1 Uppgift 1 Tre personer Alice, Bertil och Caesar kommer till föreläsningar med sannolikheterna 0.52, 0.41 respektive 0.48. De kommer oberoende av varandra. Beräkna sannolikheten att ingen av de tre personerna kommer till en viss föreläsning. Ange ditt svar i procent med minst två decimaler.. 2 Uppgift 2 Slumpvariabeln har en Poissonfördelning med. Beräkna den betingade sannolikheten. Svara i procent med minst två decimaler.. 3 Uppgift 3 Anton har två vågar, våg A och våg B. Han misstänker att vågarna i genomsnitt visar olika vikt. För att försöka avgöra om så är fallet tar han ett av sina bouleklot, som han vet väger ca 700 gram, och väger sedan detta klot sju gånger på varje våg. Resultatet visas nedan. A: 698.7, 698.8, 697.7, 697.5, 697.8, 697.5, 698.3 B: 699.3, 700.1, 700.0, 700.3, 699.1, 700.3, 699.6 Anton vill beräkna ett 90 % konfidensintervall för den genomsnittliga skillnaden i mellan våg A och våg B under lämpliga normalfördelningsantaganden. Hur många frihetsgrader kommer t-fördelningen som används för att bestämma konfidensintervallet att ha? Svara med ett heltal Sidan 1 av 10
4 Uppgift 4 Livslängden (enhet: timmar) för en viss typ av elektronrör är exponentialfördelad med väntevärde 165. Sådana rör ingår i radarutrustningen på ett fartyg, där man i ett lager under däck har 55 elektronrör. När ett elektronrör går sönder byts det genast ut. Beräkna en tid T sådan att lagret räcker åtminstone T timmar med 95 % sannolikhet. Svara med minst två decimaler.. Totalpoäng: 3 5 Uppgift 5 De kontinuerliga stokastiska variablerna ξ1 och ξ 2 är oberoende och har samma fördelning. Fördelningen beskrivs av frekvensfunktionen där c är en konstant. Låt. Beräkna väntevärdet av ξ. Svara med minst två decimaler.. Sidan 2 av 10
6 Uppgift 6 En maskin klipper till bomullsband i bitar, vilkas längder visar en slumpmässig variation sådan att längden (enhet: m) av ett på måfå valt band är N(1.00, 0.1). Vid ett tillfälle vill man ha 5 bitar med en sammanlagd längd på 5 m. Man väljer mellan följande två metoder: 1. Tag ett band slumpmässigt (längd= ) och klipp till ytterligare 4 precis lika långa bitar. Sammanlagda längden blir då = 5. 2. Tag slumpmässigt 5 oberoende bitar (längder ). Den sammanlagda längden blir då Vilken sannolikhet blir störst,? Svara med den största av dessa två sannolikheter. Svara i procent med minst 2 decimaler.. Sidan 3 av 10
7 Uppgift 7 Termoelement är en typ av temperaturgivare bestående av två från varandra isolerade metalltrådar av olika material. I många fall är materialegenskaperna sådana att man kan anta ett enkelt linjärt samband mellan spänning och temperatur. Man ville använda regressionsanalys för att studera hur Y=spänning (enhet mikrovolt) beror av x=temperatur (enhet Farenheit) för ett visst termoelement. Man gjorde 20 mätningar och anpassade en enkel linjär regressionsmodell. Resultatet visas nedan. (Som vanligt står Coef för skattade regressionskoefficienter och SE Coef står för deras skattade standardavvikelser.) Multiple Regression Analysis Dependent variable: Spänning Predictor Coef SE Coef T P Constant 3.67 1.87???? temp (F) 23.49 5.98???? Vad är den genomsnittliga spänningen (i mikrovolt) då temperaturen är 0 Farenheit (ca -18 Celsius)? Besvara frågan genom att beräkna ett 99 % konfidensintervall. Svara med intervallets övre gräns och använd tre decimaler.. Sidan 4 av 10
8 Uppgift 8 Man ville se om det finns skillnad i koldioxidutsläpp (CO2) hos elhybrider av märket Toyota och Mercedes-Benz, om hänsyn tas till motoreffekten. Från Bilsvar.se togs värden fram på CO 2 och motoreffekt (hk) hos 26 bilar varav 13 var Toyotabilar och 13 var Mercedesbilar. Samtliga var elhybrider och hade tillverkningsår 2016. Först gjordes en multipel linjär regressionsanalys med CO2 som beroende variabel och med de förklarande variablerna x 1=hk och x 2, där x 2=1 om bilen är en Toyota och x 2=0 om bilen är en Mercedes-Benz. Delar av resultatet visas i tabellen nedan. (Här står Coef för de skattade regressionskoefficienterna b k, k=0, 1, 2, och SE Coef för deras skattade standardavvikelser s, k=0, 1, 2.) bk Multiple Regression Analysis Dependent variable: Pris Predictor Coef SE Coef T P Constant 96.35 13.27???? x 0.27 0.04???? 1 x -33.19 8.89???? 2 Hur mycket högre är i genomsnitt i CO2-utsläppet för Toyotabilar med 120 hästkrafter jämfört med Toyotabilar med 100 hästkrafter? Besvara frågan genom att beräkna ett lämpligt 99 % konfidensintervall. Ange den nedre gränsen med minst tre decimaler. Sidan 5 av 10
9 Uppgift 9 Är det för lite chips i chipspåsarna? De är märkta med vikten 200 gram, men Evert tycker att de känns mycket lätta. Han beslutar att undersöka vikten. En fredagskväll laddar han med 14 påsar chips av ett visst känt märke, som han då väger innan han öppnar dem. Han får medelvärdet 184 gram, och stickprovsstandardavvikelsen 15 gram. Kan Evert med sitt urval påstå att mängden chips i påsarna, av det kända märket, generellt är för liten? Besvara frågan med att ange den övre gränsen till ett 99% konfidensintervall för väntevärdet µ, och svara med minst två decimaler. Utgå från att påsvikten kan beskrivas med en normalfördelning.. 10 Uppgift 10 Vid undersökning av kvicksilverhalten i gäddor i en insjö har man bestämt kvicksilverhalten i 10 fångade gäddor. De uppmätta värdena x 1, x 2, x 3,..., x 10 kan betraktas som observationer från en normalfördelning där väntevärdet är lika med µ och där standardavvikelsen, som är känd på förhand, är lika med 0.8. För att testa H 0: µ = 0.75 mot H 1: µ < 0.75 har man beslutat sig för att använda testvariabeln w= 0.75 och beslutsregeln förkasta H om w<k, 0 där k är en konstant. (Här är medelvärdet av x, x, x,..., x.) Vilket värde ska konstanten k ha för att testet ska få 10 % signifikansnivå? Svara med minst tre decimaler.. 1 2 3 10 Sidan 6 av 10
11 Uppgift 11 En forskare vill undersöka om en viss medicin har en effekt på reaktionstiden vid bilkörning. För att undersöka om så är fallet valde forskaren ut 10 bilförare slumpmässigt och mätte deras reaktionstider (enhet: millisek) före och efter att de tagit medicinen. Resultatet visas i tabellen nedan. rektionstid före 284 256.1 217.9 277.9 284.8 241 210.3 271.7 275.2 283.2 reaktionstid efter 285.4 264.2 226.4 284.4 290.3 242 208 281.1 273.3 292.9 Forskaren beslutade sig för att man i denna siutation inte kunde anta att reaktionstiderna och deras differenser var normalfördelade. För att testa H 0: medicinen påverkar inte reaktionstiden i genomsnitt, mot den tvåsidiga mothypotesen H 1: reaktionstiden är i genomsnitt längre eller kortare då medicinen används valde forskaren därför att använda metoden med teckentest. Vilken är den lägsta signifikansnivå på vilken H 0 kan förkastas, dvs vad blir P-värdet (betecknas i boken)? Ange ditt svar i procent med minst två decimaler. 12 Uppgift 12 Slumpvariablerna är oberoende och exponentialfördelade med väntevärde lika med 1.5. Vad är sannolikheten att exakt 3 av de 6 variabler antar ett värde som är större än 1.75? Svara i procent med två decimaler.. 13 Uppgift 13 Antag att är ett stickprov från och att är ett stickprov från. Ett sätt att testa på 1 % signfikansnivå är att beräkna ett konfidensintervall för och sedan förkasta om intervallet inte innehåller 0. Ett annat sätt att testa är att utgå från testvariabeln Sidan 7 av 10
a) Använd testvariabeln ovan för att formulera en beslutsregel som får 1 % signfikansnivå. b) Jämför beslutsregeln i a) med beslutsregeln som baseras på konfidensintervallet för. Ger de alltid samma resultat? Om ditt svar är "ja" ska du ge en tydlig förklaring (ett bevis) som visar att beslutsreglerna är ekvivalenta. Om ditt svar är "nej" så ska du ge ett motexempel. Du behöver inte skriva något nedan: du kan skriva på lösningspapper. Skriv in ditt svar här Teckenf! " Σ # Ord: 0 Totalpoäng: 10 Sidan 8 av 10
14 Uppgift 14 En lotto-rad består av 7 tal från heltalen 1, 2, 3, 4,..., 35. Håkan köper 1000 lotto-rader varje vecka i 30 år. Låt slumpvariabeln beteckna antal rader under dessa 30 år som ger 7 rätt. Bestäm väntevärdet av. Du behöver inte skriva något nedan: du kan skriva på lösningspapper. Skriv in ditt svar här Teckenf! " Σ # Ord: 0 Totalpoäng: 10 Sidan 9 av 10
15 Uppgift 15 Antag att är en slumpvariabel och att och är godtyckliga konstanter. Låt. I boken finns en sats som bland annat säger att a) b) V( )=. Använd resultatet i a) för att bevisa resultatet i b). För full poäng ska beviset fungera då är en godtycklig (diskret eller kontinuerlig) slumpvariabel. Du behöver inte skriva något nedan: du kan skriva på lösningspapper. Skriv in ditt svar här Teckenf! " Σ # Ord: 0 Totalpoäng: 10 Sidan 10 av 10