Övningar i Matematisk Modellering Kalle Åström Matematikcentrum Lunds Universitet
Innehåll Innehåll Förord ii iii 1 Matlab och LaTeX, läsvecka 1 1 2 Matlab och LaTeX, läsvecka 2 6 3 Matlab och LaTeX, läsvecka 3 10 4 Matlab och LaTeX, läsvecka 4 12 5 Matlab och LaTeX, läsvecka 5 14 6 Matlab och LaTeX, läsvecka 6 17 ii
Förord Detta övningshäfte är speciellt skriven för kursen i matematiks modellering 1 som ges vid LTH. Kursmaterialet är tänkt att inkludera både träning i praktiska moment i La- TeX, Matlab och Maple, såväl som övningar i matematisk modellering och analys. Lund 041006 Kalle Åström iii
iv INNEHÅLL
Kapitel 1 Matlab och LaTeX, läsvecka 1 1.1 Starta matlab vid din dator, sätt variablerna a till 3 och b till 5. Beräkna c = sin(a)*cos(b) 1.2 Hämta en tom rapportmall på http://www.efd.lth.se/perf/handledning/exempel_2.tex Öppna textfilen i en texteditor, t ex emacs och fyll i författare, någon titel och annat som du har lust med. Lägg inte ned för mycket tid. Spara filen som matmod-ovn2.tex Skriv i terminalfönstret latex matmod-ovn2.tex Kör latex en gång till. Kör dvips -o matmod-ovn2.p Kör ps2pdf matmod-ovn2.ps matmod-ovn2.pdf Skicka pdf filen till kursledaren med epost. Fyll i Rapportövning matmod som ämne för ebrevet. 1.3 Rita en graf i matlab. Exportera den till en bildfil i jpg format. Skicka bilden till mig med epost med ämne (subject) ovn3 Exportera den till en bildfil i eps format. print -deps ovn3.eps Kopiera din tidigare rapport till cp matmod-ovn2.tex matmod-ovn3.tex Lägg in en figur i din rapport, där du klipper in din fil från matlab. 1.4 Sätt variabeln i till 1 och beräkna i 2, 3 + 4i. 1.5 Verifiera sambandet e iπ = 1 i matlab. 1.6 Beräkna i i i matlab. 1.7 I matlab, beräkna sin(π), 1.8 Gör ett skript som räknar ut summan av talen 1 till 100. 1.9 Gör ett skript som läser in två tal m och n samt beräknar summan m+(m+1)+...+n. 1.10 Gör en funktion som har två inparametrar m och n och en utparameter som är summan m + (m + 1) +... + n. Lägg till ett felmeddelande om n < m. 1.11 Gör en funktion storst som har två inparametrar a och b. Funktionens enda utparameter skall vara det mellersta av dessa tre tal. Lägg till en hjälptext till funktionen så att den syns om man skriver help storst. 1.12 På kurshemsidan finns det länkar till tre skript caesar.m, autocaesar.m och testa_autocaesar.m. Ladda ner dessa och studera dem. 1
SVAR 2 1.1 >> a=3 a = 3 >> b=5 b = 5 >> c = sin(a)*cos(b) c = 0.0400 1.2 1.3 x=0:0.1:10; plot(x,cos(x)); print -deps matmod-ovn3.eps 1.4 >> i = sqrt(-1); >> i^2 ans = -1 >> abs(3+4*i) ans = 5 1.5 >> exp(i*pi) ans = -1.0000 + 0.0000i 1.6 >> i^i ans = 0.2079
3 SVAR KAPITEL 1 1.7 >> sin(pi) ans = 1.2246e-16 1.8 Ett förslag är s = 0; for k=1:100; s=s+k; end; disp(s) Om man lägger in ovanstående rader i en texfil summa_ovn.m så kan man exekvera den i matlab med >> summa_ovn 5050 När man skriver summa_ovn i matlabs kommandofönster så exekveras varje rad i textfilen summa_ovn.m precis som om man kört de direkt i kommandofönster. En bieffekt av detta är att variabler som t ex k i exemplet ovan sätts. Vi kanske hellre hade velat att dessa variabler var lokala. I så fall ska man kanske implementera en summeringsfunktion i stället. En annan variant är att utnyttja matlabs möjlighet att arbeta på hela vektorer. Det finns en funktion sum som om den får en vektor som inargument, returnerar summan av elementen i vektorn. Ett skript som beräknar och skriver ut summan av talen 1 till 100 blir då >> sum(1:100) ans = 5050 1.9 sum(m:n) 1.10 En funktion som beräknar summan är följande. function s = minsumma(m,n); % function s = minsumma(m,n) % beräknar summan av talen m, m+1,..., n-1, n s = sum(m:n);
SVAR 4 De kommentarsrader som följer efter funktionsdefinitionen skrivs ut om man skriver help minsumma. Man kan lägga in mer kontroll och felmeddelanden genom matlabfunktionen error. Då kan det se ut så här function s = minsumma(m,n); % function s = minsumma(m,n) % beräknar summan av talen m, m+1,..., n-1, n if nargin<2, error( Funktionen minsumma behöver två inargument ); end; if m>n, error( I funktionen minsumma måste n>=m ); end; s = sum(m:n); Här följer lite exempel på användning av den nya funktionen >> help minsumma function s = minsumma(m,n) beräknar summan av talen m, m+1,..., n-1, n >> minsumma(10)??? Error using ==> minsumma Funktionen minsumma behöver två inargument >> minsumma(10,4)??? Error using ==> minsumma I funktionen minsumma måste n>=m >> minsumma(1,100) ans = 5050 1.11 Ett exempel är function d=storst(a,b); % function d=storst(a,b) - returnerar det tal d som % är störst av talen a och b. if (a>=b)
5 SVAR KAPITEL 1 d=a; else d=b; end; 1.12
Kapitel 2 Matlab och LaTeX, läsvecka 2 2.1 Använd matlab för att lösa övningsuppgift 1.3 i linjär algebra, dvs x 2y + z = 1 2x 6y + 6z = 2 3x + 5y + z = 3 2.2 Konstruera en matlabfunktion som returnerar det n te värdet f n i Fibonacci-följden, som definieras av f 0 = 0, f 1 = 1, f n = f n 1 + f n 2 2.3 En urgammal metod för att beräkna approximationer till kvadratrötter är följande. Antag att vi vill bestämma y = x. Om y 0 är ungefärlig lösning till ekvationen f(y) = y 2 x = 0, så är y 0 + x/y 0 2 en ännu bättre lösning. Konstruera en matlabfunktion y = mysqrt(x,yinit,precision) som returnerar en approximativ kvadratrot. Sluta när skillnaden mellan två iterationer är mindre än precision. 2.4 Skriv en funktion [smallvalue,smallindex]=findsmallest(a,low,high) som hittar det minsta värdet smallvalue och index smallindex, för det minsta värdet bland elementen från index low till index high en vektor a. 2.5 Skriv en skript som läser in ett heltal och skriver ut dess siffersumma. 2.6 Skriv ett matlabskript som läser in ett heltal n och beräknar s n = n k=1 1 k 2. Vad konvergerar s n mot? Med andra ord vad är lim n n k=1 1 k 2? 6
7 SVAR KAPITEL 2 2.1 >> A=[1-2 1;2-6 6;-3 5 1] A = 1-2 1 2-6 6-3 5 1 >> b = [1;2;3] b = 1 2 3 >> x = inv(a)*b x = 10.0000 6.0000 3.0000 2.2 Det finns flera sätt att lösa problemet. Ett sätt är att iterera sig fram till rätt punkt med hjälp av iterationsformeln function fn = myfibonacci(n); % function fn = myfibonacci(n); % calculates the n th fibonacci number if n<0, error( n får inte vara negativ ); elseif n==0, fn = 0; elseif n==1, fn = 1; elseif n==2, fn = 1; else f(1)=1; f(2)=1; for k=3:n; f(k)=f(k-1)+f(k-2); end; fn = f(n); end; Ett annat sätt är att definiera det rekursivt function fn = myfibonacci(n);
SVAR 8 % function fn = myfibonacci(n); % calculates the n th fibonacci number n = round(n); if n<0, error( n får inte vara negativ ); elseif n==0, fn = 0; elseif n==1, fn = 1; elseif n==2, fn = 1; else fn = myfibonacci(n-1) + myfibonacci(n-2); end; Ett annat sätt är att analysera fibonacciföljden och skriva upp ett utryck för det n te elementet. 2.3 Här kommer en lösning som använder while. function y = mysqrt(x,yinit,precision); % function y = mysqrt(x,yinit,precision); % calculates the square root of x y0 = yinit; y1 = (y0+x/y0)/2; while abs(y1-y0)>precision, y0 = y1; y1 = (y0+x/y0)/2; end; y = y1; 2.4 2.5 function ss = minsiffersumma(n); % function ss = minsiffersumma(n); n = abs(round(n));
9 SVAR KAPITEL 2 ss = 0; while n~=0, siffra = rem(n,10); ss = ss + siffra; n = floor(n/10); end; 2.6 Ett kort skript som beräknas delsumman s n är n = input( Mata in ett positivt heltal n ); ss = sum(1./(1:n).^2); disp(ss); Delsummorna konvergerar mot π 2 /6. Hur kan man visa det Mata in ett positivt heltal n 10000 1.6448 >> pi^2/6 ans = 1.6449 Om man är intresserad av att se hur delsummorna förändras över tiden kan man prova n = input( Mata in ett positivt heltal n ); ss = cumsum(1./(1:n).^2); plot(ss);
Kapitel 3 Matlab och LaTeX, läsvecka 3 3.1 Konstruera ett matlabskript som läser in en sträng och skriver ut den baklänges. 3.2 Konstruera ett matlabskript som läser in en sträng och skriver ut ascii-värden för strängen. Ledtråd: skriv help abs. 3.3 Konstruera ett matlabskript som simulerar n tärningskast med k tärningar. Beräkna för dessa n tärningskast summan av de k tärningarnas värde. Plotta ett histogram över dessa summor. 10
11 SVAR KAPITEL 3 3.1 En lösning är följande skript s = input( Skriv in en sträng:, s ); baklanges = s(end:-1:1); disp(baklanges); Observera att man med optionen s i input kan läsa in strängar. 3.2 En lösning är följande skript s = input( Skriv in en sträng:, s ); disp(double(s)); Observera att man med optionen s i input kan läsa in strängar. 3.3 Jag gör först en rutin som simulerar n stycken försök där man kastat k tärningar och räknat ut summan. function sdice = throwkdice(k,n); dice = ceil(rand(k,n)*6); % Genererar n kolumner med k tärningskast. sdice = sum(dice); %summerar de k kasten för varje kolumn. Sedan skriver jag i kommandofönstret hist(throwkdice(2,1000),2:12); hist(throwkdice(4,10000),4:24);
Kapitel 4 Matlab och LaTeX, läsvecka 4 4.1 Skriv ett funktion mineval.m, vars enda inargument är en sträng funktionsnamn med ett funktionsnamn. Använd strängkonkatenering för att sätta samman ett matlabkommando kommando som med eval kan användas för att anropa funktionen med inargument 0.2. Använd feval för att räkna ut funktionen med namnet i funktionsnamn i punkten 0.2. 4.2 Skriv ett funktion minplot.m, vars enda inargument är en sträng funktionsnamn med ett funktionsnamn, för den funktion man vill plotta. Antag att man standardmässigt vill plotta funktionen i intervallet 0 till 10. Använd feval för att räkna ut funktionens värden. 12
13 SVAR KAPITEL 4 4.1 funktionsnamn = sin ; punkt = 0.2; kommando = [ svar = funktionsnamn ( num2str(punkt) ) ]; disp(kommando); eval(kommando); disp([ Nu är variabeln svar satt till num2str(svar)]); svar = feval(funktionsnamn,punkt); disp([ Nu är variabeln svar satt till num2str(svar)]); 4.2 funktion minplot(funktionsnamn); x = 0:0.1:10; y = feval(funktionsnamn,x); plot(x,y); Sedan kan man använda den nya funktionen för att plotta funktioner. minplot( sin ); minplot( cos ); minplot( sqrt ); minplot( atan );
Kapitel 5 Matlab och LaTeX, läsvecka 5 5.1 Generera en 10 5 matris med slumpmässiga bokstäver ur det engelska alfabetet. Skriv ut matrisen. Sortera raderna i bokstavsordning. 5.2 I Övningar i Analys uppgift 7.23 skall man beräkna längden av en parametrisk kurva (x, y) = (cos 3 t, sin 3 t), 0 t 2π. Gör en plot av kurvan i matlab. Beräkna ett närmevärde till kurvans längd genom att diskretisera kurvan. 5.3 Använd matlab för att försäkra dig om att du inte gjort något slarvfel på uppgift 7.27 i samma övningshäfte. 5.4 I Övningar i Analys uppgift 7.31 studeras en strut som fås när man roterar kurvan y = x 3 för 0 x 1 ett varv kring x-axeln. Illustrera denna strut i en 3D plot i matlab. 5.5 I Övningar i Analys uppgift 7.47 skall man visa att 35 Beräkna summan numeriskt i matlab. 400 k=1 1 k 40. 5.6 I matlab finns ett antal funktioner för att lösa differentialekvationer. En vanlig variant heter ode45. Använd den för att lösa uppgift 8.1, dvs i Övningar i Analys numeriskt. y = x 2 e x, y(0) = 1 5.7 Lös uppgift 8.7 i Övningar i Analys numeriskt, dvs (1 + x 2 )y xy = x, y(0) = 2. 5.8 I matlab finns stöd för symbolisk hantering av formler. Matlab använder sig då av ett annat matematikprogram som heter maple. För att deklarera en symbolisk variabel skriver man x = sym( x ); En symbolisk funktion kan definieras från x, t ex med f = cos(x)^2; Beräkna derivata, primitiv funktion och MacLaurin utveckling av ordning 4 av f. 14
15 SVAR KAPITEL 5 5.1 alfabet = abcdefghijklmnopqrstuvwxyz ; m = alfabet(ceil(rand(10,5)*26)) 5.2 En variant är följande matlabskript steg = 2 * pi/100; t = 0:steg:(2*pi); x = cos(t).^3; y = sin(t).^3; plot(x,y); l=0; for ii = 1:(length(t)-1) l = l + sqrt( (x(ii+1)-x(ii))^2 + (y(ii+1)-y(ii))^2 ); end; disp([ Längden är ungefär: num2str(l)]); Eftersom matlab är bra på att hantera hela vektorer skulle man kunna göra den sista delen utan for-loop, t ex med skriptet steg = 2 * pi/100; t = 0:steg:(2*pi); x = cos(t).^3; y = sin(t).^3; plot(x,y); l = sum( sqrt( diff(x).^2 + diff(y).^2) ); 5.3 Samma som förra uppgiften, byt bara ut definitionen av kurvan, dvs steg = 2 * pi/100; t = -pi:steg:pi; r = 1 + cos(t); x = r.*cos(t); y = r.*sin(t); plot(x,y); l = sum( sqrt( diff(x).^2 + diff(y).^2) );
SVAR 16 5.4 [x,th] = meshgrid(0:0.05:1,(0:0.01:1)*(2*pi)); y = x.^3.*cos(th); z = x.^3.*sin(th); surfl(x,y,z); colormap copper shading interp axis square 5.5 s = sum( ones(1,400)./sqrt(1:400) ); 5.6 yp = inline( x.^2 - exp(-x), y, x ); yp(1,1) yp(0,1) x0 = 0; x1 = 1; y0 = 1; [x,y] = ode45(yp,[x0 x1],y0); plot(x,y); 5.7 yp = inline( (x+x.*y)/(1+x.^2), y, x ); x0 = 0; x1 = 10; y0 = 2; [x,y] = ode45(yp,[x0 x1],y0); plot(x,y); 5.8 x = sym( x ); f = cos(x)^2; fd = diff(f) fi = int(f) maclaurinf = taylor(f,4)
Kapitel 6 Matlab och LaTeX, läsvecka 6 6.1 Skriv ett skript som läser in ett engelskt ord och som beräknar och skriver ut dess bokstavshistogram. Med ett bokstavshistogram för det engelska alfabetet, menas en vektor med 26 tal, där det första anger hur många gånger bokstaven a förekommer och liknande för de andra. 6.2 I filen engelskaord.mat (på hemsidan) finns en matris ordhist av storlek 40000 26 med histogram för cirka 40 000 engelska ord, samt en cell struktur med motsvarande cirka 40 000 ord. Konstruera ett skript som läser in ett engelskt ord, bäraknar dess histogram och tar reda på vilka engelska ord man kan bilda med bokstäverna i det inlästa ordet. 17
SVAR 18 6.1 6.2