Tema - Matematik och musik

Relevanta dokument
På frågan om vad det kan finnas för

MUSIKMATEMATIK LÄRARHANDLEDNING

GRUNDERNA I MUSIKTEORI Åk 7. Namn:

Instudering. inför. musikteoriprov åk 7

Instudering. inför. musikteoriprov åk 8-9

Namn: Klass: Musikteori

Prov i vågrörelselära vt06 Lösningsförslag

Vad är ljud? När man spelar på en gitarr så rör sig strängarna snabbt fram och tillbaka, de vibrerar.

Grundläggande ljud- och musikteori

Guide till rockgruppens instrument

Ljudmaskiner. Dra med en fuktig pappersbit längs tråden som sitter fast i plastburken. Till påsken kan du göra en påsktupp av en likadan burk.

Musikteori I. av Peter Mikkola. Peter Mikkola 1999 ISBN Tryck Enskede Offset AB. Kopiering förbjuden

Idag. Tillägg i schemat. Segmenteringsproblemet. Transkription

TRUMPET. 1. Stämbygel, 2. Munstycke 3. klockstycke 4. Vattenklaff 5. Ytterdrag

Upp gifter. c. Hjälp Bengt att förklara varför det uppstår en stående våg.

Pianostudio 1.0. Anders Svedberg. Höstterminen Sida 1 av 17. rev 1.02

Nittontonsskalan. Kandidatuppsats Handledare: Lars Kjelldahl Examinator: Mads Dam

GRUNDLÄGGANDE MUSIKTEORI Åk 7 Musiklära, läran om musikens uppbyggnad

TEORI SKALOR INTERVALL HARMONILÄRA KVINTCIRKEL SKALOR PÅ GITARR RYTM ATT STÄMMA GITARREN FLER SÄTT ATT STÄMMA GITARREN ACKORD

Varför musikteori? Toner - grunden inom musikteori

Ljud Molekyler i rörelse

GRUNDLÄGGANDE MUSIKTEORI

Företagets slogan eller motto MUSIK

En kort studie i matematisk musikteori

Nittontonsskalan. Kandidatuppsats Handledare: Lars Kjelldahl Examinator: Mads Dam

Läran om ljudet Ljud är egentligen tryckförändringar i något material. För att ett ljud ska uppstå måste något svänga eller vibrera.

Centrala begrepp och musikteori

Övningsbok I. av Peter Mikkola. Peter Mikkola 2000 ISBN Kopiering endast tillåten enligt licensavtal med Void Note AB

Det finns två typer av stränginstrument: Stråkinstrument och Knäppta Stränginstrument

Instrument. Lär om instrument från olika instrumentgrupper

Trombon. Madenskolan Instrumentkunskap åk5. Blockflöjt. Fiol. Kontrabas. Cello. Stämskruvar. Huvud. Band. Hals. Kropp. Panflöjt.

GRUNDERNA I MUSIKTEORI Åk 7

Stränginstrument: - Har 6 strängar (Finns även med 12) - Finns två grundtyper, stålsträngad och nylonsträngad

Spektrogram att göra ljud synligt

musikböcker nr 21 Detta är ett utdrag ur Intonation i körsång från Gehrmans Musikförlag AB, Stockholm

Musik finns överallt omkring

MEMORERINGSARK Ackord-typer och Beteckningar

Instudering inför musikteoriprov åk 6

ACKORDSPEL PÅ PIANO av Lars Wallenäs

Teoriboken praktisk musikteori

Musiklära Läraranvisning punktskrift. Verksnummer: 40203

MUSIKINSTRUMENT. Instrument kan vara mycket olika. De låter olika och ser olika ut. Instrument gör ljud på fem olika sätt.

Centralt innehåll. O Hur ljud uppstår, breder ut sig och kan registreras på olika sätt. O Ljudets egenskaper och ljudmiljöns påverkan på hälsan.

Några av de mest framstående kompositörerna

Ljud. Låt det svänga. Arbetshäfte

Instrumentkunskap och olika musikgrupper

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

Mål med temat vad är ljud?

Språkljudens akustik. Akustik, akustiska elementa och talanalys

BAROCKEN ca

Information om antagningsprocessen för MUHE68, Musikproducentutbildningen

Musik. årskurs

Vågor. En våg är en störning som utbreder sig En våg överför energi från en plats till en annan. Det sker ingen masstransport

Akustik. Läran om ljudet

Kurs i Allmän musiklära

Typiskt för Medeltiden

Stränginstrument. Instrumentkunskap År 6-9.

ARRANGERADE OCH KOMMENTERADE FÖR SVENSK SÄCKPIPA

Tips för klarinettelever och föräldrar

1 Figuren nedan visar en transversell våg som rör sig åt höger. I figuren är en del i vågens medium markerat med en blå ring prick.

Symfoniorkesterns instrument

Kompendium i Matematik och Musik. Staffan Lundberg

RÖDA TRÅDEN MUSIK ÅK 1 ÅK

Lutande torn och kluriga konster!

Talakustik Ljudvågen period periodtid Frekvens Hz Infraljud ultraljud

instrument och Genrer Ett utdrag Stråkinstrument: Klassisk Musik / Västerländsk konstmusik

Ljud, Hörsel. vågrörelse. och. Namn: Klass: 7A

Talets akustik repetition

KURSPLAN I MUSIK OM SKOLAN STYRDOKUMENT

FYSIK ÅK 9 AKUSTIK OCH OPTIK. Fysik - Måldokument Lena Folkebrant

MusikteoriForum Öst !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

A Synth in its Prime

SML/FMF - Finlands musikläroinrättningars förbund. Piano. Nivåprovens innehåll och bedömningsgrunder

Om du går in på Wikipedia kan du se några av tavlorna och lyssna på dem.

Där finns det mer fakta om instrumenten, youtubefilmer, mm. Det blir prov på detta... kom i tid!

Akustik läran om ljudet

Disposition. Antalet mikrofoner som behövs beror på vad du ska spela in. Vilken mikrofon ska jag välja? Hur nära ska mikrofonerna placeras?

RÖDA TRÅDEN MUSIK ÅK 1 ÅK

Att placera studiomikrofoner

Harry Peronius. ilife

Försättsblad Tentamen (Används även till tentamenslådan.) Måste alltid lämnas in. OBS! Eventuella lösblad måste alltid fästas ihop med tentamen.

PROJEKT LJUD. KOPIERINGSUNDERLAG Martin Blom Skavnes, Staffan Melin och Natur & Kultur Programmera i teknik ISBN

E-strängen rör sig fyra gånger så långsamt vid samma transversella kraft, accelerationen. c) Hur stor är A-strängens våglängd?

Musik. årskurs

RÖDA TRÅDEN MUSIK ÅK 1 ÅK

Typiskt för barocken var terrassdynamik, dvs plötsliga växlingar mellan starkt och svagt. Man började använda sig av affektläran för att återskapa

Kan intonation mätas?

Bilaga A, Akustiska begrepp

Traditionell harmonilära

TENTAMEN. Institution: DFM, Fysik Examinator: Pieter Kuiper. Datum: april 2010

Ljudlära. Ljud är Periodicitet. Introduktion. Ljudlära viktigt ur två aspekter:

Källa: Kunskapsträdet - Fysik

1. a) I en fortskridande våg, vad är det som rör sig från sändare till mottagare? Svara med ett ord. (1p)

Rolf får en gitarr Lärarmaterial

INNEHÅLL 1. INLEDNING PUNKTERINGAR & BINDEBÅGAR...

5-2 Likformighet-reguladetri

Lokal pedagogisk plan

Generering av ljud utifrån fysikalisk simulering

Resurscentrums matematikleksaker

Transkript:

Tema - Matematik och musik Författarna och Bokförlaget Borken, 2011 Allt vi uppfattar som ljud, från den nästan smärtsamma upplevelsen på en rockkonsert till insekternas surr en sommardag, består av mer eller mindre regelbundna tryckvariationer i luften. Dessa tryckvariationer sätter våra trumhinnor i rörelse och vi upplever ljud. Är de regelbundna uppfattar vi dem som toner med bestämd tonhöjd. Ju snabbare tryckvariationerna är desto högre ton uppkommer. Man har i lämningar efter neandertalmänniskan hittat fynd som liknar dagens flöjter. Troligen förekom musik redan för 300 000 år sedan. Man började säkert tidigt att använda flera musikinstrument samtidigt och upptäckte då att flera toner kan klinga mer eller mindre vackert tillsammans beroende på hur höga tonerna är. När vi i våra dagar stämmer musikinstrument justerar vi tonhöjderna enligt ett överenskommet system så att det går att spela på flera instrument samtidigt utan att det låter oskönt. För att förstå varför vissa toner klingar väl tillsammans och andra illa och hur man stämmer musikinstrument tar man matematiken till hjälp. Frekvensen eller svängningstalet hos en ton anges i enheten hertz (Hz). Antalet hertz anger antalet svängningar per sekund. Anslås tonen med frekvensen 110 Hz på ett piano (det tredje a:t nerifrån) uppfattar vi förutom grundtonen också ett antal deltoner (även kallade övertoner). Lyssnar vi uppmärksamt på en ton från en gitarr eller ett piano kan vi höra några av dessa deltoner. Deltonernas frekvenser är heltalsmultipler av grundtonens frekvens (se figuren naturtonsserie nedan). De toner som klingar samtidigt med 110-Hz-tonen har alltså frekvenserna 220 Hz, 330 Hz, 0 Hz, Denna serie av toner brukar kallas en naturtonsserie. Matematik och musik - 1

En trumpet utan klaffar, fingerhål eller ventiler brukar kallas en naturtrumpet. En sådan trumpet kan bara framkalla toner från naturtonserien. Det är uppsättningen deltoner och hur starkt dessa klingar som ger varje instrument dess klangfärg. Att vi kan skilja en flöjtton från en klarinetton beror på att de har olika uppsättningar deltoner. Vi undersöker vilka förhållanden svängningstalen i naturtonserien står till varandra. Det första a:t har frekvensen 110 Hz. Den andra tonen är också ett a men den har dubbelt så hög frekvens, 220 Hz. Man säger att den tonen ligger en oktav högre än den första. Frekvenserna för dessa toner förhåller sig som 220:110 som förkortat är 2:1. En oktav har alltså svängningstalsförhållandet 2:1, vilket betyder att om en ton höjs med en oktav så fördubblas dess svängningstal. Förhållandet mellan de två följande tonerna är 330:220 eller 3:2 och det intervallet kallas kvint. Följande intervall är en kvart. Dess förhållande är :3. Tonen som ligger en kvart högre än 110-Hz-tonen har alltså svängningstalet 110 3 Hz = 2 = 16 Hz. 3 Intervallets namn Svängningstalsförhållande Oktav 2:1 Kvint 3:2 Kvart :3 Stor ters 5: Liten ters 6:5 En helt deltonsfri ton kallas en sinuston. En elektronisk tongenerator kan ge en sinuston. En stämgaffel avger en ton som är så deltonsfattig att den nästan är som en sinuston, likaså en ton man visslar. Man har stämt musikinstrument på många olika sätt genom tiderna. Den metod som beskrevs först kallas pytagoreisk stämning. Filosofen Pythagoras (500-talet f Kr) upptäckte att om man har två lika långa strängar som är spända lika hårt och kortar av den ena till hälften så klingar de båda strängarna i perfekt samklang med toner på en oktavs avstånd från varandra. Om man i stället kortar av strängen med en tredjedel klingar den en kvint högre än den andra (som andra och tredje Matematik och musik - 2

tonen i Blinka lilla stjärna där ). Enligt Pythagoras kan de musikaliska intervallen uttryckas med de enkla talförhållanden som anges i tabellen ovan. Pythagoras anhängare, pythagoréerna, ansåg att allt i hela universum på liknande sätt kunde förklaras med matematiska principer och hela tal. Den pytagoreiska stämningen utgår från rena kvinter och oktaver. Man kan med hjälp av dessa intervall bestämma svängningstalen för alla toner i den kromatiska skalan Kromatisk skala Det går till så här: Börja vid c. Gå en kvint uppåt till g. Fortsätt sedan en kvint uppåt till d. Eftersom man då kommer utanför skalan väljer man det d som ligger en oktav lägre. Gå sedan vidare en kvint uppåt till a, sedan ytterligare en kvint som ger tonen e (här måste vi välja det e som ligger en oktav lägre). Efter detta e kommer tonen h och sedan på samma sätt fiss, ciss, giss, diss, aiss, f och c. Från detta c går vi ner en oktav. Varje gång vi går en kvint uppåt multiplicerar vi svängningstalet med 3 och när vi måste välja en ton som ligger en oktav lägre dividerar 2 vi dessutom svängningstalet med 2. Tonerna i durskalan får följande svängningstalsförhållanden i det pytagoreiska systemet: C D E F G A H C 1 9 81 3 27 23 2 8 6 3 2 16 8 Matematik och musik - 3

Den renstämda skalan bygger på naturtonserien och är mer användbar musikaliskt: C D E F G A H C 1 9 5 3 5 15 2 8 3 2 3 8 prim sekund ters kvart kvint sext septima oktav Om vi vandrar genom tonerna enligt beskrivningen ovan och bestämmer svängningstalen för den kromatiska skalans toner enligt det pytagoreiska systemet borde vi komma tillbaka till utgångspunkten och landa på det svängningstal som vi utgick från. Men vi får ett svängningstal som ligger en aning högre: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5311 19 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 52288 7153 1 1,0136 52288 Detta tal kallas det pytagoreiska kommat. Vårt tonsystem med tolv toner i den kromatiska skalan stämmer tydligen dåligt med de rena kvinterna. Om man stämmer ett piano eller en orgel med rena kvinter så går det bra att spela i tonarter som har grundtonen nära C i kvintcirkeln (se figuren) men ju längre från C man kommer desto sämre stämmer det. Hur tonerna är besläktade kan visas i en kvintcirkel. Matematik och musik -

Man gjorde flera försök att lösa detta problem och på 1700-talet började man stämma i en liksvävande temperatur. Det innebär att man behåller oktaven som ett rent intervall och gör alla halva tonsteg (intervallet mellan en ton och den närmast högre i kromatiska skalan) lika stora. Det betyder att alla intervall utom oktaverna blir lite orena men det märks nästan inte eftersom orenheten är jämnt fördelad. Den skala man då får kallas en tempererad skala. Svängningstalsförhållandet för en liten 1 sekund blir då 1:2. Man får svängningstalet för en ton i den tempererade skalan genom att multiplicera svängningstalet hos en ton vars n 2 svängningstal är känt med. Här är n det antal halva tonsteg som den sökta tonen ligger från den kända tonen. En kvint består av sju halva tonsteg (c ciss d diss e f fiss g). Svängningstalet för c ska multipliceras med 7 2 1, 983 för att man ska få tonen g:s svängningstal. Motsvarande tal för den rena kvinten är 3 1,5 2. Johann Sebastian Bach (1685 1750) skrev Das Wohltemperierte Klavier som är två samlingar med sammanlagt 8 preludier och fugor för klaverinstrument. Bach använder där alla kvintcirkelns tonarter i både dur och moll vilket inte hade skett tidigare. Innan liksvävande temperatur började tillämpas var detta omöjligt. Ur Bachs Das Wohltemperierte Klavier del I (början på giss-mollfugan). Utan tempererad stämning går det inte att spela i tonarter med många förtecken. Matematik och musik - 5

Idag stäms alla tangentinstrument enligt denna princip men det finns fortfarande gamla orglar bevarade som inte har tempererad stämning. En sådan är barockorgeln i Lövstabruks kyrka i Uppland. Modell Räkna med toner Exempel En ton med svängningstalet 563 Hz spelas på en fiol. Vilket svängningstal har dess a) kvint b) ters c) kvart enligt pytagoreiska systemet? Lösning 3 a) 563 Hz 8,5Hz 2 b) 5 563 Hz 703,8Hz c) 563 Hz 750,7 Hz 3 Matematik och musik - 6

G1 Åsa som är arkeolog har hittat en lur från 1000-talet. Hon beger sig med den till Agneta som kan konsten att blåsa i lur. Agneta hittar lurens grundton med frekvensen 10 Hz och lyckas blåsa de sex följande naturtonerna. Vilken frekvens har den högsta tonen hon blåser? G2 En sopran har ett röstomfång som sträcker sig från 261,5 Hz till 106 Hz. Hur många hela oktaver är det? G3 I den pytagoreiska skalan är frekvensförhållandet mellan tonerna C och E 81 6. Vilken frekvens har E om C har 131 Hz? V Eriks gitarr har strängar som är 75 cm långa. När han knäpper på en av dessa alstras en ton på 0 Hz. Erik trycker ner strängen 18,75 cm upp på halsen. Vilken frekvens har tonen som nu alstras när Erik knäpper på strängen? V5 Eriks gitarr har en sträng som är stämd en ren kvint högre än strängen i föregående uppgift. Gitarrens greppbräda är 37,5 cm lång. Vilken är den högsta frekvens den strängen kan alstra? V6 Utgå från tonen a med frekvensen 0 Hz. Beräkna frekvensen enligt liksvävande temperatur för tonen som ligger a) en sext högre b) en septima högre c) tre halva tonsteg lägre. V7 Hur stor blir skillnaden i frekvens mellan en naturlig och en tempererad a) kvart b)ters c) oktav om man utgår från tonen a med 880 Hz? V8 Vår tids normal-a har frekvensen 0 Hz. Under tidigare århundraden har frekvensen hos tonen a varierat. Tonsättaren G F Händels stämgaffel från mitten av 1700-talet har frekvensen 23 Hz. Vilken ton i dagens system ligger närmast Händels a? Matematik och musik - 7

Facit 1. Den sjätte övertonen har frekvensen: 7 10 Hz = 980 Hz. 2. 2 261,5 Hz = 523 Hz och 2 523 Hz =106 Hz. Alltså är röstomfånget 2 oktaver. 3. 131 81/6 Hz = 165,8 Hz. Eftersom 75/18,75 = är den anslagna strängens förhållande till hela strängen 3:. Den alstrade tonen frekvens är:. 0 Hz = 586,7 Hz. 3 3 5. Strängen alstrar en ton på 0 Hz = 660Hz. Erik kan trycka ner 2 strängen så att den anslagna strängen blir 37,5 cm lång. Den anslagna strängens förhållande till hela strängen är 1:2. Alltså är högsta möjliga frekvens 660 2 Hz = 1320 Hz. 9 6. Sexten motsvaras av 9 små sekunder: 0 2 Hz = 70 Hz. 11 Septiman motsvaras av 11 små sekunder: 0 2 Hz = 831 Hz. Tre 3 halva tonsteg lägre: 0 2 Hz = 379 Hz 7. Naturlig stämning Kvart Liksvävande temperatur 5 880 = 1173 Hz 880 2 Hz = 1175 Hz 3 Skillnad i frekvens mellan de två stämningarna 2 Hz Ters 5 880 = 1100 Hz 880 2 Hz = 1108 Hz 8 Hz Oktav 880 2 = 1760 Hz 880 2Hz = 1760 Hz 0 Hz 1 8. 0 2 Hz = 15 Hz. Alltså: Tonen ass (15 Hz) i vårt system ligger närmare Händels stämgaffel (23 Hz) än vårt a som har frekvensen 0 Hz Matematik och musik - 8

Matematik och musik - 9