Logik Filosofiska Institutionen Göteborgs Universitet B-uppsats Vt 08 Handledare: Martin Kaså Palmé MICHAEL KASSLERS TOLVTONSSYSTEM DAVID OLOFSSON

Logik Filosofiska Institutionen Göteborgs Universitet B-uppsats Vt 08 Handledare: Martin Kaså Palmé MICHAEL KASSLERS TOLVTONSSYSTEM DAVID OLOFSSON

MICHAEL KASSLERS TOLVTONSSYSTEM DAVID OLOFSSON Sammanfattning. Denna uppsats redogör för Michael Kasslers formella system för tolvtonsmusik. Fokus kommer dock främst att ligga på det av systemen som Kassler benämner R. Vi konstruerar ett reguljärt uttryck och bevisar att detta genererar teoremmängden för R R, en restriktion av R, och konstaterar att mängden av teorem är precis mängden av strängar vårt reguljära språk består av.. Inledning Inte helt oberoende av varandra utvecklade Josef Mathias Hauer (883-959) och Arnold Schönberg (874-95) runt 920-talets början tolvtonsteorin. Av dessa två kom Schönberg och hans elever, framförallt Alban Berg (885-935) och Anton von Webern (883-945), att bli de mer kända. För Schönberg gav tolvtonsmetoden bland annat möjligheten att, utifrån en given serie bestående av den kromatiska skalans tolv toner, återgå till att komponera i större former och att undvika upprepningar av tonklasser i sina atonala kompositioner. Från att ha varit ett tolvtonstema kom serien sedemera att genomsyra hela strukturen hos kompositionerna. I korta drag, och generellt sett, bygger en tolvtonskomposition på en serie av den kromatiska skalans tolv toner utan upprepningar. Låt oss nu säga att vi befinner oss i ett förkompositoriskt stadium där vårt material (dvs. vår tolvtonsserie) inte än är musikaliskt bearbetat. Tolvtonserien kan nu transformeras, för att utvidga våra kompositoriska möjligheter, genom transposition, inversion och retrogression. Om tolvtonsserien ses som en sträng av tal (exempelvis 0,,2,3,4,5,6,7,8,9,0,) fungerar transposition som addition (mod. 2), inversion 2 n för alla n i serien (mod. 2), medans retrogression ger serien baklänges. Dessa 48 serier ger grunden för vår tolvtonskomposition. Även att tonupprepningar inte förekommer i serien, och har i teorin setts som förbjudet, förekommer detta och upprepningar av segment av serien i praktiken. Det ska tilläggas att den ovan beskrivna metoden för tolvtonskomposition inte är den enda, även om det kanske är den mest kända. Som exempel kan nämnas George Perle som i [8] presenterar sin tolvtonstonalitet som bygger på en så kallad allintervallserie. Denna serie innehåller alla intervall inom oktaven mellan varje par av toner. Genom att kombinera inversioner av serien bildar Perle vad han kallar för neighbor-tone collections vilket ger, tack vare symmetrin hos serien, ett till storlek begränsat harmoniskt material. Tvärtemot rådande praxis bland kompositörer under 900-talets första hälft manifesterade Schönberg inte sina teorier i skrift. Förutom Composition with Twelve Tones i [9] finns inga texter om tolvtonsteori av Scönberg. Det var främst i USA, med kompositören och musikteoretikern Milton Babbitt (96-) i spetsen, som tolvtonssystemet kom att utsättas för grundliga studier. Babbitt visade i bland annat

2 DAVID OLOFSSON [], [2] och [3] hur Schönberg strukturerade sina kompositioner och pekade på vissa serier med speciell betydelse för hur kompositionerna kom att utformas. Med detta lade Babbitt grunden för hur forskning kring tolvtonssystemet kom att se ut. Främst bestod denna forskning i studier av seriers egenskaper, invarians av segment under olika transformationer, seriers möjligheter att bilda aggregat dvs. vertikala tolvtonsserier, partitioner av aggregat och andra kompositionstekniska möjligheter. Från att i första hand ha lånat stor del av terminologin från matematik och logik började man snart också tillämpa dessa vetenskaper i tolvtonsteorin. Främst skedde detta i form av gruppteori och mängdteori vilket kom att sprida sig till andra grenar av musikteorin. 2. Kasslers formella system Michael Kassler, en av Babbitts studenter, presenterar i [4] och [6] de formella systemen R, R 2, R 3 och R 4. Dessa system, med olika former av tolvtonskompositioner som teorem, ska i någon mening fungera som analysverktyg för tolvtonsmusik. Vart och ett av systemen kan ses som modellera en del av kompositionsprocessen: I R kan alla tolvtonsserier härledas och i den valda serien kan segment och enstaka toner upprepas. I R 2 kan flera serier sättas samman om de är relaterade genom tolvtonsoperatorerna transposition, inversion eller retrogression. Axiomen i R 2 är teoremen i R som är de kompositioner som Kassler kallar för monolynear. Dessa kompositioner är enstämmiga med helnoten som enda notvärde. Polyfoni, och möjlighet till en något mer rytmiserad komposition med pauser, ges med införandet av nya symboler och härledningsregler i R 3. Axiomen i R 3 är teoremen i R 2. Med R 4 introduceras ytterligare symboler och regler för rytmisering vilket leder fram till den färdiga kompositionen. Att detta skulle vara en exakt bild av kompositionsprocessen är föga troligt, men det tycks heller inte vara syftet. Det tycks snarare som Kassler försöker ringa in vissa musikaliska stildrag, vilket också visar sig vara fallet. Trots detta så ger systemen ändå i grova drag en bra översikt över kompositionsprocessen: Komponerande av tolvtonsserien, tematiskt arbete, kontrapunktiska tekniker osv; från ett förkompositoriskt stadium till färdig komposition. Eftersom R och R 2 enbart har monofona kompositioner som teorem kvalificerar följaktligen inte någon av dessa som det twelve-note-class system som Kassler söker. Inte heller R 3 kvalificerar då det visar sig vara för starkt vilket Kassler demonstrerar genom att härleda ett avsnitt ur Chopins etyd för piano, opus 0 nummer 2. Kompositioner som inte är tolvtonskompositioner, dvs. kompositioner som inte bygger på cirkulation av den kromatiska skalans tolv toner ordnade i serier, men innehåller tillräckligt mycket kromatik eller modulerande avsnitt verkar alltså också falla inom ramen för R 3 -teorem. Kassler kräver inte att R 4, som är den enda kandidaten till att vara the twelve-note-class system, ska vara fullständig, dvs. ha alla tolvtonskompositioner som teorem. Han kräver dock att ett sådant system ska ge strukturell information som exempelvis förklaring av tonupprepningar och relationer mellan serier. R 4 visar sig snarare, enligt Kassler, vara ett system inskränkt till Schönbergs tolvtonsmusik än ett system för all tolvtonsmusik (i den mening som beskrivs ovan). Att R 4 inte är sund i detta avseende är inte svårt att se. Att de kompositioner som är härledbara i R 4 enbart är tolvtonskompositioner av Schönberg verkar inte rimligt. Som exempel till detta påstående, men utan bevis, kan nämnas Weberns variationer för piano, opus 27, vilket, enligt Kassler, är ett R 4 -teorem. Trots att

MICHAEL KASSLERS TOLVTONSSYSTEM 3 fler av Schönbergs kompositioner inte är teorem i systemet, så menar Kassler att R 4 ger den kompositoriska grunden för Schönbergs tolvtonsmusik. Man kan anta att R 4 ger oss grunden en ren tolvtonskomposition medan den strukturella information som Kassler kräver av systemet är avvikelserna. I denna mening tycks systemet vara utformat för stilstudier. 3. Finita automater och reguljära uttryck Eftersom mängden av R -teorem är rekursivt enumerabel finns det en Turingmaskin som räknar upp den. I själva verket klarar en enklare maskin denna uppgift, vilket vi visar i avsnitt 4, och ger därför här en kort introduktion till finita automater och reguljära uttryck. En deterministisk finit automat är en kvintuppel (Q, Σ, δ, q 0, F ) där: Q är en ändlig mängd tillstånd, Σ är en ändlig mängd symboler, δ Q Σ Q är en övergångsfunktion, q 0 Q är starttillståndet, F Q är en mängd accepterade sluttillstånd. En finit automat fungerar så att den börjar i ett starttillstånd och arbetar sig igenom symboler i en input-sträng. Om den, efter att ha förbrukat alla symboler, stannar i ett accepterande sluttillstånd så är automatens input accepterat. Låt exempelvis automaten M =(Q = {q 0, q }, Σ = {a, b}, δ = {((q 0, a, ) q ), ((q 0, b, ) q 0 ), ((q, a, ) q ), ((q, b, ) q 0 )},q 0, F = q 0 ). Denna automat startar i tillstånd q 0, läser den där ett a byter den tillstånd till q, läser den b stannar den kvar i q 0. Läser den i q ett a så stannar den kvar, men läser den ett b flyttar den till det accepterade sluttillståndet q 0 med allt input förbrukat. Automaten som beskrivs ovan är en deterministisk automat (DFA), dvs. dess övergångsfunktion tilldelar precis ett tillstånd för varje symbol och tillstånd. En icke-deterministisk automat (NFA) kan tilldela inget eller flera tillstånd för varje symbol och tillstånd, men varje språk som accepteras av en deterministisk automat accepteras av någon icke-deterministisk automat ([7] s.60-64). Språk som accepteras av finita automater kan också beskrivas med reguljära uttryck ([7] s.9-93). Syntaxen för reguljärt uttryck definieras som följer: och ɛ (den tomma strängen) är reguljära uttryck, w Σ, där Σ är en mängd symboler, är ett reguljärt uttryck, Om E och F är reguljära uttryck, så är E + F ett reguljärt uttryck, Om E och F är reguljära uttryck, så är EF ett reguljärt uttryck, Om E är ett reguljärt uttryck, så är E* ett reguljärt uttryck, Om E är ett reguljärt uttryck, så är (E) ett reguljärt uttryck. Givet ett språk L Σ*, så är L*= {w 0... w n : n N w i L}, vilket ger alla möjliga strängar i L. Vi definierar semantiken: L ( ) = och L (ɛ) = {ɛ}, L (w) = {w}, där w Σ, L (E + F ) = L (E) L (F ), L (EF ) = {vw : v L (E) w L (F )}, L (E*) = L (E)*, L ((E)) = L (E).

4 DAVID OLOFSSON Ett exempel på ett reguljärt uttryck är E =(0*) som beskriver språket L (E) vilket består av alla strängar med ett ändligt antal nollor, möjligtvis ingen, följt av en etta. 4. Kasslers system R Som enda axiom har R 023456789ab vilket tolkas som en stigande kromatisk skala. Dessa är också språkets enda symboler. Definition. A är en vff A är en sträng med minst en förekomst av varje symbol. Vidare är A en basformel om A = 2. Definition 2. Basen av B är den delformel A av B vars komponenter är alla första-förekomster (från vänster till höger) av symboler i B. Således är A = 2. Definition 3. Om Z är en basformel så är P Z A den vff som erhålls genom att för alla n, där n 2, låta den n:te symbolen i Z substituera varje förekomst i A av den n:te symbolen i basen av A. R har tre härledningsregler. Om A () A= ΓΦ och Γ är första förekomsten i A och ett äkta segment av basen av A, så ΓΓΦ. (Restatement) (2) A = αφ, där α är en symbol, så ααφ. (Repetition) (3) Z är en basformel, så P Z A. (Permutation) Härledningsregel () och (2) tillåter upprepningar av, i tur och ordning, segment, om det är första förekomsten av det segmentet i serien, och enstaka toner. Ett exempel kan vara på plats för definition och härledningsregel (3): Låt A = 073245245b886a99 och Z = 057a23984b6. Då är P Z A = P 057a23984b6 073245245b886a99 = 057a23a2398484b66. Denna regel ger alla 2! tolvtonsserier varför det räcker med ett axiom. Normaliserad härledning Kassler visar i [6] att det finns en normaliserad härledning, eller minimal proof i härledningssytemet: Permutationsregeln kan alltid tillämpas först i en härledning eftersom den, enligt definitionen, opererar på basen av formeln: Likaväl som att utföra permutationsregeln efter repetition och restatementregeln kan vi permutera axiomet och sedan applicera övriga härledningsregler. Likaså kan repetitionsregeln alltid appliceras sist i en härledning. Detta visar vi med följande fyra olika fall av härledningar ur Γα (Γ = Γ X och = Y ): Γ Xαα Rep. Γ XXαα Rest. Γ Xαα Rep. Γ XαXαα Rest. ΓααY Rep. ΓααY Y Rest. I var och ett av fallen kan repetitionsregeln appliceras sist: Γ XXα Rest. Γ XXαα Rep. Γ XαXα Rest. Γ XαXαα Rep. Γα Y Y Rest. ΓααY Y Rep. ΓααY Rep. ΓααY αy Rest. ΓαY αy Rest. ΓααY αy Rep. Restatementregeln kan appliceras från höger till vänster på en sträng. Detta innebär att en sträng kan kontrolleras om det är ett teorem i språket genom att stryka restatementformler från höger till vänster, vilket till sist ger axiomet under

MICHAEL KASSLERS TOLVTONSSYSTEM 5 förutsättningen att man har strykt repetitioner och gjort en permutation. Ett exempel: 00223234534565678789ab89ab 0223234534565678789ab89ab 023234534565678789ab89ab 0234534565678789ab89ab 0234565678789ab89ab 02345678789ab89ab 023456789ab89ab 023456789ab Det tycks uppenbart att denna uppgift kan utföras av en enkel maskin: Läs strängen och vid upprepning, radera det upprepade segment. Detta ger bakvägen (läs exemplet nerifrån och upp) en normaliserad härledning för restatementregeln. Enligt [0] finns i Kasslers bok [5] ett bevis för att det finns en finit automat som accepterar {A : R A}, men eftersom Kasslers bok dessvärre varit omöjlig att få tag på följer här ett oberoende bevis för detta faktum. I själva verket finns en DFA som accepterar detta språk, vilket vi visar genom att ge ett reguljärt uttryck vars språk är precis {A : R A}, men inledningsvis begränsat genom att enbart ta hänsyn till restatementregeln och med ett bestämt axiom (låt oss kalla detta system R R ): T = 0(0)*2(2+02)*3(23+23+023)*... b(ab+9ab+89ab+...+23456789ab)* Vi visar nu att mängden av R R -teorem är precis det språk som beskrivs av vårt reguljära uttryck T. Sats 4. φ L (T ) finns en restatement-härledning från axiomet till φ. Bevis. Induktion. Antag att φ L (T ) men R R φ, och låt φ = wπ vara minsta sådant motexempel. w har erhållits genom *-applikation varför Π L (T ), men φ var det minsta exemplet så R R Π. Restatementregeln ger att R R wπ, men R R φ vilket är en motsägelse. Sats 5. φ är härledd ur axiomet med applikation av restatementregeln φ L (T ). Bevis. Induktion. Basfallet, då φ = 023456789ab, är klart. Induktionsantagande: Antag att om antalet applikationer av restatementregeln är < k så gäller sats 5. Låt φ = ΓΓΠ, och betrakta följande härledning:. (k ) Rest. ΓΠ (k) Rest. ΓΓΠ Eftersom ΓΠ erhållits genom k applikationer av restatementregeln så ΓΠ L (T ), men Γ är ett segment av en basformel (i vårt fall av axiomet) och därför också av vårt reguljära uttryck. En *-applikation ger ΓΓΠ varför φ L (T )

6 DAVID OLOFSSON Vi visar sats 5 med ett exempel: Låt φ = 02323456789ab. φ är tydligen härledd med applikation av restatementregeln, men 23 är ett segment av axiomet och återfinns därför i vårt reguljära uttryck T varför φ L (T ) Det reguljära uttrycket T ovan ger oss inte alla teorem i R eftersom vi begränsade detta till restatementregeln. Ett mer korrekt uttryck för R är därför: T = 00**(0**)*... bb*(a*b*+... + *2*3*4*5*6*7*8*9*a*b*)* Detta uttryck tar även hand om repetitionsregeln varför enbart problemet med permutationsregeln kvarstår. Ett sådant uttryck, vilket skulle ge oss hela teoremmängden för R, består av disjunktionen av alla 2! reguljära uttryck. En intressant fråga, men som dessvärre inte ryms inom ramen för denna uppsats, är huruvida det reguljära uttrycket för R kan optimeras för att minska dess storlek. Referenser [] Milton Babbitt. Some Aspects of Twelve-Tone Composition. The Score, 5:53 6, 955. [2] Milton Babbitt. Twelve-Tone Invariants as Compositional Determinants. Musical Quarterly, 46:246 259, 960. [3] Milton Babbitt. Set Structure as a Compositional Determinant. Journal of Music Theory, 5:72 94, 96. [4] Michael Kassler. A Sketch of the Use of Formalized Languages for the Assertion of Music. Perspectives of New Music, (2):83 94, 963. [5] Michael Kassler. The Decision of Arnold Schoenberg s Twelve-Note-Class System and Related Systems. Clearinghouse for Federal Scientific and Technical Information, 964. [6] Michael Kassler. Toward a Theory that is the Twelve-Note-Class System. Perspectives of New Music, 5(2): 80, 967. [7] John E. Hopcroft Jeffrey D. Ullman Rajeev Motwani. Introduction to Automata Theory, Languages and Computation. Addison-Wesley, 200. [8] George Perle. Twelve-Tone Tonality. University of California Press, 977. [9] Arnold Schönberg. Style and Idea. Philosophical Library, 950. [0] Richard Sharvy. Review. The Journal of Symbolic Logic, 40(4):576 577, 975.