Tentamenskrivning för TMS6, Matematisk Statistik. Onsdag fm den 1 maj, 217. Examinator: Marina Axelson-Fisk. Tel: 1-7724996 Tillåtna hjälpmedel: typgodkänd miniräknare, tabell- och formelhäfte (bifogas). ************************************************************************ Tentan är på totalt 4 poäng. För att bli godkänd krävs godkänt på tentan och godkänt på flervariabel-duggan. Betygsgränser för betyg, 4 och 5 är 4%, 6% och 8%, respektive. Fullständiga och välmotiverad lösningar skall ges till varje uppgift. 1. Låt A och B vara två händelser. (a) Om P (A) =.25, P (B) =.45 och P (A B) =.1, vad är P (A c B)? (b) Antag att P (A) =.4, P (B) =. och P ((A B) c ) =.42. Är A och B oberoende? 2. Ordet PAPPA kan kastas om på 1 olika sätt, men: (a) på hur många sätt kan man permutera ordet OSANNOLIK? (b) hur många unika -bokstavskombinationer kan man bilda av OSANNO- LIK?. Antag att en buss som ska komma till en hållplats kl 12 varje dag alltid är försenad med X minuter, där X Exp(.). Antag att du anländer till hållplatsen precis kl 12. (a) Vad är sannolikheten att du får vänta i minst 5 minuter? (b) Antag att du redan har väntat i 1 minuter. Vad är sannolikheten att du får vänta i 5 minuter till? 4. Låt X och Y vara två kontinuerliga stokastiska variabler med gemensam täthetsfunktion f(x, y) = cx 2 y(1 + y) för x och y. (a) Beräkna värdet på konstanten c. (b) Vad marginaltätheten och väntevärdet av X? (c) Är X och Y oberoende? (Motivera ditt svar!) (5p) (1p) Var god vänd! 1
5. Låt X 1, X 2,..., X 81 vara ett stickprov med väntevärde E[X i ] = 5 och varians V (X i ) = 4. Vad blir det approximativa värdet på sannolikheten P (X 1 + X 2 + + X 81 > 69)? 6. Antag att du drar ett stickprov av storleken 1 från en normalfördelning där σ = 8. Antag att du fick X = 5. (a) Testa hypotesen H : µ = mot alternativet H 1 : µ > på signifikansnivå α =.5. (4p) (b) Vad är p-värdet för ditt stickprov? (4p) (c) Vad är styrkan på testet om det sanna värdet egentligen är µ = 4? (5p) Lycka till! 2
Lösningar 1. För händelser A och B: (a) P (A c B) = P (B) P (A B) =.45.1 =.5 (b) A och B är oberoende om P (A B) = P (A)P (B). Och P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) och P (A B) = 1 P ((A B) c ) = 1.42 =.58 så P (A B) =.4 +..58 =.12 P (A)P (B) =.4. =.12 Svar: Ja, A och B är oberoende. 2. Ordet OSANNOLIK: (a) Ordet OSANNOLIK har n 1 = 2 O och n 2 = 2 N och kan permuteras på n! n 1!n 2! = 9! 2!2! = 9 72 sätt. (b) Det finns 7 unika bokstäver: OSANLIK. Av dessa kan man bilda (ordningen spelar roll, utan återläggning) 7! = 21 unika ord (7 )! Sedan kan ord med två O bildas på 6 = 18 sätt ( OOx med 6 olika x och permutationer), och samma sak för ord med två N. Så vi får Svar: 21 + 18 + 18 = 246 olika -bokstavsord.. X Exp(.) (a) P (X 5) = (b) Exponentialfördelningen är minneslös 5 λe λx dx = [ e λx] 5 = e 5λ =.22 P (X 15 X > 1) = P (X 5) =.22 Detta kan man anta direkt eller härleda genom 4. Gemensam täthet P (X 15 X 1) = P (X 15, X 1) P (X 1) = P (X 15) P (X 1) = = e 15λ e 1λ = e 5λ = P (X 5) =.22 (a) Vi vill att f(x, y) dy dx = 1
så Svar: c = 2 24 =.82 (b) Marginaltäthet för X: c = c x 2 y(y + 1) dy dx = = 27c 2 [ y x 2 2 2 + y [ ] x = 27c 2 9 = c24 2 ] dx så vi får f X (x) = E[X] = = = x2 9 f(x, y) dy = 2 24 x2 [ ] 2 y 2 24 x2 2 + y x f X (x) dx = x 9 dx = y(y + 1) dy [ x 4 6 ] = 9 4 (c) Ja, X och Y är oberoende eftersom vi kan skriva f(x, y) = cx 2 y(y + 1) = (c 1 x 2 ) (c 2 y(y + 1)) och konstanterna c 1 och c 2 kan väljas så att marginalfördelningarna integreras till 1. 5. Centrala gränsvärdessatsen ger att 81 Y = X i N(81 5, 81 4) = N(45, 24) i=1 så vi får att om Φ betecknar fördelningsfunktione för N(, 1) P (Y > 69) = 1 P (Y 69) ( ) Y 45 69 45 = 1 P > 24 24 ( = 1 Φ 6 ) 18 = Φ(2) =.977 6. Vi har att n = 1, X = 5 och variansen är känd och σ 2 = 4. (a) Test-statistika Z = X µ σ/ n = 5 8/1 = 2.5 och z.95 = 1.645 så vi kan förkasta H. 4
(b) p-värdet för stickprovet är sannolikheten att få vårt värde på X eller extremare om H är sann, dvs (c) Styrkan i testet ges av p = P ( X 5) = 1 P ( X 5) ( X = 1 P 8/1 5 ) 8/1 = 1 Φ(2.5) = 1.994) =.6 1 β = P (förkasta H H falsk) Vi förkastar H om Z > 1.645, dvs om så styrkan i testet blir X 8/1 > 1.645 X > 4.16 1 β = P ( X > 4.16 µ = 4) ( X 4 = P 8/1 > 4.16 4 ) 8/1 = 1 P (Z.4) = 1 Φ(.4) = 1.655 =.45 5