LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0002M MAM801 IEK309 Institutionen för matematik Datum 2008-01-19 Skrivtid 0900 1400 Tentamen i: Statistik AI, 10p Antal uppgifter: 6 Krav för G: 11 Lärare: Robert Lundqvist, tel 49 24 04 Jour: Robert Lundqvist, tel 49 24 04 Resultatet anslås senast: 6/2 2008 Tillåtna hjälpmedel: Vilket slags pappersbundet material som helst: böcker, formelsamlingar, tabeller, anteckningar, gamla tentor eller liknande. Engelsk-svenskt lexikon Engelsk-svensk ordlista med statistiska termer Manual till miniräknare Räknedosa (dator är inte tillåten) Tänk på att redovisa dina lösningar på ett klart och tydligt sätt. Endast det numeriska svaret räcker inte för full poäng. Korrekt lösning ger det poängantal som står angivet efter uppgiftstexten. LYCKA TILL!
Tentamen i Statistik AI, MAM801, 2008-01-19 1. I en undersökning av svenska folkets datorvanor 1984 1 sammanställdes bland annat andelen som använde datorer i arbetet i landets län. I nedanstående tabell ges andelarna: Län Andel Län Andel Stockholm 26 Halland 14 Uppsala 21 Göteborg/Bohuslän 20 Södermanland 20 Älvsborg 14 Östergötland 17 Skaraborg 12 Jönköping 16 Värmland 17 Kronoberg 17 Kopparberg 16 Kalmar 13 Gävleborg 16 Gotland 7 Västernorrland 20 Blekinge 16 Jämtland 10 Kristianstad 16 Västerbotten 14 Malmöhus 19 Norrbotten 12 (a) Beskriv materialet i ett stambladdiagram. Beräkna median och kvartiler där du också anger hur ordningsvärde för dessa bestämts. (b) Beskriv materialet i en boxplot/lådagram. Bestäm om det finns några uteliggare där gränser för vad som ska betraktas som uteliggare definieras som q 1 1.5(q 3 q 1 ), q 3 + 1.5(q 3 q 1 ). (4p) 2. Ett företag hyr ut kopieringsmaskiner. Där ingår också service i två delar: dels ska akuta problem åtgärdas, dels ska företaget genomföra rutinunderhåll av kopieringsmaskinerna. Den tid rutinunderhåll har tagit sammanställdes för elva tillfällen: 1 Folkets datorvanor - Datoranvändningsundersökningen juni 1984, Information i prognosfrågor 1984:5, Statistiska centralbyrån 1
Tentamen i Statistik AI, MAM801, 2008-01-19 Antal Arbetstid Tillfälle kopieringsmaskiner (minuter) 1 4 109 2 2 58 3 5 138 4 7 189 5 1 37 6 3 82 7 4 103 8 5 134 9 2 68 10 4 112 11 6 154 Görs en regressionanpassning med antal maskiner som oberoende variabel och arbetstid som beroende variabel fås följande uttryck: ŷ = 11.46+24.60 x (a) Vad blir utifrån denna modell förväntad arbetstid för en kund som har 4 kopieringsmaskiner? (b) Kan koefficienterna i regressionsmodellen ges meningsfulla tolkningar? Om så är fallet, gör sådana tolkningar i ord. Om det inte går att göra meningsfulla tolkningar, motivera då detta. (3p) 3. I undersökningen om svenska folkets datorvanor ställdes frågan Har Du själv någon gång använt någon typ av dator eller datoriserad utrustning eller i övrigt haft ADB-arbete?. I undersökningen frågade man 5289 personer, och andelen som besvarade frågan med ett Nej var 67.2%. Bestäm ett konfidensintervall med konfidensgraden 90% för andelen i populationen som inte hade använt dator, datoriserad utrustning eller hade haft ADB-arbete. Ange tydligt om förutsättningarna för konfidensintervallet är uppfyllda. Tolka intervallet tydligt i ord. (3p) 4. Finns det någon påvisbar skillnad mellan reparationskostnader vid olika bilverkstäder? För att besvara frågan tog försäkringsbolaget fram sju bilar med olika omfattning på skadorna och lämnade in dem på två verkstäder för att få kostnadsförslag. I nedanstående tabell ges förslagen i hundratal kronor för de två verkstäderna: Bil 1 2 3 4 5 6 7 Verkstad 1 49.7 63.0 77.0 62.3 69.3 63.7 72.1 Verkstad 2 55.3 70.7 85.4 61.6 72.8 68.6 81.9 2
Tentamen i Statistik AI, MAM801, 2008-01-19 (a) Finns det någon påvisbar skillnad mellan de kostnadsförslag som ges vid de två verkstäderna? I fall sådan skillnad finns, hur stor är den? Besvara frågorna genom att bestämma och tolka ett konfidensintervall för den genomsnittliga skillnaden mellan de två verkstädernas kostnadsförslag. Ange också lämpliga noll- och alternativhypoteser. Använd 95% konfidensgrad. Ange också de antaganden om fördelning som måste vara uppfyllda för att resultaten ska vara någorlunda giltiga. (b) Ett annat sätt att göra jämförelsen mellan två serier av detta slag är att titta på tecknet i jämförelsen, dvs antalet positiva skillnader när man tar skillnaden mellan verkstädernas kostnadsförslag. Om alla värdena är positiva talar det för att ena verkstaden är systematiskt lägre än den andra, men om det finns både positiva och negativa skillnader kan det vara svårare att säga om det finns någon skillnad. Om du bildar sju differenser och bara ser till tecknet så får vi i ovanstående material sex plustecken och ett minustecken när skillnaden mellan kostnadsförslagen från verkstad 1 dras från motsvarande från verkstad 2. Hur stor är sannolikheten att få minst sex sådana plustecken utifrån antagandet att det är lika stor chans att få ett minus- som ett plustecken? Ange tydligt de fördelningsantaganden du utgår från i beräkningarna. (5p) 5. Du har fått ett uppdrag av ett visst stålverk. De tillverkar ämnen som transporteras till en kund på annan ort, och det är viktigt för både säljare och köpare att ämnena är av rätt dimension. Det har visat sig att en viss typ av ämnen har en längd som kan betraktas som normalfördelad med genomsnittet 5 meter och standardavvikelsen 0.02 meter. (a) Hur stor andel av ämnena kommer att vara kortare än 4.95 meter? (b) Vad blir kortaste längd i gruppen av de 3% längsta ämnena? (c) Antag att du som definition på lång säger att ett ämne är bland de 3% längsta. En typisk sändning av den aktuella typen av ämnen är på 20 stycken. Hur stor är sannolikheten att det i en sådan sändning finns minst 4 ämnen som är långa enligt din definition? Utgå från att ämnenas längder är oberoende av varandra. (d) För denna typ av ämnen mäts flera egenskaper som det också ställs krav på. Antag att det är 4% sannolikhet att ett ämne har fel längd, 3% sannolikhet att det har breddfel och 7% sannolikhet att det har fel på formen (är vridet, ickerektangulärt eller liknande). Hur stor är 3
Tentamen i Statistik AI, MAM801, 2008-01-19 sannolikheten att ett ämne har minst ett av felen? Utgå från att felen antas uppstå oberoende av varandra. I alla deluppgifterna ska det tydligt framgå hur du definierat slumpvariabler och/eller de händelser du arbetar med, likaså ska de antaganden om fördelning som beräkningarna bygger på beskrivas tydligt. (4p) 6. För att förbättra mätning av längden på produkter från ett visst stålverk överväger man att införa en ny mätmetod. Den används parallellt med en etablerad metod, och under en perioden vägs resultaten från båda metoderna ihop för att ge ett enda värde. Den gamla metoden ger värden med en standardavvikelse på 6 mm, och den nya ger värden med en standardavvikelse på 2 mm. Hur stor är standardavvikelsen för medelvärdet av två mätningar där en gjorts med den gamla metoden och den andra med den nya metoden? Mätningar gjorda med de två metoderna kan betraktas som oberoende av varandra. Du kan också förutsätta att ingen av metoderna har något systematiskt fel, dvs de kommer i genomsnitt att ge korrekta värden. (3p) 4
1. Datamaterialet var följande värden: 26 14 21 20 20 14 17 12 16 17 17 16 13 16 7 20 16 10 16 14 19 12 (a) Ett stambladdiagram kan se ut på följande sätt: The decimal point is 1 digit(s) to the right of the 0 7 1 0223444 1 666667779 2 0001 2 6 Här är medianen medelvärdet av värde nr 11 och 12, dvs (16+16)/2 = 16. Undre kvartil blir medianen i den undre halvan, dvs värde nr 6 som är 14. Den övre kvartilen är på motsvarande sätt median i den övre halvan, dvs värde nr 6 räknat från högsta värdet, något som blir 19. (b) En boxplot/lådagram kan se ut på följande sätt: +--+----+---+----+----+----+---+----+----+----++ +----+------+ +--------------- ----------------+ +----+------+ +--+----+---+----+----+----+---+----+----+----++ 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 Med kvartilerna 14 och 19 blir gränserna [6.5, 26.5], och det finns inga värden utanför dessa vilket alltså säger att det inte finns värden som ska betraktas som uteliggare. 2. Lämpliga variabler är x: antal kopieringsmaskiner som hyrs och y: tid i minuter det tar för rutinunderhåll. Den regressionsanpassning som gjorts gav resultatet 5
ŷ = 11.46+24.60 x (a) Om x = 4 så blir motsvarande värde på y, dvs underhållstiden109.86 minuter (11.46 + 24.60 4). (b) Värdet 24.60 säger att underhållstiden ökar med i genomsnitt 24.60 minuter för varje ytterligare kopieringsmaskin. Värdet 11.46 är inte möjligt att tolka eftersom det inte kan finnas underhållstid när man inte har några kopieringsmaskiner. 3. Låt p beteckna andelen i populationen som besvarade frågan Har Du själv någon gång använt någon typ av dator eller datoriserad utrustning eller i övrigt haft ADB-arbete? med. I undersökningen hade man frågat 5289 personer, och ˆp, andelen som besvarade frågan med ett Nej var 67.2%. Ett konfidensintervall för p ges av uttrycket ˆp ± z ˆp(1 ˆp) n Eftersom konfidensgraden skulle vara 90% blir z = 1.645. Med ˆp = 0.672 ger detta intervallet 0.672 ± 0.0107 Populationsandelen som inte använt dator, datoriserad utrustning eller hade haft ADB-arbete täcks alltså med 90% säkerhet av intervallet [0.661, 0.683]. De krav som ställs är att antalet lyckade och misslyckade utfall, dvs antalet Nej och Ja svar båda är minst 15, vilket de är i detta fall. 4. Materialet handlar om att se om det finns någon påvisbar skillnad mellan reparationskostnader vid olika bilverkstäder. De värden som erhållits är följande: Bil 1 2 3 4 5 6 7 Verkstad 1 49.7 63.0 77.0 62.3 69.3 63.7 72.1 Verkstad 2 55.3 70.7 85.4 61.6 72.8 68.6 81.9 (a) Vi ska göra ett hypotestest där en lämplig nollhypotes är H 0 : µ = 0 och en alternativhypotes är H a : µ 0, där µ är genomsnittet för skillnaden mellan verkstädernas kostnadsförslag. 6
För varje bil finns det två värden, ett från vardera verkstaden. Låt x i står för kostnadsförslagen vid verkstad 1 för bil nr i och y i för motsvarande för verkstad 2. För varje bil kan man bilda differensen d i = y i x i, dvs Bil 1 2 3 4 5 6 7 d i 5.6 7.7 8.4-0.7 3.5 4.9 9.8 Ett konfidensintervall för den genomsnittliga skillnaden µ ges av uttrycket d ±t s n där d = 5.6, s = 3.5233 och n = 7. Konstanten t = 2.447 eftersom vi ska ha 95% konfidensgrad och stickprovsstorleken ger 6 frihetsgrader. Intervallet blir [2.341, 8.859], dvs med 95% säkerhet kan vi säga att den genomsnittliga skillnaden mellan verkstädernas kostnadsförslag täcks med 95% säkerhet av intervallet ovan. Detta betyder att vi kan säga att det finns en påvisbar (eller annorlunda uttryckt: signifikant) skillnad mellan verkstädernas kostnadsförslag. För att beräkningarna ska vara giltiga krävs eftersom stickprovet är så pass litet att vi kan betrakta differenserna mellan kostnadsförslagen som observationer från en normalfördelning. Om det är uppfyllt går dock inte enkelt att uttala sig om., (b) Låt w stå för antalet plustecken som fås när man bildar differensen mellan verkstads 2 och verkstad 1. Den variabeln bör ha sitt ursprung från en binomialfördelning med n = 7. Om det ska vara lika stor sannolikhet att få ett minus som ett plustecken måste det dåockså gälla att p = 0.5. Det som söks är sannolikheten att få sex eller fler plustecken, dvs P(w 6). Detta man räknas ut på flera sätt. Ett sätt är att använda tabell: P(w 6) = 1 P(w < 6) = P(w 5) = = 1 (0.0078+0.0547+ + 0.1641) = 1 0.9375 = 0.0625 Ett annat är förstås att räkna ut P(w 6) = P(w = 6)+P(w = 7) = = 0.0546875 + 0.0078125 = 0.8375 7
Detta är ett exempel på ett så kallat teckentest, en metod för parvisa jämförelser som inte kräver att observationerna kommer från normalfördelning. Se exempelvis IPS s. 468-470. 5. Låt X stå för långden på ämne. Den variabeln kan betraktas som normalfördelad med genomsnittet 5 och standardavvikelsen 0.02, dvs N(5,,0.02). (a) Det som söks är andelen ämnen som kommer att vara kortare än 4.95 meter. 0 5 10 15 20 4.94 4.96 4.98 5.00 5.02 5.04 5.06 Om X = 4.95 så får man med transformationen z = (x µ)/σ att z = 2.5. Då gäller att andelen X < 4.95 är lika stor som andelen z < 2.5 Enligt tabell är den andelen 0.0062, dvs 0.62%. (b) Låt c stå för kortaste längd i gruppen av de 3% längsta ämnena. Det som söks kan då det värde c som avgränsar den högra svansen i nedanstående figur: 8
0 5 10 15 20 4.94 4.96 4.98 5.00 5.02 5.04 5.06 Andelen X > c måste vara samma sak som andelen z > 0.02 c 5. Den andelen ska vara 0.03. Enligt tabell är andelen z > 1.88 just 3%, vilket betyder att c 5 0.02 = 1.88 Detta ger att c = 5.0376, dvs kortaste längd bland de 3% längsta är 5.0376 meter. (c) Om L står för antalet långa ämnen gäller att den variabeln kan ses som binomialfördelad med n = 20 och p = 0.03. Den fråga som ska besvaras är sannolikheten att få minst 4 ämnen som är långa, dvs P(L 4). Detta kan beräknas på flera sätt: P(L 4) = 1 P(L 3) = = 1 [P(L = 0)+P(L = 1)+P(L = 2)+P(L = 3)] = = [enl tabell] = = 1 [0.5438+0.3364+0.098+0.0183]= 1 0.99733 = 0.00267 (d) Låt L stå för händelsen att ett ämne har fel längd, B för att ämne har bredd fel och F att det har formfel. För dessa händelser gäller att 9
P(L) = 0.04 P(B) = 0.03 P(F) = 0.07 Händelserna antas vara oberoende av varandra. Det som söks är händelsen att ett ämne har minst ett av felen. Detta kan skrivas som P(L eller B eller F) = P(L)+P(B)+P(F) P(L och B) P(L och F) P(B och F)+ P(L och B och F) Oberoendet gör att exempelvis P( och B) = P(L)P(B), vilket gör att alla sannolikheterna tillsammans ger P(L eller B eller F) = 0.04+0.03+0.07 0.04 0.03 0.04 0.07 0.03 0.07+0.04 0.03 0.07= 0.133984 Ett annat kanske enklare sätt att räkna ut det hela är att titta på motsatsen: Där kan P(inget fel) beräknas som P(minst ett fel) = 1 P(inget fel) P(inget fel) = P(L c och B c och F c ) = P(L c )P(B c )P(F c ) = (1 P(L))(1 P(B))(1 P(F)) = (1 0.04)(1 0.03)(1 0.07)= 0.866016 Det betyder att P(minst ett fel) = 1 0.866016 = 0.133984. 10
6. Om v 1 står för värdet med den gamla metoden och v 2 för mätvärde med den nya metoden gäller att σ v1 = 6 och σ v2 = 2. Ett medelvärdeska bildas, dvs v = v 1+v 2 2. Detta kan skrivas som v = 1 2 (v 1 + v 2 ) = 1 2 v 1 + 1 2 v 1 Med reglerna σ 2 X+Y = σ 2 X + σ 2 Y σ 2 a+bx = b2 σ 2 X betyder detta att σ 2 v = σ 2 1 2 (v 1 +v 2 ) = 1 4 σ 2 v 1 +v 2 Där gäller att σ 2 v 1 +v 2 = σ 2 v 1 + σ 2 v 2 = = 6 2 + 2 2 = 40 Sammantaget betyder detta att σ 2 x = 1 40 = 10 4 eller σ x = 10 = 3.162. 11