelse 0 Medelvärdet x = x 1+x blir också normalfördelat runt det sanna värdet, och får standardavvikelsen x = p 0 Vi har alltså att 0 = p x,så frågan är hur sannolikt det är att från en normalfördelning med standardavvikelse = x få ett värde som ligger längre än p =1,41 från medelvärdet Ur tabell A läser vi av att sannolikheten att hamna innanför 1,41 är 84,15%, vilket alltså är den sökta sannolikheten Uppgift 5, lösning: Eftersom teorin redan var formulerad och inte anpassades till mätningarna förväntar vi oss en -fördelning med tio frihetsgrader om teori och analys är korrekta a: Det reducerade chikvadrat-värdet blir e = /N dof =0,17 för tio frihetsgrader Tabell D är långt mindre än man skulle i medelvärdets ger chikvadratsannolikheten p = 100% Detta betyder att förvänta sig Antagligen är felen överskattade (Du kanske glömt faktorn p 1 N standardavvikelse, eller helt enkelt räknat fel) b: Här är e =0,84 för tio frihetsgrader och tabell D ger ett p-värde nära 60% Det ger inte anledning att misstro teorin, och tyder inte heller på någon felräkning c: För e =1,53 blir chikvadratsannolikheten p 13% Slutsatsen blir densamma som i b Det lägre p-värdet kan mycket väl vara en slump d: Med e =3,41 blir p avsevärt mindre än 0,1% (det sista värdet i tabellen, för e =3,0) Det är högst troligt att teorin är felaktig, eller att det finns systematiska fel i mätningarna
Uppgift 6, lösning: De 1000 försvagade skruvarna har slumpmässigt fördelats bland de 6000 datorerna Antalet försvagade skruvar i en given dator,, blir då med god approximation poissonfördelat med medelvärdet µ = För att datorn skall klassas som defekt skall den antingen ha minst två försvagade skruvar, eller en försvagad skruv som råkat hamna vid hårddisken Sannolikheten för minst två skruvar blir P ( > 1) = 1 P (0) P (1) = 1 e µ µe µ 3 =1 =0,594 e Till den skall läggas sannolikheten för att datorn har en försvagad skruv och att den hamnat bland de sex som håller i hårddisken, dvs P (1) 6 5 = 6 =0,031 Sannolikheten att datorn e 5 är defekt blir alltså P defekt =0,594 + 0,031 = 63% Alternativt kan man beräkna sannolikheten för att datorn inte är defekt, som sannolikheten att den innehåller noll defekta skruvar plus sannolikheten att den innehåller en sådan skruv som inte hamnat vid hårddisken: 1 P defekt = P (0) + P (1) 5 6 5 Poissonfördelningen gäller exakt när antalet försök (defekta skruvar) går mot oändligheten samtidigt som sannolikheten att lyckas (att skruven hamnar i en given dator) går mot noll Här är antalet defekta skruvar stort (1000) och sannolikheten att hamna i en given dator liten (1/6000), så poissonfördelningen kan användas Man kan istället säga att sannolikheten att en skruv är defekt är p = 1000/31000, och använda binomialfördelningen för att finna sannolikheten för noll resp en defekt skruv som P (0) = (1 p) 5 ; P (1) = 5(1 p) 51 p Detta är emellertid också en approximation eftersom det totala antalet skruvar inte är oändligt utan bara drygt 300000, så p beror på hur många skruvar av de två typerna som redan gått åt Uppgift 7, lösning: Insättning i formeln ger g =8,85 m/s I kvoten M+m M m är felen i M + m och M q m båda lika med M + m =4 p g, men eftersom det relativa felet i M m är så mycket större kan vi försumma felet i M + m Likaså är det relativa felet i s litet och kan försummas Räkning med relativa fel ger g M m t 5,66 0, = = =0,043 g M m t 8 4,1 Vi får alltså g =8,85 p 0,043 = 1,84 m/s, och slutresultatet g =(8,8 ± 1,8)m/s Man kan förstås istället använda felfortplantingsformeln med partialderivatorna @g @M = 4sm t (M m) @g @m = 4sM t (M m) @g @s = g/s @g @t = g t
och beräkna s g = @ g @M M + @ g @m m + @ g @s s + @ g @t t =1,84 m/s Det kan vara värt att påpeka att M + m och M m faktiskt är okorrelerade eftersom M och m har lika stora fel, vilket kan visas med en räkning liknande den i nästa uppgift Man kan alltså införa x = M +m och y = M m, vilket förenklar formeln för g, och sedan använda felfortplantningsformeln för x,y,s och t, utan kovarianstermer Det kan också påpekas att M m = (8 ± 6) m/s ligger så nära noll, jämfört med felets storlek, att den linjära approximationen för M+m M m inte är så bra över hela felintervallet Det kan därför vara motiverat att öka respektive minska M m till övre respektive undre felgränsen och bestämma asymmetriska fel i g Detta ger (med felet i t adderat i kvadrat) g = m/s Medelvärdet av de två felen blir 1,9 m/s, att jämföras med 1,84 m/s Uppgift 8, lösning: Medelvärdet av a blir och på motsvarande sätt blir µ a = E(a) =E(x + ) =E(x)+E() =µ x + µ, µ b = µ y µ 8,8 +,3 1,5 Vi antar att kovarianserna mellan x,y och alla är noll eftersom de till skillnad från standardavvikelserna inte getts i uppgiften (av misstag angavs ej att x,y och är oberoende) Varianserna av a och b ges då av felfortplantningsformeln som a = x +, b = y + Kovariansen för a och b är cov(a, b) =E[(a µ a )(b µ b )] = E[ a b ]=E[( x + )( y )] med a a µ a, och motsvarande för övriga Vi får cov(a, b) =E[( x y x + y )] = E[ ] =, eftersom vi antar att kovarianserna cov(x, y) = cov(x, ) = cov(y, ) = 0 Variansmatrisen blir x + V = y + Om vi inte antar att cov(x, y) =cov(x, ) =cov(y, ) = 0 får vi istället a = x + + cov(x, ), och V = b = y + cov(y, ), x + + cov(x, ) cov(x, y) cov(x, )+cov(y, ) cov(x, y) cov(x, )+cov(y, ) y + cov(y, ) Uppgift 9, lösning: Vi subtraherar bakgrunden b = 60 0,8 = 13,68 från antalet sönderfall N i varje minutintervall och logaritmerar sedan så att vi får en variabel y som beror linjärt på tiden Felet i N b är p N,ochfeletiy =ln(n b) blir y = p N N b :
N 107 86 58 41 6 34 3 1 17 15 N b 933 73 443 73 13 03 93 73 33 13 y 45 48 379 331 51 301 3 199 10 08 y 0111 018 017 034 0414 087 0515 066 14 934 Vi kan nu ställa upp en tabell för att göra en viktad minsta kvadratanpassning av en linjär funktion av tiden x till dessa y-värden Vi använder tiden mitt i respektive intervall Vikterna är w = 1 y x/min y y w wx/min wy wx /min wxy/min 0,5 4,54 0,111 81,39 40,69 369,18 0,35 184,59 1,5 4,8 0,18 60,8 91, 60,36 136,84 390,54,5 3,79 0,17 33,87 84,67 18,40 11,67 31,01 3,5 3,31 0,34 18,0 63,7 60,1 3,00 10,75 4,5,51 0,414 5,838 6,7 14,66 118, 65,97 5,5 3,01 0,87 1,14 66,79 36,57 367,36 01,15 6,5,3 0,515 3,777 4,55 8,43 159,56 54,80 7,5 1,99 0,66,55 19,14 5,08 143,5 38,09 8,5 1,0 1,4 0,648 5,51 0,78 46,85 6,61 9,5 0,8,934 0,116 1,10 0,03 10,48 0,31 summa: 19,35 43,66 883,71 1437,85 1473,81 En anpassning av en rät linje ger riktningskoe cienten hx X X X i b = w wxy wx wy / med = X X X w wx wx Insättning ger =1,36 10 5 min och b = 0,376 min 1 Feletib ges av b = q P w = 0,040 min 1 Sönderfallskonstanten blir = b =(0,38 ± 0,04) min 1, och T 1/ = ln =1,84 min Det relativa felet i T 1/ blir detsamma som i,dvs T 1/ = T 1/ =0,19 Slutresultatet blir T 1/ =(1,8 ± 0,) min = (110 ± 11) s