TDDC30 Objektorienterad programmering i Java, datastrukturer och algoritmer. Föreläsning 8 Jonas Lindgren, Institutionen för Datavetenskap, LiU På denna föreläsning: Träd Traversering Insättning, borttagning Representation som länkad nod, array 1
Scenario Harry har fått i uppdrag att bringa ordning och reda till ett företags chefstruktur med ett nytt program Harry börjar med att skriva in alla anställda i en enkellänkad lista, men det blir snabbt krångligt En ny datastruktur behövs! 2
Scenario Resultatet: VD Adam Adamsson Utvecklingschef Bertil Bengtsson Säljchef Caesar Cesarini Ekonomichef David Didriksson Hackaren Harry 3
Träd Definition: Ett träd är en riktad acyklisk graf Består av noder & bågar Finns enn väg till varje nod Vanliga användningsområden: Representering av hierarki i: Företag Släktträd Filsystem(mappar/filer) Spara data för snabb sökning 4
Träd(2) Definition: Förälder: en nod som har minst ett barn Syskon: noder med samma förälder Rot: en nod utan förälder Löv: en nod utan barn Gren/delträd: en samling noder med gemensam anfader Rot Syskon Förälder Barn Gren Träd defineras rekursivt: Ett delträd är också ett träd, som kan innehålla fler delträd, eller bara en nod (d.v.s. ett löv) Löv 5
Träd(3) Nodinformation: Grad: Antal barn noden har Djup: Avstånd från roten Höjd: Avstånd till lövet längst bort, nedåt Trädets höjd = Rotens höjd Djup 0 1 2 3 Träd med noder av grad 2: Binärt träd Grad: 2 Djup: 1 Höjd:2 6
ADT Träd element() parent() children() isinternal() isexternal(), isleaf() isroot() isempty() Binära träd left() right() hasleft() hasright() Returnerar datat i rotnoden (för delträdet) Returnerar föräldranoden (implementeras inte alltid) Returnerar en kollektion(t.ex. en lista) med nodens barn Testar om noden är en inre nod d.v.s. om den har barn Testar om noden är en yttre nod d.v.s. om den är ett löv Returnerar sant om noden ej har någon förälder Testar om (del)trädet har några noder överhuvudtaget Returnerar det vänstra barnet Returnerar det högra barnet Testar om noden har ett vänsterbarn Testar om noden har ett högerbarn 7
Traversering Traversering: Ett systematiskt sätt att besöka alla noder i ett träd En träditerator implementerar någon form av traverseringsalgoritm Djupetförst Breddenförst 8
Preordertraversering Algoritm: 1. Besök mig 2. Besök vänstra delträdet 3. Besök högra delträdet = Delträd 9
Inordertraversering Algoritm: 1. Besök vänstra delträdet 2. Besök mig 3. Besök högra delträdet = Delträd 10
Postordertraversering Algoritm: 1. Besök vänstra delträdet 2. Besök högra delträdet 3. Besök mig = Delträd 11
Levelordertraversering Algoritm: 1. Besök mig 2. Besök mina syskon till höger 3. Besök de som har djup + 1 Djup 0 1 2 3 12
Några fler termer Fullt binärt träd: Samtliga noder har noll eller två barn Perfekt träd: Ett fullt träd med alla löv på samma djup Fullständigt binärt träd: Ett perfekt träd med skillnaden att den får sakna några av de högraste löven, längst ned 13
Binärt sökträd En typ av binärt träd En struktur för snabb sökning För varje nod gäller följande: Alla element till vänster är mindre än nodens värde Alla element till höger är större än nodens värde + + Fördel: Givet att trädet är väl balanserat (ej fallet ovan) blir söktiden O(log(n)) Nackdel: Kan ej lagra fler värden av samma storlek 14
Addering i binärt sökträd För varje nod som besöks: Existerar ej noden: Rätt plats funnen Är värdet mindre än nodens: följ den vänstra grenen Är värdet större än nodens: följ den högra grenen + + 15
Borttagning i binärt sökträd Mål: ta bort värdet 3 Steg 1, 2, 3: 7 + Strategi: 1. Sök ut rätt nod på liknande sätt som vid adderingen 2. Sök reda på en ersättare: 1. Om bara ett barn finns, välj det 2. Annars välj noden längst till vänster i det högra delträdet. 3. Koppla loss ersättaren, ersätt den med dess högra delträd om ett sådant finns 4. Sätt in ersättaren på dess nya plats 1 1 Steg 4: 2 2 3 4 3 5 + 4 6 + 5 6 7 + 8 9 8 9 16
Borttagning i binärt sökträd(2) Det färdiga trädet efter borttagningen 7 + 4 + 9 2 6 8 1 5 17
Representation Träd brukar vanligtvis implementeras som länkade noder Parent(optional) data left right 18
Representation(2) Parent(optional) data left right Då delträd också är träd lämpar sig strukturen väl för rekursiva algoritmer Exempel: Preordertraversering public void visitpreorder(treenode node){ node.visitme(); visitpreorder(node.left()); visitpreorder(node.right()); } 19
Representation(3) Parent(optional) data Stackar och köer kan också användas för traversering left right Exempel: Levelordertraversering (Börja med att lägga roten i en kö) 1. Hämta en nod från kön 2. Besök noden 3. Lägg vänster och höger barn i kön 4. Repetera så länge kön inte är tom 20
Representation med fält Träd kan även implementeras med ett fält! A ADT Representation D B E F C A B C D E F G H G H Traverseringsregler för binärt träd: Index för root 0 Index för vänster barn 2*i+1 Index för höger barn 2*i+2 Index för förälder (i1)/2 (avrunda nedåt) 21
Implementation som fält(2) Egenskaper för fältrepresentation Slipper tre pekare per element Mindre minne Traversera m.h.a. aritmetiska operationer (2*i + 1) Minne kan preallokeras (vanligtvis ett träddjup i taget) Fält allokeras som sammanhängande stycken av datorminne => Hög spatial lokalitet => Snabbt A B C D E F G H Varje new är ett anrop till OS för att be om minne, tar tid Tenderar att bli svårare att implementera Ett dåligt balanserat träd ger ineffektivt minnesutnyttjande 22