LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, TNK69, 26--7, kl 8 3. Hjälpmedel är räknare med tömda minnen samt formelsamling utgiven av MAI. Uppgift -6 bedöms med 3 poäng och uppgift 7 bedöms med -. För betyg 3 på tentamen räcker poäng och för betyg 4 och räcker 4 respektive 8 poäng.. Företaget Komp AB tillverkar komponenter. Sannolikheten för att en komponent har tillverkningsfel är.2. Komponenterna blir feltillverkade oberoende av varandra. (a Vid köp av komponenter, hur stor är sannolikheten att minst 2 komponenter har tillverkningsfel? (b Vid köp av komponenter, bestäm approximativt sannolikheten att femton eller färre är felaktiga. 2. Företaget Komp AB sätter upp en bugdet inför 26. Målet är att ha minst kkr i kassan vid årets slut. Intäkter och utgifter (kkr som anses vara oberoende beräknas vara N(7, 2 resp. N(3,. Vad är sannolikheten att företaget når sitt mål? 3. Företaget Komp AB ämnar testa två tillverkningsprocesser A resp. B. Man jämförde under en tvåveckorsperiod livslängden i timmar hos 3 resp. 2 komponenter tillverkade med process A resp. B. De erhållna livslängderna delades in i tre klasser: Livslängd (h < 2 > 2 Komponenter tillverkade enligt A 2 7 4 Komponenter tillverkade enligt B 8 2 Tyder dessa siffror på att det finns en skillnad i tillverkningsprocesserna A resp. B? Utför ett lämpligt test på signifikansnivån %. 4. Livslängden X i antal år för en komponent antas ha täthetsfunktionen f X (x = (θ, x, θ >. ( + x θ Följande observationer av livslängden är givna.,.2,.9,.2,.8,.8,.6,.7,.9,. (a Bestäm maximum-likelihoodskattningen av θ. (b Uppskatta sannolikheten att livslängden hos en komponent understiger år.. Låt (X, Y vara en kontinuerlig tvådimensionell s.v. Sätt { c e f XY (x, y = (x+y, < x < y, annars. (a Bestäm konstanten c så att f XY (x, y blir en täthetsfunktion för (X, Y. (b Undersök om X och Y är oberoende eller inte. (Noggrann motivering krävs.
(c Beräkna P(Y > kx för varje k. Vad händer då k? 6. Den s.v. X antar värdena,, 2 och 3. Vi har 6 oberoende observationer av X: Utfall 2 3 Antal 72 62 234 43 Testa på signifikansnivån % hypotesen H att X Bin(3, /4. 7. Till ett betjäningssystem med en betjäning och med plats för högst kunder anländer kunder med intensiteten 4 kunder per tidsenhet. Då systemet är fullt förloras anländande kunder. Betjäningstiden är Exp(.2. (a Beräkna den stationära fördelningen för antalet kunder i systemet. (b Hur stor är sannolikheten att en anländande kund förloras?
Svar. Låt Y vara antal felaktiga komponenter bland. Då är Y Bin(,.2. Vi har att P(Y 2 = k= ( P(Y = k = (.8.2.8 9.2.62. Låt Y vara antal felaktiga komponenter bland. Eftersom.2(.2 följer av CGS att Y Bin(,.2 approx. N(2, 4. Vi har att ( Y 2 2 P(Y = P = Φ(.2 = Φ(.2.. 4 4 2. Låt Y N(7, 2 var intäkten och X N(3, vara utgiften. Då är E(Y X = E(Y E(X = 4 och V (Y X = V (Y +( 2 V (X = 2 2 + 2 =, så att Y X N(4,. Vi får ( (Y X 4 P(Y X = P 3. Låt H : A och B ger samma livslängdfördelning. Vi har att 4 = Φ(/.33. Livslängd (h < 2 > 2 Antal komponenter A 2 7 4 3 B 8 2 2 Summa 3 6 2 ˆp ˆp =.4 ˆp 2 =.62 ˆp 3 =.24 Bilda testvariabeln 2 i= j= 3 (x ij n iˆp j 2. Då är n iˆp j (2 3.42 (7 3.622 (4 3.242 + + 3.4 3.62 3.24 ( 2.42 (8 2.622 (2 2.242 + + + 2.4 2.62 2.24 = 8.4. Eftersom 8.4 < 9.22 = χ 2. ((2 (3, så kan H ej förkastas, dvs siffrorna tyder ej på skillnad mellan processrna A och B. 4. Betrakta Likelihoodfunktionen L(θ = Π n f(x k. Då är lnl(θ = ln Π n f(x k = Sättt c = n lnf(x k = n θ n ln ( + x k θ = n ln(θ θ ln( + x k. n ln( + x k. Då är lnl(θ = n ln(θ c θ. Derivera m.a.p θ: L (θ L(θ = n θ c = θ = n + c. c
Eftersom f(x k är L(θ och har teckenväxlingen +. Alltså är θ = + n c en maximipunkt. Eftersom c =. så är MLskattningen ˆθ = + n c = 2.. Vidare är. Vi har att P(X < = = ( n n+c L (θ = L(θ θ c c θ = L(θ θ. f X (xdx = (θ ( + x θ dx = 2.. f XY (x, ydxdy = c dvs c = 2. Marginella täthetsfunktionerna ges av f X (x = f y (y = e x e y dydx = c/2, f XY (x, ydy = 2e x e y dy = 2e 2x, x >, x y f XY (x, ydx = 2e y e x dy = 2e y ( e y, y >. Eftersom f X (x f y (y f XY (x, y är X och Y ej oberoende. Vidare är P(Y > kx = f XY (x, ydxdy = 2 e x e y dydx = 2, k. + k y>kx 6. Om H är sann, dvs X Bin(3, /4, så gäller att sannolikheten för de olika fallen ges av ( ( 3 j ( 3 3 j, p j = P(X = j = j 4 4 dvs p = 3 3 /4 3, p = 3 3 /4 3, p 2 = 3 2 /4 3, och p = /4 3. Vi bildar testvariabeln 3 (x j np j 2 np j j= som är approximativt χ 2 α (3 med 3 frihetsgrader då H är sann. Testet är att förkasta H om Q > χ 2.(3. Vi har att (72 6 27/642 + 6 27/64 (62 6 27/642 + 6 27/64 kx x (234 6 9/642 (43 6 /642 + 8.7. 6 9/64 6 /64 Då χ 2. (3 =.3 kan H förkastas, dvs med felrisken % kan vi påstå att X / Bin(3, /4. 7. Ankomstintensitet λ = 4, betjäningsintensitet µ = /.2 =. Låt N(t vara antalet kunder i systemet vid tiden t. Då är N(t en födelse-dödsprocess med jämviktsekvationerna λp = µp, λp = µp 2, λp 2 = µp 3, λp 3 = µp 4, λp 4 = µp där p j, j =,,..., är de stationära sannolikheterna. Vi får då ( 4 jp p j =, j =,,...,.
Detta tillsammans med = ( 4 j ( ( 4 6 p j = p = p, j= j= dvs p = 6 4 6. Alltså är p j = (4/ j 6, j =,,...,. 46 Vidare är P(N(t = = p = 4 6 4 6.