Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Relevanta dokument
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 8: Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Föreläsning 12, FMSF45 Hypotesprövning

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

Föreläsning 8, Matematisk statistik Π + E

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

LÖSNINGAR TILL. Matematisk statistik, Tentamen: kl FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 13 maj 2015

TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning

Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall

FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått

TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning

Föreläsning 9, Matematisk statistik 7.5 hp för E Konfidensintervall

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 4 oktober 2016

Föreläsning 11, FMSF45 Konfidensintervall

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

Thomas Önskog 28/

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Föreläsning 17, Matematisk statistik Π + E

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST. Jan Grandell & Timo Koski

Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

1 Bakgrund DATORÖVNING 3 MATEMATISK STATISTIK FÖR E FMSF Något om Radon och Radonmätningar. 1.2 Statistisk modell

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH INTERVALLSKATTNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 24 april 2018

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Föreläsning 5: Hypotesprövningar

Jesper Rydén. Matematiska institutionen, Uppsala universitet Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12

LÖSNINGAR TILL P(A) = P(B) = P(C) = 1 3. (a) Satsen om total sannolikhet ger P(A M) 3. (b) Bayes formel ger

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

Del I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...

EXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIKTE- ORIN (INFERENSTEORIN):

Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p)

EXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIK- TEORIN (INFERENSTEORIN):

TMS136. Föreläsning 13

Del I. Uppgift 1 Låt X och Y vara stokastiska variabler med följande simultana sannolikhetsfunktion: p X,Y ( 2, 1) = 1

Avd. Matematisk statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 7 ( ) OCH INFÖR ÖVNING 8 ( )

Avd. Matematisk statistik

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski

10. Konfidensintervall vid två oberoende stickprov

FACIT för Förberedelseuppgifter: SF1911 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 2016 KL Examinator: Timo Koski

Betrakta kopparutbytet från malm från en viss gruva. För att kontrollera detta tar man ut n =16 prover och mäter kopparhalten i dessa.

Repetition 2, inför tentamen

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar

Föreläsning 8, FMSF45 Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

1. För tiden mellan två besök gäller. V(X i ) = 1 λ 2 = 25. X i Exp (λ) E(X i ) = 1 λ = 5s λ = 1 5

Del I. Uppgift 1 Låt A och B vara två oberoende händelser. Det gäller att P (A) = 0.4 och att P (B) = 0.3. Bestäm P (B A ). Svar:...

TMS136. Föreläsning 11

Avd. Matematisk statistik

F9 Konfidensintervall

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

Datorövning 3 Hypotesprövning och styrka

9. Konfidensintervall vid normalfördelning

FÖRELÄSNING 8:

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 ( ) OCH INFÖR ÖVNING 7 ( )

Introduktion och laboration : Minitab

en observerad punktskattning av µ, ett tal. x = µ obs = 49.5.

Matematisk statistik TMS064/TMS063 Tentamen

Föreläsning 12: Repetition

Föreläsning 3. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 12: Regression

Repetitionsföreläsning

8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning

Standardfel (Standard error, SE) SD eller SE. Intervallskattning MSG Staffan Nilsson, Chalmers 1

Uppgift a b c d e Vet inte Poäng

Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar

Föreläsningsanteckningar till kapitel 9, del 2

TMS136. Föreläsning 10

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Avd. Matematisk statistik

Lufttorkat trä Ugnstorkat trä

σ 12 = 3.81± σ n = 0.12 n = = 0.12

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel

Lösningsförslag till Matematisk statistik LKT325 Tentamen

7.1 Hypotesprövning. Nollhypotes: H 0 : µ = 3.9, Alternativ hypotes: H 1 : µ < 3.9.

Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden

Föreläsning 5. Kapitel 6, sid Inferens om en population

Föreläsning 12: Linjär regression

F14 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.2, , 11.5) Hypotesprövning för en proportion. Med hjälp av data från ett stickprov vill vi pröva

KURSPROGRAM HT-18 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR D, I OCH PI, FMSF45 & MASB03

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Transkript:

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 8 Johan Lindström 21 september 2016 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 1/21 för diskret data : Poisson & Binomial för diskret data Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 2/21 för diskret data : Poisson & Binomial för diskret data Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 3/21

Resultat Testet (och ett test med inferens) är tillgängligt om ni vill träna inför tentan. Ni som inte klarat testet, gör det innan tentan (godkänt höjt från 6 till 7). Alla > 0 rätt Försök 401 325 Försök/student 2.67 2.17 Godkända tester 36.4% 44.9% Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 4/21 I en stad lider man av vattenbrist i genomsnitt ett år av tio. Antag oberoende mellan år av vattenbrist. Vad är sannolikheten att man under de närmaste 30 åren får vattenbrist under minst 5 år? X : Antal år med vatten brist av 30 år Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 5/21 Orterna A och B ligger på var sin sida av ett vattendrag och förbinds av en bro. Antalet fordon som under en minut färdas från A till B är poissonfördelat med väntevärde 3 medan antal fordon i andra riktningen är poissonfördelat med väntevärde 4. Beräkna sannolikheten att det under en minut kommer minst 13 fordon på bron. X A : Antal bilar från A till B X B : Antal bilar från B till A Y = X A + X B : Totalt antal bilar över bron Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 6/21

Tiden det tar att betjäna en kund vid station A är en stokastisk variabel med väntevärde 5.4 minuter och standardavvikelse 4 minuter. Vid station B tar det i genomsnitt 3.7 minuter att betjäna en kund och standardavvikelsen är 1.75. b) Beräkna sannolikheten att det går snabbare att betjäna 50 kunder vid A än 80 kunder vid B. A i : Tid för kund i, station A B i : Tid för kund i, station B 50 S A = A i : Tid för 50 kunder, station A i=1 80 S B = B i : Tid för 80 kunder, station B i=1 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 7/21 för diskret data : Poisson & Binomial för diskret data Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 8/21 (Kap. 9.1.3 & 9.2.3 & 9.3.3) H 0 förkastas om observationerna, θ, avviker för mycket från nollhypotesen θ 0. Testa nollhypotesen H 0 : θ = θ 0 mot mothypotesen (tex) H 1 : θ θ 0 på nivån α; felrisken α ges av α = P(H 0 förkastas trots att den är sann) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 9/21

Olika metoder för att utföra hypotestest 1. Direktmetoden eller P-värde Antag att H0 är sann Räkna ut P-värdet p = P(Få det vi fått eller värre) Om p < α förkastas H0 2. Konfidensmetoden. Gör ett konfidensintervall med konfidensgraden 1 α och förkasta H 0 på nivån α om intervallet ej täcker θ 0. Intervallen skall, beroende på H 1, vara Test H 1 : θ < θ 0 H 1 : θ θ 0 H 1 : θ > θ 0 Intervall: uppåt begr tvåsidigt nedåt begr 3. Testkvantitet T(X) och kritiskt område C Förkasta H 0 om testskvantiteten hamnar i det kritiska området. C och T skall väljas så att α = P(T(X) C) = P( Förkasta H 0 om H 0 är sann ) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 10/21 (Kap. 7.6) Användas för att avgöra hur bra testet skiljer H 0 från H 1. h(θ) = P( Förkasta H 0 om θ är rätt värde ) Typ 1 fel: Typ 2 fel: α = P(H 0 förkastas om H 0 sann) β = P(H 0 förkastas ej om H 0 ej sann) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 11/21 Metoder för diskret data : Poisson & Binomial för diskret data Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 12/21

Dreamliner Metoder NTSB Interim Factual Report (March 7, 2013) Boeing also determined that the probability that a battery could vent was once in every 10 million flight hours. As of January 16, 2013, the in-service 787 fleet had accumulated less than 52 000 flight hours, and during this period two events involving smoke emission from a 787 battery had occurred... Antag att antalet fel per flygtimme är oberoende poisson. Vad är fördelningen för antalet fel under 52 000 flygtimmar? Undersök, på nivån α = 0.001, om två fel är oväntat många? Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 13/21 Metoder LTHs enkät inför studiestart 2013 7. När och hur brukade du förbereda dig för större skrivningar på gymnasiet? a) Läxläsning under hela terminen och därefter repetition inför skrivningen. b) Nästan ingen läxläsning under terminen utan endast inläsningsstudier inför skrivningen. Kvinnor Män Alt. a) 82% 64% Alt. b) 18% 36% Antal svarande 314 579 Undersök, på signifikansnivå α = 0.01, om kvinnliga LTH studenter var flittigare än sina manliga kollegor under gymnasietiden. www.lth.se/fileadmin/lth/omlth/kommunikation/ews/ 2013/Fall_2013_-_Percents_Graphical_-_Lund_-_Gender. pdf Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 14/21 Hypotestest Vilken metod? Metoder Normalfördelad skattning. σ känd: Vilken som helst. σ okänd: Direktmetoden kräver t-fördelningens fördelningsfunktion. Fördelning där μ = X N (μ, V(μ ))... enl. CGS. Vilken som helst Bin, Po,... där D(θ ) innehåller θ. Direktmetoden Går alltid att använda, ibland med normalapproximation. Testkvantitet Kräver normalt normalapproximation. Vid styrkefunktion är det naturligt att utgå från testkvantitet. Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 15/21

Testkvantiter Metoder Antag att vi vill testa H 0 : θ = θ 0. Model Skattning T(X) D(θ )/d(θ ) kvantil X i N ( μ, σ 2) σ känd μ = X μ μ 0 λ X Bin(n, p) X i Po(μ) Notera: σ okänd p = X n μ = X D(μ ) μ μ 0 d(μ ) p p 0 D 0 (p ) μ μ 0 D 0 (μ ) 1. Standardavvikelse/medelfel räknas under H 0. 2. Bin och Po fallet kräver normalapproximation. 3. α-kvantil om ensidigt, α/2-kvantil om tvåsidigt. σ n s n p 0 (1 p 0 ) n μ0 n t(f) λ λ Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 16/21 för diskret data : Poisson & Binomial för diskret data Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 17/21 (Kap. 7.6) Användas för att avgöra hur bra testet skiljer H 0 från H 1. h(θ) = P( Förkasta H 0 om θ är rätt värde ) Typ 1 fel: Typ 2 fel: α = P(H 0 förkastas om H 0 sann) β = P(H 0 förkastas ej om H 0 ej sann) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 18/21

för diskret data En vanligt förekommande (ca 1 på 10) biverkning av Malaria medicin är feber och/eller kliande hudutslag. Genom att justera doseringen av medicinens aktiva ämne hoppas läkemedelsbolaget att minska biverkningarna. I ett första försök med 250 personer rapporterade endast 16 personer biverkningar. 1. Test på nivån 1% om detta tyder på en minskad risk för biverkningar. 2. Utvecklingsavdelningen hävdar att den nya medicinen borde halvera risken för biverkningar (till 1 på 20). Hur många personer borde ingå i försöksgruppen för att, med 95% sannolikhet, upptäcka den minskade risken? Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 19/21 för diskret data : Poisson & Binomial för diskret data Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 20/21 Hypotestest Tolkning Årsmedelvärdet av kvävedioxid i utomhusluft bör inte överstiga 40 μg/m 3 (Miljökvalitetsnorm, 2006 01 01). I en större svensk stad vill man undersöka om gränsvärdet överskrids och ett antal mätningar av NO 2 görs. Gatukontoret (som måste vidta åtgärder om normen överskrids) anser att man bör testa H 0 : μ = 40 μg/m 3 mot H 1 : μ > 40 μg/m 3 Miljöförvaltningen anser däremot att ett lämpligt test är H 0 : μ = 40 μg/m 3 mot H 1 : μ < 40 μg/m 3 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 21/21