Prestandaberäkning för modeller

Prestandaberäkning för modeller Model Performance Calculation författad av Ian Kaynes. Artikeln publicerades i NFFS Symposium Report 2001 och är översatt till svenska med tillstånd och hjälp av författaren. INTRODUKTION En grundläggande målsättning för gummimotorflygaren är att få maximal flygtid med en given gummimotor. Alternativen spänner från långsam stigning i stilla väder för maximal flygtid till att uppnå högsta möjliga höjd med en betydligt kortare motortid. Oavsett val förblir principen densamma vi vill optimera modellens prestanda från gummimotorns energi. Analys ger en god möjlighet att få fram de ansatser som är möjliga, och den här artikeln kommer att beskriva de metoder och antaganden jag har gjort för att ställa upp en approximation av stiget för en gummimotormodell. Jag koncentrerar mig på metoden snarare än på resultat tillräckligt mycket av detta visas här för att ge en försmak av det som kan studeras. Peter King s flöde av artiklar innehåller flera studier av de olika frågor som kan framställas och besvaras genom analys, inklusive hans användning av mina metoder. Allt arbete sker med det stora antagandet att vi kan få fram tillräckliga data för att ställa upp den matematiska modellen. Peters analyser har hjälpt till att flytta dessa data mot en empirisk modell av det som observeras. MOTOR Startpunkten är enkel att kvantifiera det är vridmomentet för den tillgängliga motorn som en funktion av varv. Detta måste vara vridmomentet när motorn snurrar ut, med hänsyn tagen till hysteres jämfört med det högre vridmoment som går åt för att veva upp motorn (trots att det senare är lättare att mäta). En typisk momentkurva visas i figur 1 och tabell 1, för en 35 gram motor med 28 strängar. Jag använder enheten Newtonmeter för vridmoment, för den som föredrar ickemetriska enheter finns en kolumn som anger samma data i enheten in.oz. varv Nm in oz varv Nm in oz 420 0,814 115,3 200 0,110 15,6 395 0,370 52,4 130 0,102 14.4 350 0,211 29,8 70 0,091 12,8 300 0,150 21,2 30 0,070 9,9 250 0,130 18,4 Energi = 423,2 59909 Tabell1. Vridmomentdata för exempelmotor. Vridmomentet betecknas med Q(n) där n är antalet återstående varv i motorn. Vridmomentet har mätts för en motor med vikten M m och antalet strängar N. Det kan vara bra att förklara de möjliga förändringarna av dessa grunddata i förhållande till tänkbara förändringar av motorn: a) Om motorvikten ändras men har samma antal strängar så ändras antalet varv proportionellt. För samma vridmoment, d.v.s. funktionen Q(n 1 ) för motor 1, så kommer den att vara kvar som Q(n 2 ) men gälla för n 2 = (n 1 M m1 /M m2 ) varv. b) Om antalet strängar i motorn ändras från N 1 till N 2, med oförändrad motorvikt, så kommer vridmomentet att förändras proportionellt som (N 1 /N 2 ) 1,5 medan antalet varv kommer att ändras i 1

förhållande till det inverterade värdet, sammanfattat som: Q 2 =Q 1 (N 1 /N 2 ) 1,5 och n 2 =n 1 (N 2 /N 1 ) 1,5 PROPELLER Motorn driver propellern och, eftersom grundutformningen av propellern är ett ämne i sig, så beskrivs detta i Appendix A. De huvudsakliga sambanden är som tidigare, propellern definieras av radien, bladformen (korda och bladvinkel längs bladet) och de aerodynamiska egenskaperna för bladets profiler. Det antas här att dragkraften T och vridmomentet Q kan beräknas som funktioner av propellerns avanceringstal λ {=V/(RΩ)}, för hastigheten V, bladradien R och rotationshastigheten Ω. Detta är enklast genomfört via dimensionslösa dragkraft- och vridmomentkoefficienter T c och Q c som är beräknade som funktioner av λ och sedan konverterade till dimensionella värden genom relationerna (överensstämmande med ekvationer i Appendix; A2 and A3): T = T c π ρ Ω 2 R 4 (1) Q = Q c π ρ Ω 2 R 5 (2) Denna approximation av T c och Q c som funktioner endast av avanceringstalet försummar effekter av Reynolds tal när hastigheten ändras. Beroende på hur beräkningarna är genomförda så kan de också bortse från variationer i profilernas egenskaper vid bladspetsen och för profiler nära bladets rot denna förenkling är gjord i Excel makroversionen i mina beräkningar. Typiska kurvor för T c och Q c visas i figur A3 och A4 i Appendix. För varje givet motorvridmoment Q(n) under motortiden och varje önskad flyghastighet V är det möjligt att finna vid vilket avanceringstal som propellern skulle behöva detta vridmoment för att driva den genom att ersätta Ω i ekvation (2) med λ och interpolera för att hitta det λ för vilket följande ekvation satisfieras: Q ( λ) c 2 λ Q(n) = 2 πρ V R 3 (3) Eftersom Q c (λ) normalt är en enformig minskande funktion av λ och eftersom vi inte behöver bekymra oss för lösningar med avanceringstalet noll, är det enkelt att lösa ekvationen genom numerisk passräkning för att finna det λ som ger den erfordrade dragkraften och härav, från definitionen av λ, finna propellerns rotationshastighet Ω. MODELLENS DYNAMIK Så här långt har vi definierat motorns vridmoment och propellern som den driver. Hur modellen hanterar kraften beror på flygplanets dynamik, och det är den svåraste delen att simulera. I verkligheten flyger planet i ett tredimensionell rum om det betraktas från marken kan det röra sig från norr-söder, öster-väster och upp-ned. Sett från modellen är de tre riktningarna framåt och bakåt, vänster och höger, uppåt och nedåt. Det finns också tre rotationsriktningar, vanligen definierade på modellen som roll, tipp och gir, se figur 1. För rörelser i någon av dessa sex riktningar ger modellen upphov till aerodynamiska krafter och moment med komponenter i alla dessa riktningar. Många av dessa är små krafter som är svåra att beskriva noggrant i vårt låga område av Reynolds tal, men de kan ha en kraftfull effekt på rörelsen. Till exampel, när modellen närmar sig stall kan en liten skillnad i anfallsvinkel mellan höger och vänster vingpanel ha en liten effekt på den totala lyftkraften men en stor inverkan på girmomentet på grund av ökat luftmotstånd på ena sidan. Ytterligare en svårighet är att vi flyger vår modell nära gränsen så att det inte är möjligt att använda 2

fullskalarutin för att förenkla dynamiken med lineära approximationer (t.ex. att i närheten av stall är ökningen i lyftkraft beroende på en positiv ökning av anfallsvinkeln inte så stor som minskningen av lyftkraften för en lika stor minskning av anfallsvinkeln). Det finns alltså stora problem med att sätta upp en detaljerad aerodynamisk modell för ett flygplan längs en varierande flygbana, med komplicerad aerodynamisk samverkan mellan flygplanets komponenter som är sammanfattade genom bristfälligt definierad aerodynamik för flygning i låg fart. Vi måste se oss om efter några stora förenklingar och den första förlusten är att vi då inte kommer att kunna göra detaljerade tredimensionella förutsägelser av modellens flygbana. En vanlig förenkling inom fullskaladynamik är att separera rörelser longitudinellt (uppåt-nedåt, framåt-bakåt samt tipprotation) från de laterala (sidorörelse, roll och gir-rotation). Denna approximation utgår från att flygplanet är symmetriskt runt centrumlinjen, vilket ofta inte är fallet för fullskalaflygplan, men som det brukar bortses ifrån. För en modell är asymmetrin normalt mera fundamental, som skillnaden i anfallsvinkel mellan höger och vänster vinge och att den har en fena med osymmetrisk profil eller roder. När motorn driver finns det asymmetriska effekter på modellen från propellerns vridna och roterande slipström. Till dess att vi har ställt upp en fullständig förutsägelse för alla aerodynamiska krafter på modellen finns det inget att göra annat än att acceptera osäkerheterna och separera de longitudinella och laterala rörelserna. För en prestandavärdering innebär en separation av de longitudinella och laterala rörelserna att man bortser från de laterala helt och hållet och koncentrerar sig på de longitudinella. Detta beror på att grunderna för prestanda handlar om analys av den stigande (eller glidande) modellen med lyft och dragkraft som motsats till vikt och luftmotstånd. Vi vet att det finns kraftfulla samband av inställningar som vi kommer att missa, exempelvis att nosen sänks när modellen svänger snävare, och att vi inte kommer att kunna göra detaljerade förutsägelser av inställningar. Eftersom longitudinella inställningar inte kommer att vara riktiga kan vi ta nästa steg in i osäkerheten genom att bortse från tipprörelse. Detta lämnar oss med endast rörelser uppåtnedåt och framåt-bakåt, svarande för de viktiga krafterna som är lyft, luftmotstånd och modellens massa. Genom att försumma tipprörelse och all lateral rörelse antar vi faktiskt att det på ett eller annat sätt kommer att bli möjligt att trimma modellen att uppnå den lyftkraft, det luftmotstånd, den hastighet och det stigmönster som vi önskar. Det är tydligt att detta inte kommer att vara möjligt i alla situationer, men avsikten med analysen är att visa den maximala prestanda som kan uppnås. De grundläggande krafterna som påverkar modellen under denna approximation visas i figur 2 med, för enkelhets skull, krafterna visade gående genom tyngdpunkten CG eftersom tipp har försummats. För denna förenkling av dynamiken gör det inte så stor skillnad vilket axelsystem som används men jag har följt formen för ekvationer som jag har använt för den fulla rörelsen. Detta refererar rörelsen till vindaxlar, det är att framåtriktningen är i samma riktning som den rådande hastighetsvektorn, snarare än kroppsaxlar som är fixerade i flygplanet. Båda axlarna har sina ursprung i modellens tyngdpunkt och kroppsaxelns riktning är vald i enlighet med passande egenskaper i flygplanets geometri. Grundelementen är: a) Hastigheten är i en vinkel α till kroppsaxeln. b) Dragkraften T är längs en kraftlinje i en vinkel α T i förhållande till kroppsaxeln (positiv för uppåtriktning). c) Modellens massa är m och vikten är mg. d) Aerodynamiska krafter i vindaxlarna har komponenter av luftmotstånd D och lyft L. e) Hastighetsriktningen anges som en stigvinkel γ i förhållande till horisonten och kroppen anges som en vinkel θ i förhållande till horisonten, varvid θ = γ + α. 3

Rörelseekvationerna kan nu skrivas som: m V = T D mg sin γ (4) ( ) T L + mg cos γ mvq mvα = α + αt + (5) Dessa ekvationer definierar accelerationen längs hastighetsriktningen och förändringsgraden för anfallsvinkeln (som relaterar till accelerationskomponenten vinkelrätt mot vindaxeln plus effekten beroende på graden av rotation runt tippaxeln). Denna formel utgår från att α och α T är små vinklar men gör inget antagande för stigvinkeln γ där vi behöver alla vinklar upp till vertikalt stig. Tippförhållande, q, är förändrings graden för kroppsvinkeln θ så att den är relaterad till förändringsgraden för anfallsvinkel och stigvinkel genom: q = γ+ α (6) De fullständiga ekvationerna som styr modellens stig är (4), (5) och (6) samt användningen av kända värden för vridmoment Q(n) i (3) för att definiera avanceringstalet λ. Vridmomentkoefficienten definieras i termer av avanceringstal (1), och de grundläggande förhållandena för propellerhastighet, λ =V/(RΩ) (7) ( 2π) n = Ω/ (8) Modellens lyftkraft och luftmotstånd måste definieras för ekvationerna (4) and (5). De kan tas fram via lyftkrafts- och luftmotståndskoefficienterna C L och C D vilka måste vara förutsagda (gissade) som funktioner av α och V. Detta är ett av de obekanta områdena av förutsägelserna, men som kan justeras för att ge hyggligt stiguppförande och med glidvärden som är bättre definierade genom att följa studier av Peter King och andra. Lyftkrafts- och luftmotståndskoefficienterna antas ha dimensionslös fri form: L = ½ρSV 2 C L (9) D = ½ρSV 2 C D (10) där ρ är luftens densitet och S är en referensarea (vanligen vingytan). Ett exempel på polarkurva visas i figur 3 från data som ges i tabell 2. Med dålig information om våra modeller är det inte realistiskt att specificera en mängd punkter längs polarkurvan, men det är nödvändigt att ta med väl valda eller noggranna värden för området kring glidet. Maximala glidprestanda uppnås vid den anfallsvinkel som ger ett minimivärde för funktionen C D 4 /(C L 2 + C D 2 ) 3. För data enligt vårt exempel blir glidet optimalt med C L =1,0 och detta överensstämmer med C D =0,063. Om modellen har vingyta 0,16 m 2, vikt 0,23 kg och luftdensiteten är 1,22 kg/m 3 så blir glidhastigheten 4,8 m/sek och V G, den vertikala sjunkhastigheten i glidet, blir 0,3 m/sek. CD CL CD CL 0,069-0,1 0,053 0,8 0,059 0,0 0,057 0,9 0,050 0,2 0,063 1,0 0,046 0,4 0,077 1,1 0,048 0,6 0,108 1,2 4

Tabell 2. Exempel på CL-CD-polar för modell. Lösning av rörelseekvationerna i form av (4) och (5) försvåras av förekomsten av stigningsförhållandet, eftersom vi redan har bestämt att vi inte har tillräcklig information om de aerodynamiska moments som bestämmer stigningsförhållandet. Det finns ett antal användbara förenklade formler som nu kommer att beskrivas. VERTIKALT STIG En förenkling är för vertikalt stig, för vilket dragkraften är riktad uppåt för att balansera vikten nedåt. Om modellen har uppåtriktning eller nedåtriktning så kommer det att behövas en liten lyftkraft (ned eller upp relativt modellen) för att balansera den normala komponenten (Tα T ) för dragkraften, men eftersom vi antar att dragkraftsvinkeln α T är liten så följer att luftmotståndet under detta förhållande troligen inte skiljer sig mycket från det verkliga luftmotståndet vid lyftkraft lika med noll. Den vertikala rörelsen beskrivs av den reducerade formeln i (4) som: m V = T D0 mg (11) Luftmotståndet D 0 är luftmotståndet vid lyftkraft lika med noll och det tas fram direkt från värdet för nollyftkraftskoefficienten för modellen C D0 (antas vara oberoende av Reynolds tal så att den är en konstant som inte ändras med V): D 0 = ½ρSV 2 C D0 (12) Antag att kasthastigheten är känd, därmed tjänar detta som den första förutsättningen för lösningen. Om modellen har försenad (automatisk) propellerstart är den initiala hastighetsminskningen enkelt beräknad genom att lösa ekvation (11) med dragkraft T=0 och lufthastigheten minskande som ett resultat av både modellens vikt och luftmotstånd. Vid en viss tidpunkt måste propellern starta och dragkraften T är då en funktion av lufthastigheten V och propellerns rotationshastighet Ω. Lufthastigheten i detta ögonblick har beräknats som nyss beskrivits (eller om det inte var försenad propellerstart är lufthastigheten lika med kasthastigheten). Antag att propellern omedelbart accelererar upp till en rotationshastighet passande till den rådande lufthastigheten V och det gällande vridmomentet Q(n). Lös ekvation (3) för att finna avanceringstalet λ som passar för dessa förhållanden. Beräkna sedan dragkraftskoefficienten T c för detta avanceringstal och få därmed fram dragkraften T från ekvation (1). Lägg märke till att propellerns rotationshastighet Ω bestäms av ekvation (7). Rörelseekvationen kan nu lösas med vanlig metod för differentialekvation för att ta fram tidshistorik under det att modellen accelererar och retarderar i det vertikala stiget. Med ord, accelerationen tas fram genom att finna numeriska värden på krafterna på ekvationens högra sida (11) och dividera med vikten. Vid slutet av något tidsintervall δt (en bråkdel av en sekund) kommer accelerationen att ha ökat flyghastigheten till ett nytt värde V+δV. Propellern kommer att ha roterat en vinkel Ω δt radianer, så att från ekvation (8) antalet varv på motorn kommer att ha minskat med δn = Ω δt/(2π) varv. Det nya vridmomentet kommer att vara Q(n δn). Ekvation (11) är nu löst igen för att få fram det nya accelerationsvärdet givet den ursprungliga hastigheten V+δV och vridmomentet Q(n δn). Uträkningen upprepas sedan så långt som fordras beroende på om motorn fortfarande har varv kvar med tillräckligt vridmoment för att stiga med vertikal hastighet. Vi kommer att behandla övergång från det vertikala stiget senare, men först ska vi granska några exempel på resultat av vertikalt stig. 5

Resultaten gäller för en standard F1B med DPR (Delayed Prop Release) inställd så att propellern startar 0,2 sek efter utkast. Värden för en Andriukovpropeller med 0,3 m radie har använts med en 28-strängars motor. CL-CD-värden använda för modellen och propellern är baserade på tidigare bedömningar av Peter King och mig själv. Figurer 4 och 5 visar den vertikala hastigheten och höjd för tre olika kasthastigheter 4, 8 och 12 m/sek. Den första punkten på kurvan är vid 0,2 sek, då propellern startar. Hastigheten har då sjunkit till 2 m/sek från kastets 4 m/sek, medan kastet med den högsta hastigheten har sjunkit från den initiala 12 till 9,25 m/sek. Största delen av reduktionen är beroende av gravitationen och en mindre del beror på luftmotståndet som visas av den större hastighetsminskningen för den större kasthastigheten (mer luftmotstånd vid högre hastighet). Efter att propellern har startat visar de tre exemplen en liknande acceleration, gradvis minskande för att ge en topphastighet ungefär en sekund efter utkastet. Inte förvånande är att den lägsta kasthastigheten når en lägre topphastighet och de påvisbara hastighetsskillnaderna varar till strax efter två sekunder. Höjdskillnaden mellan den högsta och lägsta kasthastigheten är omkring 7 m. Notera att dessa kurvor har dragits ut till slutet där hastigheten har minskat till nästan ingenting - en riktig modell skulle ha tvingats minska sin stigvinkel från vertikalt stig vid ungefär 4 sekunder efter kastet. Titta nu på effekten av ändrad propellerstigning för en kasthastighet, vald att vara 8 m/sek. Som det enklaste sättet att uppnå detta i simuleringen är att vrida propellerbladet (som på nav med variabel stigning), bladvinklarna har ändrats med +5 och -5 grader från nominell i realiteten visar detta effekten av VPändringar (Variable Pitch) i stället för en verklig geometrisk förändring av propellerstigningen. Till att börja med visar figur 6 effekten av dessa ändringar av propellern på dragkraften som utvecklas vid olika flyghastigheter. Denna kurva gäller för ett vridmoment på 0,435 Nm. Det är det vridmoment som tillförs efter något mer än en sekund efter det propellern startade. Som man kan vänta sig utvecklar propellern med låg stigning mest dragkraft vid låg hastighet - nästan dubbelt så mycket som propellern med hög stigning, som arbetar med det mesta av bladen vid höga anfallsvinklar och därmed faktiskt överstegrade. När hastigheten ökar från noll ökar dragkraften för varje propeller; propellern med låg stigning når sin topp vid 5 m/sek medan propellern med hög stigning fortsätter att öka dragkraften upp till 9 m/sek. Efter det är minskningen från toppen minst för propellern med hög stigning, som blir den propeller med den största dragkraften för hastigheter över 16 m/sek (vilket är över det hastighetsområde som är intressant i det här exemplet). Denna insikt i karaktären för propellrarnas dragkraft förklarar skillnaderna som visas för prestanda i vertikal stigning i figur 7 och 8. Propellern med ökad stigning +5 grader når en lägre topphastighet vid 1 sekund och slutar stiga vid en lägre höjd. Detta beror direkt på dess lägre dragkraft vid låg hastighet och därmed långsammare acceleration från den rådande hastigheten på 5,7 m/sek då propellern startar. Det framstår som ganska tydligt att propellern med hög stigning inte är bäst för denna del av stiget. Det är dock inte tillräckligt tydligt med tanke på att den har roterat långsammare och därmed förbrukat mindre energi än de andra propellrarna. För att klargöra detta visar figur 9 samma resultat jämfört med återstående varv hos motorn i stället för tid. Detta visar att propellern med hög stigning och den med nominell stigning når nästan samma höjd vid samma antal varv. Faktum är att propellern med hög stigning är aningen bättre (1,5 m högre) än propellern med nominell stigning vid läget för 375 varv kvar. Propellern med hög stigning når detta läge 3 sekonder efter utkastet vilket är en realistisk sluttid för vertikalt stig. 6

Propellern med låg stigning har genomgående haft den lägsta höjden av de tre propellrarna vid samma antal varv. Den når slutligen sin högsta höjd vid slutet av sin kurva, men det har skett till priset av fler använda varv och detta lämnar mindre energi till den avslutande delen av stiget. Dessa beräkningar gjordes för en nominell Andriukovpropeller med stigningen ändrad genom vridning av bladen +5 o och -5 o. För att undersöka ineffektiviteten av stigningsändring på detta sätt jämfört med att studera en ny propeller med en annan stigning, gjordes samma beräkningar för propellrar med liknande konstant stigning längs bladet. Genom att ställa in stigningen från originalpropellrarnas vinklar vid 80 % radie, fick konstantstigningspropellrarna förhållande mellan stigning/diameter-värdena 1,22 för den nominella propellern, 1,5 för den med hög stigning och 1,0 för den med låg stigning. Det var som regel mindre än 1 % skillnad i höjd mellan propellrarna med konstant stigning och de propellrar som beskrivits tidigare och alla relativa trender mellan propellrarna fanns noggrant bevarade. Lösningsförfarandet för vertikalt stig kan fortsätta till dess alla varv har förbrukats (inte troligt) eller till dess flyghastigheten har gått ner till noll. Det är tydligt att modellen vid en viss punkt måste sänka nosen så att flyghastigheten kan bibehållas innan detta sker. Vi kan ta två vägar att komma vidare här: a) Antag att VIT-tiden (Variable Incidence Tail) är känd och att modellen lämnar det vertikala stiget vid den tiden. Faktum är att ändringen av VIT kommer att åstadkomma ett nos-upp-moment, som i vår enkla approximation kommer att ta modellen förbi vertikalt läge, men i realiteten kommer kombinationen av tipp och roll att svänga modellen in i en brant stigning (en av anledningarna till att vi lät bli varje försök att simulera tipprörelsen direkt). b) Beräkna den optimala tiden för att lämna vertikal flygning. Jag har tagit in denna möjlighet i mina beräkningar av optimala prestanda. Processen, som beskrivs nedan, ser på den relativa verknings-graden för varje segment av det vertikala stiget jämfört med motsvarande icke-vertikalt stig i termer av att addera höjd eller flygtid för den mängd energi som använts. Det vertikala stiget upphör när det inte längre är den mest effektiva flygbanan. STABILT STIG Oavsett vilken väg som används för att bestämma när det vertikala stiget upphör, kommer det att bli nödvändigt att göra en simulering av det icke-vertikala stiget. Vi kommer nu att titta på denna lösning av ekvationerna för stig med vinklar mindre än vertikalt. En enkel approximation är att anta att modellen i varje ögonblick är i stabilt stig. Detta innebär att samtliga härledningar på vänstra sidan av (4) och (5) och även stigningsförhållandet q är försummade och ekvationerna reduceras till algebraisk form: T D = mg sin γ (13) (α + α T )T + L = mg cos γ (14) Dessa ekvationer kräver att alla flygparametrar förblir konstanta under perioden av stabilt stig, d.v.s, luftmotståndet, lyftkraften, stigvinkeln och flyghastigheten. Lösningen av dessa algebraiska ekvationer är skild från differentialekvationerna för det vertikala stiget; det är inte ett riktigt framskridande i tiden utan en ungefärlig bild vid ett specifikt ögonblick. Min väg har varit att anta att stiget kan delas upp i ett antal separata ögonblicksbilder, där var och en motsvarar ett flygsegment på kanske 20 varvs rotation på en F1B- 7

motor. Det genomsnittliga vridmomentet i segmenten är känt och ekvationerna är lösta för dessa genomsnittliga värden, som om vridmomentkurvan var en serie av stegvisa värden (figur 10). Termen (α + α T )T i ekvation (14) är lite besvärlig eftersom den behöver en uppskattning av anfallsvinkeln α vid vilken en viss lyftkraft är genererad. Detta är ett tillägg till det redan betydande problemet att bedöma själva CL-CD-polaren. Ansatsen som gäller i min nuvarande utgåva av Excel makron är att bortse från termen: när stiget är brant så kommer det inte att vara något problem att åstadkomma tillräckligt med lyft, med eller utan tillskottet genererat av dragkraftskomponenten. Vid en lägre stigvinkel är dragkraften mindre betydligt mindre än både lyftkraften och vikten - och, tillsammans med faktorn (α + α T ) reducerar termen ytterligare, så termen gör inte någon större skillnad i förhållande till förutsägelserna. Normalt kan det motsvara en 5 % ändring av den CL som behövs i slutet av stiget och detta är inom osäkerhetsmarginalen för CL. Jag har tagit fram ett tillägg för att få med effekten i lösningen av ekvation (14) genom att anta att en konstant lutning i lyftkurvan. Termen för detta, C Lα, beskriver lyftkraftskoefficienten mellan anfallsvinkel α 0 för noll lyft och en α svarande mot CLmax så att en uppskattning av α kan göras ur: L = ½ρSV 2 (α - α 0 )C Lα (15) så att: α = α 0 + L / (½ρSV 2 C Lα ) (16) Det finns många lösningar av ekvationerna (13) and (14), det vill säga allting mellan flygning med låg hastighet i en brant stigning till snabb flygning i dykning. Detta visas i följande exempel för en F1B i början av motorflykten med ett vridmoment av 0,29 Nm. För min exempelmodell och motor motsvarar detta det intressanta läget mellan 4 och 5 sekunder efter utkastet där det gäller att antingen fortsätta med vertikalt stig eller minska stigvinkeln. Från ekvationerna (1), (2) och (3) kan man få fram dragkraft och hastighet som motsvarar en mängd avanceringstal λ for för detta föreskrivna vridmoment. Detta ger ett antal dragkrafts- och hastighetsvärden som satisfierar propellerekvationerna för detta vridmoment, se figur 11. För vart och ett av dessa hastighetsvärden kan vi anta en luftmotståndskoefficient för att få farm luftmotståndet från ekvation (10) varefter ekvation (13) kan lösas för att få fram stigvinkeln. Denna stigvinkel kan sättas in i ekvation (14) för att få fram erforderlig lyftkraft och, eftersom hastigheten är känd, ger detta den erforderliga lyftkraftskoefficienten CL. Från denna CL kan värdet på luftmotståndskoefficienten förfinas och passräkningen upprepas till dess ett tillfredställande värde hittas. Propellerns hastighet kan tas fram ur definitionen för avanceringstalet. Den resulterande stigvinkeln som funktion av hastigheten visas i figur 12. Eftersom ökningen av luftmotståndet sker med kvadraten på v är lösningen för 15 m/sek egentligen en dykning inte så värst intressant för bästa prestanda! När hastigheten minskas ökar stigvinkeln tills den når de 90 o vertikala vid en hastighet av 6,24 m/sek. För hastigheter precis under detta finns det inte någon lösning för stabilt stig - eftersom modellen egentligen borde accelerera. När vi studerar lägre och lägre hastigheter kommer vi till en annan vertikal lösning vid 3,08 m/sek. Under den hastigheten finns ett litet område med lösningar för stabilt stig vid branta vinklar, och detta upphör vid 2,4 m/sek. Luftmotståndet är lågt vid dessa hastigheter så den huvudsakliga kraftbalansen är mellan dragkraft och vikt; medan stigvinkeln minskar till mindre än vertikal så behövs också lyftkraft för att hålla modellen uppe och vid 2,4 m/sek uppnås gränsvärdet för CLmax. 8

Ett mått på verkningsgraden för stiget anges i figur 13 som visar höjdvinst per varv från motorn. Vid den högsta hastigheten är höjdvinsten negativ (som tidigare observerats som dykning) och, i takt med att hastigheten minskar så nås den högsta verkningsgraden vid 7,1 m/sek vid en stigvinkel av 67 o. Mindre hastigheter (brantare stigvinklar) har något mindre verkningsgrad och kurvan tar slut vid 6,24 m/sek när 90 o stigvinkel uppnås. Det korta området av brant stig med låg hastighet visar sig ha hälften så stor verkningsgrad inte förvånande, eftersom vi är bekanta med situationer där modeller i låg hastighet hänger i propellern och att detta innebär en större risk för elände än ett snabbare stig med högre verkningsgrad! OPTIMALA SEGMENT I STIGET Återvänd nu till att välja lösningen för ekvationerna (13) och (14) från ett antal möjligheter. Om man utgår från en önskad stigvinkel så kan hastigheten vid vilket detta stig kan genomföras tas fram (om stigvinkeln inte är för stor för den tillgängliga dragkraften). Min vanliga analys följer det alternativ som undersöker alla möjliga stigvinklar och väljer de med högst verkningsgrad i varje segment. Låt n beteckna antalet motorvarv i segmentet och t tiden som går åt för att rotera dessa n varv. Från hastigheten V och stigvinkeln γ blir den vertikala hastighetskomponentenen V sin γ och höjdvinsten i segmentet t V sin γ. Stigets verkningsgrad definieras antingen som maximal höjdvinst i segmentet eller som maximal tillförd flygtid (tiden som det tar för rotation av varven i detta segment plus tiden för att glida ner från höjdvinsten). Detta kan mätas med verkningsgradsfaktorerna per motorvarv : [( t V sin γ)/ n] för höjd eller: [ t (1 + (V sin γ )/ V G )/ n] för flygtid. Dessa faktorer används för jämförelser inom ett segment när ett givet värde på vridmoment (och energi) från motorn finns tillgängligt. Vi har redan sett verkningsgraden för höjdvinst visad för ett segment i figur 13. När vi jämför olika segment för att finna vilket som är det mest effektiva, måste vi ta hänsyn till den energi som finns tillgänglig genom att i stället bedöma höjdvinsten per energienhet eller tidsvinst per energienhet, snarare än höjdvinst eller tidsvinst "per varv". Excel makroverktyg för hela processen består av följande steg: 1) Läs in data för propeller, motor och modell. 2) Analysera CL-CD-polaren för att finna optimala glidförhållanden och därmed sjunkhastigheten V G. 3) Utvärdera koefficienterna för propellerns dragkraft och vridmoment T c och Q c för hela området av avanceringstal, hela vägen från riktigt låga värden upp till ett värde där dragkraften har blivit negativ. 4) Om det finns försenad propellerstart, utvärdera modellens vertikala rörelse upp till det propellern startar. För vart och ett av motorns vridmomentsegment, gör steg 5 och 6: 5) För varje värde på propellerns avanceringstal: a) Lös ekvation (3) för att finna hastigheten V som motsvarar avanceringstalet och vridmomentet för det aktuella segmentet, för att få fram dragkraften T för varje advanceringstal. 9

b) Undersök hela CL-CD-polaren för att hitta en kombination av koefficienter för lyft och luftmotstånd (härav L och D för den kända hastigheten V) och stigvinkel γ som tillåter en lösning av ekvation (13) och (14) - om det finns en lämplig kombination för att lösa ekvationerna. Om dragkraften är mer än tillräcklig är den enda lösningen vertikalt stig. c) Utvärdera lösningens verkningsgrad för detta avanceringstal, antingen baserat på höjdvinst eller tidsvinst. 6) Från raden av resultat från steg 5) c) välj det avanceringstal som ger det mest effektiva stiget. Från stigvinkeln, modellens hastighet och propellerns rotationshastighet för detta avanceringstal räkna ut vilken tid som det kommer att ta att rotera antalet varv i segmentet och höjdvinsten. Om vertikalt stig är mest effektivt så gör en detaljerad analys av vertikalt stig för detta segment. Från dessa källor får du flygtiden och höjdvinsten vid slutet av detta segment 7) Vid slutet av denna process för alla vridmomentsegment är slutresultatet motortiden och uppnådd höjd då propellern fäller. Från sjunkhastigheten i glidet V G kan glidtiden från denna höjd beräknas och därmed den totala flygtiden. EXEMPEL PÅ OPTIMALT STIG Resultatet från ett exempel på beräkning av optimalt stig för en F1B visas i tabell 3 i slutet av artikeln. Detta gäller för den propeller som vi har studerat tidigare med ett förhållande mellan stigning/diameter på 1,2. Antalet vridmomentsegment för motorn på 35g har hållits nere för att minimera mängden data att redovisa. Det vertikala stiget har beräknats noggrant från ett utkast med 8 m/sek och en 0,2 sek DPR. Det fortsätter för de vridmomentsegment där den totala prestandan i det vertikala stiget i segmentet är bättre än det bästa ickevertikala stabila stiget i det segmentet. Därefter används det ickevertikala stiget för varje segment. Detta är samma modell och propeller som användes som exempel på stabilt stig och visas i figur 12 och 13 med vridmomentet motsvarande det andra segmentet för denna motor. I figur 13 kan man se att stigning med vinkel 67 o är något mer effektiv än stabilt vertikalt stig med det vridmomentet, men i tabell 3 framgår det att det vertikala stiget har valts som det mest effektiva. Detta beror på att jämförelsen här är gjord med den mer detaljerade analysen av vertikalt stig. Detta segment startade med vertikalt stig med hastigheten 12 m/sek, sjunkande till omkring 5 m/sek vid slutet av segmentet, och jämfört med en uppskattning av stabilt stig som ger 7,7 m/sek gav vertikalt stig något högre höjd. Tillämpningen av analysen redovisas i figur 14, 15, och 16, och visar några av resultaten för en jämförelse av de tre fallen som är identiska förutom att de har propellrar med förhållande stigning/diameter 1, 1,2, och 1,4. Resultat för de tre fallen var följande: motortid 39,6, 44,3, och 49,1 sek; total flygtid 338, 365, 366 sek; maximal höjd 90,4, 97,1, och 96,0 m. I figur 14 framgår att propellern med hög stigning arbetar vid den lägsta lyftkraftskoefficienten och det visas i figur 15 att denna modell flyger fortast. Stigläget visas inte här men det är nästan lika för de tre propellrarna med undantag för att propellern med hög stigning bara har vertikalt stig i det första segmentet. Notera att propellern med S/d = 1 av någon anledning har avslutat stiget vid ett CL något högre än CL i glidet. Dessa beräkningar var optimerade för höjd och mätning av detta. Höjdvinst per energienhet visas i figur 16. Resultatet för den lägsta totalhöjden visar att propellern med S/d =1 är sämst för större delen av tiden. Propellern med S/d = 1,4 är aningen bättre än propellern med 1,2 vid starten (där den inte kan klara vertikalt stig) och verkar bli bättre senare, men att detta faktiskt är en illusion som kommer av den längre motortiden för propellern med hög stigning; om höjden plottas mot varv i stället för mot vridmoment blir verkningsgraderna i den senare delen av stiget nästan identiska. 10

FÖRESKRIVEN STIGBANA Det optimala förloppet i föregående stycke har föreskrivet en stigbana bestående av optimerade stabila segment. Antagandet har gjorts att modellen kan trimmas att följa den föreskrivna stigbanan och att den hela tiden kan anpassa sig till den erforderliga hastigheten. Det finns dock ingen garanti för att detta är möjligt. I enlighet med vårt antagande att försumma tipprörelser kan vi inte svara på frågor om trim, men vi kan ställa modellens rörelser i relation till kontinuerlig påverkan av värden på vridmoment, hastighet, dragkraft och stigvinkel. Matematiskt åstadkoms detta genom att lösa ekvation (4) och (5) för en föreskriven stigbana. Denna stigbana kan vara den som uppstår genom beräkningarna för optimalt stig eller det kan vara en som väljs av användaren. Det finns möjlighet att välja genom att föreskriva antingen flygbanans vinkel γ eller kroppsaxelns vinkel θ, som förhåller sig som θ = γ + α. Valet som görs här är flygbanans vinkel, eftersom detta är mer direkt relaterat till rörelsen (vertikalt är rakt upp) utan antaganden om vinkel för noll lyftkraft. Ett annat val som ska göras är förhållandena i vilket den önskade flygbanans vinkel ska anges de tydliga valen är tid eller motorvarv. Lösningstekniken är liknande den som används för det vertikala stiget lös kontinuerligt differentialekvationerna i takt med att motorvarven reduceras i små steg. Faktum är att för ett vertikalt kast är processen likadan upp till den tid där den föreskrivna stigvinkeln faller under den vertikala. Metoden utvidgas sedan till att omfatta båda ekvationerna (4) och (5) för stiget vid andra vinklar. Från den rådande hastigheten V och det tillförda vridmomentet Q(n) lös ekvation (3) för att få fram det avanceringstal λ som gäller för dessa förhållanden. Beräkna därefter dragkraftskoefficient T c för detta avanceringstal och finn härifrån dragkraften T från ekvation (1), men lägg märke till att propellerns rotationshastighet Ω fås fram genom ekvation (7). Det enda återstående okända i ekvation (4) är nu luftmotståndet. Det kommer att definieras genom att beräkna den erforderliga lyftkraften och härifrån det tillhörande luftmotståndet från CL-CD-polarkurvan. Ekvation (5) förbinder stigningsförhållandet och förhållandet för ändring av anfallsvinkeln; skillnaden mellan dessa två termer motsvarar förhållandet för ändring av flygbanans vinkel genom θ = γ + α - kom ihåg att stigningsförhållandet q är förändringsförhållandet för θ. Om ekvation (5) skrivs om i denna form och skrivs i termer av den okända L och ekvation (4) upprepas lämnar detta två ekvationer att lösa: m V = T D mg sin γ (4) ( ) T + mg cos γ L = mv γ α + αt (17) I varje steg av flygningen är flygbanans vinkel γ känd (interpolation mellan de angivna värdena till tid eller varv i detta stadium). Det måste vara en jämn funktion för att ge ett kontinuerligt värde för termen för förändringsförhållandet. Dragkraften T är känd från vridmomentet och hastigheten som beskrivits i det senaste stycket. Det återstående problemet är faktorn (α + α T ) för dragkraften. Som vi avhandlat i avsnittet om stabilt stig är detta en relativt liten term och kan approximeras med hjälp av ekvation (15) och (16). I praktiken har jag funnit att processen kan vara känslig - bäst trimmar man stiget genom att ändra stigvinkeln vid olika tider. Det tog faktiskt ett stort antal försök innan ett skapligt stig uppnåddes med värdena på stigvinkel för optimalt stig. Ett av problemen är att om stiget föreskrivs vara för flackt så ökar hastigheten och därmed kan lyftkraftskoefficienten gå ner. Å andra sidan, om stiget är aningens för brant, är lösningen begränsningarna för maximal lyftkraftskoefficient och låg hastighet. Det senare fallet påvisar 11

osäkerheten av att negligera stigningen: om hastigheten har gått ner så mycket att den nödvändiga lyftkraftskoefficienten inte kan nås så lär ekvationerna rätteligen modellen att sänka nosen under stigvinkeln och öka hastigheten. Hursomhelst, utan någon stigningsterm händer detta omedelbart - nosen sänks till en 20 graders dykning, hastigheten ökar en bråkdel av en meter per sekund och kanske en tjugondels sekund senare kommer lyftkraftskoefficienten att räcka till och stigningen fortsätter. Utan tröghet för stigningen är detta enligt en orealistiskt kort tidsskala och liten höjdförlust, men i övrigt just vad som skulle hända. Provresultat finns angivna i tabell 4 för propeller med S/d = 1,2, samma som visas i tabell 3 för optimerat stabilt stig. Notera att medelvärdena i de vänstra kolumnerna egentligen är tidsmedelvärden medan de optimala stigningssegmenten är varvmedelvärden. Detta leder till skillnader i förhållande till några storheter. Detaljavvikelserna är intressanta men resultatet blir att höjden är mycket lite mindre än optimalt stabilt stig förutsatt en riktig bekräftelse av värdena i den analysen. SLUTSATS Jag har beskrivit mitt försök att beräkna prestanda för gummimotormodeller. Sådana analyser är inte precisa, gör betydande förenklingar och är fortfarande begränsade till kvaliteten på tillgängliga data. Trots det tror jag att sådana studier kan hjälpa vår förståelse av den inbördes vikten av de många faktorerna. Analyserna som beskrivs här finns tillgängliga som Excel makron, ta kontakt med författaren för ytterligare detaljer på kaynes@compuserve.com 12

LISTA MED SYMBOLER C D luftmotståndskoefficient, definierad i ekvation (10) C D0 luftmotståndskoefficient vid noll lyftkraft C L lyftkraftskoefficient, definierad i ekvation (9) C Lmax maximum lyftkraftskoefficient C Lα lutning hos lyftkurvan per radian D luftmotstånd, aerodynamisk kraft i motsatt riktning mot hastigheten, N D 0 luftmotstånd vid noll lyftkraft, N g gravitationskonstant L lyft, aerodynamisk kraft vinkelrät mot hastigheten, N m modellens massa, Kg M m gummimotorns massa, Kg n antal varv N antal strängar i gummimotorn Q gummimotorns vridmoment, Nm Q c propellerns vridmomentkoefficient, se ekvation (2) R propellerradie, m S referensarea, m 2 T propellerns dragkraft, N T c propellerns dragkraftskoefficient, se ekvation (1) V hastighet, m/sek α anfallsvinkel, vinkeln mellan modellens hastighet och kroppsaxeln, radian α 0 anfallsvinkel för noll lyftkraft α T uppåtriktning, vinkel för dragkraftslinje i förhållandet till kroppsaxeln, radian γ stigvinkel, vinkeln för hastighetsriktningen i förhållandet till det horisontella, radian θ stigläge, vinkeln för kroppsaxeln i förhållandet till det horisontella λ propellerns avanceringstal = V/(RΩ) ρ luftens densitet, Kg/m 3 Ω propellerns rotationshastighet, radianer per sek x S/d beteckning av förändringshastigheten för en term (x) med tid Stigning/diameter 13

Dessa kolumner är medelvärden i segmenten medelvridmoment prop avanceringstal λ varv/sek hastighet V m/s stigvinke l γ grader Dessa kolumner är värden i slutet av segmenten CL varv höjd tid höjdvinst höjdvinst tidsvinst i segment per energienhet per energienhet m sek m utkast 8.00 420 DPR 6,89 90,00 0,00 420 1,35 0,20 1,35 0,592 0,282 20,84 11,08 90,00 0,00 395 14,64 1,40 13,29 0,175 0,593 0,290 0,280 14,56 7,70 90,00 0,00 350 38,43 4,49 23,78 0,250 0,866 0,180 0,269 11,20 5,68 35,04 0,59 300 52,98 8,96 14,55 0,233 0,849 0,140 0,272 9,87 5,06 25,75 0,81 250 64,11 14,02 11,13 0,245 0,927 0,120 0,274 9,15 4,73 21,17 0,96 200 73,45 19,49 9,34 0,243 0,951 0,106 0,287 8,70 4,70 17,18 1,01 130 84,61 27,53 11,17 0,239 0,965 0,096 0,298 8,41 4,73 14,31 1,01 70 92,95 34,66 8,34 0,230 0,958 0,080 0,309 7,81 4,55 10,13 1,10 30 97,06 39,79 4,10 0,199 0,912 0,035 0,384 6,34 4,58-0,67 1,10 0 96,80 44,52-0,25-0,036 0,599 Total flygtid = 365,0 Glidtid = 320,5 Energi i motor = 423,2 Nm eller 312 ft.lb. Tabell 3. Prestandaförutsägelse för F1B med propellerstigning/diameter = 1,2 genom optimum steady segment -analys. Dessa kolumner är medelvärden i segmenten Medelvridmoment prop avanceringstal λ varv/sek hastighet V m/s stigvinke l γ grader Dessa kolumner är värden i slutet av segmenten CL varv höjd tid höjdvinst höjdvinst tidsvinst i segment per energienhet per energienhet m sek m utkast 8,00 420 DPR 6,87 90,00 0,00 420 1,35 0,20 1,35 0,582 0,283 21,19 11,25 90,00 0,00 395 14,68 1,38 13,33 0,203 0,685 0,285 0,284 14,47 7,82 80,80 0,47 350 38,37 4,50 23,69 0,227 0,792 0,179 0,271 11,21 5,72 34,75 0,69 300 52,84 8,96 14,46 0,255 0,925 0,140 0,281 9,91 5,24 25,18 0,83 250 64,07 14,00 11,27 0,252 0,948 0,120 0,279 9,16 4,82 21,35 1,05 200 73,65 19,46 9,58 0,248 0,965 0,106 0,282 8,64 4,59 17,28 1,01 130 84,68 27,56 11,03 0,238 0,962 0,096 0,296 8,36 4,66 14,19 0,93 70 92,86 34,74 8,18 0,229 0,955 0,080 0,332 8,13 5,08 8,70 0,88 30 96,64 39,66 3,77 0,191 0,877 0,034 0,399 6,49 4,83-0,41 0,98 1 96,51 44,08-0,13-0,042 0,551 Total flygtid = 363,6 Glidtid = 319,5 Energi i motor = 423,2 Nm eller 312 ft.lb. Tabell 4. Prestandaförutsägelse för F1B med propellerstigning/diameter = 1,2 genom förbestämd stigvinkel. Notera att denna analys är tidsexakt, inte medelvärden i segmenent. Resultaten visas här i slutet av samma varvsegment som i tabell 3 för jämförelse. 14

r gir q tipp Figur 1. Flygplanets vridning i 6 möjliga riktningar. Kroppsaxel Figur 2. Kraftbalans under stigning. 1,2 1,0 0,8 CL 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2 0,00 0,05 CD 0,10 0,15 Figur 3. Exempel på CL-CD-polar. 15

15 Hastighet (m/sek) 10 5 V kast = 4 V kast = 8 V kast = 12 0 0 1 2 3 4 5 6 Tid (sek) Figur 4. Hastighet i vertikalt stig från olika kasthastigheter. 50 40 Höjd (m) 30 20 10 V kast = 4 V kast = 8 V kast = 12 0 0 1 2 3 4 5 6 Tid (sek) Figur 5. Höjd i vertikalt stig från olika kasthastigheter. 5 4 Dragkraft (N) 3 2 1 +5 grader nominell -5 grader 0 0 5 10 15 20 Hastighet (m/sek) Figur 6. Påverkan av stigning och dragkraft på hastigheten vid vridmoment 0,435 Nm. 16

15 Hastighet (m/sek) 10 5 prop +5 grader nominell prop prop -5 grader 0 0 1 2 3 4 5 6 Tid (sek) Figur 7. Variation av hastighet och tid för olika stigning, V kast = 8 m/sek. 50 40 Höjd (m) 30 20 prop +5 grader nominell prop prop -5 grader 10 0 0 1 2 3 4 5 6 Tid (sek) Figur 8. Variation av höjd och tid för olika stigning, V kast = 8 m/sek. 50 40 Höjd (m) 30 20 10 prop +5 grader nominell prop prop -5 grader 0 320 340 360 380 400 420 Varv Figur 9. Variation av höjd och varv för olika stigning, V kast = 8 m/sek. 17

Vridmoment (Nm) 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0 100 200 300 400 Varv Figur 10. Ungefärlig vridmomentkurva för segment optimum performance method. 3,0 2,5 Dragkraft (N) 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 0 5 10 15 Hastighet (m/sek) Figur 11. Förändring av dragkraft och flyghastighet för vridmoment 0,29 Nm. 90 Stigvinkel (grader) 60 30 0-30 0 5 10 15 Hastighet (m/sek) Figur 12. Variation av säker stigvinkel och flyghastighet för vridmoment 0,29 Nm. 18

Höjdvinst per varv (m)))) 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0-0,1-0,2 0 5 10 15 Hastighet (m/sek) Figur 13. Variation i höjdvinst per propellervarv och stighastighet för Q = 0,29 Nm. 1,2 CL 0,8 0,4 S/d = 1,0 S/d = 1,2 S/d = 1,4 0,0 0 10 20 30 40 50 Tid (sek) Figur 14. Modellens lyftkraftskoefficient för 3 propellrar ( optimum steady segments ). 12 Hastighet (m/sek) 10 8 6 S/d = 1,0 S/d = 1,2 S/d = 1,4 4 0 10 20 30 40 50 Tid (sek) Figur 15. Flyghastighet för 3 propellrar ( optimum steady segments ). 19

0.3 Höjdvinst per energienhet (m) 0.2 0.1 S/d = 1.0 S/d = 1.2 S/d = 1.4 0.0 0 10 20 30 40 50 Tid (sek) Figur 16. Höjdvinst per enhet energi för 3 propellrar ( optimum steady segments ). 20

BILAGA A: PROPELLERTEORI De vanliga läroböckerna i aerodynamik beskriver propellerteori allmänt i den klassiska formen utvecklad under 1920-talet och 1930-talet när motordrivna propellrar försåg alla flygmaskiner med drivkraft. Grunderna, och särskilt approximationerna, som det ibland hänvisades till, är inte nödvändigtvis anpassande till propellrar för modellflygplan men det finns inte många alternativa ansatser som är bättre! För att förklara några av principerna för propellerns funktion kommer jag att ge en kort genomgång av olika uppfattningar av propellrar och börjar med den enklaste föreställningen om grunderna och vidare till mera detaljerade simuleringar. Detta följer ansatsen enligt Glauert som anges i referens 1. INTRODUKTION En propeller består av ett antal identiska radiella blad med lika avstånd från varandra som hålls i jämn rotation runt propelleraxeln av motorns vridmoment. Bladprofilen för varje element ger upphov till lyftkraft och luftmotstånd som sammantaget ger upphov till propellerns dragkraft och vridmoment. Reaktionen från dessa krafter på luften producerar en slipström som innefattar all den luft som har passerat genom den cirkelskiva som sveps av de roterande bladen. Propellerns vridmoment har en motsvarighet i rotationshastighet som ges till luften. Vridmomentet fås genom att ge en bakåtriktad linjär hastighet till luften i slipströmmmen. Dragkraften är en direkt föjd av att propellern åstadkommer ett högre lufttryck omedelbart bakom cirkelskivan och ett lägre tryck framför den. Den axiella hastigheten genom propellern ökar från strax framför propellern för att nå ett maximum på ett avstånd bakom den, och slipströmmen drar ihop sig i motsvarande grad som visas i figur A1. Detta är vad som kan ses röra sig med propellern genom luften vid hastighet V, eller alternativt genom att observera en stationär propeller i en vindtunnel med luft som blåses förbi den med begynnelsehastighet V. Motorn ger vridmomentet Q och det roterar propellern med vinkelhastighet Ω varvid propellern absorberar energin ΩQ. Dragkraften T verkar för att flytta flygplanet framåt med hastigheten V, och kan mätas som användbart arbete VT. Verkningsgraden η är förhållandet mellan absorberad energi och användbart arbete: VT η = (A1) ΩQ I analysen av propellrar är det lämpligt att ta bort kvantiteternas dimensioner genom att definiera följande koefficienter: Hastighetsförhållande λ som ger sambandet till rotationshastigheten λ = V/(ΩR). (Detta är förhållandet mellan hastigheten framåt och rotationshastigheten vid bladspetsen och är därmed lika med tangenten för bladspetsens stigningsvinkel. Notera: alternativ terminologi använder uttrycket J = V/nD, så att J = π λ) Dragkraftskoefficient T Vridmomentkoefficient C = T 2 4 πρω (A2) R Q C = 2 πρω (A3) R Q 5 där R är propellerns radie och ρ är luftens densitet. Notera att dessa koefficienter leder till en alternativ form för definitionen av verkningsgrad: 21

λtc η = (A4) Q C STRÅLTEORI (AXIAL MOMENTUM THEORY) Propellern utvecklar dragkraft genom at ge en hastighet till luften och dragkraften är direkt relaterad till den kinetiska energin i luftrörelsen. Ytterligare energi går till spillo genom uppkomsten av förluster av rotationsrörelse och friktionsmotstånd, men för en optimal propeller bortser strålteorin från detta. Enligt denna teori av Rankine-Froude antas hastigheten vara enhetlig över en skiva i varje del av området bakom propellern. Dragkraften ges av T = S 1 ρ u 1 (u 1 -V) där S 1 är tvärsnittsytan av området långt bakom propellern, u 1 är den slutliga hastigheten bakom propellern och V är den ursprungliga inflödeshastigheten framför propellern. Effekten är ökningen av kinetisk energi P = ½ S 1 ρ u 1 (u 1 2 -V 2 ). Kontinuitet och andra överväganden leder till härledningen att hastigheten u vid propellerskivan är genomsnittet av inflödeshastigheten och hastigheten i området långt bakom propellern, vilket blir: U = ½(V+u 1 ) (A5) Verkningsgraden blir då: η = V/u (A6) Det framgår att det mest effektiva är en propeller med värdet på u bara något högre än V, vilket innebär en liten ökning av lufthastigheten. För att generera en given mängd dragkraft kräver detta en stor diameter vilket är orsaken till att helikoptrar har rotorer med stor diameter för högre verkningsgrad än normala propellrar. En alternativ terminologi för hastigheterna är att beteckna u med V (1+a) där a är den axiella interferensfaktorn som representerar ökningen i hastighet vid propellerskivan. I denna form blir verkningsgradsekvationen: 1 η = (A7) ( 1+ a) UTVECKLING AV STRÅLTEORIN Den första förbättringen från den axiella strålteorin är att överge antagandet att dragkraften är jämnt fördelad över hela propellerskivan. Genom att ta hänsyn till momentekvationerna för varje ringform som bygger upp skivan så kan liknande dragkrafts- och effektekvationer liknande de ovan utvecklas för varje ring. Därefter är det möjligt att definiera en propeller med optimal verkningsgrad genom att distribuera om dragkraft mellan de olika ringarna. Resultatet blir att likformig belastning av skivan ger den mest effektiva propellern, med den optimala verkningsgraden lika med den som ges i det föregående stycket, d.v.s.: η 1 = 1 ( 1+ a) och de motsvarande dragkraft- och vridmomentkoefficienterna är: T c = 2 a (1+a) λ 2 and Q c = 2 a (1+a) 2 λ 3 22