Institutionen för beteendevetenskapliga mätningar PBMaE 5-5 Umeå universitet Provtid PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Del I: Uppgift -9 Del II: Uppgift -7 Anvisningar Totalt 4 minuter för del I och II tillsammans. Vi rekommenderar att du använder högst 9 minuter för arbetet med Del I. Hjälpmedel Del I: "Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E" Observera att miniräknare ej är tillåten på denna del. Provmaterial Provet Del II: Miniräknare (grafritande men ej symbolhanterande) och formelblad. Allt provmaterial inlämnas tillsammans med dina lösningar. Skriv namn och klass på de papper du lämnar in. Lösningarna till Del I ska lämnas in innan du får tillgång till miniräknaren. Redovisa därför ditt arbete på Del I på separat papper. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknaren. Varje uppgift inleds med ett uppgiftsnummer. Därefter följer provbankens identifikationsnummer, som anges inom parentes. På nästa rad anges maximala antalet poäng som du kan få för din lösning. Om en uppgift kan ge g-poäng och vg-poäng skrivs detta /. Till de uppgifter där det står Endast svar fordras behöver bara svaret anges. Till övriga uppgifter räcker det inte med bara ett kort svar utan det krävs att du skriver ned vad du gör, förklarar dina tankegångar, ritar figurer vid behov och att du vid numerisk/grafisk problemlösning visar hur du använder ditt hjälpmedel. Uppgift 7 är en större uppgift, som kan ta upp till timme att lösa fullständigt. Det är viktigt att du försöker lösa denna uppgift. I uppgiften finns en beskrivning av vad läraren ska ta hänsyn till vid bedömningen av ditt arbete. Försök att lösa alla uppgifterna. Det kan vara relativt lätt att även i slutet av provet få någon poäng för en påbörjad lösning eller redovisning. Betygsgränser Ansvarig lärare meddelar de gränser som gäller för betygen "Godkänd" och "Väl Godkänd" för del I och II tillsammans. För att få betyget "Mycket väl godkänd" ska kraven för "Väl godkänd" vara väl uppfyllda. Dessutom kommer läraren att ta hänsyn till hur väl du löser eventuella -uppgifter. Namn: Skola: Klass/program: Kvinna Man Annat modersmål än svenska Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material som kommer ur provbanken gäller sekretessen fram till och med den juni 5. Sekretessen hävd. Skolverket 5
------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr (349) / Lös differentialekvationen y 4y Endast svar fordras ------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr (35) / Förenkla ( 5 + i) och skriv resultatet på formen a + bi ------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr 3 (35) /, /, / De komplexa talen,, 3, 4, 5 och 6 är markerade i det komplexa talplanet nedan. För vilket eller vilka av talen är a) 3 Endast svar fordras b) Re > Endast svar fordras c) arg 45 Endast svar fordras Skolverket 5
------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr 4 (5) / Bestäm det komplexa talet så att 4 + 3 8 + 5i ------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr 5 (3448) / Differentialekvationen y x + y har en lösning y som uppfyller villkoret y ( ) Bestäm ett närmevärde till y (3) med hjälp av en numerisk metod, till exempel Eulers stegmetod. Välj steglängden. ------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr 6 (333) / Differentialekvationen + y y x har lösningskurvor som går genom punkterna A, B, C och D i nedanstående figur. I var och en av dessa har tangentens riktning markerats. I två av punkterna är tangentens riktning felaktigt markerad. I vilka två punkter är tangentens riktning felaktigt markerad? Endast svar fordras Skolverket 5
------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr 7 (393) /3 Lös ekvationen 3 54 ------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr 8 (357) / Bestäm det reella talet x så att Re x + 4i ------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr 9 (358) /, // Funktionen f är definierad för alla x och x f ( x) x + a) Bestäm lokala maxima och minima för funktionen f. b) Undersök om funktionen har något största och minsta värde. Skolverket 5
------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr (3449) / Lös ekvationen + 38 + 557 ------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr (35) /, / Ett område i första kvadranten begränsas av x-axeln, linjen x 4 och kurvan Låt området rotera kring x-axeln. y x a) Ställ upp en integral som ger volymen av den rotationskropp som uppkommer. Endast svar fordras b) Beräkna rotationskroppens volym. Endast svar fordras ------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr (39) 3/ Bestäm den lösning till differentialekvationen y + y 8y som uppfyller villkoren y ( ) 4 och y ( ) Skolverket 5
------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr 3 (75) /, /, / Rymdfysiker kan genom att analysera ljuset från en stjärna bestämma hur mycket av ämnet Uran-38 som finns kvar i stjärnan. Då kan man avgöra stjärnans ålder. Atomkärnor av Uran-38 sönderfaller med en hastighet som är proportionell mot antalet kvarvarande atomkärnor, N, vid tiden t år. a) Ställ upp en differentialekvation som beskriver sönderfallet. Endast svar fordras b) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen då 9 hälften av antalet atomkärnor har sönderfallit efter 4,5 år. Genom att analysera ljuset från stjärnan CS 38- har fysikerna bestämt att det återstår ungefär 4,6 % av den ursprungliga mängden Uran-38 som fanns i stjärnan då den bildades. c) Bestäm stjärnans ålder. ------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr 4 (353) /3 En liten sten kastas i en damm. Då skapas en våg i form av en cirkel på vattenytan. Enligt en förenklad modell kan man anta att cirkelns radie ökar med den konstanta hastigheten,5 m/s. Med vilken hastighet ändras cirkelytans area 6, sekunder efter det att stenen träffat vattenytan? Skolverket 5
------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr 5 (577) /, /, / En sjö har under en lång tid förorenats av utsläpp från en fabrik. Detta har medfört att det nu finns cirka 5 kg föroreningar i sjön. Fabriken släpper ut cirka kg föroreningar per år. Via ett vattendrag försvinner årligen % av mängden föroreningar från sjön. För att studera hur mängden föroreningar (y kg) i sjön förändras med tiden (t år) går det att använda en matematisk modell i form av följande differentialekvation: dy, y och y( ) 5 dy a) Förklara hur, y hänger ihop med förutsättningarna i texten. b) Lös differentialekvationen då y ( ) 5 c) Vad händer enligt modellen med mängden föroreningar i sjön i ett längre tidsperspektiv? ------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr 6 (345) // I figuren är åtta olika områden i det komplexa talplanet markerade med A, B, C, D, E, F, G och H. Cirkeln är en enhetscirkel med centrum i origo. Cirkeln och koordinataxlarna ingår inte i något av de markerade områdena. Bestäm i vilket eller vilka områden talet kan ligga om ligger i B. Skolverket 5
------------------------------------------------------------------------------------------------ Uppgift nr 7 (345) 3/3/ Vid bedömningen av ditt arbete kommer läraren att ta extra hänsyn till: hur långt du kommit i din undersökning hur generell din undersökning är hur väl du redovisat ditt arbete hur väl du utför dina beräknigar hur väl du använt det matematiska språket Ett företag tillverkar tätningsringar för rör i olika storlekar. Alla ringar har både höjden och tjockleken cm, men kan ha olika radier (se figur ). Företagets produktutvecklare funderar på att utöka sortimentet. De vill därför veta hur mycket materialåtgången ökar för varje centimeter som tätningsringarnas radie ökar. Tätningsringar kan representeras matematiskt genom rotation av trianglar runt x-axeln. I figur och 3 ser du exempel på detta. I dessa figurer har ringarna radierna cm respektive cm. Figur Figur Figur 3 Undersök och beskriv hur tätningsringarnas volym förändras för varje centimeter som radien ökar. Skolverket 5
Lösningar Uppgift nr (349) y 4y y 4y 4x y C e SVAR: y C e 4x Uppgift nr (35) (5 + i) 5 + i 4 + i SVAR: 4 +i Uppgift nr 3 (35) a) SVAR: och 4 b) SVAR: och 6 c) SVAR: Uppgift nr 4 (5) a + ib och a ib 4 + 3 8 + 5i 4a + 4bi + 3a 3bi 8 + 5i 7a 8 a 4 b 5 b 5 4 + 5i SVAR: 4 + 5i Uppgift nr 5 (3448) y x + y y() x y n+ n+ x n y n + h + h y n Skolverket 5
Eulers stegmetod där h ger n x y y + + + + 5 + 3 + 5 6 SVAR: y ( 3) 6 Uppgift nr 6 (333) y + y x y y x A (,) y, 5 Fel B (,) y, 5 ( ) Rätt ( ) C (, ) y, 5 Fel ( ) ( ) D (, ) y, 5 Rätt SVAR: Tangenterna genom punkterna A och C är felaktigt inritade. Uppgift nr 7 (393) 3 3 54 (cosα + i sinα) 3 3 7 7(cos8 + i sin8 ) (cos3α + i sin3α ) 7(cos8 + i sin8 ) 3 7 3 3α 8 + 36 n α 6 + n n n n α 6 α 8 α 3 3 3 3 3 3(cos6 + i sin 6 ) 3( + i ) + i 3(cos8 + i sin8 ) 3( + i ) 3 3 3 3(cos3 + i sin 3 ) 3( i ) i 3 3 SVAR: 3(cos 6 + i sin 6 ), 3(cos3 + i sin 3 ) 3(cos8 + i sin8 ) Skolverket 5
Uppgift nr 8 (357) Re x + 4i x 4i Re x + 6 x x + 6 x x + 6 x 8 x SVAR: x och x 8 Uppgift nr 9 (358) a) x f ( x) x + x f ( x) ( x + ) f ( x) x ± x f (x) + f (x) Min Max ( ) f ( ) (( ) + ) f () ( + ) f () ( + ) > 3 < 5 3 < 5 y ger lokala maximum och minimum i x ±, där y ( ), 5 och y ( ), 5. SVAR: : Lokalt maximum,5 för x och lokalt minimum, 5 för x b) x Se teckentabell ovan och f ( x) x + För x > är f (x) avtagande men positiv och kan därför inte anta negativa värden. Detta innebär att f (x) aldrig kan bli mindre än det lokala minimivärdet, 5 Skolverket 5
För x < är f (x) avtagande men negativ och kan därför inte anta positiva värden. Detta innebär att f (x) aldrig kan bli större än det lokala maximivärdet, 5 SVAR: Funktionens största värde är,5 och det minsta värdet är, 5 Uppgift nr (3449) 9 ± 36 557 9 ± 4i SVAR: 9 ±4i Uppgift nr (35) a) SVAR: V 4 πy dx π 4 xdx b) π 4 x x dx π 4 4 π 8π SVAR: 8π v.e. Uppgift nr (39) y + y 8y r + r 8 r ± 3 r och r 4 y C 3 4x x e + Ce y() C + C y 4C e y () 4C C + C 4 4C + C C C 4x 4 + C + C e x SVAR: y 4x x e + 3e Skolverket 5
Uppgift nr 3 (75) a) SVAR: dn kn b) dn kt kn har lösningen N( t) Ne 9 Att hälften av kärnorna har sönderfallit efter 4,5 år ger att: 9 k 4,5 ln N Ne och därmed att k,54 9 4,5 SVAR: N( t) Ne,54 t c),46 N N e ln t 9 4,5 ln ln,46 t 9 4,5 9 ln,46 9 t 4,5 ln SVAR: Stjärnan är ca miljarder år. Uppgift nr 4 (353) A da dr da d (πr dr dr d dr ) dr πr Radien efter 6, s är 6,5 m 9, m. A Vi får då π 9,,5 m s 85 m d s SVAR: 85 m²/s Uppgift nr 5 (577) a) SVAR: Varje år förändras mängden föroreningar i sjön genom att kg föroreningar tillförs från fabriken och % av den aktuella mängden föroreningar följer med vattnet ut ur sjön. b) dy +, y har lösningen e, t y C + Skolverket 5
y() 5 C 5 y( t) 5e,t SVAR: y( t) 5e,t c) lim y ( t) lim 5e t t,t SVAR: Massan kommer att stabilisera sig kring kg Uppgift nr 6 (345) och därmed ligger i fjärde kvadranten eftersom ligger i första kvadranten. < eftersom > Beloppet av är mindre än och ligger alltså innanför enhetscirkeln. ligger i område F. SVAR: ligger i område F. Uppgift nr 7 (345) En ring med radie r representeras av den rotationskropp som uppkommer då linjen y x + r roterar runt x-axeln. Volymen för ringen med inre radie r: V r π (( x + r) r )dx π ( x + xr + r r )dx π ( x 3 x π + rx 3 π + r 3 + xr) dx Volymen för en ring med inre radie r + blir då V r + π + r + 3 Skillnaden i volym mellan dessa två ringar blir Vr + Vr π + r + π + r π 3 3 SVAR: En tätningsring som får cm större inre radie får π cm 3 större volym. Skolverket 5
Bedömningsanvisningar Inom parentes anges ett exempel på ett goagbart svar. Betygsgräns G: 3 poäng Betygsgräns VG: 5 poäng varav 6 vg-poäng Betygsgräns MVG: 5 poäng varav 3 vg-poäng dessutom ska eleven visa tre av fyra MVG kvaliteter. Uppgift nr (349) Max / 4x Korrekt svar ( y Ce ) + g Uppgift nr (35) Redovisad goagbar ansats, t.ex. utvecklar kvadraten med korrekt svar (4 +i) Uppgift nr 3 (35) Max / + g + g Max 3/ a) Korrekt svar ( och 4 ) + g b) Korrekt svar ( och 6 ) + g c) Korrekt svar ( ) Uppgift nr 4 (5) + g Max / Redovisad goagbar ansats, t.ex. tecknar ekvationen 4 a + 4bi + 3a 3bi 8 + 5i + vg med korrekt svar ( 4 + 5i ) + vg Uppgift nr 5 (3448) Max / Redovisad goagbar metod + g med goagbart svar ( y ( 3) 6 ) + g Uppgift nr 6 (333) Korrekt svar (A och C) Max / + vg Skolverket 5
Uppgift nr 7 (393) Max /3 3 Redovisad goagbar ansats, t.ex. tecknar 7(cos8 + i sin8 ) + vg eller påbörjar polynomdivision med + 3 med i övrigt redovisad goagbar lösning 3(cos 6 + i sin 6 ), 3(cos8 + i sin8 ) +- vg och 3(cos3 + i sin 3 ) Uppgift nr 8 (357) Max / x Redovisad goagbar ansats, t.ex. bestämning av realdel, + vg x + 6 med i övrigt goagbar lösning och goagbart svar ( x och x ) + vg 8 Uppgift nr 9 (358) Max /3/ a) Deriverar och bestämmer derivatans nollställen, x ± + vg med goagbar bestämning och verifiering av lokalt maximum och minimum (lokalt maximum,5 för x och lokalt minimum, 5 för x ) + vg b) Eleven påbörjar en undersökning, t.ex. genom att uppskatta funktionsvärdet för några stora värden på x + vg MVG-kvalitet Formulerar och utvecklar problem, använder generella metoder/modeller vid problemlösning Analyserar och tolkar resultat, drar slutsatser samt bedömer rimlighet Genomför bevis och analyserar matematiska resonemang Värderar och jämför metoder/modeller Redovisar välstrukturerat med korrekt matematiskt språk visar eleven i denna uppgift genom att använda en generell metod: eleven för generella resonemang kring funktionsvärden, t.ex. genom att fastslå att För x > är f (x) avtagande men positiv och kan därför inte anta negativa värden. genomföra matematiskt resonemang, som leder till slutsatsen att f (x) aldrig kan bli större än det lokala maximivärdet, 5 och att f (x) aldrig kan bli mindre än det lokala minimivärdet, 5 redovisa välstrukturerat och tydligt och med ett i huvudsak korrekt matematiskt språk. Skolverket 5
Uppgift nr (3449) Max / Redovisad goagbar metod + g med korrekt svar ( 9 ±4i) + g Uppgift nr (35) Max / 4 a) Goagbart svar, t.ex. V πy dx + g b) Goagbart svar ( 5 v.e.) + g Uppgift nr (39) Max 3/ Redovisad korrekt bestämning av den allmänna lösningen, 4x x t.ex. y C e + C e 4x x med redovisad goagbar bestämning av funktionen ( y e + 3e ) + g +- g Uppgift nr 3 (75) dn a) Goagbart svar ( kn Max 5/ ) + g b) Redovisad goagbar ansats, t.ex. tecknar ekvationen 9 k 4,5 N e N + g,54 t med i övrigt goagbar lösning och goagbart svar ( N( t) N ) + g c) Redovisad goagbar ansats, t.ex. tecknar ekvationen,46,54 t N N e + g e Uppgift nr 4 (353) med i övrigt goagbar lösning och goagbart svar ( miljarder år) + g Max /3 da da dr Goagbar ansats, t.ex. tecknar dr + vg med korrekt bestämning av radien + vg med goagbart svar (85 m²/s) + vg Skolverket 5
Uppgift nr 5 (577) a) Redovisad goagbar förklaring ("Mängden förorenat ämne ökar varje år med kg minus tio procent av den aktuella mängden.") Max /3 + g b) Redovisad goagbar bestämning av partikulärlösning, y + vg,t med i övrigt redovisad goagbar lösning ( y( t) 5e ) + vg p c) Goagbar slutsats ("Massan stabiliserar sig kring kg") med motivering. Uppgift nr 6 (345) + vg Max // Redovisad goagbar ansats, t.ex. beräknar för något B eller a ib skriver om uttrycket som + g a + ib a + b Redovisad lösning som gör troligt att ligger i F, t.ex. beräknar för flera B och formulerar hypotesen att F + vg MVG-kvalitet Formulerar och utvecklar problem, använder generella metoder/modeller vid problemlösning Analyserar och tolkar resultat, drar slutsatser samt bedömer rimlighet Genomför bevis och analyserar matematiska resonemang Värderar och jämför metoder/modeller Redovisar välstrukturerat med korrekt matematiskt språk visar eleven i denna uppgift genom att använda generell metod, eleven för ett generellt resonemang, t ex genom att fastslå att ligger i fjärde kvadranten eftersom ligger i första kvadranten. genomföra bevis, eleven visar med generella metoder att alltid ligger i F. redovisa är välstrukturerat och tydligt. Det matematiska språket är i huvudsak korrekt. Skolverket 5
Uppgift nr 7 (345) Max 3/3/ Uppgiften ska bedömas med s.k. aspektbedömning. Bedömningsanvisningarna innehåller två delar: Först beskrivs i en tabell olika kvalitativa nivåer för tre olika aspekter på kunskap som läraren ska ta hänsyn till vid bedömningen av elevens arbete. Därefter ges exempel på bedömda elevlösningar med kommentarer och poängsättning. Bedömningen avser Metodval och genomförande I vilken grad eleven kan tolka en problemsituation och lösa olika typer av problem. Hur fullständigt och hur väl eleven använder metoder och tillvägagångssätt som är lämpliga för att lösa problemet. Kvalitativa nivåer Lägre Eleven beräknar goagbart volymen för en ring. Högre Eleven visar säkerhet i beräkningarna, t.ex. genom att korrekt beräkna skillnaden mellan volymerna för minst två ringar eller påbörjar en generell undersökning, t.ex. genom att korrekt teckna ett generellt uttryck för volymen av en ring. eller genomför en generell undersökning som inte är helt korrekt. Total poäng Matematiska resonemang Förekomst och kvalitet hos värdering, analys, reflektion, bevis och andra former av matematiska resonemang. Redovisning och matematiskt språk Hur klar, tydlig och fullständig elevens redovisning är och hur väl eleven använder matematiska termer, symboler och - g g och vg / Eleven drar en slutsats om volymökningen baserat på ett specialfall (två beräknade volymer) eller en generell undersökning. Eleven drar en goagbar slutsats om volymökningen baserat på flera specialfall (minst tre beräknade volymer) eller en generell undersökning. g g och vg / Redovisningen är lätt att följa och förstå. Det matematiska språket är acceptabelt. konventioner. vg / Summa 3/3 Skolverket 5
MVG-kvaliteterna beskrivs i tabellen som följer. MVG-kvalitet Formulerar och utvecklar problem, använder generella metoder/modeller vid problemlösning Analyserar och tolkar resultat, drar slutsatser samt bedömer rimlighet Genomför bevis och analyserar matematiska resonemang Värderar och jämför metoder/modeller Redovisar välstrukturerat med korrekt matematiskt språk visar eleven i denna uppgift genom att: använda generell metod, eleven tecknar ett generellt uttryck för volymdifferensen: t.ex. π + r + π + r 3 3 formulera någon korrekt slutsats, t.ex. Volymen ökar med π cm 3 för varje cm radien ökar. Slutsatsen baseras på en generell metod. redovisa välstrukturerat och tydligt och med ett i huvudsak korrekt matematiskt språk. Skolverket 5