Ledtrådar till utvalda uppgifter för DAB01, vt011, 17 januari 011. 3.1cd sida 3 Summatecknet antas vara känt för er. Övningen avser mer att kolla på skrivsättet X i som förklaras i boken ungefär mitt på sida 1. Förklaringen har hamnat under rubrik THE ARITMETIC MEA men skrivsättet X i är inte begränsat till beräkningar under den rubriken. 3. sida 3 (a) Se (3.1) sida 1 (b) Se kapitel 3. sida 4. Det viktigaste är att man söker, lite förenklat, det värde som har hälften av alla värden nedanför sig och hälften ovanför sig. Boken ger fler förklaringar på sida 4. Exakt hur man beräknar det är rätt självklart när man väl vet vad det är man vill ha ut. 3.3ab sida 3 Inga nya svårigheter jämfört med 3. och därför kan jag inte ge någon mer förklaring här. 3.5 sida 3 Tricket här är att komma på att median-beräkningen inte kräver vetskap om exakta värden för alla observationer. Se stycket som börjar på rad 3 sida 7. 4.1 ab sida 48 Uppgiften kunde vara lite tydligare med varför man ska använda olika formler. Om man ser materialet som en population så är formlerna (4.11) sida 37 och (4.14) sida 38 rätt. Om man ser materialet som ett stickprov så är (4.1) sida 37 och (4.15) sida 38 rätt. (4.16) sida 39 är bara en omskrivning av (4.1) och (4.17) sida 39 är bara en omskrivning av (4.15). Motsvarande omskrivningar av (4.11) och (4.14) finns bara indirekt i boken. Man kunde bjussa på Population SS: X i ( X i) X i ( X i ) Population Variance: som är motsvarigheterna till (4.16) och (4.17) om data utgör en population. Man kan se att de formlerna ges indirekt av (4.19) sida 41. 4. abcd sida 48 Range diskuteras på sida 33 och framåt. Uppgiften bjuder i övrigt inte på några nyheter. Det står i klartext att det är ett stickprov så det är stickprovsformlerna för SS och varians som avses. 5.10 sida 64 Se kapitel 5.5 sida 59. Här är underlaget ett ganska stort observerat material 5.13 sida 65 Se kapitel 5.5 sida 59. Här är underlaget att vi har vetskap om systemet som undersöks. 1 (a) Det finns en klöver dam och det finns total 5 kort. Svar: (b) Det finns svarta damer och det finns total 5 kort. Svar: 6 (c) Det finns 6 svarta face card och det finns total 5 kort. Svar: Tilläggsfråga: Fundera även på sannolikheten att få ett kort som är black eller face card (eller har båda dessa egenskaper). Varför blir det fel om man adderar sannolikheten för black och sannolikheten för face card? Svar: Det blir fel om man adderar sannolikheten för black och sannolikheten för face card därför att kort som har båda egenskaperna kommer att inkluderas gånger. Se (5.18) sida 61 och texten runtomkring. Det finns 6 svarta kort, 1 face card, men bara 3 som är antingen svart eller face card eller har båda egenskaperna. Frågans svar är därför 3 6. sida 95 Se exempel 6.1ab sida 70 71. Kolla hur uppgiftens deluppgifter hänger ihop med exemplens delfrågor. Förklaringen finns i kapitel 6.1, speciellt sista stycket sida 68, där man försöker förklara hur slår uppsannolikheter och liknande genom att transformera till en standardnormal och sen använda bokens tabell. Detta måste ändå betraktas som ett bok-sätt att lösa uppgiften medan ett dator-sätt inte kräver att man utför standardiseringen utan direkt slår upp svaret efter att ha matat in de förutsättningar man fått i uppgiften. Detta har behandlats på labb. 6.3 sida 95 Se kommentaren till 6. ovan. 6.4 sida 95 Tricket här är att om enskilda värden är normalfördelade med väntevärde µ och standardavvikelse σ så är ett medelvärde av 10 slumpmässigt valda individer en slumpvariabel som också är normalfördelade med σ väntevärde µ med med standardavvikelse 10. Se (6.5) sida 7 och texten runtomkring. Därefter använder man samma metoder som till uppgift 6. och 6.3 men nu med medelvärdet som variabel och med hänsyn till medelvärdets fördelning. 6.5 sida 95 (a) Jfr kapitel 6.3 sida 74, speciellt pkt (a) sida 75 och pkt (c) sida 80. (b) Jfr kapitel 6.4 sida 85 och notera att författaren tänkt sig det som ett enkelsidigt konfidensintervall (framgår inte väldigt tydligt av uppgiften men antas nog vara underförstått med tanke på den enkelsidiga frågeställningen i deluppgift a) vilket behandlas under pkt (a) sida 87. 1
6.6 sida 96 Se kapitel 6.4 igen. otera att (1) Här har man fått σ som underlag, i uppgift 6.5 fick man σ X och () Här har man inte fått veta att enskilda data är normalfördelade så man måste anta att fördelningen av enskilda värden inte är alltför avvikande från normal och att man kan hänvisa till centrala gränsvärdessatsen, se andra meningen i kapitel 6. sida 7. 7. sida 18 Kapitel 7.1 sida 97 beskriver de stora dragen i hur testet ska se ut och kapitel 7. sida 103 ger tilläggsinfo om enkelsidiga test. 7.3 sida 18 Kapitel 7.3 ger hur intervall-beräkningen ska se ut. otera att uppgiften gett antal observationer (som behövs för att bestämma frihetsgraden), medelvärde och standard error som alltså är medelvärdets skattade standardavvikelse, ej enskilda värdens skattade standardavvikelse. Symbolen s X används på flera ställen i boken men jag är inte säker på var den förklaras först. Det kan vara vid (6.8) sida 73. 7.4a sida 18 (a)samma metod som till uppgift 7.3 men nu har man fått s som underlag för utspriddheten, i 7.3 fick man s X. (b)(c)(d) Se kapitel 7.6 sida 114 men notera att lösningen inte blir exakt då det här som best ger det n som krävs för en förväntad intervallvidd. Det nya intervallet kommer att innehålla s beräknat på nya data och det är inte exakt förutsägbart vad det ska bli eftersom det beror på vilka som råkar komma med i stickprovet. Därför kan den nya intervallvidden inte förutsägas, men metoden ger en hygglig bedömning av en rimlig stickprovsstorlek som ger ungefär den vidd man önskat sig. Det går så klart att yttra sig skarpare än vad jag gör ovan men jag tar mig inte tid och plats för att beskriva det bättre än så t.v. Hör av dig om du vill ha mer info. 7.5 sida 18 Se kapitel 7.7 och läs om metoderna där. Tyvärr blir det här överdrivet krångligt och därför rekommenderar jag att du löser det i något program som fixar det enkelt. Du bör så klart försöka förstå vad man är ute efter, varför det är krångligt o.s.v. Bokens framställning ser ut att vara förenklad och lite approximativ men jag har inte försökt kolla om det är en stor eller liten approximation. Om man löser uppgifterna i Minitab, som så vitt jag vet räknar utan förenklingar, så får man svar som är mycket nära de som ges i bokens facit. 7.7abcd sida 18 Här frågar man om test och skattning av varians eller standardavvikelse. Se kapitel 7.11 sida 11 och 7.1 sida 1 och var vaksam på om frågan gäller σ eller σ och hur det hänger ihop med formlerna. 8.1 sida 177 Metoden diskuteras i kapitel 8.1 fr.o.m. sida 130. Om man tror att σ1 = σ så ser förklaringen ut att vara klar när man kommer till slutet av sida 133. Om man tror att σ1 σ så behöver man även läsa pkt (c) sida 137. otera att (8.9) sida 133 antagligen är fel och borde vara t = som går att förenkla till X 1 X µ 0 s X1 X t = X 1 X µ 0 s men inte till t = X 1 X µ 0. Motsvarande fel finns på flera ställen i boken. X1 X s X1 X 8.4 sida 177 Det är ganska rakt på sak att följa (8.4) sida 133 för att få s p och (8.8) sida 133 för att få fram total frihetsgrad om man gör antagandet σ 1 = σ. Det som krånglar till uppgiften är att man testar hypotesen att det är en skillnad på 10 enheter mellan väntevärdena och att man måste skriva in det rätt. Se pkt (a) sida 134 och även (8.10) sida 135. Uppgiften är egentligen lite svårt formulerad då man skriver ungefär Testa hypotesen att medelvikten i population är mer än 10 gram större än medelvikten i population 1 vilket här är en skrivning som hör hemma i H A medan allt snack handlar om att det är H 0 som testas. Jag gillar inte uppgift 8.4s sätt att ställa frågan. Jfr t.ex. formuleringen i uppgift 8.14 där texten talar om vilken nollhypotes det är som testas. Här blir det H 0 : µ µ 1 = 10, H 1 : µ µ 1 > 10 eller H 0 : µ 1 µ = 10, H 1 : µ 1 µ < 10 8.8 sida 177 Jag tror att all diskussion finns i kapitel 8.5 sida 151 t.o.m. pkt (a) sida 151-15. Vi har bara diskuterat vad man är ute efter, alla beräkningar skickar vi vidare till något program. 8.1 sida 178 Det finns inget problem när det gäller metodval eftersom boken säger exakt vad som ska användas. Mann Whitney test beskrivs i kapitel 8.11 med början på sida 163. 9.1 sida 188 Data presenteras på en form där varje dag är en observation och varje observation består av två mätvärden som ska jämföras. Beskrivningen ger att data har parvis struktur och inledningen av kapitel 9 sida 179 beskriver just sådana situationer. Test/skattning ska göras med en metod som tar hänsyn till den parvisa strukturen. Kapitel 9.1 9. med start på sida 179 ger den metodbeskrivning som behövs. 9. sida 188 Det finns inget problem när det gäller metodval eftersom boken säger exakt vad som ska användas. Wilcoxons paired-sample test beskrivs i kapitel 9.5 med början på sida 183.
10.1 sida 5 Här ska man alltså testa nollhypotesen att µ Feb = µ May = µ Aug = µ ov. Vi söker ETT test som jämför alla 4 populationsmedelvärden samtidigt. Kapitel 10 handlar om just sådana situationer och inledningen sida 189 säger bl.a. varför man inte enkelt kan ersätta det med flera (i det här fallet 6) jämförelser mellan två grupper i taget. En metod beskrivs i kapitel 10.1 med början på sida 190. Precis som vid t-test vid två stickprov finns det olika varianter beroende på om man tror eller inte tror att alla populationsvarianserna är lika. Om man inte tror det så finns en alternativ metod under pkt (h) sida 0, men den metoden har vi inte gått igenom och den ska ej ingå i kursen vt010. 10. sida 5 Problemet hör till kapitel 10.3 med början på sida 07, speciellt pkt (a) sida 07. Vi har bara behandlat 10.3 sida 5 Problemet hör till kapitel 10.3 med början på sida 07, speciellt pkt (b) sida 11. Vi har bara behandlat 10.4 sida 5 Problemet hör till kapitel 10.3 med början på sida 07, speciellt pkt (c) sida 1. Vi har bara behandlat 10.5 sida 5 Det finns inget problem när det gäller metodval eftersom boken säger exakt vad som ska användas. Kruskal Wallis test beskrivs i kapitel 10.4 med början på sida 14. 11. sida 47 Det är inget problem med metodval eftersom det står i uppgiften vad man ska göra. Iden med Tukeys test är, om alla stickprov är av storlek n, att härleda fördelningen av X max X min och att kritisk gräns beräknas s n ur den fördelningen. Det innebär att man har rätt risk för att göra typ-i-fel om man i efterhand bestämmer vilka grupper som ska jämföras genom att i efterhand selektera det par av grupper vars medelvärden ligger längst från varandra. Jag tror inte riktigt att boken lyckas förklara iden med Tukeys test. Ett försök finns i kapitel 11.1 sida 7, men jag ser inte direkt att det nånstans beskrivs som fördelningen av nåt som har med största och minsta stickprovsmedelvärdet att göra. 11.4 sida 47 Det är inget problem med metodval eftersom det står i uppgiften vad man ska göra. Man har en förklaring att nu finns ett antal behandlingar och en gemensam kontroll, men här, liksom vid beskrivningen av Tukeys metod, är det svårt att se hur problemet angrips. Vilken är en den underliggande iden och hur används den för härledning av kritisk gräns? 11.5 sida 47 Utgår ur kursen vt010 1.1abc sida 84 Detta är en tvåvägs balanserad variansanalys med flera observationer per cell. Den är tvåvägs därför att man undersöker två förklarande indelningar på en gång. Den är balanserad därför att det är lika många observationer i varje cell. Metoden finns i kapitel 1.1 sida 50. Det är lite trist att inte uppgiften passar på att få med något som ger övning på skillnaden mellan fix och slumpmässig faktor, se pkt (f) sida 199. 1. sida 84 Detta är en tvåvägs balanserad variansanalys med en observationer per cell. Metoden finns i kapitel 1.3 sida 67. 1.3 sida 85 Metoden är inte namngiven i uppgiften så som fallet varit några gånger tidigare. Metoden beskrivs i kapitel 1.7 sida 77. 1.4 sida 85 Metoden finns i kapitel 1.8 sida 81 men utgår ur kursen vt010. 13.1 sida 95 Uppgiften säger exakt vad som ska göras så det finns inget trassel med metodval. 13.3 sida 95 Uppgiften säger exakt vad som ska göras så det finns inget trassel med metodval. 14.1 sida 306 Uppgiften avser en balanserad 3-vägs variansanalys. Jämfört med -vägs variansanalys så införs inga konstigheter uppgiften blir större men knappast svårare. Vi har bara diskuterat datorlösningar för den här sortens problem. Det är lite trist att inte uppgiften passar på att få med något som ger övning på skillnaden mellan fix och slumpmässig faktor, se pkt (f) sida 199. 14. sida 306 Uppgiften avser en balanserad 4-vägs variansanalys. Jämfört med -vägs variansanalys så införs inga konstigheter uppgiften blir större men knappast svårare. Vi har bara diskuterat datorlösningar för den här sortens problem. Det är lite trist att inte uppgiften passar på att få med något som ger övning på skillnaden mellan fix och slumpmässig faktor, se pkt (f) sida 199. 3
14.3 sida 306 Uppgiften avser en obalanserad -vägs variansanalys. Jämfört med balanserad -vägs variansanalys så blir det inte speciellt svårt om faktorerna är fixa, men det blir hopplöst om faktorerna är slump eller blandade samtidigt som det finns interaktion. Vi har inte behandlat den här sortens problem under kursen. I praktiken bör ni fixa det datoriskt den dag ni behöver lösa problem av den här sorten. Minitab ger ett förslag till lösning genom Stat AOVA General Linear Model... och det blir exakt om båda faktorerna är fixa. Läs även kapitel 14.5 sida 304. 14.4 sida 306 Designen är en s.k. Romersk kvadrat och den behandlas i kapitel 14. sida 99. designen har inte betonats under kursen. 15. sida 315 Uppgiften är ett tydligt exempel på en nestad struktur där Sample 1 inom Location 1 inte har nåt med Sample 1 inom Location att göra trots att båda kallas Sample 1 o.s.v. Uppgiften ger inte tydligt om man ska se Locations som fix eller slump faktor, inte heller hur man ska se på Sample. Författaren skriver lite generellt om synsättet i andra och tredje stycket sida 307. Det går att dra en ganska omfattande diskussion om situationer där den netade faktorn är fix och andra varianter och hur det påverkar skattning och test. I den här frågan är det t.ex. uppenbart att om man vill ett populationsmedelvärde så spelar det stor roll om Locations har selekterats för att representera någon viss yta väl, eller om de slumpats bland en stor mängd tänkbara Locations. 17.1 sida 36 Här tänker man sig att variation i omgivningstemperatur har förmåga att förklara variation i syreförbrukning. Temperaturen är den förklarande variabeln som kallas X i formlerna medan syreförbrukningen är responvariabeln som kallas Y. Situationen stämmer bra med vad som beskrivs i inledningen av kapitel 17 sida 38. (a) Se pkt (a) sida 33 och pkt (b) sida 333. (b) Se pkt (a) sida 338 men den har inte varit betonad under kursen i fall med bara en förklaringsvariabel. (c) Se pkt (b) sida 341. (d) Se rad 5 i texten sida 340. (e) Se (17.15) sida 340 och texten runtomkring. (f) Se pkt (b) sida 343. 17. sida 36 (a) se pkt (c) sida 335. (b) se pkt (b) sida 343. (c) se pkt (c) sida 335 igen. (d) se pkt (c) sida 346. 17.3abcd sida 36 Det ser inte ut att vara något nytt, allting har redan behandlats i uppgift 17.1 eller 17.. 19.1ac sida 417 (a) Situationen diskuteras på sida 379 och formeln finns som (19.) på sida 380. (c) Frågan hör till kapitel 19. med start på sida 383 där formel (19.4) ger ett sätt att testa korrelationen m.h.a. t-fördelning. 19. sida 417 utgår, vi kommer bara att ta upp test av H 0 : ρ = 0, H 1 : ρ 0 19.6 sida 417 Uppgiften ger inget trassel med metodval. Se kapitel 19.9 för info om hur testet kan utföras. 0.1 sida 456 Läs inledningen till kapitel 0 sida 419 för en beskrivning av situationen. Därefter skickar vi alla beräkningssteg till något datorprogram. Delfråga (g) skippas. 0. sida 456 Läs om iden med stegvis regression i kapitel 0.6 sida 433. Alla beräkningar bör köras datoriskt. 1.1 sida 464 Kapitel 1, med start på sida 458, beskriver situationen. Därefter utförs alla steg datoriskt. 1. sida 464 Kapitel 1, med start på sida 458, beskriver situationen. Därefter utförs alla steg datoriskt. 3.1a sida 517 Läs om situationen i kapitel 3 sida 490 och om test i kapitel 3.1 sida 49. 3.a sida 517 Läs om situationen i kapitel 3 sida 490 och om test i kapitel 3.1 sida 49. 3.4a sida 517 Läs om situationen i kapitel 3 sida 490 och om test i kapitel 3.1 sida 49. 4.6 sida 58 Metoden beskrivs i pkt (c) sida 534. Det här är ett bra exempel på en approximativ metod som går att trassla sig igenom med miniräknare och tabell när det finns bättre metoder som är mer räknetunga men där räknetungheten inte är ett problem med de datorer vi har idag och den approximativa metoden gott kunde fasas ut. 4.8 sida 58 Se kapitel 4.6 sida 537. 4
4.11b sida 58 Se pkt (b) sida 543. Det här är ett bra exempel på en approximativ metod som går att trassla sig igenom med miniräknare och tabell när det finns bättre metoder som är mer räknetunga men där räknetungheten inte är ett problem med de datorer vi har idag och den approximativa metoden gott kunde fasas ut. 4.1b sida 583 Se pkt (b) sida 543. Det här är ett bra exempel på en approximativ metod som går att trassla sig igenom med miniräknare och tabell. Eftesom man har så stort stickprov med så snäll fördelning är det inget stort problem med att använda en approximativ metod. 4.18 sida 583 Se kapitel 4.13 sida 555. Metoden är egentligen samma som redan använts i kapitel 3.1, se första meningen under kapitel 4.13, så du kan välja att räkna som i kapitel 3 om du tycker att du redan har koll på det. Här ligger man lite illa till p.g.a. små stickprov, jfr kapitel 3.4 sida 503 så du har egentligen inte nåt bra verktyg för att svara på frågan med det dataunderlag som föreligger. 4.19abd sida 583 (a) utgår då ni inte har nåt bra verktyg för det (b) se (.3) sida 469 och texten runtomkring. Jag tror inte ni har nåt bra verktyg för det här utan om man ska göra det så får man göra det för hand. I R är Yates korrektion default i χ -test. (d) se pkt (b) sida 565. 4.0abd sida 583 Se kommentarer tilluppgift 4.19 ovan. OBS att bokens facit inte stämmer läs mer i kommentarerna till uppgift 4.1 nedan. 4.1 sida 584 Uppgiften har tydligt parvis stuk och beräknas med en metod som är anpassad för det. Metoden finns i kapitel 14.7 sida 569. OBS att i bokens facit ges svaret till den här uppgiften som nr 4.0. 5