MSG830 Statistisk analys och experimentplanering Tentamen 15 januari 2016, 8:30-12:30 Examinator: Staan Nilsson, telefon 073 5599 736, kommer till tentamenslokalen 9:30 och 11:30 Tillåtna hjälpmedel: Valfri kalkylator Antal poäng totalt: 30. För betyget godkänd krävs minst 12 poäng, för väl godkänd 22 poäng 1. Vid Anders Perssons julbord nns alltid någon av kålrätterna grönkål eller brunkål. Under 30% av måltiderna nns det både grönkål och brunkål. Vid hälften av de måltider då grönkål serveras nns det också brunkål. Beteckna händelserna G: grönkål serveras, B: brunkål serveras. (a) Ange med ledning av texten värdet på sannolikheterna: P (B G), P (B G), P (B G) P (B G) = 0.3, P (B G) = 0.5, P (B G) = 1 (b) Beräkna P (B) Här avsåg jag egentligen att först fråga efter P(G) och sedan efter P(B). Nu blev det er steg än det var tänkt 0.5 = P (B G) = P (B G) P (G) = 0.3 P (G) ger att vidare är P (G) = 0.3 0.5 = 0.6 1 = P (B G) = P (B) + P (G) P (B G) = P (B) + 0.6 0.3 vilket ger P (B) = 1 + 0.3 0.6 = 0.7 (c) Beräkna P (G) 0.6 enligt ovan (d) Nej, ty P (B G) = 0.5 0.42 = 0.7 0.6 = P (B)P (G) 2. Skramla nötter heter en hederlig gammal jullek, som nns i många varianter. I en variant startar alla spelare med ett givet antal nötter. En spelare börjar med att gömma en, två eller tre nötter under en kopp och nästa spelare ska gissa hur många där nns. Om den spelaren gissar rätt får hon nötterna under koppen. Sen blir det hennes tur att gömma nötter på samma sätt. Spelet tar slut när alla utom vinnaren har slut på sina nötter. Om man räknar på strategier, så visar det sig att ett bra sätt är att slumpa fram hur många nötter man ska lägga med sannolikheterna 6/11, 3/11 och 2/11 för 1, 2 respektive 3 nötter. (a) Låt Y beteckna det antal nötter som spelaren gömmer med den föreslagna strategin. Beräkna väntevärdet av Y. E[Y ] = 1 6 11 + 2 3 11 + 3 2 11 = 18 11 1
(b) Vad är väntevärdet av antal förlorade nötter vid en gissning om den andre spelaren gissar på två nötter? Låt oss kalla de förlorade nötterna X. E[X] = 0 ( 6 11 + 2 11 ) + 2 3 11 = 6 11 3. I Anders Perssons hem tändes 20 värmeljus på julafton och dessa ck brinna tills de slocknade. Ljusen var från ICA och Coop. De 10 ljusen från ICA brann i genomsnitt 419 minuter med en standardavvikelse på 25 minuter. De 10 ljusen från Coop brann i genomsnitt 437 minuter med en standardavvikelse på 30 minuter. Testa på 5% signikansnivå om det är någon skillnad mellan de två fabrikaten med avseende på brinntid. Vi ska göra ett tvåsidigt tvåstickprovs ttest med 10 + 10 2 = 18 frihetsgrader och börjar med att beräkna den poolade standardavvikelsen (3p) s p = (10 1)252 + (10 1)30 2 10 + 10 2 = 27.61 och därefter teststatistikan T = 437 419 27.61 1/10 + 1/10 = 1.46 Kritiskt värde är t 0.025,18 = 2.101 (ur tabell A.5) och eftersom 1.46 <2.101 kan vi inte förkasta att de två fabrikaten har lika brinntid. 4. Anders Persson tände också två marshaller vid entren på julafton, juldagen, annandagen, nyårsafton och nyårsdagen. Varje dag tände han en från Rusta och en från Hemköp. Brinntiderna anges nedan 24/12 25/12 26/12 31/12 1/1 Rusta 5.8 5.9 6.3 5.7 6.2 Hemköp 5.4 5.6 6.1 5.7 6.1 Testa på 5% signikansnivå om det nns någon skillnad i brinntid mellan de två fabrikaten. Temperatur och vind kommer att påverka brinntiden, men designen med matchade par trollar bort denna variation. Vi ska alltså göra ett parat t-test med 5 1 = 4 frihetsgrader och börjar med att beräkna de dagliga skillnaderna (0.4, 0.3, 0.2, 0, 0.1) och deras medelvärde D = 0.2 samt standardavvikelse 1 s = 5 1 ((0.4 0.2)2 + (0.3 0.2) 2 + (0.2 0.2) 2 + (0 0.2) 2 + (0.1 0.2) 2 ) = 0.158 T = 0.2 0.158/ 5 = 2.83 Kritiskt värde är t 0.025,4 = 2.776 (ur tabell A.5) och eftersom 2.83 >2.776 kan vi förkasta att de två fabrikaten har lika brinntid. 2
5. I ett projekt på en statistikkurs undersökte en grupp hur vanligt det var med plastgran respektive vanlig gran bland kunder på GeKås. Bland annat jämförde man de som bodde i lägenhet med de som bodde i villa. Av de 49 villaboende hade 11 plastgran. Av de 21 som bodde i lägenhet hade 10 plastgran. Testa på 5% signikansnivå om boendet har samband med val av gran. Tabell med observerade värden Villa Lägenhet Total Plastgran 11 10 21 Vanlig gran 38 11 49 Total 49 21 70 Tabell med förväntade värden Villa Lägenhet Total Plastgran 14.7 6.3 21 Vanlig gran 34.3 14.7 49 Total 49 21 60 Teststatistikan är chi2fördelad med 1 frihetsgrad χ 2 = (11 14.7)2 14.7 + (10 6.3)2 6.3 + (38 34.3)2 34.3 + (11 14.7)2 6.3 = 4.43 Kritiskt värde för α = 0.05 är 3.843. Eftersom 4.43>3.843 kan vi konstatera att det nns ett signikant samband mellan boende och val av gran. 3
6. På en provyta för granodling följer man granar som nått en meters höjd. Var annat år sågas 6 granar ner och bland annat mäts höjden. Totalt omfattar studien 30 granar. Granarnas höjd används för att med regressionsanalys bestämma den genomsnittliga årstillväxten. Nedan visas utdata från SPSS. Granhöjden har angetts i meter. (a) Hur stor andel av granhöjdsvariansen beror av åldern? Det skattas av R 2 och läses av under rubriken R Square till 95.4%. (b) Hur mycket växer granarna i genomsnitt på 10 år? Under B hittar vi lutningen 0.462 som är den årliga tillväxten. På 10 år växer alltså granarna 10 0.462 = 4.62 meter i genomsnitt. (c) Vad är korrelationen mellan granhöjd och ålder? Vid enkel linjär regression är korrelationen till beloppet R = R 2 med samma tecken som lutningen. Vi får alltså r = 0.977. (d) Kan vi förkasta att populationsmedelvärdet µ av granarnas årliga tillväxttakt är 50 cm? Motivera! Vi använder dualiteten mellan kondensintervall och test. Eftersom 50 cm = 0.5 m ligger i det 95%iga intervallet (0.422,0.501), kan vi inte förkasta nollhypotesen 4
7. I ett annat projekt granodlingsförsök jämförs tillväxttakten på 8 olika orter. På varje ort bestäms den av 10 granar som följs utan att fällas. För att avgöra om det nns någon skillnad i tillväxttakt mellan orterna gör man en analys enligt nedan. (a) Formulera nollhypotesen i variansanalysen. Alla populationsmedelvärdena är lika (b) För vilken/vilka av följande signikansnivåer kan vi förkasta nollhypotesen: 0.01,0.05,0.10 Då p-värdet är 0.052 kan vi bara förkasta för signikansnivå 0.10 (c) Ge ett förslag på en analys som har bättre förutsättningar att detektera skillnader i tillväxttakt. Det är svårt att hitta signikanta skillnader när man har för många grupper. Om man slår samman grupper som bör vara mera lika inbördes är det lättare att hitta skillnader. Om vi väljer att slå ihop dem i landskap istället så bör det nns större möjlighet att nna signikanta skillnader. Bi note (3p) 5
8. Malin har skickat Kronblom att köpa gran på torget i Vinkelboda. Deras julgransfot kan ta granar med en diameter mellan 7.5 och 9 centimeter. På torget säljs granar vars stamdiameter i centimeter är normalfördelad med väntevärde 8.5 cm och standardavvikelse 0.5 cm. (a) Vad är sannolikheten att Kronbloms gran passar foten om han väljer en gran på måfå? Om vi betecknar stamdiametern X och Z är standardiserad normalfördelning så gäller 7.5 8.5 P (7.5 < X < 9) = P ( < X 8.5 < 9 8.5 0.5 0.5 0.5 ) = P ( 2 < Z < 1) = Φ(1) Φ( 2) = 0.8413 0.0228 = 0.8185 (b) Vad är sannolikheten att någon gran passar om Kronblom köper tre granar på måfå? P (Någon gran passar) = 1 P (Ingen gran passar) = = 1 (1 0.8185) 3 = 0.99 6