Föreläsning 9 Datastrukturer (DAT037)

Transkript

1 Föreläsning Datastrukturer (DAT07) Fredrik Lindblad 27 november 207 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt Se

2 Innehåll 2 Obalanserade sökträd Balanserade sökträd AVL-träd Röd-Svarta träd B-träd

3 Sökträd

4 Binära sökträd 4 Binära träd med sökträdsegenskapen: Tomma binära träd är sökträd Ett icketomt binärt träd är ett sökträd om: Vänster och höger delträd är sökträd och alla element i vänstra delträdet < elementet i roten < alla element i högra delträdet Jämför heapsorteringsegenskapen som bara behöver kontrolleras lokalt

5 Binära sökträd Behöver kunna jämföra element, t ex med komparator Komparatorn antas implementera en strikt total ordning: Om x < y och y < z så är x < z Exakt en av följande gäller: x < y, x = y, x > y

6 Binära sökträd Sökträd kan användas för att implementera utökad mängd-/avbildnings-adt: Konstruerare: Tom mängd/avbildning member(k)/lookup(k) insert(k)/insert(k,v) delete(k) find-min()/find-max() delete-min()/delete-max() iterator(): Går igenom elementen i sorterad ordning Hashtabell implementerar inte effektivt de tre sista

7 Vilka träd är binära sökträd? A: 2 4 B: 7 C: 7 D: 7 E: 4 2 F: 7 7

8 7 Vilka träd är binära sökträd? A: C: E: B: D: 4 F: Svar: B, C och F

9 Obalanserade binära sökträd En möjlig implementation: public class BinarySearchTree <A extends Comparable<? super A>> { private class Node { A contents; Node left; // null om vänster barn saknas Node right; // null om höger barn saknas } Node(A contents) { thiscontents = contents; } private Node root; // null om trädet är tomt

10 Obalanserade binära sökträd Iterativ kod: public boolean member(a a) { Node here = root; while (here!= null) { int cmp = acompareto(herecontents); if (cmp < 0) { here = hereleft; } else if (cmp > 0) { here = hereright; } else return true; } } return false;

11 Obalanserade binära sökträd 0 Rekursiv kod (varning för stack overflow): public void insert(a a) { root = insert(a, root); } private Node insert(a a, Node n) { if (n == null) return new Node(a); } int cmp = acompareto(ncontents); if (cmp < 0) nleft = insert(a, nleft); else if (cmp > 0) nright = insert(a, nright); return n;

12 Obalanserade binära sökträd Hur tar man bort ett element? Förslag: Hitta nod som ska tas bort (om någon) Lätt om noden har noll eller ett barn Annars: Ta bort högra delträdets minsta elementet eller vänstra delträdets största element (dessa har max barn) Ersätt elementet som ska tas bort med innehållet i den borttagna noden

13 Obalanserade binära sökträd 2 Tidskomplexitet: member, insert, delete: O(höjd) deletemin: O(höjd) inorder-genomlöpning: Θ(storlek) Höjd: Värsta fallet: Θ(storlek) Värsta fallet uppstår t ex om man sätter in elementen, 2,, 4, Kan vi se till att värstafallshöjden är Θ(log storlek) (vilket gäller för kompletta träd, heapar)?

14 Balanserade sökträd

15 Balanserade sökträd 4 Sökträd som är balanserade, med höjden Θ(log storlek): AVL-träd (Adelson-Velsky & Landis) Röd-svarta träd (JDK: TreeMap) B + -träd

16 AVL-träd

17 AVL-träd Binärt sökträd Invariant (för varje nod): Vänster och höger delträds höjder skiljer sig maximalt med Höjd: Θ(log n) Operationer som ändrar trädets struktur använder (ibland) rotationer för att återställa invarianten

18 Vilka träd är AVL-träd? A: 4 2 B: 7 C: 7 D: 7 E: 4 2 F: 7 7

19 7 Vilka träd är AVL-träd? A: C: E: B: D: 4 F: Svar: A, B, C, F

20 AVL-träd Implementation: Spara höjd i varje nod Alternativ: Spara höjdskillnad (-, 0 eller ) Ibland används föräldrapekare

21 member Som för obalanserade binära sökträd

22 insert 20 Skiss av en algoritm: Sätt in noden som vanligt Detta bryter ej sökträdsegenskapen, men kanske balanseringen Gå tillbaka mot roten, uppdatera höjder Vid första obalanserade noden: rotation Antingen enkel- eller dubbelrotation Det räcker med en rotation för att göra trädet balanserat

23 Trädrotationer 2 Grundläggande (enkel-) trädrotationer, höger- och vänster- Ändrar strukturen, bevarar ordningen D B B E A D A C C E

24 Enkelrotation, vänster-vänster- eller höger-höger-barn 22 Om vi satte in en ny nod i A och dess höjd ökade (med ), och första obalansen hittas i D: D B B D E h A h+ C h A h + C h E h Höjd innan insättning = h + 2 = ny höjd

25 Dubbelrotation, vänster-höger- eller höger-vänster-barn 2 Om C:s höjd ökade med ett och första obalansen hittas i F : (Motsvarande om E:s höjd ökade) F D B B F D G h + A h + A h + C h + E h G h + C h+ E h Höjd innan insättning = h + = ny höjd Två enkelrotationer

26 Dubbelrotation, specialfall 24 C B A A C B Höjd innan insättning = = ny höjd Två enkelrotationer

27 Vad blir resultatet av att sätta in i följande AVL-träd? A: B: C: D:

28 Vad blir resultatet av att sätta in i följande AVL-träd? A: B: C: D: Svar: A 2

29 delete 2 Kan utgå från algoritmen för obalanserade binära sökträd Vandra mot roten (från noden som togs bort, vilket inte alltid där elementet fanns), uppdatera höjder och titta efter obalans på samma sätt som för insättning Vid obalans utför liknande rotationer som för insättning Alla rotationer gör vid borttagning inte att delträdets höjd förblir oförändrat Man får därför ibland fortsätta uppåt även efter en rotation

30 AVL-träd, komplexitet 27 Eftersom höjden är Θ(log n) så är tar alla operationer O(log n) Genomlöpning i ordning tar Θ(n)

31 AVL-träd 2 Animerat: visualization/avltreehtml

32 2 Röd-svarta träd

33 Röd-svarta träd 0 JDK : TreeSet, TreeMap Höjd: Θ(log n) Samma tidskomplexitet för operationerna som för AVL-träd

34 Röd-svarta träd Invariant: Alla noder är svarta eller röda Roten är svart Röda noder har svarta barn Alla (enkla) vägar från roten till noder med max ett barn innehåller lika många svarta noder ~galles/visualization/ RedBlackhtml

35 B-träd 2

36 B-träd Vad händer om en avbildning inte får plats i minnet, och lagras på en hårddisk e d? Läsa från hårddisk: Kanske 0 gånger långsammare än CPU-instruktion Vår modell fungerar inte så bra Alternativ modell: Räkna diskoperationer, CPU-instruktioner gratis OK att göra något (rimligt) komplicerat om vi kan minska antalet diskoperationer

37 B-träd 4 Några idéer: M-ära träd istället för binära: Kompletta träd grundare (log M n) M nycklar per nod Gör noder som ska sparas på disk så stora att de fyller ett diskblock (när de är fulla) Genom att kräva att antalet barn till interna noder är minst M/2 blir upprätthållandet av formen ganska enkel och den övre gränsen för djupet bra Används i filsystem och databaser