Matematiska uppgifter



Relevanta dokument
Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter

Svar och arbeta vidare med Student 2008

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

Enklare matematiska uppgifter

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Trepoängsproblem. Kängurutävlingen 2014 Junior. 1 Bilden visar tre kurvor med längderna a, b respektive c. Vilket av följande påståenden är korrekt?

Enklare matematiska uppgifter

Lösningar till udda övningsuppgifter

4 Dividera höjningen (0,5 %) med räntesatsen från början (1 %). 7 Du kan pröva dig fram till exempel så här: Från Till Procent- Procent enheter

MVE365, Geometriproblem

Avdelning 1, trepoängsproblem

4. I lagret finns 24, 23, 17 och 16 kg:s säckar. På vilket sätt kan man leverera en beställning på exakt 100 kg utan att öppna någon säck?

Matematiska uppgifter

Kängurutävlingen Matematikens hopp

Matematiska uppgifter

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK

MATEMATIK 5 veckotimmar

Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 17 mars Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5

Enklare matematiska uppgifter

Känguru Student (gymnasiet åk 2 och 3) sida 1 / 6

Kvalificeringstävling den 30 september 2014

A: mindre än 4 år. B: minst 4 år. C: exakt 4 år. D: mer än 4 år. E: inte mindre än 3 år. (Schweiz) A: 0 B: Oändligt många C: 2 D: 1 E: 3 (Italien)

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter

Högstadiets matematiktävling 2018/19 Finaltävling 19 januari 2019 Lösningsförslag

= A: 0 B: 1 C: 2013 D: 2014 E: 4028

Känguru 2017 Student gymnasiet

NAMN KLASS/GRUPP. Poängsumma: Känguruskutt: UPPGIFT SVAR UPPGIFT SVAR

Finaltävling i Stockholm den 22 november 2008

Student. a: 5 b: 6 c: 7 d: 8 e: 3

Vektorgeometri och funktionslära

Avdelning 1, trepoängsproblem

Räknare får inte användas i den här delen. Skriv ner beräkningar eller motiveringar till varje uppgift, ifall ingenting annat uppges.

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling

Enklare matematiska uppgifter. Årgång 21, Första häftet

Matematiska uppgifter

Känguru 2018 Student gymnasieserien i samarbete med Jan-Anders Salenius (Brändö gymnasium)

4. Bestäm alla trippler n 2, n, n + 2 av heltal som samtliga är primtal. 5. Skriv upp additions- och multiplikationstabellen för räkning modulo 4.

Enklare matematiska uppgifter

5B1134 Matematik och modeller

z = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)

Betingad sannolikhet och oberoende händelser

Avdelning 1, trepoängsproblem

Kängurutävlingen Matematikens hopp 2009 Benjamin för elever i åk 5, 6 och 7

Känguru 2013 Junior sida 1 / 8 (gymnasiet åk 1) i samarbete med Jan-Anders Salenius vid Brändö gymnasium

Enklare matematiska uppgifter

5B1134 Matematik och modeller

Geometri och statistik Blandade övningar. 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004

Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5

Explorativ övning euklidisk geometri

Enklare matematiska uppgifter

A: måndag B: onsdag C: torsdag D: lördag E: söndag Grekland 2. Vilket av följande uttryck har högst värde?

Högskoleprovet Kvantitativ del

Känguru 2013 Junior sida 1 / 9 (gymnasiet åk 1) i samarbete med Jan-Anders Salenius vid Brändö gymnasium

Matematiktävling för högstadieelever. Kvalificeringstest. Tid : 60 minuter Antal uppgifter: 15 Max poäng: 15 poäng.

Enklare matematiska uppgifter

Årgång 75, Första häftet

SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 20 oktober 2011 kl Svar och lösningsförslag

20 Gamla tentamensuppgifter

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling

Riksfinal. Del 1: 6 uppgifter Tid: 60 min Maxpoäng: 18 (3p/uppgift) OBS! Skriv varje uppgift på separat papper och lagets namn på samtliga papper.

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

Ordlista 5A:1. term. faktor. täljare. nämnare. Dessa ord ska du träna. Öva orden

Repetitionsuppgifter. Geometri

Mer om analytisk geometri

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal.

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

Trepoängsproblem. Kängurutävlingen 2012 Junior

x b r + x 2 dx lim r a

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.

Finaltävling i Uppsala den 24 november 2018

Enklare matematiska uppgifter

Lösningsförslag till problem 1

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Avdelning 1, trepoängsproblem

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

2: E TOOT Bokstäverna O och T har en lodrät symmetriaxel, men inte R, B och L. Därför kommer endast ordet TOOT kunna skrivas på detta sätt.

Tentamen 973G10 Matematik för lärare årskurs 4-6, del2, 15 hp delmoment Geometri 4,5 hp, , kl. 8-13

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005

Enklare matematiska uppgifter

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och

Sidor i boken Figur 1:

Avdelning 1, trepoängsproblem

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet.

Högskoleverket NOG

Explorativ övning euklidisk geometri

Transkript:

Elementa Årgång 62, 1979 Årgång 62, 1979 Första häftet 314. Älgjägaren Allbom skjuter ett skott mot något som rör sig i skogsbrynet och som kan antas vara en älg. Kulans läge beskrivs av (,, 3/2) + t(33, 62, 3/2). Skogvaktaren Bertil som hopkurad lunkar omkring i skogsbrynet kan beskrivas som ett klot med radien 1/2 och centrum i (82,1599,2)+t(3,2,). Hur går det för Bertil? (Koordinaterna är angivna i ett ortonormerat koordinatsystem.) 3141. Kring det runda bordet på sjörövarskeppet sitter 1 vänner som ska dela på en just erövrad skatt på 1 guldmynt. Då föreslår Birkabasen Benke (som är synnerligen avlägsen släkting till problemredaktören) att skatten ska delas så att var och en får medelvärdet av de belopp som hans två bordsgrannar får. Bestämmer detta villkor entydigt hur skatten ska fördelas mellan sjörövarna? 3142. Ett tal kallas palindromiskt om det ser likadant ut framlänges och baklänges (exempelvis 12321, 1178711 och 141). Visa att varje palindromiskt heltal med jämnt antal siffror är delbart med 11. Gäller påståendet även för palindromiska tal med udda antal siffror? 3143. I en tennisturnering deltar 8 helt jämnbra spelare. De möts två och två i utslagningsmatcher varvid segraren går vidare till nästa omgång. Bland de åtta deltagarna finns tvillingarna Rulle och Julle. Vad är sannolikheten att dessa två möts någon gång under turneringen? 3144. Bestäm alla funktioner f som uppfyller 3 f (x) f (2 x) = 2x 2 + 4x. 3145. Arnold satt på Arlandas servering och väntade på Luleå-planet. Utan anledning hade han på en servett ritat en cirkel genom att följa konturerna på en enkrona. Undrar just var cirkelns medelpunkt ligger, tänkte Arnold. Han hade varken passare eller linjal till hands. Efter en stunds letande i plånboken kunde han konstatera att det enda vettiga hjälpmedel som han kunde hitta var patientbrickan av plast som han fått på lasarettet. Är det möjligt 1

Årgång 62, 1979 Elementa att med patientbrickans hjälp konstruera cirkelns medelpunkt? 39115 9577 GRANKVIST ARNOLD ING G BLOMG 5 92-1422 951 54 LULEÅ 258 HU BRITTA HOLM 3146. I ett rätblock är längderna av sidokanterna heltal. Dessutom är längden av en av diagonalerna i sidoytorna och rymddiagonalen heltal. Visa att rätblockets volym är delbar med 144. 3147. Funktionen f har positiv derivata på [,1]. Bestäm a så att blir så liten som möjligt. f (t) a dt 3148. Sätt S n = 1 + 1/2 + 1/3 + + 1/n. Visa att n + S n n(n + 1) 1/n. 3149. Låt a vara ett positivt heltal och sätt r = a + 1 + a. Visa att det för varje n finns ett positivt heltal a n så att { r 2n + r 2n = 4a n + 2, r n = a n + 1 + a n. Andra häftet 315. Erik är 42 år. Han är tre gånger så gammal som Lisa var när Erik var lika gammal som Lisa är nu. Hur gammal är Lisa? 3151. Bestäm alla heltal a och b så att a + b = ab. 2

Elementa Årgång 62, 1979 3152. Triangeln ABC är liksidig. P är en godtycklig punkt innanför triangeln. Visa att PE +PF +PG är oberoende av läget på P. 3153. Bestäm maximala och minimala antalet fredag den 13 som kan inträffa på ett år. 3154. Låt a j vara tal med (j 1)/n a j j /n, j = 1, 2,...,n. Beräkna n n lim n j =1 (1 + a 2 j )a j. A F G P C E B 3155. Låt f vara en kontinuerlig funktion på x 1. Antag att och f (x)dx = x f (x)dx = x 2 f (x)dx = = x n f (x)dx = 1. Visa att det finns ett intervall I så att f (x) 2 n (n + 1) för x I. x n 1 f (x)dx = 3156. Låt a, b, c, d, e och f representera heltalen från 1 till 6 i någon ordning. Antag att a + b < c + d och c + e < a < f. Bestäm vilken bokstav som står för vilken siffra. 3157. Visa att om a är ett reellt tal sådant att cos aπ = 1 så är a irrationellt. (Vinkelns mått i 3 radianer.) 3158. Låt k=1 ( 1)k 1 a k vara en alternerande serie där såväl (a k ) 1 som (b k ) 1, där b k = a k a k+1, avtar mot. Visa att om s betecknar seriens summa och s n = n k=1 a k, så är s n s a n /2. Visa att om även (c k ) 1, där c k = b k b k+1, avtar mot, så är s n s b n 1 /4, där s n = (s n + s n 1 )/2. Visa att om även (d k ) 1, där d k = c k c k+1, avtar mot, så är s n s c n 2 /8, där s n = (s n + s n 1 )/2. Bestäm med ledning av ovanstående och ( 1) k 1 1, med ett fel.2, 2k + 1 k=1 ( 1) k 1 1, med ett fel.3. k k=1 1 + x + + ( xn x + 1 ) n 3159. Visa att för alla x 1. n + 1 2 3

Årgång 62, 1979 Elementa Tredje häftet 316. Talet A är 6% större än talet B. Hur många procent mindre är talet B än talet A? 3161. Lös a + 2 a 1 + a 2 a 1 = 2 för a 1. 3162. En skuld amorteras med lika stora årliga belopp under mycket lång tid (detta innebär att annuiteterna i början praktiskt taget helt går åt till ränta). Man finner att de sista 9 åren behövs för att amortera sista hälften av skulden. Bestäm den (fasta) räntefoten. 3163. Betrakta matrisen 1 2 3 4 A = 2 4 1 3 3 1 4 2 4 3 2 1 som är erhållen ur multiplikationstabellen för heltalen 1, 2, 3 och 4 modulo 5. Visa att varje undermatris till A som fås genom att stryka en rad och en kolonn i A har en determinant som är en heltalsmultipel av 25. 3164. Bokstäverna A E E E L M N T är givna. Man skriver ner alla bokstavskombinationer i alfabetisk ordning. På vilken plats kommer ELE ME NT A? 3165. Betrakta de komplexa talen x = 1+i 3, y = 1 i 3 och z = 2. Visa att x j + y j = z j för alla j som kan skrivas på formen 6n + 1 eller 6n 1 för något positivt heltal n. 3166. Hur många gånger på ett dygn står timvisaren och minutvisaren på en klocka vinkelrätt mot varandra? 3167. Man viker ett kvadratiskt pappersark fyra gånger och vecklar ut det igen. Visa att det går att vika så att man åstadkommer tre vinklar vilkas tangens är 1, 2 resp 3. 3168. Visa att det finns irrationella tal a och b så att a b är rationellt. Visa även att a b kan bli irrationellt. 3169. Beräkna ( 1) n lnn n. n=2 4

Elementa Årgång 62, 1979 Fjärde häftet 317. Pitepilten Pelle som är och firar jul hos sin moster Töretösen Tora har fått i uppdrag att handla ägg på Mattes snabbköp i Kalix. När han kommer tillbaka säger han till Tora: Jag betalade 12 kr för äggen. Men eftersom de var ganska små fick jag två ägg extra. På så sätt fick jag betala ett pris som var en krona lägre per dussin än vad jag skulle betalat om jag inte fått de två extra äggen. Hur många ägg köpte Pelle? ( n ) 1 3171. Visa att exp k > (n + 1)e/2 för n > 1. k=1 3172. Finns det tal x och y sådana att x+y = 1, x 2 +y 2 = 2 och x 3 +y 3 = 3? 3173. Bestäm det minsta värde som 2x + 5y + z kan anta då x + 2y 4, 2x + 5y 9 och y + 2z 5. 3174. Lös olikheten 4x 2 ( 1 1 + 2x ) 2 2x + 9. 3175. I planet väljer man tre punkter P, Q och R som inte ligger på linje. Med en iterativ metod önskar man konstruera en triangel ABC så att P blir mittpunkt på AB, Q blir mittpunkt på BC och R blir mittpunkt på C A. Metoden går till så här (observera att problemet är löst om läget för t ex A är fastlagt): Som en begynnelseapproximation av A väljer man på måfå en startpunkt A (dock inte P). Därefter konstrueras i ordning B, C och D så att P, Q resp R blir mittpunkt på A B, B C resp C D. Mittpunkten på D A kallas nu A 1 och utgör en första approximation av A. Proceduren upprepas sedan utifrån A 1. Man får en följd av punkter A 1, A 2,... Visa att iterationsförfarandet efter ett ändligt antal steg ger en exakt lösning, dvs det finns ett n så att A n = A. Kan något sägas om värdet på n? A A A 1 D P P R B R Q Q C 3176. Medianerna AN och BP i en triangel ABC med olika långa sidor är 3 resp 6 cm. Triangelns area är 3 15 cm 2. Bestäm längden av den tredje medianen C M. 5

Årgång 62, 1979 Elementa 3177. Beräkna summan av alla siffror i heltalen från och med 1 till och med 1 (dvs en miljard). 3178. Man placerar på måfå n kulor i m urnor. Låt E n beteckna väntevärdet för antalet tomma urnor. Visa att E n+1 = (1 1/m)E n och bestäm E n med hjälp av detta. 3179. Funktionen f har kontinuerlig derivata för x 1. vidare är f () = och f (x) 1. Visa att ( ) 2 1 ( ) 3 f (x)dx f (x) dx. 6