TNK047 OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS Datum: 15 december 2007 Tid: 8 12 Hjälpmedel: Ett A4-blad med text/anteckningar (båda sidor) samt miniräknare. Antal uppgifter: 5; Vardera uppgift kan ge 5p. Poängkrav: För godkänt krävs 12p, betyg 4 kräver 16p, och betyg 5, 21p. Examinator: Clas Rydergren Jourhavande lärare: Clas Rydergren, 0709 743898 Resultat anslås senast: 4 januari 2008 Kortfattade lösningsförslag anslås vid skrivningstidens slut. Tentamensinstruktioner När Du löser uppgifterna Redovisa Dina beräkningar och Din lösningsmetodik noga. Motiveraallapåståenden Du gör. Använd alltid de standardmetoder som genomgåtts på föreläsningar och lektioner. Skriv endast på ena sidan av lösningsbladen. Använd inte rödpenna. Behandla ej fler än en huvuduppgift på varje blad. Vid skrivningens slut Sortera Dina lösningsblad i uppgiftsordning. Markera på omslaget de uppgifter Du behandlat. Kontrollräkna antalet inlämnade blad och fyll i antalet på omslaget.
TNK047 OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS 1 Uppgift 1 Person Z ska bygga en sökmotor till sin arbetsgivares intranät. En viktig del i denna sökmotor är att rangordna de webbkällor som blir sökbara. När sedan en rangordning av webbkällorna skapats så går det snabbare att presentera bra information till den som gör sökningen. Sökningen i sökmotorn görs genom att ett eller flera ord skrivs in av användaren varefter sökmotorn snabbt hittar i vilka dokument som dessa ord förekommer. Dessa dokument kommer att presenteras i den ordning i vilken källorna har rangordnats. Person Z har satt upp ett antal kriterier för hur rangordningen ska göras, dessa är: tillgänglighet, korrekthet, etc. Alla kategorierna och listan med webbkällor ges i tabellen nedan. Siffrorna (heltalen) i tabellen anger en bedömning mellan 0 och 10; ju lägre desto bättre. Webbkälla tillgänglighet korrekthet fullständighet presentation A 2 1 6 2 B 5 2 1 3 C 4 4 4 5 D 5 4 2 6 Viktning 0.25 0.4 0.2 0.15 a) Transformera tabellen ovan till en nyttomatris. Använd nyttomatrisen för att göra en rangordning av webbkällorna baserat på TOPSIS-metoden och med det euklidiska avstånd som avståndsmått. b) Antag nu att Z vill minska antalet webbkällor och tänker sig att använda DEAmetodik för att göra detta. Formulera det problem som Z behöver lösa för att utvärdera effektiviteten hos källa B. Antag att kriteriet tillgänglighet betraktas som en output factor, och övriga som input factors vid utvärderingen. Uppgift 2 Person X går just nu på civilingenjörsprogrammet Kommunikations- och transportsystem, och kommer om c:a ett år att välja kurser inom en av tre möjliga profiler. Beroende på hur arbetsmarknaden ser ut om c:a tvåår så kommer det att vara olika svårt att få jobb inom de branscher som profilerna riktar sig mot och inkomsten påverkas av hur karriärsvängningarna ser ut inom dessa branscher. Alternativt kan en egen profil skapas eller så kan X hoppa av utbildningen. Xär bara intresserad av att maximera sin förväntade totala inkomst fram till sin pension. X gör tillsammans med sina kompisar en uppskattning av hur stor inkomsten blir för de olika profilerna beroende på hur framtiden kan ta sig ut. De har själva kommit upp med fyra tänkbara framtidsprognoser som de har givits namnen Energikris, Interneteran, Retro och Tillverkningsindustri. Uppskattningarna av
TNK047 OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS 2 sin totala inkomst (miljoner kronor) för de olika framtidsutsikterna har de sammanfattat i följande tabell: Framtidsutfall Profilval Energikris Internetera Retro Tillverkningsindustri Kvantitativ logistik 25 18 21 22 Trafikinformatik 22 21 19 19 Data- telekommunikation 18 24 19 20 Egen profil 16 22 15 18 Hoppa av 13 16 18 19 Framtidsscenariosannolikhet 0.4 0.3 0.1 0.2 a) Vilka är maximin- och maximaxbesluten? b) Antag att du varken är helt och hållet pessimist eller optimist och därför inte riktigt litar på maximin- och maximaxreglerna. Använd Hurwicz kriterium med viktningen λ för att bestämma ett optimalt beslut. Rita upp ett diagram med λ på den horizontella axeln och förväntad total inkomst på den vertikala. Är det någon profil som dominerar för alla värden på λ? Vilket är det optimala profilvalet för λ =0.5? c) Efter en lång diskussion i kompiskretsen har X kommit upp med sannolikheter för de olika framtidsscenarierna. Sannolikheterna finns givna i tabellen ovan. Vilket är det optimala profilvalet enligt Bayes-regel? d) Vad skulle vara värdet för X av perfekt information? Uppgift 3 En biluthyrningsfirma planerar att investera i ett hundratal nya uthyrningsbilar. De har att välja på att bara köpa små, bara medelstora eller bara stora bilar. De minsta bilarna är bensinsnålast, och de största bensintörstigast. Biluthyrningsfirman är osäker på hur bensinpriset utvecklas i framtiden. Om bensinpriset kommer att gå upp hastigt så antas att de mindra bilarna blir lättare att hyra ut, men om priset stiger i mer normal takt så antas att de stora bilarna är mest lönsamma att hyra ut. De förväntade vinsterna (tusentals kronor) för varje alternativ av hyrbilsinköp och bensinprisutveckling ges i tabellen nedan. VD på biluthyrningsfirman bedömer att priset stiger hastigt med sannolikhet 0.6 och med normal takt med sannolikhet 0.4. a) Konstruera ett beslutsträd som kan användas till att finna en strategi som maximerar firmans väntevärde för det fattade beslutet.
TNK047 OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS 3 Utfall Normal stigning Hastig stigning Små bilar 2000 4250 Medelstora bilar 1250 1500 Stora bilar 3500 4000 b) Antag att biluthyrningsfirman inte vill använda EMV-beräkningar för sitt beslut utan istället vill använda följande nyttofunktion u(x), där x mätes i tusentals kronor, som ovan: u(x) =1 1000/(5000 + x) för att värdera en vinst (eller kostnad). Vad är det optimala beslutet och vad är den förväntade nyttan? Vad är säkerhetsekvivalenten? Är firman riskrädd (riskaverse) eller riskbenägen (riskprone)? c) Biluthyrningsfirman har möjligheten att köpa en prognos för jordens oljemarknadsutveckling som ger viss information om hur bensinpriset kommer att stiga. Prognosen används som underlag vid beslutet. Följande tabell ger sannolikheterna för att prognosen är korrekt för de två möjliga utfallen. Utfall Normal stigning Hastig stigning Prognos Normal stigning 0.75 0.15 Hastig stigning 0.25 0.85 i) Använd prognosinformationen för att revidera sannolikheterna i beslutsträdet. Bestäm optimal inköpsstrategi. ii) Vad är värdet av den imperfekta information som prognosen gav? iii) Vad är värdet av perfekt information om huruvida priset stiger normalt eller hastigt för biluthyrningsfirman? Uppgift 4 a) Betrakta ett nollsummespel där vinstmatrisen för radspelaren har följande utseende B A 1 2 3 1 4 5 6 2 10 8 q 3 5 p 7 där p och q är parametrar. i) Bestäm alla värden på p och q så att det finns en sadelpunkt i detta spel. ii) Visa att element (rad 3, kolumn 2) inte kan vara en sadelpunkt oberoende av val av p och q.
TNK047 OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS 4 b) Betrakta ett två-personers nollsummespel. Spelare A har tre strategier och B har tre. Betalningsmatrisen anger spelare A:s utfall/vinst och har följande utseende: B A 1 2 3 1 0-1 0 2-1 3-3 3 1-2 1 Eliminera eventuella dominerade strategier. Finn alla rena och blandade optimala strategier för spelarna A med hjälp av t.ex. grafisk lösning. Ange spelets värde. Uppgift 5 a) En p-median-modell i ett nätverk med n kunder och samma n stycken möjliga lokaliseringar av de p anläggningarna kan formuleras enligt nedan: n n max w i d ij x ij i=1 j=1 under villkoren n x ij =1, i =1,..., n, (1) j=1 n y j = p, (2) j=1 x ij y j, i =1,..., n, j =1,..., n, (3) y j {0, 1}, i = j,..., n (4) x ij {0, 1}, i =1,..., n, j =1,..., n. (5) där variablerna är definierade enligt { 1 om kund i kopplas ihop med till anläggning j x ij = 0 annars samt { 1 om anläggning j öppnas y j = 0 annars Parametern w i anger en viktning. Antag att varje kund kräver en koppling till åtminstone två olika anläggningar. Modifiera modellen förde nya förutsättningarna. b) Utgå från modellen given i a). Antag att varje anläggning har en kapacitet som gör att den maximalt kan serva c j kunder. Modifiera modellen för de nya förutsättningarna.
TNK047 OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS 5 c) Konsulterna A och B har gjort en omfattande kartläggning av hur kyrkobesöken ic-län görs. Kartläggningen omfattar konstruktionen av en digital karta med en områdesindelning av länet i n-områden och där länets m kyrkor finns utsatta. Data för hur många i varje område som besöker kyrkan varje vecka har samlats in. Från kartdata har avståndet mellan varje område och varje kyrka tagits fram. Konsulterna har antagit att en p-median-modell kan användas för att få en uppskattning av vilka av de m kyrkorna som besöks av folk i från vardera av de n områdena. Konsulterna använder viktningen w i =1för alla i =1,..., n. Lösningen till p-median problemet, med p satt till m, har de nu i en matris x ij där varje element är noll eller ett; ett om folk i område i besöker kyrka j, ochnoll annars. Till det kommer värden på elementenȳ j, j =1,..., m som alla har fått värdet 1, och varje kyrka har åtminstone en besökare från något område, och är öppen. Nu har det bestämts att k av de m kyrkorna, av budgetskäl, måste avvecklas. Konsulterna har nu fått i uppdrag att peka ut vilka kyrkor som bör stängas. Som mått på vilka kyrkor som bör stängas vill konsulterna minimera en så kallad displacement distance, som innebär att de antar att samma antal personer från varje område kommer att fortsätta besöka någon kyrka, men att det extra totala avståndet som kommer att uppstå när k kyrkor avvecklas ska minimeras. Konstruera en modell som kan användas för att lösa detta minimum displacement distance -problem.