Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, TNK069, , kl 8 13.

Relevanta dokument
Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12

0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2.

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

Avd. Matematisk statistik

f(x) = 2 x2, 1 < x < 2.

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen

FACIT för Förberedelseuppgifter: SF1911 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 2016 KL Examinator: Timo Koski

Avd. Matematisk statistik

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p)

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.

b) Om vi antar att eleven är aktiv i en eller flera studentföreningar vad är sannolikheten att det är en kille? (5 p)

Uppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Uppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p)

Tentamen i matematisk statistik (92MA31, STN2) kl 08 12

(a) sannolikheten för att läkaren ställer rätt diagnos. (b) sannolikheten för att en person med diagnosen ej sjukdom S ändå har sjukdomen, dvs.

Uppgift 1. f(x) = 2x om 0 x 1

Del I. Uppgift 1 Låt X och Y vara stokastiska variabler med följande simultana sannolikhetsfunktion: p X,Y ( 2, 1) = 1

9. Konfidensintervall vid normalfördelning

Avd. Matematisk statistik

Matematisk statistik TMS063 Tentamen

Matematisk statistik TMS064/TMS063 Tentamen

Uppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända

Tentamen MVE302 Sannolikhet och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Flera stokastiska variabler.

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen MVE300 Sannolikhet, statistik och risk

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH FLERDIMENSIONELLA STOKASTISKA STATISTIK VARIABLER. Tatjana Pavlenko. 8 september 2017

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

Avd. Matematisk statistik

cx 5 om 2 x 8 f X (x) = 0 annars Uppgift 4

Bestäm med hjälp av en lämplig och välmotiverad approximation P (X > 50). (10 p)

Del I. Uppgift 1 Låt A och B vara två oberoende händelser. Det gäller att P (A) = 0.4 och att P (B) = 0.3. Bestäm P (B A ). Svar:...

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 15 / TEN 1

b) Beräkna sannolikheten att en mottagen nolla har sänts som en nolla. (7 p)

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp

Avd. Matematisk statistik

TENTAMEN MÅNDAGEN DEN 22 OKTOBER 2012 KL a) Bestäm P(ingen av händelserna inträffar). b) Bestäm P(exakt två av händelserna inträffar).

(a) Avgör om A och B är beroende händelser. (5 p) (b) Bestäm sannolikheten att A inträffat givet att någon av händelserna A och B inträffat.

Exempel. Kontinuerliga stokastiska variabler. Integraler i stället för summor. Integraler i stället för summor

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

1. En kortlek består av 52 kort, med fyra färger och 13 valörer i varje färg.

Avd. Matematisk statistik

SF1915 Sannolikhetsteori och statistik 6 hp. χ 2 -test

, för 0 < x < θ; Uppgift 2

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30

SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST. Jan Grandell & Timo Koski

Avd. Matematisk statistik

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning

Lufttorkat trä Ugnstorkat trä

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30

Avd. Matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

b) Beräkna sannolikheten för att en person med språkcentrum i vänster hjärnhalva är vänsterhänt. (5 p)

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Kurssammanfattning MVE055

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka.

Kurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 05 June 2017, 14:00-18:00. English Version

(a) på hur många sätt kan man permutera ordet OSANNOLIK? (b) hur många unika 3-bokstavskombinationer kan man bilda av OSANNO-

TAMS17/TEN1 STATISTISK TEORI FK TENTAMEN ONSDAG 10/ KL

SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH. PASSNING AV FÖRDELNING: χ 2 -METODER. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 14 maj 2018

Tryckfel i K. Vännman, Matematisk Statistik, upplaga 2:13

Kapitel 10 Hypotesprövning

TMS136. Föreläsning 5

FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data

b) Beräkna väntevärde och varians för produkten X 1 X 2 X 10 där alla X i :na är oberoende och R(0,2). (5 p)

σ 12 = 3.81± σ n = 0.12 n = = 0.12

Föreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått

STATISTISKA INSTITUTIONEN Jakob Bergman

Uppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas.

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 18 AUGUSTI 2017 KL

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning

P =

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Väntevärde och varians

Centrala gränsvärdessatsen (CGS). Approximationer

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004

Exempel på tentamensuppgifter

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Del I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...

Repetitionsföreläsning

χ 2, chi-två Test av anpassning: sannolikheter specificerade Data: n observationer klassificerade i K olika kategorier:

Stokastiska processer och simulering I 24 maj

Föreläsning 7: Punktskattningar

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Lycka till!

Transkript:

LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, TNK69, 26--7, kl 8 3. Hjälpmedel är räknare med tömda minnen samt formelsamling utgiven av MAI. Uppgift -6 bedöms med 3 poäng och uppgift 7 bedöms med -. För betyg 3 på tentamen räcker poäng och för betyg 4 och räcker 4 respektive 8 poäng.. Företaget Komp AB tillverkar komponenter. Sannolikheten för att en komponent har tillverkningsfel är.2. Komponenterna blir feltillverkade oberoende av varandra. (a Vid köp av komponenter, hur stor är sannolikheten att minst 2 komponenter har tillverkningsfel? (b Vid köp av komponenter, bestäm approximativt sannolikheten att femton eller färre är felaktiga. 2. Företaget Komp AB sätter upp en bugdet inför 26. Målet är att ha minst kkr i kassan vid årets slut. Intäkter och utgifter (kkr som anses vara oberoende beräknas vara N(7, 2 resp. N(3,. Vad är sannolikheten att företaget når sitt mål? 3. Företaget Komp AB ämnar testa två tillverkningsprocesser A resp. B. Man jämförde under en tvåveckorsperiod livslängden i timmar hos 3 resp. 2 komponenter tillverkade med process A resp. B. De erhållna livslängderna delades in i tre klasser: Livslängd (h < 2 > 2 Komponenter tillverkade enligt A 2 7 4 Komponenter tillverkade enligt B 8 2 Tyder dessa siffror på att det finns en skillnad i tillverkningsprocesserna A resp. B? Utför ett lämpligt test på signifikansnivån %. 4. Livslängden X i antal år för en komponent antas ha täthetsfunktionen f X (x = (θ, x, θ >. ( + x θ Följande observationer av livslängden är givna.,.2,.9,.2,.8,.8,.6,.7,.9,. (a Bestäm maximum-likelihoodskattningen av θ. (b Uppskatta sannolikheten att livslängden hos en komponent understiger år.. Låt (X, Y vara en kontinuerlig tvådimensionell s.v. Sätt { c e f XY (x, y = (x+y, < x < y, annars. (a Bestäm konstanten c så att f XY (x, y blir en täthetsfunktion för (X, Y. (b Undersök om X och Y är oberoende eller inte. (Noggrann motivering krävs.

(c Beräkna P(Y > kx för varje k. Vad händer då k? 6. Den s.v. X antar värdena,, 2 och 3. Vi har 6 oberoende observationer av X: Utfall 2 3 Antal 72 62 234 43 Testa på signifikansnivån % hypotesen H att X Bin(3, /4. 7. Till ett betjäningssystem med en betjäning och med plats för högst kunder anländer kunder med intensiteten 4 kunder per tidsenhet. Då systemet är fullt förloras anländande kunder. Betjäningstiden är Exp(.2. (a Beräkna den stationära fördelningen för antalet kunder i systemet. (b Hur stor är sannolikheten att en anländande kund förloras?

Svar. Låt Y vara antal felaktiga komponenter bland. Då är Y Bin(,.2. Vi har att P(Y 2 = k= ( P(Y = k = (.8.2.8 9.2.62. Låt Y vara antal felaktiga komponenter bland. Eftersom.2(.2 följer av CGS att Y Bin(,.2 approx. N(2, 4. Vi har att ( Y 2 2 P(Y = P = Φ(.2 = Φ(.2.. 4 4 2. Låt Y N(7, 2 var intäkten och X N(3, vara utgiften. Då är E(Y X = E(Y E(X = 4 och V (Y X = V (Y +( 2 V (X = 2 2 + 2 =, så att Y X N(4,. Vi får ( (Y X 4 P(Y X = P 3. Låt H : A och B ger samma livslängdfördelning. Vi har att 4 = Φ(/.33. Livslängd (h < 2 > 2 Antal komponenter A 2 7 4 3 B 8 2 2 Summa 3 6 2 ˆp ˆp =.4 ˆp 2 =.62 ˆp 3 =.24 Bilda testvariabeln 2 i= j= 3 (x ij n iˆp j 2. Då är n iˆp j (2 3.42 (7 3.622 (4 3.242 + + 3.4 3.62 3.24 ( 2.42 (8 2.622 (2 2.242 + + + 2.4 2.62 2.24 = 8.4. Eftersom 8.4 < 9.22 = χ 2. ((2 (3, så kan H ej förkastas, dvs siffrorna tyder ej på skillnad mellan processrna A och B. 4. Betrakta Likelihoodfunktionen L(θ = Π n f(x k. Då är lnl(θ = ln Π n f(x k = Sättt c = n lnf(x k = n θ n ln ( + x k θ = n ln(θ θ ln( + x k. n ln( + x k. Då är lnl(θ = n ln(θ c θ. Derivera m.a.p θ: L (θ L(θ = n θ c = θ = n + c. c

Eftersom f(x k är L(θ och har teckenväxlingen +. Alltså är θ = + n c en maximipunkt. Eftersom c =. så är MLskattningen ˆθ = + n c = 2.. Vidare är. Vi har att P(X < = = ( n n+c L (θ = L(θ θ c c θ = L(θ θ. f X (xdx = (θ ( + x θ dx = 2.. f XY (x, ydxdy = c dvs c = 2. Marginella täthetsfunktionerna ges av f X (x = f y (y = e x e y dydx = c/2, f XY (x, ydy = 2e x e y dy = 2e 2x, x >, x y f XY (x, ydx = 2e y e x dy = 2e y ( e y, y >. Eftersom f X (x f y (y f XY (x, y är X och Y ej oberoende. Vidare är P(Y > kx = f XY (x, ydxdy = 2 e x e y dydx = 2, k. + k y>kx 6. Om H är sann, dvs X Bin(3, /4, så gäller att sannolikheten för de olika fallen ges av ( ( 3 j ( 3 3 j, p j = P(X = j = j 4 4 dvs p = 3 3 /4 3, p = 3 3 /4 3, p 2 = 3 2 /4 3, och p = /4 3. Vi bildar testvariabeln 3 (x j np j 2 np j j= som är approximativt χ 2 α (3 med 3 frihetsgrader då H är sann. Testet är att förkasta H om Q > χ 2.(3. Vi har att (72 6 27/642 + 6 27/64 (62 6 27/642 + 6 27/64 kx x (234 6 9/642 (43 6 /642 + 8.7. 6 9/64 6 /64 Då χ 2. (3 =.3 kan H förkastas, dvs med felrisken % kan vi påstå att X / Bin(3, /4. 7. Ankomstintensitet λ = 4, betjäningsintensitet µ = /.2 =. Låt N(t vara antalet kunder i systemet vid tiden t. Då är N(t en födelse-dödsprocess med jämviktsekvationerna λp = µp, λp = µp 2, λp 2 = µp 3, λp 3 = µp 4, λp 4 = µp där p j, j =,,..., är de stationära sannolikheterna. Vi får då ( 4 jp p j =, j =,,...,.

Detta tillsammans med = ( 4 j ( ( 4 6 p j = p = p, j= j= dvs p = 6 4 6. Alltså är p j = (4/ j 6, j =,,...,. 46 Vidare är P(N(t = = p = 4 6 4 6.