Sverker Lundin Läs våra föregångares debatt i Skolmatematiskt arkiv Ett historiskt perspektiv på undervisning kan ge oss en djupare förståelse för vår roll som lärare. De frågor som diskuteras idag, däribland lärobokens roll, förståelse kontra färdighet och den grundläggande räkneundervisningen, har lärare diskuterat under lång tid. Möjligheten att få insikt i våra föregångares diskussioner har ökat, då vi nu kan läsa texter från den svenska skolmatematikens historia på nätet. I Skolmatematiskt arkiv, förkortat SMA, ligger drygt 700 dokument från mitten av 1800-talet och framåt. För tre år sedan skrev jag en avhandling som heter Skolans matematik. En kritisk analys av den svenska skolmatematikens förhistoria, uppkomst och utveckling. Något jag upptäckte när jag skrev min avhandling är att väldigt lite är känt om vad människor har tänkt och skrivit om matematik och matematikundervisning genom åren. Många tycks tro att skolmatematikens historia är tråkig och irrelevant för hur vi tänker idag. Till exempel finns en djupt rotad föreställning om att man förr i tiden ägnade sig åt mekanisk undervisning, medan man idag har mer moderna idéer om begreppsutveckling. En viktig tanke med Skolmatematiskt arkiv är att göra det lättare för vem som helst som är intresserad att upptäcka att detta inte riktigt stämmer. Vad man ser när man börjar läsa texter från till exempel 1860-talet är att de matematiklärare som verkade då inte bara var väldigt duktiga på att skriva något som gör texterna roliga att läsa utan också att de hade idéer som inte ligger så långt från dem vi har idag. Och det gäller inte bara 1860-talet, utan egentligen var man än dyker ner i historien. Arkivet består till stora delar av material jag samlade ihop när jag skrev min avhandling. Det är läroboksförord, metodhandledningar, utredningar och rapporter, och skoltidningar. Arkivet förvaltas av GUPEA vid Göteborgs universitet och nås på gupea.ub.gu.se/handle/2077/25482. I den här artikeln ska jag ge några exempel på vad vi kan hitta i arkivet. Jag kommer också att ange länkarna till de dokument jag talar om och en förhoppning är att åtminstone en och annan läsare ska använda dessa och faktiskt läsa vidare i detta källmaterial. Många som arbetar med undervisning i matematik är övertygade om att det var sämre förr, även om det inte nödvändigtvis är särskilt bra nu heller. Det man märker när man börjar undersöka skolmatematikens historia är att detta kritiska sätt att förhålla sig till det förflutna hade stor utbredning även förr. Länkarna i artikeln finns samlade på Nämnaren på nätet, ncm.gu.se/namnaren. Klicka på bilden av numret så finner du rubriken Länkar i nummer 1. 3
Johan Peter Velander och ämnet räkning i folkskolan Under 1800-talets sista decennier växte folkskolan kraftigt och fick en tydligare och mer enhetlig form. Folkskollärarna började organisera sig och det startades flera tidskrifter. I ett av de första numren av Svensk Läraretidning skrev Johan Peter Velander en artikel om Ämnet räkning i folkskolan. Jag tar upp två saker i denna artikel som jag tycker borde ha relevans även idag. För det första hans sätt att förhålla sig till det förflutna och för det andra hans diskussion av relationen mellan läraren och läroboken. Genast efter sin inledning kommer Velander till frågan om Räkneundervisningen förr och nu. Förr, skriver han, fick lärjungarna, trefva sig fram så gott de kunde, i bästa fall oberoende af kamraterna räkna framåt, tills han hann ut räkneboken. Lärjungarna fick på detta sätt en blott mekanisk räknefärdighet och tyvärr blev konsekvensen att de, ute i verkliga livet, ofta stod: frågande och spörjande framför äfven enklare räknefrågor, oviss om räknesättet och dermed äfven om, hvilken af de magasinerade föreställningarna om olika räknefrågors uppställning och uträkning, som skulle kunna leda till målet. Mot denna mekaniska dåtid ställer Velander den förståndsutvecklande metoden. Det är emellertid inte så enkelt som att Velander tycker att denna metod är den rätta. Inte alls. Problemet är att man nu istället ägnar sig åt tankeexercis under lärarens kommando, man strävar efter att eleverna skall förstå så till den grad att deras förmåga att faktiskt lösa uppgifterna blivit helt försummad. I själva verket, menar Velander, kan det inte vara räkneundervisningens uppgift att utveckla lärjungarnas förstånd. Dess syfte skall istället uteslutande vara att ge lärjungarna de kunskaper de behöver för att lösa de uppgifter som hvarje samhällsmedlem möter i sitt praktiska liv. Detta mål kan endast nås genom att riktig balans mellan den gamla och den nya metoden, mellan praktisk övning och förståelse. Velander sammanfattar: Förr frågade man vanligen alls icke, hvarför räkningen utfördes på det eller det viset, och det var alldeles för litet. Nu är man benägen att fråga hvarför så tidigt och så ofta, att frågan huru ej hinner bli ordentligen besvarad, och detta är alldeles för mycket. Lagom måste ligga någonstädes mellan de båda ytterligheterna. En svår och viktig fråga för Velander var hur denna medelväg skulle kunna realiseras i praktiken. Folkskollärarna skulle ibland undervisa så mycket som fyra klasser samtidigt, med barn i olika åldrar, med olika förkunskaper. Att få en sådan undervisningssituation att fungera kräver, skrev Velander: en så stor förmåga att indela tiden och arbetet, att omtänksamt förbereda och snabbt kontrollera hvarje barns arbete, samt i det hela taget att sköta flera saker på en gång, utan att störas i det ena af det andra en så stor förmåga att den ej kan vara en vanlig företeelse, seminarierna må nu fullgöra sin uppgift huru väl som helst Slutsatsen blir att läraren behöver stöd för att kunna hantera denna besvärliga situation. Varifrån skall detta stöd komma? Velanders förslag var läroboken. Han var själv läroboksförfattare, och en av de saker som utmärkte hans böcker var att de syftade till att befria läraren från så stor del som möjligt af nyssnämnda arbete. Han föreslår en rad anordningar för att åstadkomma detta. Länk till den text av Velander som diskuteras, Ämnet räkning i folkskolan: gupea.ub.gu.se/handle/2077/27706 4
Här finns, tror jag, viktiga ledtrådar till de problem som diskuteras kring läroboksstyrd undervisning idag. Velander var nämligen inte ensam i sin syn på relationen mellan lärare och lärobok. Velander är inte nådig i sin beskrivning av tidigare läroböcker. Han talar om hänsynslöshet mot barnens intresse, en omensklighet, som endast kan ha sin grund i att författaren ej i förväg gittat utröna, hur mycken möda, ja vedermöta, som deras orimligt dryga uppgifter måste vålla barnen, utan sammanhopat en mängd siffror på slump och sedan lugnat sitt samvete med, att barnen skola vänjas vid ihärdighet, arbetssamhet, undergifvenhet och andra kristliga dygder [ ] Han fortsätter och han skriver så bra att jag gärna vill fortsätta citera: Tänkom oss ett barns känslor, då det suttit och tröskat en hel timme med en taflan fyllande additions-, multiplikations-, eller divisions-uppgift, och ändtligen får mödans lön i och med lärarens svar: fel på två siffror; räkna om det igen! O, I räkneboksförfattare, som fyllen sidorna med dylika, all barnslig lifaktighet ödeläggande uppgifter! Om ändå lärarne hade tid, klokhet och omtanke nog ja, rättighet med, förstås! att öfva rysk censur på siffermassorna och med ogenomskådlig trycksvärta öfversmeta dem!! I sina egna böcker har Velander bemödat sig om att använda små tal och, vilket var hans kännemärke, att bara inkludera uppgifter som faktiskt svarade mot verkliga problem som man kan stöta på i det praktiska livet utanför skolan: Alla sifferuppgifter böra vara ej blott rimliga, utan så vidt möjligt är äfven sanna. I den mån uppgifterna handlar om proportionalitet skall proportionalitet verkligen gälla. Det vanligaste felet är, skriver han, att man tager för gifvet, att en vara säljes till samma pris i parti och i minut och fortsätter: Men äfven uppenbara orimligheter söker man inbilla barnet, såsom att 6 man, som arbeta 12 timmar om dagen, böra medhinna lika mycket som 9 man med 8 timmars arbetstid eller 18 med 4. Man kan konstatera att Velanders invändningar på denna punkt vann föga gehör. Men man skall akta sig för att tro att detta berodde på att han var ensam om att protestera. Så var det inte alls. Skolmatematiken har en märklig förmåga att låta bli att förändras, den allra skarpaste kritik till trots. Jakob Otterström och den algebraiska metoden Låt oss sen gå till 1860-talet som jag nämnde ovan. Det var en omvälvande tid vad gäller skolmatematiken. Ämnet var ganska nytt i läroverket och själva folkskolan var även den ny. På idéplanet fanns ett stort inflytande från det som idag är Tyskland. Läroböcker i matematik, och särskilt läroböcker i räkning (i motsats till i geometri) skrevs emellertid av lärare som först och främst tänkte själva. Något som var typiskt för denna tid, men som förändrades mot 1800-talets slut, var att lärare i matematik skrev en lärobok utifrån hur de själv tyckte att man borde undervisa, och sedan presenterade dessa idéer i ett mer eller mindre omfattande förord. Jakob Otterström var en av dessa författare som tänkte själv. 1849 publicerade han ett Utkast till lärobok i aritmetiken (för skolor i allmänhet och folkskolor i synnerhet). I denna bok introducerade han vad som kom att kallas den algebraiska 5
metoden. Dess för- och nackdelar diskuterades fram och tillbaka under hela 1800-talet och även under 1900-talet. Ett annat namn för (ungefär) samma idé är ekvationsmetoden. Söker man på ekvationsmetoden i SMA ser man att den diskuterades åtminstone så sent som 1956, i Tidskrift för skolmatematik. Otterströms idé var att algebra skulle introduceras redan från första början i matematikundervisningen. Genom att lära barnen att manipulera och förenkla symboliska uttryck ville han ge dem ett universalverktyg för att lösa alla problem inom aritmetik. I första numret av Ny tidskrift för lärare och uppfostrare finns en recension av Otterströms läroboksutkast. Recensionen är författad av Axel Theodor Bergius, vid denna tidpunkt lektor vid Nya Elementarskolan i Stockholm. Bergius var liksom Otterström en engagerad lärare och läroboksförfattare. Som brukligt var vid Nya Elementarskolan hade Bergius fått i uppdrag att själv författa ändamålsenliga läroböcker för sin undervisning. Uppdraget resulterade i fem läroböcker utgivna mellan 1846 och 1853 i mekanik, fysik, räknekonst, algebra samt geometri och linearteckning. Bergius konstaterar att Otterström i och för sig riktigt erkänt det bristfälliga i vår närvarande, vanliga undervisning i räknekonsten, att den mera går ut på att uppdrifva lärjungens mekaniska färdighet, än att bibringa en varaktig insigt. Sedan går meningarna isär. Då Otterström ser orsaken till denna misslyckade undervisning i räknekonstens ovetenskapliga och ologiska regler, förlägger Bergius problemets orsak till räknekonstens behandling i undervisningen. Otterström har, menar Bergius, förvexlat sjelfva metoden för den första undervisningens meddelande i räknekonsten med den oart, som icke en gång förtjenar namn af metod, och som yttrar sig i inplantandet af torra minnesreglor, utan föregående nöjaktiga förklaringar. Vad som behövs för att detta skall kunna undvikas är inte, som Otterström menar, ett förkastande av själva räknekonsten. Det räcker, skriver Bergius, att lärjungarna innan de får reglerna presenterade för sig, fått förvissa sig om giltigheten af det vid lösningen använda förfaringssättet och sjelf så att säga utforskat det allmänna deruti. När en lärjunge därefter erhåller regeln, så emottager han den icke såsom en betungande och onyttig utanlexa, utan såsom en välkommen hjelpreda för minnet. Bergius förstår inte vart Otterström vill komma och konstaterar mot slutet av sin recension att hans läroboksutkast snarast skiljer sig från äldre läroböcker i aritmetik genom en mera oredig och ofullständig uppställning. Otterström låter sig inte nöja med detta avfärdande. Tack vare att han själv bekostar tryckningen av en replik får han till stånd den första, enligt vad jag har kunnat hitta, meningsväxlingen rörande grundläggande räkneundervisning i en svensk tidskrift. Det skulle dock ännu dröja några år innan diskussionen började ta fart på allvar. I sin replik börjar Otterström med att citera det Bergius (som jag nämnt ovan) skriver om den rådande räkneundervisningens olyckliga tillstånd. Frustrerat kommenterar han: Detta Rec. Resonnemang, som förtjenade att i guld graveras på väggarne i alla nuvarande verkstäder för lefvande räknemaschineras producerande, är liksom ryckt ur min egen själ. 6
Det är tydligt att Bergius och Otterström är överens på denna punkt. Bergius talar i sin recension om en viss typ av läroböcker som blivit vanliga på senare tider, fyllda främst av regler och sifferexempel. Otterström fyller i: de lärare, som vetat bättre, [har tvingats] kämpa mot den dödande mekanismen i läroboken, ehuru de i åratal funnit sina bemödanden gäckade, just för lärobokens felaktighet. Intressant nog är de även överens om vari deras meningsskiljaktighet består: då Otterström vill kasta hela metoden över bord, vill Bergius bevara metoden, men förändra dess framställning. Men, frågar sig Otterström, vad är det Bergius vill bevara? För vad är det om inte räknekonstens metod som dessa läroböcker framställer? Och är inte lärarnas användning av böckerna riktigt och konseqvent snarare än oriktigt i förhållande till denna metods uppbyggnad? Vad kan annars vara orsaken till att det är just på detta sätt som metoden presenteras i nio tiondelar av våra skolor, frågar Otterström, och fortsätter: något orimligt konstigare och svårare, än räknekonsten, sådan den i allmänhet varit framställd i läroböckerna och af lärarne enligt dem, har icke i något läroämne blifvit tillskapadt, om ej i astronomien före Copernicus. Resultaterna af denna metod och dess conseqventa användning ligga i öppen dag öfverallt mellan Ystad och Torneå, i det att högst få af dem, som lärt räknekonsten i skolan, kunna utom slentrianen i yrket reda sig i de ofta enklaste aritmetiska frågors uppfattning och lösning. För Otterström ligger det i öppen dag: den gängse framställningen av räknekonsten är inte en förvanskning, utan tvärtom följdriktig. Alltså måste den kastas över bord. Men vad är det som återstår? För Otterström: ren aritmetik, så enkel och okonstlad, som Skaparen nedlagt den i sunda förnuftet, så enkel, att den olärde fattar den tio gånger förr, än han fattar räkne konsten. Vad detta i praktiken innebär är behandling av tal och räknesätt enligt algebrans principer. I räknekonsten, så som den presenterades i läroböckerna vid denna tid, tolkades till exempel likhetstecknet som en uppmaning att lösa ett visst problem. Otterström menar att det istället, som i algebra, skall tolkas som att två saker det till vänster och det till höger är lika. På ett motsvarande sätt tolkar Otterström inte heller aritmetikens operationstecken (+,, x, ) som uppmaningar att göra något, utan som delar av uttryck som kan tecknas och därefter manipuleras. I motsats till läroböckernas räknekonst, lämnar Otterströms metod frågan om hur uttrycket skall manipuleras obesvarad. Räknekonsten är alltid tydlig i detta avseende: när väl den rätta metoden identifierats visar räknekonsten en riktig (och efter övning både säker och snabb) väg från fråga till svar. Intressant nog skriver emellertid Otterström mot slutet av sin replik att han faktiskt godkänner och rekommenderar användningen af räknekonstens minnesreglor, men med en tydlig reservation. Han godkänner dem nämligen bara såsom märken för de praktiska genvägarne efter det att ynglingen grundligt lärt att räkna. Men, frågar man sig nu var det inte precis detta som även Bergius ville? Att lärjungarna skulle få reglerna först efter att de förstått dem? Det verkar nu som om deras oenighet snarast gäller hur man lär sig räkna, hur man når den eftersträvansvärda förståelsen. Otterström vill leda lärjungarna till förståelse genom den rena och okonstlade aritmetiken, det vill säga algebran. 7
Jakob Otterströms Utkast till Lärobok i Aritmetiken, s 5. Man får en del antydningar om vari Bergius alternativ består i det svar från honom med vilket meningsväxlingen avslutas. (Ett svar som Bergius för övrigt inte behövde bekosta själv, Då den svåra beskyllningen af Hr O. gjordes i repliken, att den som recenserat hans bok icke hade läst henne. Redaktionen ansåg sig därför inte böra neka ett rum åt hos följande svar ). Vad Bergius gör i sitt svar, för att bemöta anklagelsen att han inte läst Otterströms bok, är att helt enkelt citera den (se figuren). Han konstaterar sedan, som om det vore en självklarhet, att detta måste vara obegripligt för en nybörjare. Vad man ser är nämligen förklaringar, i ord, av siffrornas och tecknens innebörd. Om detta skriver Bergius: Tänker man sig en 8:åring eller i allmänhet en nybörjare i räknekonsten, som ännu icke fått något redigt begrepp om tal, införd i detta virrvarr af tecken och gåtor, så måste man väl gifva en metod, som sålunda går till väga, namn af mekanism. Meningsväxlingen mellan Otterström och Bergius: Bergius recension: gupea.ub.gu.se/handle/2077/27355 Otterströms replik: gupea.ub.gu.se/handle/2077/27765 Bergius svar: gupea.ub.gu.se/handle/2077/27717 Otterström presenterar sina idéer 1880: gupea.ub.gu.se/handle/2077/27277 8
Kärnan i Bergius invändning är att lärjungen utifrån Otterströms förklaringar tvingas att fästa sig vid tecknet och förbise saken, som derigenom betecknas. Bergius menar att Otterström ej fullt utredt för sig sjelf hvad med tal förstås, och det han då syftar på är den för honom grundläggande skillnaden mellan å ena sidan begreppet, det vill säga talet självt, och å den andra det många sätt på vilka man kan beteckna tal, det vill säga med hjälp av siffror och symboler. Detta är en distinktion som Otterström inte berör och som kom att spela en avgörande roll i skolmatematikens historia. Den väcker en mängd frågor kring hur man lär sig och hur undervisning bör vara upplagd för böcker är ju till sin natur fyllda av tecken och hur kan man då med deras hjälp leda nybörjaren till talen, och inte tecknen själva? Det är ingen slump att Bergius inte bara tar en nybörjare som exempel, utan en åtta år gammal nybörjare. Att ett sådant barn inte kan ha någon nytta av Otterströms förklaringar förstår man lätt. Bergius invändning hänger samman med en förskjutning, vid denna tid, mot yngre lärjungar, och en sammansmältning mellan förmåga och ålder: Otterström talar till förståndet, ett helt och färdigt förstånd. För Bergius är det uppenbart att nybörjaren inte är i besittning av något sådant förstånd eftersom nybörjaren också är ett barn. Den metod Bergius föreslår syftar därför inte bara till att lära lärjungen räkna, utan till något mycket större och mycket svårare: att med matematikens hjälp utveckla förståndet. Redskapet för att åstadkomma detta är tvåfaldigt och löper som en röd tråd genom skolmatematikens historia: åskådning och självverksamhet. Anledningen till att meningsväxlingen mellan Bergius och Otterström förtjänar uppmärksamhet förutom att många av Otterströms formuleringar är minnesvärda i sig och att utbytet troligtvis är ett av de tidigare som publicerats i Sverige med direkt anknytning till lärande i matematik är att det så tydligt framgår vad som utgör deras gemensamma fiende, nämligen en undervisning baserad på regler och övningsuppgifter vilken enligt dess kritiker leder till en mekanisk verksamhet. Tidskrift för skolmatematik Låt oss nu ta ett kliv framåt i tiden, till mitten av 1950-talet. Tidskrift för skolmatematik är lite av en föregångare till Nämnaren (som började ges ut 1974). Tidskrift för skolmatematik var tänkt att fungera som ett forum för lärares diskussion kring undervisningen i matematik (skolämnets namn höll precis på att ändras till matematik från det tidigare, med uppdelningen i räkning och geometri). Tyvärr tycks projektet inte ha burit sig ekonomiskt och totalt kom den bara ut i åtta nummer. Utan att därmed förringa själva idén med projektet kan man tillägga att det inte bar sig trots en med dagens mått mätt tämligen skamlös sammanflätning av läroboksreklam med artiklar där författaren får förklara sin läroboks förtjänster. Men nog om det. En genomgång av tidskriftens åtta nummer visar att man vid denna tid intresserade sig mycket för metod, det vill säga hur man på bästa sätt borde behandla ett eller annat område inom undervisningen. Ett återkommande tema är divisionsräknandets metodiska behandling. Gudrun Malmer konstaterar i en av sina två artiklar om flanellografen: Det finns väl knappast något problem inom räkneundervisningen, som så livligt debatterats och debatteras, som frågan om den metodiska behandlingen av räknesättet division. 9
Man var också väldigt intresserad av elevernas prestationer. Sedan andra världskrigets slut hade den matematiska statistiken vuxit fram som ett centralt redskap inom psykologi och samhällsvetenskap. Jag tror att man kan tala om en sorts mätglädje som omsattes i detaljerade undersökningar av hur snabbt eleverna kunde räkna olika typer av tal, hur rätt de räknade, om deras resultat förbättrades eller möjligtvis försämrades över tid, skillnader mellan flickor och pojkar, mellan olika socialgrupper, mellan skolor, och så vidare. Följande rubrik är typisk: Hur fort adderar en tredjeklassare i folkskolan två ensiffriga tal? med en artikel följd av bilder på experimentuppställningen, tabeller, kurvor och statistisk analys. Man mätte elevernas räknefärdighet. Kom sig intresset för att mäta den av att man tänkte att räknefärdighet var något viktigt, eller ligger möjligtvis det omvända närmare sanningen: själva möjligheten att mäta och räkna tvingade fram en uppvärdering av denna mekaniska, som man också ofta kallade den, räknefärdighet? Till saken hör även att det var under denna tid som provräkningar tog plats som en central del av skolmatematiken. Det var vid denna tid som man började sortera och klassificera eleverna och använda kunskaper i matematik som ett sätt att reglera deras rörelse genom det nyuppfunna utbildningssystemet. Matematiken öppnade för kvantifiering, inte minst av kunskaper. Men det verkar också som att detta synsätt, att värdera det kvantitativa och därmed exakta, gjorde avtryck på hur man tänkte kring undervisningens mål. Torsten Husén förklarar i inledningen till en artikel med titeln Något om barnens kvantitetsvärld vid skolgångens början: Målet för räkneundervisningen är att lära barnen att ur kvantitativ synpunkt behärska en rad företeelser i deras omgivning. Rent allmänt betyder detta, att lärogången skall syfta till att systematiskt ge varseblivningarna av omvärlden en sådan struktur, att de kvantitativa momenten kommer att framhävas. Vad tänkte man om skolmatematikens förflutna på 1950-talet? I en av artiklarna kan man läsa följande beskrivning: Den gamla skolan: brist på åskådlighet, inte en enda figur eller bild, siffror, siffror och åter siffror, och en uppsjö av stela, mekaniska»reglor». Det viktigaste var att lära barnet komma fram till ett numeriskt riktigt resultat med hjälp av ett sinnrikt system av regler som naturligtvis måste pluggas in, så att eleven säkert kunde rabbla dem utantill. [En] modern lärare, som aktivt upplever de nya idéerna inom räknepedagogiken, har svårt att fatta att det verkligen är möjligt, att räkneundervisningen en gång inte så länge sen kunnat läggas upp så urtråkigt, så mekaniskt trist och så pedagogiskt felaktigt! Redaktör Edvin Ferner, skriver i första numret av sin nya tidskrift: Matematik har ofta ansetts som ett svårt och inte sällan urtrist ämne. Framförallt förr kunde räkneundervisningen urarta till ett dödande tråkigt, torrt sifferräknande. Och dock har detta ämne så rika inneboende möjligheter, att matematikundervisningen kan göras trivsam och rolig, ja t.o.m. fascinerande. Om räknetimmarna lägges upp på rätt sätt kan de faktiskt bli skolschemats mest omtyckta timmar! Och det är förstås detta som han ville bidra till att åstadkomma med sin tidskrift; att upprätta ett forum för debatt och erfarenhetsutbyte. 10
Man ansåg sig ha kommit långt på den rätta vägen. Även om man talade ganska mycket om färdighet och prestationsmätning betonade man också vikten av att barnen fick verkliga begrepp om talen. Detta skulle de få genom en övergång, i ett för barnen lämpligt tempo, från konkreta upplevelser och räknehandlingar till abstrakta uttryck. En av artikelförfattarna är nästan lite lyrisk över den senaste tidens utveckling vad gäller läroböcker och skriver: De sista 10 15 åren bildar här en ny blomstrande epok. Läroböckerna i räkning ha blivit många kanske alltför många men alla äro de åskådliga, färggranna, trevliga och alla följa de den moderna skolans princip att söka göra räknebegreppen gripbara, förståeliga för barnen och de äro fyllda av räknelekar och aktiva övningar. Men det fanns också problem. Ovan såg vi hur Johan Peter Velander förespråkade en ny sorts läroböcker som, så långt möjligt, tog över lärarens jobb. Nu, ett drygt halvsekel senare, kan vi höra ett klagomål som tycks ha med denna ambition att göra: En allmän uppfattning är väl, att läraren i allmänhet rätt obrottsligt följer den lärobok han använder, trots räknemetodikers visa råd om att ej låta binda sig alltför mycket av den. M. gjorde vid ett tillfälle en enquete bland 34 lärare i ett överläraredistrikt endast en lärare avvek från läroboken! Därav vågar man väl dra den intressanta slutsatsen att det inte är så mycket kursplanen som kursboken som följes! Kanske är det så att problemen som behövde hanteras på Velanders tid ledde till en typ av läroböcker som så att säga blev för bra, så effektiva när det gällde att strukturera undervisningen att de bitit sig fast som nödvändiga för att få skolmatematiken att fungera. Man kan i så fall fråga sig vad som skulle krävas för att förändra denna situation om man nu vill strukturera undervisningen på något annat sätt än genom läroboken. Det finns mycket att upptäcka i Tidskrift för skolmatematik för den som är intresserad av förhistorian till dagens matematikdidaktiska diskussionsämnen. Ett ytterligare exempel rör frågan om man skall fokusera på själva talen något som på 1800-talet kallades för den monografiska metoden eller om man skall fokusera på räknandet. Fil dr Helge Haage skriver att man under vetenskapens täckmantel ägnar sig åt att studera talbilder med grupperade punkter, men att detta innebär att försumma det långt väsentligare, nämligen talramsan. Men Haage stod knappast oemotsagd. Matematikern Torbjörn Ljunggren introducerar i sin artikel En matematiker ser på låg- och mellanstadiets matematikundervisning begreppet mängd och föregriper därmed den omvälvande vågen av ny matematik på 1960- och 1970-talet. Mängdläran, som den kallades, passade mycket bättre med talbilderna än ramsräknandet. Kanske kan man se den nya matematikens bollande med mängder som den monografiska metodens brittsommar. Alternativt har den kanske framtiden för sig. Länkar till Tidskrift för skolmatematik: 1955, nr. 1: gupea.ub.gu.se/handle/2077/27896 1955, nr. 2: gupea.ub.gu.se/handle/2077/27897 1955, nr. 3: gupea.ub.gu.se/handle/2077/27898 1955, nr. 4: gupea.ub.gu.se/handle/2077/27899 1956, nr. 1: gupea.ub.gu.se/handle/2077/27900 1956, nr. 2: gupea.ub.gu.se/handle/2077/27901 1957, nr. 3: gupea.ub.gu.se/handle/2077/27902 1957, nr. 4: gupea.ub.gu.se/handle/2077/27903 Ytterligare diskussionen kring matematikundervisning finns att läsa i Nämnarens artikelarkiv. Se också artiklar om undervisning i ett historiskt perspektiv i Tal och räkning 2, Problemlösning och Geometri och statistik utgivna av Studentlitteratur i början av 90-talet (G. Emanuelsson, B. Johansson & R. Ryding (red)). 11